Біно́м Ньютона (двочлен Ньютона) — вираз вигляду (a+b)n. Біном розкладається в суму одночленів, які є добутками деяких степенів його доданків a і b. В шкільній програмі вивчається формула бінома Ньютона із степенями n=2 та 3:
Спробуємо розкласти (a+b)n в многочлен у загальному випадку n. Запишемо його у вигляді добутку, пронумерувавши дужки:
Кожний доданок містить n множників: k множників a і (n-k) множників b, тобто має вигляд akbn-k, де k≤n, k≥0. Кожний такий доданок взаємно однозначно відповідає підмножині номерів дужок, з яких для утворення цього доданка, бралися множники a. Таким чином, доданків рівно стільки, скільки таких підмножин. В комбінаториці це число називається числом комбінацій з n по k і позначається або . Отже,
Коефіцієнти при називаються біноміальними, оскільки записуються в розкладі бінома (a+b)n.
Біноміальні коефіцієнти мають очевидну властивість симетрії:
Розглянемо окремі випадки бінома Ньютона:
- при b=1 маємо :,
- при a=b=1 маємо :,
- при a= −1, b=1 маємо :.
Запишемо біноміальні коефіцієнти для початкових значень n=0, 1, …, 5 у трикутну таблицю (трикутник Паскаля):
З таблиці видно, що кожний елемент, який не є першим у своєму рядку, є сумою елемента над ним і елемента, розташованого над ним і ліворуч:
Доведення цього факту можливе методом математичної індукції.
Див. також Редагувати
Додаткова література Редагувати
- И. И. Ежов, А. В. Скороход, М. И. Ядренко. Элементы комбинаторики. Москва: Наука, 1977. — 80 с.
- Вилекин Н. Я. Комбинаторика. Ленинград: Наука, 1969. — 328 с.
Посилання Редагувати
- БИНОМ НЬЮТОНА И ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ [ 9 грудня 2008 у Wayback Machine.]
- Комбинаторика и бином Ньютона [ 22 червня 2010 у Wayback Machine.]