www.wikidata.uk-ua.nina.az

e число Число е фундаментальна математична константа що є основою натуральних логарифмів число натуральний логарифм яког

e (число)

Число́ е — фундаментальна математична константа, що є основою натуральних логарифмів: число, натуральний логарифм якого дорівнює одиниці. Його значення приблизно дорівнює 2,71828, і є границею для , при тому як n прямує до нескінченності. Цей вираз бере початок із вивчення складних відсотків. Це число також можна розрахувати як суму нескінченного ряду

Графік функції Тут,  — це унікальне число, яке більше ніж 1 при якому площа зафарбованої області дорівнює 1.
 — це число, при якому похідна (іншими словами тангенс кута нахилу дотичної) показникової функції (синя крива) в точці в точності дорівнює 1. Для порівняння показані функції (точкова крива) та (пунктирна крива); тангенс нахилу їхньої дотичної відмінний від 1 (ця дотична намальована червоним)

Цю константу можна характеризувати багатьма способами. Наприклад, можна визначити як унікальне додатне число , таке що графік функції має одиничний кутовий коефіцієнт в точці . Функція називається (натуральною) показниковою функцією, і є єдиною показниковою функцією, яка дорівнює своїй власній похідній. Натуральний логарифм, або логарифм з основою , є оберненою функцією для натуральної показникової функції. Натуральний логарифм числа можна визначити напряму як площу під кривою між значеннями і , у цьому разі  — це таке значення числа , для якого ця площа дорівнюватиме одиниці (див зображення).

Іноді число e називають числом Ейлера або числом Непера. Відіграє важливу роль у диференціальному й інтегральному численні, а також багатьох інших розділах математики. Але саму константу відкрив швейцарський математик Якоб Бернуллі під час вивчення складних відсотків.

Історія Редагувати

Це число іноді називають неперовим на честь шотландського вченого Джона Непера, автора роботи «Опис дивовижної таблиці логарифмів» (1614 р.). Проте ця назва не зовсім коректна, оскільки у нього логарифм числа дорівнював .

Вперше константа неявно з'явилася в додатку до перекладу англійською мовою вищезазначеної роботи Непера, опублікованому в 1618 р. Неявно, тому що там міститься тільки таблиця натуральних логарифмів, саму ж константу не визначено. Схоже, автором таблиці був англійський математик Вільям Отред. Саму ж константу вперше вивів швейцарський математик Якоб Бернуллі при спробі обчислити значення наступної границі:

Ця границя виникла внаслідок розв'язування задачі про складні відсотки, спрощений варіант якої формулюється таким чином:

Розв'язок:

  • Якщо відсоток нараховується двічі на рік, то в кінці першого періоду ви отримаєте 50 % (100 %/2), які зразу ж додасте до депозиту. Відсотки за друге півріччя будуть нараховуватися вже на суму 1,5 ₴. У результаті в кінці строку у вас буде = 2,25 гривні.
  • Якщо виплата відсотків буде поділена на 4 однакові частини, то ви матимете відповідно = 2,4414 гривні.
  • Якщо виплата буде щомісячною, то результат буде = 2,613035.
  • Для довільного n кінцева сума буде .

Узагальнення цієї задачі (з довільною відсотковою ставкою та початковою сумою ) легко звести до вже наявної.

Перше відоме використання цієї константи, де вона позначалася літерою , зустрічається в листах Ґотфріда Лейбніца Христіану Гюйґенсу, 1690 і 1691 рр. Літеру e почав використовувати Леонард Ейлер в 1727 р., а першою публікацією з цією літерою була його робота «Механіка, або Наука про рух, викладена аналітично» 1736 р. Відповідно, e іноді називають числом Ейлера. Хоча згодом деякі учені використовували літеру с, літера e застосовувалася частіше і в наші дні є стандартним позначенням.

Чому була вибрана саме літера e, точно невідомо. Можливо, це пов'язано з тим, що з неї починається слово exponential («показниковий», «експоненціальний»). Інше припущення полягає в тому, що літери а, b, c і d вже досить широко використовувалися в інших цілях і e була першою «вільною» літерою. Неправдоподібне припущення, що Ейлер вибрав як першу літеру в своєму прізвищі (нім. Euler), оскільки він був дуже скромною людиною і завжди прагнув підкреслити значущість праці інших людей.

Значення Редагувати

e 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51930

Означення числа Редагувати

Число Непера є границею послідовності:

Використавши формулу бінома Ньютона, можна отримати числовий ряд для обчислення числа:

Властивості числа Редагувати

Число зустрічається мало не в кожній праці з математики і фізики. Причиною цього є його цікаві властивості.

Інтегральні і диференціальні рівняння Редагувати

  • Похідна експоненційної функції дорівнює самій функції: . Це саме стосується і первісної (з точністю до константи): . Через це, єдиним нетривіальним розв'язком диференціального рівняння є функція , де  — довільна константа.
  • функція Гауса , має наступну властивість: .
  • Багато інших інтегралів функцій, що містять у собі експоненту, також дають несподівано прості рішення, наприклад, .

Комплексні числа Редагувати

Експоненційну функцію можна розкласти в ряд Тейлора для будь-якого комплексного числа :

.

Якщо порівняти цю рівність із рядами Тейлора для синуса й косинуса, можна отримати формулу Ейлера: .

Частковим випадком цього рівняння є тотожність Ейлера: , яку іноді називають найкрасивішим математичним рівнянням. Звідси також виводиться, що .

Вираз іноді позначають як .

Теорія чисел Редагувати

Число  — ірраціональне й навіть трансцендентне. Це перше число, яке не було виведено як трансцендентне спеціально, його трансцендентність була доведена тільки в 1873 році Шарлем Ермітом. Передбачається, що  — нормальне число, тобто ймовірність появи в ньому кожної з десяти цифр однакова.

Міра ірраціональності числа дорівнює (це найменше можливе значення для ірраціональних чисел).

Теорія ймовірностей Редагувати

Нормальний розподіл характеризується густиною ймовірностей :

.

Нормальним розподілом зазвичай описуються випадкові величини, що залежать від великої кількості параметрів, кожен з яких відіграє незначну роль. Цьому розподілу підкоряються зріст людей, коефіцієнт інтелекту, похибка вимірювань тощо.

Інше Редагувати

  • Число є обчислюваним, а отже і арифметичним.
  • Число  — єдине число, для якого для всіх .
  • Число використовується у формулі Стірлінга для наближенного обчислення факторіалу:

З цього також випливає, що

Застосування Редагувати

Складні відсотки Редагувати

Ефект від заробітку 20 % річних від початкового інвестування в $1,000 із різною частотою нарахування

Якоб Бернуллі відкрив цю константу у 1683 р. при вивченні задач пов'язаних із складними відсотками:

Якщо відсотки кредитуються двічі на рік, частота наростання відсотків за кожні 6 місяців становитиме 50 %, тому початковий вклад в $1 буде помножуватися на 1,5 двічі, що в результаті становитиме $1,00 × 1,52 = $2,25 на кінець року. Нарахування поквартально призведе до $1,00 × 1,254 = $2,4414…, а нарахування щомісяця дасть в результаті $1,00 × (1 + 1/12)12 = $2,613035… Якби було n інтервалів нарахування, відсоток за кожен інтервал визначався би як 100 %/n а значення на кінець року було б $1,00×(1 + 1/n)n.

Бернуллі встановив, що ця послідовність із збільшенням n наближається до границі (інтенсивність відсотка) і, таким чином до менших інтервалів нарахування. Інтервал в тиждень (n = 52) дає значення в $2,692597…, водночас інтервал у день (n = 365) дає $2,714567…, лише на два центи більше. Отже, границя при зростанні n є числом, яке згодом стало відоме як ; для неперервного нарахування, рахунок становитиме $2,7182818…

Якщо узагальнити, рахунок, що має на початку вклад $1 під відсотків на рік, після років матиме доларів при неперервному нарахуванні. (Тут десятковий еквівалент частоти наростання відсотків, що виражається в цілих відсотках, тобто якщо відсоток становить 5 %, то .)

Випробування Бернуллі Редагувати

Графік імовірності P того що не відбудеться жодна з незалежних подій, кожна з яких має імовірність 1/n, після того як уже відбулося n випробувань Бернуллі, а також 1 — P  відносно n . На графіку можна побачити, що із збільшенням n, імовірність виникнення події із шансом 1/n є неможливою після того, як n спроб швидко збігаються до 1/e.

Число також має своє застосування у теорії ймовірностей, де воно виникає у такому сенсі, що не є очевидно пов'язаним із експоненційним зростанням. Припустимо, що гравець грає на ігровому автоматі із імовірністю виграшу один із і повторює на ньому спроб виграти. Тоді, для великих (по величині, як-от мільйон) імовірність того, що гравець програє кожну ставку приблизно дорівнює . Для ця імовірність уже приблизно становить .

Це приклад процесу, що називається випробуванням Бернуллі. Кожний раз коли гравець грає у гральний автомат зі слотами, існує лише одна мільйонна шансів виграти. Те, як буде зіграно мільйон разів, моделюють за допомогою біноміального розподілу, який в свою чергу дуже тісно пов'язаний із теоремою про Біном Ньютона. Імовірність виграти разів провівши мільйон спроб становить

Зокрема, імовірність виграти нуль разів () становить

Це дуже близько до границі

Перестановки Редагувати

Іншим застосуванням числа , яке також відкрив Якоб Бернуллі разом із П'єром де Монмором, — це задача безладу, що також відома як задача переплутаних капелюхів: на вечірку було запрошено гостей, на вході кожен з гостей віддає вій капелюх дворецькому, який розкладає їх по ящиках, на кожному з яких відмічено ім'я гостя. Але дворецький не знає цих гостей по іменам, і тому розкладає капелюхи по ящиках навмання. Задачею Монмора є дізнатися, із якою ймовірністю жоден із капелюхів не буде покладено у правильний ящик. Відповідь буде такою:

З тим як кількість гостей n зростатиме до нескінченності, наближатиметься до . Крім того, кількість різних способів, при яких капелюхи будуть розкладені по ящиках, так що жоден не опиниться на правильному місці становить , що округлюється до найближчого цілого, для кожного додатного числа .

Задачі оптимального планування Редагувати

Палицю із довжиною розламали на рівних частин. Значення числа яке максимізує добуток довжин тоді становитиме, або

Такий результат отримано тому, що максимальне значення буде існувати при . Величина є мірою інформації, що відповідає події, яка виникає із імовірністю , тож по суті такий самий оптимальний поділ випливає і в задачах оптимального планування, таких як, наприклад, задача вибору.

Асимптоти Редагувати

Число природним чином зустрічається в багатьох задачах пов'язаних із асимптотами. Наприклад, в Формулі Стірлінґа для асимптоти функції факторіалу, в якій присутні два числа і :

І внаслідок

Стандартний нормальний розподіл Редагувати

Нормальний розподіл із нульовим середнім і одиничною дисперсією називають стандартним нормальним розподілом, і описується він за допомогою наступної функції густини ймовірностей

Умова щодо одиничної дисперсії (а таким чином і одиничного стандартного відхилення) призводить до появи дробу у експоненті, як наслідок обмеження, що загальна площа під кривою дорівнює одиниці в результаті приводить до появи множника (доведення). Ця функція є симетричною довкола , де вона приймає своє максимальне значення , і має точку перегину при .

Примітки Редагувати

  1. Oxford English Dictionary, 2nd ed.: natural logarithm [ 16 серпня 2016 у Wayback Machine.]
  2. Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D
  3. Jerrold E. Marsden, Alan Weinstein (1985). Calculus. Springer. ISBN 978-0387909745. 
  4. ↑ O'Connor, J J; Robertson, E F. The number e. MacTutor History of Mathematics. Архів оригіналу за 11 лютого 2012. Процитовано 26 січня 2019. 
  5. 5 Seriously Mind-Boggling Math Facts [ 21 жовтня 2016 у Wayback Machine.](англ.)
  6. Weisstein, Eric W. Міра ірраціональності(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  7. Grinstead, C.M. and Snell, J.L.Introduction to probability theory [ 27 липня 2011 у Wayback Machine.] (published online under the GFDL), p. 85.
  8. Knuth (1997) The Art of Computer Programming Volume I, Addison-Wesley, p. 183 ISBN 0-201-03801-3.
  9. Steven Finch (2003). Mathematical constants. Cambridge University Press. с. 14. 

Посилання Редагувати

Література Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Chislo e fundamentalna matematichna konstanta sho ye osnovoyu naturalnih logarifmiv chislo naturalnij logarifm yakogo dorivnyuye odinici Jogo znachennya priblizno dorivnyuye 2 71828 1 i ye graniceyu dlya lim n 1 1 n n displaystyle lim n to infty left 1 frac 1 n right n pri tomu yak n pryamuye do neskinchennosti Cej viraz bere pochatok iz vivchennya skladnih vidsotkiv Ce chislo takozh mozhna rozrahuvati yak sumu neskinchennogo ryadu 2 Grafik funkciyi y 1 x displaystyle y 1 x Tut e displaystyle e ce unikalne chislo yake bilshe nizh 1 pri yakomu plosha zafarbovanoyi oblasti dorivnyuye 1 e displaystyle e ce chislo pri yakomu pohidna inshimi slovami tangens kuta nahilu dotichnoyi pokaznikovoyi funkciyi f x a x displaystyle f x a x sinya kriva v tochci x 0 displaystyle x 0 v tochnosti dorivnyuye 1 Dlya porivnyannya pokazani funkciyi 2 x displaystyle 2 x tochkova kriva ta 4 x displaystyle 4 x punktirna kriva tangens nahilu yihnoyi dotichnoyi vidminnij vid 1 cya dotichna namalovana chervonim e n 0 1 n 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 displaystyle e displaystyle sum limits n 0 infty dfrac 1 n frac 1 1 frac 1 1 frac 1 1 cdot 2 frac 1 1 cdot 2 cdot 3 cdots Cyu konstantu mozhna harakterizuvati bagatma sposobami Napriklad e displaystyle e mozhna viznachiti yak unikalne dodatne chislo a displaystyle a take sho grafik funkciyi y a x displaystyle y a x maye odinichnij kutovij koeficiyent v tochci x 0 displaystyle x 0 3 Funkciya f x e x displaystyle f x e x nazivayetsya naturalnoyu pokaznikovoyu funkciyeyu i ye yedinoyu pokaznikovoyu funkciyeyu yaka dorivnyuye svoyij vlasnij pohidnij Naturalnij logarifm abo logarifm z osnovoyu e displaystyle e ye obernenoyu funkciyeyu dlya naturalnoyi pokaznikovoyi funkciyi Naturalnij logarifm chisla k gt 1 displaystyle k gt 1 mozhna viznachiti napryamu yak ploshu pid krivoyu y 1 x displaystyle y tfrac 1 x mizh znachennyami x 1 displaystyle x 1 i x k displaystyle x k u comu razi e displaystyle e ce take znachennya chisla k displaystyle k dlya yakogo cya plosha dorivnyuvatime odinici div zobrazhennya Inodi chislo e nazivayut chislom Ejlera abo chislom Nepera Vidigraye vazhlivu rol u diferencialnomu j integralnomu chislenni a takozh bagatoh inshih rozdilah matematiki Ale samu konstantu vidkriv shvejcarskij matematik Yakob Bernulli pid chas vivchennya skladnih vidsotkiv 4 Zmist 1 Istoriya 2 Znachennya 3 Oznachennya chisla 4 Vlastivosti chisla 4 1 Integralni i diferencialni rivnyannya 4 2 Kompleksni chisla 4 3 Teoriya chisel 4 4 Teoriya jmovirnostej 4 5 Inshe 5 Zastosuvannya 5 1 Skladni vidsotki 5 2 Viprobuvannya Bernulli 5 3 Perestanovki 5 4 Zadachi optimalnogo planuvannya 5 5 Asimptoti 5 6 Standartnij normalnij rozpodil 6 Primitki 7 Posilannya 8 LiteraturaIstoriya RedaguvatiCe chislo inodi nazivayut neperovim na chest shotlandskogo vchenogo Dzhona Nepera avtora roboti Opis divovizhnoyi tablici logarifmiv 1614 r Prote cya nazva ne zovsim korektna oskilki u nogo logarifm chisla x displaystyle x nbsp dorivnyuvav 10 7 log 1 e x 10 7 displaystyle 10 7 cdot log 1 e left frac x 10 7 right nbsp Vpershe konstanta neyavno z yavilasya v dodatku do perekladu anglijskoyu movoyu vishezaznachenoyi roboti Nepera opublikovanomu v 1618 r Neyavno tomu sho tam mistitsya tilki tablicya naturalnih logarifmiv samu zh konstantu ne viznacheno Shozhe avtorom tablici buv anglijskij matematik Vilyam Otred Samu zh konstantu vpershe viviv shvejcarskij matematik Yakob Bernulli pri sprobi obchisliti znachennya nastupnoyi granici lim n 1 1 n n displaystyle lim n to infty left 1 frac 1 n right n nbsp Cya granicya vinikla vnaslidok rozv yazuvannya zadachi pro skladni vidsotki sproshenij variant yakoyi formulyuyetsya takim chinom Vi kladete na depozit u banku 1 grivnyu pid 100 richnih prichomu vidsotok narahovuyetsya v kinci stroku U rezultati vi otrimayete 2 grivni A yaku sumu vi otrimayete yaksho vidsotki narahovuvatimutsya protyagom roku periodichno napriklad dvichi na rik shokvartalu shomisyacya shotizhnya tosho i vi dokladatimete narahovani vidsotki do depozitu Rozv yazok Yaksho vidsotok narahovuyetsya dvichi na rik to v kinci pershogo periodu vi otrimayete 50 100 2 yaki zrazu zh dodaste do depozitu Vidsotki za druge pivrichchya budut narahovuvatisya vzhe na sumu 1 5 U rezultati v kinci stroku u vas bude 1 0 5 1 1 2 1 1 2 2 displaystyle 1 0 5 1 tfrac 1 2 1 tfrac 1 2 2 nbsp 2 25 grivni Yaksho viplata vidsotkiv bude podilena na 4 odnakovi chastini to vi matimete vidpovidno 1 1 4 4 displaystyle 1 tfrac 1 4 4 nbsp 2 4414 grivni Yaksho viplata bude shomisyachnoyu to rezultat bude 1 1 12 12 displaystyle 1 tfrac 1 12 12 nbsp 2 613035 Dlya dovilnogo n kinceva suma bude 1 1 n n displaystyle 1 tfrac 1 n n nbsp Uzagalnennya ciyeyi zadachi z dovilnoyu vidsotkovoyu stavkoyu p displaystyle p nbsp ta pochatkovoyu sumoyu s displaystyle s nbsp legko zvesti do vzhe nayavnoyi Pershe vidome vikoristannya ciyeyi konstanti de vona poznachalasya literoyu b displaystyle b nbsp zustrichayetsya v listah Gotfrida Lejbnica Hristianu Gyujgensu 1690 i 1691 rr Literu e pochav vikoristovuvati Leonard Ejler v 1727 r a pershoyu publikaciyeyu z ciyeyu literoyu bula jogo robota Mehanika abo Nauka pro ruh vikladena analitichno 1736 r Vidpovidno e inodi nazivayut chislom Ejlera Hocha zgodom deyaki ucheni vikoristovuvali literu s litera e zastosovuvalasya chastishe i v nashi dni ye standartnim poznachennyam Chomu bula vibrana same litera e tochno nevidomo Mozhlivo ce pov yazano z tim sho z neyi pochinayetsya slovo exponential pokaznikovij eksponencialnij Inshe pripushennya polyagaye v tomu sho literi a b c i d vzhe dosit shiroko vikoristovuvalisya v inshih cilyah i e bula pershoyu vilnoyu literoyu Nepravdopodibne pripushennya sho Ejler vibrav e displaystyle e nbsp yak pershu literu v svoyemu prizvishi nim Euler oskilki vin buv duzhe skromnoyu lyudinoyu i zavzhdi pragnuv pidkresliti znachushist praci inshih lyudej Znachennya Redaguvatie displaystyle approx nbsp 2 71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51930Oznachennya chisla RedaguvatiChislo Nepera ye graniceyu poslidovnosti e lim n 1 1 n n 2 718 281828 displaystyle e lim n to infty left 1 1 over n right n approx 2 718281828 nbsp Vikoristavshi formulu binoma Nyutona mozhna otrimati chislovij ryad dlya obchislennya chisla e displaystyle e nbsp lim n 1 1 n n displaystyle lim n to infty left 1 1 over n right n nbsp lim n n 0 1 n 1 1 n n 2 1 n 2 n 3 1 n 3 displaystyle lim n to infty left n choose 0 cdot 1 n choose 1 1 over n n choose 2 1 over n 2 n choose 3 1 over n 3 cdots right nbsp lim n 1 1 1 n n 1 2 n n 1 n 2 1 3 n n 1 n 2 n 3 displaystyle lim n to infty left 1 1 over 1 n over n 1 over 2 n n 1 over n 2 1 over 3 n n 1 n 2 over n 3 cdots right nbsp lim n 1 1 1 1 1 2 1 1 n 1 3 1 1 n 1 2 n displaystyle lim n to infty left 1 1 over 1 cdot 1 1 over 2 left 1 1 over n right 1 over 3 left 1 1 over n right left 1 2 over n right cdots right nbsp 1 1 1 1 2 1 3 displaystyle 1 1 over 1 1 over 2 1 over 3 cdots nbsp Vlastivosti chisla RedaguvatiChislo e displaystyle e nbsp zustrichayetsya malo ne v kozhnij praci z matematiki i fiziki Prichinoyu cogo ye jogo cikavi vlastivosti Integralni i diferencialni rivnyannya Redaguvati Dokladnishe Tablicya integraliv eksponencialnih funkcijPohidna eksponencijnoyi funkciyi dorivnyuye samij funkciyi e x e x displaystyle e x prime e x nbsp Ce same stosuyetsya i pervisnoyi z tochnistyu do konstanti e x d x e x C displaystyle int e x dx e x C nbsp Cherez ce yedinim netrivialnim rozv yazkom diferencialnogo rivnyannya f x f x displaystyle f x f x nbsp ye funkciya ϕ C e x displaystyle phi Ce x nbsp de C displaystyle C nbsp dovilna konstanta funkciya Gausa e x 2 displaystyle e x 2 nbsp maye nastupnu vlastivist e x 2 d x p displaystyle int infty infty e x 2 dx sqrt pi nbsp Bagato inshih integraliv funkcij sho mistyat u sobi eksponentu takozh dayut nespodivano prosti rishennya napriklad 1 e d t t 1 displaystyle int 1 e frac dt t 1 nbsp Kompleksni chisla Redaguvati Eksponencijnu funkciyu mozhna rozklasti v ryad Tejlora dlya bud yakogo kompleksnogo chisla z displaystyle z nbsp e z n 0 1 n z n lim n 1 z n n displaystyle e z sum n 0 infty frac 1 n z n lim n to infty left 1 frac z n right n nbsp Yaksho porivnyati cyu rivnist iz ryadami Tejlora dlya sinusa j kosinusa mozhna otrimati formulu Ejlera e i x cos x i sin x displaystyle e ix cos x i sin x nbsp Chastkovim vipadkom cogo rivnyannya ye totozhnist Ejlera e i p 1 0 displaystyle e i pi 1 0 nbsp yaku inodi nazivayut najkrasivishim matematichnim rivnyannyam 5 Zvidsi takozh vivoditsya sho ln 1 i p displaystyle ln 1 i pi nbsp Viraz cos x i sin x displaystyle cos x i sin x nbsp inodi poznachayut yak cis x displaystyle operatorname cis x nbsp Teoriya chisel Redaguvati Chislo e displaystyle e nbsp irracionalne j navit transcendentne Ce pershe chislo yake ne bulo vivedeno yak transcendentne specialno jogo transcendentnist bula dovedena tilki v 1873 roci Sharlem Ermitom Peredbachayetsya sho e displaystyle e nbsp normalne chislo tobto jmovirnist poyavi v nomu kozhnoyi z desyati cifr odnakova Mira irracionalnosti chisla e displaystyle e nbsp dorivnyuye 2 displaystyle 2 nbsp ce najmenshe mozhlive znachennya dlya irracionalnih chisel 6 Teoriya jmovirnostej Redaguvati Normalnij rozpodil harakterizuyetsya gustinoyu jmovirnostej f x m s 1 s 2 p exp x m 2 2 s 2 displaystyle f x mu sigma frac 1 sigma sqrt 2 pi exp left frac x mu 2 2 sigma 2 right nbsp Normalnim rozpodilom zazvichaj opisuyutsya vipadkovi velichini sho zalezhat vid velikoyi kilkosti parametriv kozhen z yakih vidigraye neznachnu rol Comu rozpodilu pidkoryayutsya zrist lyudej koeficiyent intelektu pohibka vimiryuvan tosho Inshe Redaguvati Chislo e displaystyle e nbsp ye obchislyuvanim a otzhe i arifmetichnim Chislo e displaystyle e nbsp yedine chislo dlya yakogo a x x 1 displaystyle a x geq x 1 nbsp dlya vsih x displaystyle x nbsp Chislo e displaystyle e nbsp vikoristovuyetsya u formuli Stirlinga dlya nablizhennogo obchislennya faktorialu n 2 p n n e n displaystyle n sim sqrt 2 pi n left frac n e right n nbsp Z cogo takozh viplivaye sho e lim n n n n displaystyle e lim n to infty frac n sqrt n n nbsp Zastosuvannya RedaguvatiSkladni vidsotki Redaguvati nbsp Efekt vid zarobitku 20 richnih vid pochatkovogo investuvannya v 1 000 iz riznoyu chastotoyu narahuvannyaYakob Bernulli vidkriv cyu konstantu u 1683 r pri vivchenni zadach pov yazanih iz skladnimi vidsotkami 4 Na rahunku pochatkovo ye 1 00 i shoroku na nogo viplachuyutsya 100 vidsotkiv pributku Yaksho vidsotok kredituyetsya raz na kinec roku rozmir vkladu na rahunku na kinec roku stanovitime 2 00 Sho bude yaksho vidsotok rozrahovuvatimetsya i kredituvatimetsya chastishe nizh raz na rik Yaksho vidsotki kredituyutsya dvichi na rik chastota narostannya vidsotkiv za kozhni 6 misyaciv stanovitime 50 tomu pochatkovij vklad v 1 bude pomnozhuvatisya na 1 5 dvichi sho v rezultati stanovitime 1 00 1 52 2 25 na kinec roku Narahuvannya pokvartalno prizvede do 1 00 1 254 2 4414 a narahuvannya shomisyacya dast v rezultati 1 00 1 1 12 12 2 613035 Yakbi bulo n intervaliv narahuvannya vidsotok za kozhen interval viznachavsya bi yak 100 n a znachennya na kinec roku bulo b 1 00 1 1 n n Bernulli vstanoviv sho cya poslidovnist iz zbilshennyam n nablizhayetsya do granici intensivnist vidsotka i takim chinom do menshih intervaliv narahuvannya Interval v tizhden n 52 daye znachennya v 2 692597 vodnochas interval u den n 365 daye 2 714567 lishe na dva centi bilshe Otzhe granicya pri zrostanni n ye chislom yake zgodom stalo vidome yak e displaystyle e nbsp dlya neperervnogo narahuvannya rahunok stanovitime 2 7182818 Yaksho uzagalniti rahunok sho maye na pochatku vklad 1 pid R displaystyle R nbsp vidsotkiv na rik pislya t displaystyle t nbsp rokiv matime e R t displaystyle e Rt nbsp dolariv pri neperervnomu narahuvanni Tut R displaystyle R nbsp desyatkovij ekvivalent chastoti narostannya vidsotkiv sho virazhayetsya v cilih vidsotkah tobto yaksho vidsotok stanovit 5 to R 5 100 0 05 displaystyle R 5 100 0 05 nbsp Viprobuvannya Bernulli Redaguvati nbsp Grafik imovirnosti P togo sho ne vidbudetsya zhodna z nezalezhnih podij kozhna z yakih maye imovirnist 1 n pislya togo yak uzhe vidbulosya n viprobuvan Bernulli a takozh 1 P vidnosno n Na grafiku mozhna pobachiti sho iz zbilshennyam n imovirnist viniknennya podiyi iz shansom 1 n ye nemozhlivoyu pislya togo yak n sprob shvidko zbigayutsya do 1 e Chislo e displaystyle e nbsp takozh maye svoye zastosuvannya u teoriyi jmovirnostej de vono vinikaye u takomu sensi sho ne ye ochevidno pov yazanim iz eksponencijnim zrostannyam Pripustimo sho gravec graye na igrovomu avtomati iz imovirnistyu vigrashu odin iz n displaystyle n nbsp i povtoryuye na nomu n displaystyle n nbsp sprob vigrati Todi dlya velikih n displaystyle n nbsp po velichini yak ot miljon imovirnist togo sho gravec prograye kozhnu stavku priblizno dorivnyuye 1 e displaystyle 1 e nbsp Dlya n 20 displaystyle n 20 nbsp cya imovirnist uzhe priblizno stanovit 1 2 79 displaystyle 1 2 79 nbsp Ce priklad procesu sho nazivayetsya viprobuvannyam Bernulli Kozhnij raz koli gravec graye u gralnij avtomat zi slotami isnuye lishe odna miljonna shansiv vigrati Te yak bude zigrano miljon raziv modelyuyut za dopomogoyu binomialnogo rozpodilu yakij v svoyu chergu duzhe tisno pov yazanij iz teoremoyu pro Binom Nyutona Imovirnist vigrati k displaystyle k nbsp raziv provivshi miljon sprob stanovit 10 6 k 10 6 k 1 10 6 10 6 k displaystyle binom 10 6 k left 10 6 right k 1 10 6 10 6 k nbsp Zokrema imovirnist vigrati nul raziv k 0 displaystyle k 0 nbsp stanovit 1 1 10 6 10 6 displaystyle left 1 frac 1 10 6 right 10 6 nbsp Ce duzhe blizko do granici lim n 1 1 n n 1 e displaystyle lim n to infty left 1 frac 1 n right n frac 1 e nbsp Perestanovki Redaguvati Dokladnishe Bezlad perestanovka Inshim zastosuvannyam chisla e displaystyle e nbsp yake takozh vidkriv Yakob Bernulli razom iz P yerom de Monmorom ce zadacha bezladu sho takozh vidoma yak zadacha pereplutanih kapelyuhiv 7 na vechirku bulo zaprosheno n displaystyle n nbsp gostej na vhodi kozhen z gostej viddaye vij kapelyuh dvoreckomu yakij rozkladaye yih po n displaystyle n nbsp yashikah na kozhnomu z yakih vidmicheno im ya gostya Ale dvoreckij ne znaye cih gostej po imenam i tomu rozkladaye kapelyuhi po yashikah navmannya Zadacheyu Monmora ye diznatisya iz yakoyu jmovirnistyu zhoden iz kapelyuhiv ne bude pokladeno u pravilnij yashik Vidpovid bude takoyu p n 1 1 1 1 2 1 3 1 n n k 0 n 1 k k displaystyle p n 1 frac 1 1 frac 1 2 frac 1 3 cdots frac 1 n n sum k 0 n frac 1 k k nbsp Z tim yak kilkist gostej n zrostatime do neskinchennosti p n displaystyle p n nbsp nablizhatimetsya do 1 e displaystyle tfrac 1 e nbsp Krim togo kilkist riznih sposobiv pri yakih kapelyuhi budut rozkladeni po yashikah tak sho zhoden ne opinitsya na pravilnomu misci stanovit n e displaystyle n e nbsp sho okruglyuyetsya do najblizhchogo cilogo dlya kozhnogo dodatnogo chisla n displaystyle n nbsp 8 Zadachi optimalnogo planuvannya Redaguvati Palicyu iz dovzhinoyu L displaystyle L nbsp rozlamali na n displaystyle n nbsp rivnih chastin Znachennya chisla n displaystyle n nbsp yake maksimizuye dobutok dovzhin todi stanovitime abo 9 n L e abo L e 1 displaystyle n lfloor L e rfloor text abo lfloor L e rfloor 1 nbsp Takij rezultat otrimano tomu sho maksimalne znachennya x 1 ln x displaystyle x 1 ln x nbsp bude isnuvati pri x e displaystyle x e nbsp Velichina x 1 ln x displaystyle x 1 ln x nbsp ye miroyu informaciyi sho vidpovidaye podiyi yaka vinikaye iz imovirnistyu 1 x displaystyle 1 x nbsp tozh po suti takij samij optimalnij podil viplivaye i v zadachah optimalnogo planuvannya takih yak napriklad zadacha viboru Asimptoti Redaguvati Chislo e displaystyle e nbsp prirodnim chinom zustrichayetsya v bagatoh zadachah pov yazanih iz asimptotami Napriklad v Formuli Stirlinga dlya asimptoti funkciyi faktorialu v yakij prisutni dva chisla e displaystyle e nbsp i p displaystyle pi nbsp n 2 p n n e n displaystyle n sim sqrt 2 pi n left frac n e right n nbsp I vnaslidok e lim n n n n displaystyle e lim n to infty frac n sqrt n n nbsp Standartnij normalnij rozpodil Redaguvati Dokladnishe Normalnij rozpodilNormalnij rozpodil iz nulovim serednim i odinichnoyu dispersiyeyu nazivayut standartnim normalnim rozpodilom i opisuyetsya vin za dopomogoyu nastupnoyi funkciyi gustini jmovirnostej ϕ x 1 2 p e 1 2 x 2 displaystyle phi x frac 1 sqrt 2 pi e frac scriptscriptstyle 1 scriptscriptstyle 2 x 2 nbsp Umova shodo odinichnoyi dispersiyi a takim chinom i odinichnogo standartnogo vidhilennya prizvodit do poyavi drobu 1 2 displaystyle tfrac 1 2 nbsp u eksponenti yak naslidok obmezhennya sho zagalna plosha pid krivoyu ϕ x displaystyle phi x nbsp dorivnyuye odinici v rezultati privodit do poyavi mnozhnika 1 2 p displaystyle tfrac 1 sqrt 2 pi nbsp dovedennya Cya funkciya ye simetrichnoyu dovkola x 0 displaystyle x 0 nbsp de vona prijmaye svoye maksimalne znachennya 1 2 p displaystyle tfrac 1 sqrt 2 pi nbsp i maye tochku pereginu pri x 1 displaystyle x pm 1 nbsp Primitki Redaguvati Oxford English Dictionary 2nd ed natural logarithm Arhivovano 16 serpnya 2016 u Wayback Machine Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142 D Jerrold E Marsden Alan Weinstein 1985 Calculus Springer ISBN 978 0387909745 a b O Connor J J Robertson E F The number e MacTutor History of Mathematics Arhiv originalu za 11 lyutogo 2012 Procitovano 26 sichnya 2019 5 Seriously Mind Boggling Math Facts Arhivovano 21 zhovtnya 2016 u Wayback Machine angl Weisstein Eric W Mira irracionalnosti angl na sajti Wolfram MathWorld Grinstead C M and Snell J L Introduction to probability theory Arhivovano 27 lipnya 2011 u Wayback Machine published online under the GFDL p 85 Knuth 1997 The Art of Computer Programming Volume I Addison Wesley p 183 ISBN 0 201 03801 3 Steven Finch 2003 Mathematical constants Cambridge University Press s 14 Posilannya RedaguvatiChislo e do miljonnogo znaku Arhivovano 26 veresnya 2007 u Wayback Machine ta 2 i 5 miljonnogo znakiv Arhivovano 24 lyutogo 2008 u Wayback Machine Literatura RedaguvatiGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2023 1100 s ukr Otrimano z https uk wikipedia org w index php title E chislo amp oldid 40456104