www.wikidata.uk-ua.nina.az

Стала Апері Ста ла Апері англ Apéry s constant фр Constante d Apéry дійсне число що позначається ζ 3 displaystyle zeta 3

Стала Апері

Ста́ла Апері́ (англ. Apéry's constant, фр. Constante d'Apéry) — дійсне число, що позначається (іноді ), яке дорівнює сумі обернених до кубів цілих додатних чисел і, отже, є частковим значенням дзета-функції Рімана:

Чисельне значення сталої виражається нескінченним неперіодичним десятковим дробом:

Названа на честь Роже Апері, який довів 1978 року, що є ірраціональним числом (теорема Апері[en]). Початкове доведення мало складний технічний характер, пізніше знайдено простий варіант доведення з використанням многочленів Лежандра. Невідомо, чи є стала Апері трансцендентним числом.

Ця стала давно приваблювала математиків — ще 1735 році Леонард Ейлер обчислив її з точністю до 16 значущих цифр (+1,202056903159594).

Застосування в математиці і фізиці Редагувати

Двопетльова діаграма Фейнмана, результат для якої містить

У математиці стала Апері зустрічається у багатьох застосуваннях. Зокрема, величина, обернена до , дає ймовірність того, що будь-які три випадковим чином вибраних додатних цілих числа будуть взаємно простими — в тому сенсі, що при ймовірність того, що три додатних цілих числа, менших, ніж (і вибраних випадковим чином) будуть взаємно простими, прямує до .

Стала Апері природним чином виникає в низці задач фізики, зокрема в поправках другого (і вище) порядків до аномального магнітного моменту електрона в квантовій електродинаміці. Наприклад, результат для двопетльової діаграми Фейнмана, зображеної на малюнку, дає (тут мається на увазі 4-вимірне інтегрування за імпульсами внутрішніх петель, що містять тільки безмасові віртуальні частинки, а також відповідне нормування, включно зі степенем імпульсу зовнішньої частки ). Інший приклад — двовимірна модель Дебая.

Зв'язок з іншими функціями Редагувати

Стала Апері пов'язана з частковим значенням полігамма-функції другого порядку:

і з'являється в розкладі гамма-функції в ряд Тейлора:

де у вигляді факторизуються внески, що містять сталу Ейлера — Маскероні .

Стала Апері також пов'язана зі значеннями трилогарифма (частковий випадок полілогарифма ):

Подання у вигляді рядів Редагувати

Деякі інші ряди, члени яких обернені кубів натуральних чисел, також виражаються через сталу Апері:

Інші відомі результати — сума ряду, що містить гармонічні числа :

а також подвійна сума:

Для доведення ірраціональності Роже Апері користувався поданням:

де  — біноміальний коефіцієнт.

1773 року Леонард Ейлер навів подання у вигляді ряду (яке згодом було кілька разів заново відкрито в інших роботах):

у якому значення дзета-функції Рімана парних аргументів можна подати як , де  — числа Бернуллі.

Рамануджан дав кілька подань у вигляді рядів, які чудові тим, що вони забезпечують кілька нових значущих цифр на кожній ітерації. Серед них:

Саймон Плафф[en] отримав ряди іншого типу:

а також аналогічні подання для інших сталих .

Отримано й інші подання у вигляді рядів, зокрема:

Деякі з цих подань використано для обчислення сталої Апері з багатьма мільйонами значущих цифр.

1998 року отримано подання у вигляді ряду, яке дає можливість обчислити довільний біт сталої Апері.

Подання у вигляді інтегралів Редагувати

Існує також багато різних інтегральних подань для сталої Апері, починаючи від тривіальних формул на зразок

або

які випливають із найпростіших інтегральних визначень дзета-функції Рімана, до досить складних, таких, як

Ланцюгові дроби Редагувати

Ланцюговий дріб для сталої Апері (послідовність A013631 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) має такий вигляд:

Перший узагальнений ланцюговий дріб для сталої Апері, що має закономірність, відкрили незалежно Стілтьєс і Рамануджан:

Його можна перетворити до вигляду:

Апері зміг прискорити збіжність ланцюгового дробу для сталої:

Обчислення десяткових цифр Редагувати

Число відомих значущих цифр сталої Апері значно зросло за останні десятиліття завдяки як збільшенню комп'ютерних потужностей, так і поліпшенню алгоритмів.

Кількість відомих значущих цифр сталої Апері
Дата Кількість значущих цифр Автори обчислення
1735 16 Леонард Ейлер
1887 32 Томас Йоанес Стілтьєс
1996 520,000 Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997 1,000,000 Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
1997, травень 10,536,006 Patrick Demichel
1998, лютий 14,000,074 Sebastian Wedeniwski
1998, березень 32,000,213 Sebastian Wedeniwski
1998, липень 64,000,091 Sebastian Wedeniwski
1998, грудень 128,000,026 Sebastian Wedeniwski
2001, вересень 200,001,000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2002, лютий 600,001,000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2003, лютий 1,000,000,000 Patrick Demichel & Xavier Gourdon
2006, квітень 10,000,000,000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2009, січень 15,510,000,000 Alexander J. Yee & Raymond Chan
2009, березень 31,026,000,000 Alexander J. Yee & Raymond Chan
2010, вересень 100,000,001,000 Alexander J. Yee
2013, вересень 200 000 001 000 Robert J. Setti
2015, серпень 250 000 000 000 Ron Watkins
2015, грудень 400 000 000 000 Dipanjan Nag
2017, серпень 500 000 000 000 Ron Watkins
2019, травень 1 000 000 000 000 Ian Cutress
2020, липень 1 200 000 000 000 Seungmin Kim

Інші значення дзета-функції в непарних точках Редагувати

Існує багато досліджень, присвячених іншим значенням дзета-функції Рімана в непарних точках при . Зокрема, в роботах Вадима Зуділіна[en] і Тангая Рівоаля показано, що ірраціональними є нескінченна множина чисел , а також що принаймні одне з чисел , , , або є ірраціональним.

Примітки Редагувати

  1. Simon Plouffe. (HTML) (English). Архів оригіналу за 5 лютого 2008. Процитовано 8 лютого 2011. 
  2. ↑ Roger Apéry (1979). Irrationalité de ζ(2) et ζ(3). Astérisque (French) 61: 11–13. 
  3. A. van der Poorten (1979). (PDF). The Mathematical Intelligencer (English) 1: 195–203. doi:10.1007/BF03028234. Архів оригіналу за 6 липня 2011. Процитовано 8 лютого 2011. 
  4. ↑ Leonhard Euler (1741). Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13 октября 1735) (PDF). Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (Latin) 8: 173–204. Процитовано 9 лютого 2011. 
  5. ↑ Leonhard Euler (translation by Jordan Bell, 2008). Finding the sum of any series from a given general term (PDF). arXiv:0806.4096 (English). Процитовано 9 лютого 2011. 
  6. Leonhard Euler (1773). Exercitationes analyticae (PDF). Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (Latin) 17: 173–204. Процитовано 8 лютого 2011. 
  7. Bruce C. Berndt (1989). Ramanujan's notebooks, Part II. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96794-3. Процитовано 8 лютого 2011. 
  8. D. J. Broadhurst (1998). Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5) (PDF). arXiv (math.CA/9803067). Процитовано 8 лютого 2011. 
  9. Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления (7-ое изд.), с. 769. Наука, Москва, 1969
  10. Johan Ludwig William Valdemar Jensen. Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver. L'Intermédiaire des mathématiciens, tome II, pp. 346—347, 1895.
  11. F. Beukers A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3). Bull. London Math. Soc. 11, pp. 268—272, 1979.
  12. Iaroslav V. Blagouchine Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, pp. 21-110, 2014. PDF
  13. Steven R. Finch Mathematical Constants 1.6.6
  14. van der Poorten, Alfred (1979). . The Mathematical Intelligencer 1 (4): 195–203. doi:10.1007/BF03028234. Архів оригіналу за 6 липня 2011. Процитовано 22 червня 2021. 
  15. X. Gourdon & P. Sebah. Constants and Records of Computation (HTML). numbers.computation.free.fr. Процитовано 8 лютого 2011. 
  16. Sebastian Wedeniwski (2001). The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places. Project Gutenberg. 
  17. Xavier Gourdon & Pascal Sebah (2003). The Apéry's constant: ζ(3) (HTML). Процитовано 8 лютого 2011. 
  18. Alexander J. Yee & Raymond Chan (2009). Large Computations (HTML). Процитовано 8 лютого 2011. 
  19. Alexander J. Yee (2015). Zeta(3) — Apery's Constant (HTML). Процитовано 24 листопада 2018. 
  20. Apéry's Constant | Polymath Collector
  21. T. Rivoal (2000). La fonction zeta de Riemann prend une infnité de valuers irrationnelles aux entiers impairs. Comptes Rendus Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 331: 267–270. 
  22. В. В. Зудилин. Одно из чисел ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) иррационально // УМН. — 2001. — Т. 56, вип. 4(340) (23 жовтня). — С. 149–150.

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Sta la Aperi angl Apery s constant fr Constante d Apery dijsne chislo sho poznachayetsya z 3 displaystyle zeta 3 inodi z 3 displaystyle zeta 3 yake dorivnyuye sumi obernenih do kubiv cilih dodatnih chisel i otzhe ye chastkovim znachennyam dzeta funkciyi Rimana z 3 k 1 1 k 3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 1 4 3 displaystyle zeta 3 sum k 1 infty frac 1 k 3 frac 1 1 3 frac 1 2 3 frac 1 3 3 frac 1 4 3 dots Chiselne znachennya staloyi virazhayetsya neskinchennim neperiodichnim desyatkovim drobom 1 z 3 displaystyle displaystyle zeta 3 1 202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 340 498 881 792 271 555 3 Nazvana na chest Rozhe Aperi yakij doviv 1978 roku sho z 3 displaystyle zeta 3 ye irracionalnim chislom teorema Aperi en 2 3 Pochatkove dovedennya malo skladnij tehnichnij harakter piznishe znajdeno prostij variant dovedennya z vikoristannyam mnogochleniv Lezhandra Nevidomo chi ye stala Aperi transcendentnim chislom Cya stala davno privablyuvala matematikiv she 1735 roci Leonard Ejler 4 5 obchisliv yiyi z tochnistyu do 16 znachushih cifr 1 202056903159594 Zmist 1 Zastosuvannya v matematici i fizici 2 Zv yazok z inshimi funkciyami 3 Podannya u viglyadi ryadiv 4 Podannya u viglyadi integraliv 5 Lancyugovi drobi 6 Obchislennya desyatkovih cifr 7 Inshi znachennya dzeta funkciyi v neparnih tochkah 8 Primitki 9 PosilannyaZastosuvannya v matematici i fizici Redaguvati nbsp Dvopetlova diagrama Fejnmana rezultat dlya yakoyi mistit z 3 displaystyle zeta 3 nbsp U matematici stala Aperi zustrichayetsya u bagatoh zastosuvannyah Zokrema velichina obernena do z 3 displaystyle zeta 3 nbsp daye jmovirnist togo sho bud yaki tri vipadkovim chinom vibranih dodatnih cilih chisla budut vzayemno prostimi v tomu sensi sho pri N displaystyle N to infty nbsp jmovirnist togo sho tri dodatnih cilih chisla menshih nizh N displaystyle textstyle N nbsp i vibranih vipadkovim chinom budut vzayemno prostimi pryamuye do 1 z 3 displaystyle 1 zeta 3 nbsp Stala Aperi prirodnim chinom vinikaye v nizci zadach fiziki zokrema v popravkah drugogo i vishe poryadkiv do anomalnogo magnitnogo momentu elektrona v kvantovij elektrodinamici Napriklad rezultat dlya dvopetlovoyi diagrami Fejnmana zobrazhenoyi na malyunku daye 6 z 3 displaystyle 6 zeta 3 nbsp tut mayetsya na uvazi 4 vimirne integruvannya za impulsami vnutrishnih petel sho mistyat tilki bezmasovi virtualni chastinki a takozh vidpovidne normuvannya vklyuchno zi stepenem impulsu zovnishnoyi chastki k displaystyle k nbsp Inshij priklad dvovimirna model Debaya Zv yazok z inshimi funkciyami RedaguvatiStala Aperi pov yazana z chastkovim znachennyam poligamma funkciyi drugogo poryadku z 3 1 2 ps 2 1 displaystyle zeta 3 tfrac 1 2 psi 2 1 nbsp i z yavlyayetsya v rozkladi gamma funkciyi v ryad Tejlora G 1 e e g e 1 1 12 p 2 e 2 1 3 z 3 e 3 O e 4 displaystyle Gamma 1 varepsilon e gamma varepsilon left 1 tfrac 1 12 pi 2 varepsilon 2 tfrac 1 3 zeta 3 varepsilon 3 O varepsilon 4 right nbsp de u viglyadi e g e displaystyle e gamma varepsilon nbsp faktorizuyutsya vneski sho mistyat stalu Ejlera Maskeroni g displaystyle textstyle gamma nbsp Stala Aperi takozh pov yazana zi znachennyami trilogarifma L i 3 z displaystyle mathrm Li 3 z nbsp chastkovij vipadok polilogarifma L i n z displaystyle mathrm Li n z nbsp L i 3 1 z 3 displaystyle mathrm Li 3 1 zeta 3 nbsp L i 3 1 2 1 6 ln 2 3 1 12 p 2 ln 2 7 8 z 3 displaystyle mathrm Li 3 left tfrac 1 2 right tfrac 1 6 ln 2 3 tfrac 1 12 pi 2 ln 2 tfrac 7 8 zeta 3 nbsp Podannya u viglyadi ryadiv RedaguvatiDeyaki inshi ryadi chleni yakih oberneni kubiv naturalnih chisel takozh virazhayutsya cherez stalu Aperi z 3 4 3 k 1 1 k 1 k 3 4 3 1 1 2 3 1 3 3 1 4 3 displaystyle zeta 3 tfrac 4 3 sum k 1 infty frac 1 k 1 k 3 tfrac 4 3 left 1 frac 1 2 3 frac 1 3 3 frac 1 4 3 cdots right nbsp z 3 8 7 k 0 1 2 k 1 3 8 7 1 1 3 3 1 5 3 1 7 3 displaystyle zeta 3 tfrac 8 7 sum k 0 infty frac 1 2k 1 3 tfrac 8 7 left 1 frac 1 3 3 frac 1 5 3 frac 1 7 3 cdots right nbsp Inshi vidomi rezultati suma ryadu sho mistit garmonichni chisla H k displaystyle textstyle H k nbsp z 3 1 2 k 1 H k k 2 displaystyle zeta 3 tfrac 1 2 sum k 1 infty frac H k k 2 nbsp a takozh podvijna suma z 3 1 2 j 1 k 1 1 j k j k displaystyle zeta 3 tfrac 1 2 sum j 1 infty sum k 1 infty frac 1 jk j k nbsp Dlya dovedennya irracionalnosti z 3 displaystyle zeta 3 nbsp Rozhe Aperi 2 koristuvavsya podannyam z 3 5 2 k 1 1 k 1 k 2 k 3 2 k 5 2 k 1 1 k 1 k 3 2 k k displaystyle zeta 3 tfrac 5 2 sum k 1 infty 1 k 1 frac k 2 k 3 2k tfrac 5 2 sum k 1 infty frac 1 k 1 k 3 binom 2k k nbsp de 2 k k 2 k k 2 displaystyle textstyle binom 2k k frac 2k k 2 nbsp binomialnij koeficiyent 1773 roku Leonard Ejler 6 naviv podannya u viglyadi ryadu yake zgodom bulo kilka raziv zanovo vidkrito v inshih robotah z 3 1 7 p 2 1 4 k 1 z 2 k 2 k 1 2 k 2 2 2 k displaystyle zeta 3 tfrac 1 7 pi 2 left 1 4 sum k 1 infty frac zeta 2k 2k 1 2k 2 2 2k right nbsp u yakomu znachennya dzeta funkciyi Rimana parnih argumentiv mozhna podati yak z 2 k 1 k 1 2 p 2 k B 2 k 2 2 k displaystyle textstyle zeta 2k 1 k 1 2 pi 2k B 2k 2 2k nbsp de B 2 k displaystyle textstyle B 2k nbsp chisla Bernulli Ramanudzhan dav kilka podan u viglyadi ryadiv yaki chudovi tim sho voni zabezpechuyut kilka novih znachushih cifr na kozhnij iteraciyi Sered nih 7 z 3 7 180 p 3 2 k 1 1 k 3 e 2 p k 1 displaystyle zeta 3 tfrac 7 180 pi 3 2 sum k 1 infty frac 1 k 3 e 2 pi k 1 nbsp Sajmon Plaff en otrimav ryadi inshogo tipu z 3 14 k 1 1 k 3 sinh p k 11 2 k 1 1 k 3 e 2 p k 1 7 2 k 1 1 k 3 e 2 p k 1 displaystyle zeta 3 14 sum k 1 infty frac 1 k 3 sinh pi k tfrac 11 2 sum k 1 infty frac 1 k 3 e 2 pi k 1 tfrac 7 2 sum k 1 infty frac 1 k 3 e 2 pi k 1 nbsp a takozh analogichni podannya dlya inshih stalih z 2 n 1 displaystyle zeta 2n 1 nbsp Otrimano j inshi podannya u viglyadi ryadiv zokrema z 3 1 4 k 1 1 k 1 56 k 2 32 k 5 k 1 3 2 k 1 2 3 k displaystyle zeta 3 tfrac 1 4 sum k 1 infty 1 k 1 frac 56k 2 32k 5 k 1 3 2k 1 2 3k nbsp z 3 8 7 8 7 k 1 1 k 2 5 12 k k 3 9 k 148 k 2 432 k 3 2688 k 4 7168 k 5 k 3 1 2 k 6 1 2 k 3 3 k 1 4 k 3 displaystyle zeta 3 tfrac 8 7 tfrac 8 7 sum k 1 infty frac left 1 right k 2 5 12 k k left 3 9 k 148 k 2 432 k 3 2688 k 4 7168 k 5 right k 3 left 1 2 k right 6 left 1 2 k right 3 left 3 k right left 1 4 k right 3 nbsp z 3 1 64 k 0 1 k 205 k 2 250 k 77 k 10 2 k 1 5 displaystyle zeta 3 tfrac 1 64 sum k 0 infty 1 k frac 205k 2 250k 77 cdot k 10 2k 1 5 nbsp z 3 1 24 k 0 1 k 2 k 1 2 k k 3 126392 k 5 412708 k 4 531578 k 3 336367 k 2 104000 k 12463 3 k 2 4 k 3 3 displaystyle zeta 3 tfrac 1 24 sum k 0 infty 1 k frac 2k 1 2k k 3 126392k 5 412708k 4 531578k 3 336367k 2 104000k 12463 3k 2 cdot 4k 3 3 nbsp Deyaki z cih podan vikoristano dlya obchislennya staloyi Aperi z bagatma miljonami znachushih cifr 1998 roku otrimano podannya u viglyadi ryadu 8 yake daye mozhlivist obchisliti dovilnij bit staloyi Aperi Podannya u viglyadi integraliv RedaguvatiIsnuye takozh bagato riznih integralnih podan dlya staloyi Aperi pochinayuchi vid trivialnih formul na zrazok z 3 1 2 0 x 2 e x 1 d x 2 3 0 x 2 e x 1 d x displaystyle zeta 3 frac 1 2 int limits 0 infty frac x 2 e x 1 dx frac 2 3 int limits 0 infty frac x 2 e x 1 dx nbsp abo z 3 0 1 ln x ln 1 x x d x displaystyle zeta 3 int limits 0 1 frac ln x ln 1 x x dx nbsp yaki viplivayut iz najprostishih integralnih viznachen dzeta funkciyi Rimana 9 do dosit skladnih takih yak z 3 p 0 cos 2 a r c t g x x 2 1 c h 1 2 p x 2 d x displaystyle zeta 3 pi int limits 0 infty frac cos 2 mathrm arctg x left x 2 1 right big mathrm ch big frac 1 2 pi x big big 2 dx qquad nbsp Jogan Yensen ru 10 z 3 1 2 0 1 0 1 ln x y 1 x y d x d y displaystyle zeta 3 frac 1 2 int limits 0 1 int limits 0 1 frac ln xy 1 xy dx dy qquad nbsp Frits Bekers en 11 z 3 8 p 2 7 0 1 x x 4 4 x 2 1 ln ln 1 x 1 x 2 4 d x displaystyle zeta 3 frac 8 pi 2 7 int limits 0 1 frac x left x 4 4x 2 1 right ln ln frac 1 x 1 x 2 4 dx qquad nbsp Yaroslav Blagushin 12 Lancyugovi drobi RedaguvatiLancyugovij drib dlya staloyi Aperi poslidovnist A013631 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS maye takij viglyad z 3 1 4 1 18 1 1 1 4 1 9 9 2 1 1 1 2 7 1 1 7 11 1 1 1 displaystyle zeta 3 1 4 1 18 1 1 1 4 1 9 9 2 1 1 1 2 7 1 1 7 11 1 1 1 cdots nbsp 1 1 4 1 1 1 18 1 1 displaystyle 1 cfrac 1 4 cfrac 1 1 cfrac 1 18 cfrac 1 1 ldots nbsp Pershij uzagalnenij lancyugovij drib dlya staloyi Aperi sho maye zakonomirnist vidkrili nezalezhno Stiltyes i Ramanudzhan z 3 1 1 4 1 3 1 1 3 12 2 3 1 2 3 20 3 3 1 3 3 28 n 3 1 n 3 4 2 n 1 displaystyle zeta 3 1 cfrac 1 4 cfrac 1 3 1 cfrac 1 3 12 cfrac 2 3 1 cfrac 2 3 20 cfrac 3 3 1 cfrac 3 3 28 cfrac dots dots cfrac n 3 1 cfrac n 3 4 2n 1 dots nbsp Jogo mozhna peretvoriti do viglyadu z 3 1 1 5 1 6 21 2 6 55 3 6 119 4 6 225 n 6 2 n 3 3 n 2 11 n 5 displaystyle zeta 3 1 cfrac 1 5 cfrac 1 6 21 cfrac 2 6 55 cfrac 3 6 119 cfrac 4 6 225 cfrac dots dots cfrac n 6 2n 3 3n 2 11n 5 dots nbsp Aperi zmig priskoriti zbizhnist lancyugovogo drobu dlya staloyi z 3 6 5 1 6 117 2 6 535 3 6 1436 4 6 3105 n 6 34 n 3 51 n 2 27 n 5 displaystyle zeta 3 frac 6 5 cfrac 1 6 117 cfrac 2 6 535 cfrac 3 6 1436 cfrac 4 6 3105 cfrac dots dots cfrac n 6 34n 3 51n 2 27n 5 dots nbsp 13 14 Obchislennya desyatkovih cifr RedaguvatiChislo vidomih znachushih cifr staloyi Aperi z 3 displaystyle zeta 3 nbsp znachno zroslo za ostanni desyatilittya zavdyaki yak zbilshennyu komp yuternih potuzhnostej tak i polipshennyu algoritmiv 15 Kilkist vidomih znachushih cifr staloyi Aperi z 3 displaystyle zeta 3 nbsp Data Kilkist znachushih cifr Avtori obchislennya1735 16 Leonard Ejler 4 5 1887 32 Tomas Joanes Stiltyes1996 520 000 Greg J Fee amp Simon Plouffe1997 1 000 000 Bruno Haible amp Thomas Papanikolaou1997 traven 10 536 006 Patrick Demichel1998 lyutij 14 000 074 Sebastian Wedeniwski1998 berezen 32 000 213 Sebastian Wedeniwski1998 lipen 64 000 091 Sebastian Wedeniwski1998 gruden 128 000 026 Sebastian Wedeniwski 16 2001 veresen 200 001 000 Shigeru Kondo amp Xavier Gourdon2002 lyutij 600 001 000 Shigeru Kondo amp Xavier Gourdon2003 lyutij 1 000 000 000 Patrick Demichel amp Xavier Gourdon2006 kviten 10 000 000 000 Shigeru Kondo amp Steve Pagliarulo 17 2009 sichen 15 510 000 000 Alexander J Yee amp Raymond Chan 18 2009 berezen 31 026 000 000 Alexander J Yee amp Raymond Chan2010 veresen 100 000 001 000 Alexander J Yee 19 2013 veresen 200 000 001 000 Robert J Setti2015 serpen 250 000 000 000 Ron Watkins2015 gruden 400 000 000 000 Dipanjan Nag2017 serpen 500 000 000 000 Ron Watkins2019 traven 1 000 000 000 000 Ian Cutress2020 lipen 1 200 000 000 000 Seungmin Kim 20 Inshi znachennya dzeta funkciyi v neparnih tochkah RedaguvatiIsnuye bagato doslidzhen prisvyachenih inshim znachennyam dzeta funkciyi Rimana v neparnih tochkah z 2 n 1 displaystyle zeta 2n 1 nbsp pri n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp Zokrema v robotah Vadima Zudilina en i Tangaya Rivoalya pokazano sho irracionalnimi ye neskinchenna mnozhina chisel z 2 n 1 displaystyle zeta 2n 1 nbsp 21 a takozh sho prinajmni odne z chisel z 5 displaystyle zeta 5 nbsp z 7 displaystyle zeta 7 nbsp z 9 displaystyle zeta 9 nbsp abo z 11 displaystyle zeta 11 nbsp ye irracionalnim 22 Primitki Redaguvati Simon Plouffe Zeta 3 or Apery constant to 2000 places HTML English Arhiv originalu za 5 lyutogo 2008 Procitovano 8 lyutogo 2011 a b Roger Apery 1979 Irrationalite de z 2 et z 3 Asterisque French 61 11 13 A van der Poorten 1979 A proof that Euler missed Apery s proof of the irrationality of z 3 An informal report PDF The Mathematical Intelligencer English 1 195 203 doi 10 1007 BF03028234 Arhiv originalu za 6 lipnya 2011 Procitovano 8 lyutogo 2011 a b Leonhard Euler 1741 Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali 13 oktyabrya 1735 PDF Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae Latin 8 173 204 Procitovano 9 lyutogo 2011 a b Leonhard Euler translation by Jordan Bell 2008 Finding the sum of any series from a given general term PDF arXiv 0806 4096 English Procitovano 9 lyutogo 2011 Leonhard Euler 1773 Exercitationes analyticae PDF Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae Latin 17 173 204 Procitovano 8 lyutogo 2011 Bruce C Berndt 1989 Ramanujan s notebooks Part II Springer Verlag ISBN 978 0 387 96794 3 Procitovano 8 lyutogo 2011 D J Broadhurst 1998 Polylogarithmic ladders hypergeometric series and the ten millionth digits of z 3 and z 5 PDF arXiv math CA 9803067 Procitovano 8 lyutogo 2011 G M Fihtengolc Kurs differencialnogo i integralnogo ischisleniya 7 oe izd s 769 Nauka Moskva 1969 Johan Ludwig William Valdemar Jensen Note numero 245 Deuxieme reponse Remarques relatives aux reponses du MM Franel et Kluyver L Intermediaire des mathematiciens tome II pp 346 347 1895 F Beukers A Note on the Irrationality of z 2 and z 3 Bull London Math Soc 11 pp 268 272 1979 Iaroslav V Blagouchine Rediscovery of Malmsten s integrals their evaluation by contour integration methods and some related results The Ramanujan Journal vol 35 no 1 pp 21 110 2014 PDF Steven R Finch Mathematical Constants 1 6 6 van der Poorten Alfred 1979 A proof that Euler missed Apery s proof of the irrationality of z 3 The Mathematical Intelligencer 1 4 195 203 doi 10 1007 BF03028234 Arhiv originalu za 6 lipnya 2011 Procitovano 22 chervnya 2021 X Gourdon amp P Sebah Constants and Records of Computation HTML numbers computation free fr Procitovano 8 lyutogo 2011 Sebastian Wedeniwski 2001 The Value of Zeta 3 to 1 000 000 places Project Gutenberg accessdate vimagaye url dovidka Xavier Gourdon amp Pascal Sebah 2003 The Apery s constant z 3 HTML Procitovano 8 lyutogo 2011 Alexander J Yee amp Raymond Chan 2009 Large Computations HTML Procitovano 8 lyutogo 2011 Alexander J Yee 2015 Zeta 3 Apery s Constant HTML Procitovano 24 listopada 2018 Apery s Constant Polymath Collector T Rivoal 2000 La fonction zeta de Riemann prend une infnite de valuers irrationnelles aux entiers impairs Comptes Rendus Acad Sci Paris Ser I Math 331 267 270 V V Zudilin Odno iz chisel z 5 z 7 z 9 z 11 irracionalno UMN 2001 T 56 vip 4 340 23 zhovtnya S 149 150 Posilannya RedaguvatiYu I Manin A A Panchishkin I 2 4 Diofantovy priblizheniya i irracionalnost z 3 Vvedenie v teoriyu chisel VINITI 1990 T 49 S 83 89 Itogi nauki i tehniki Seriya Sovremennye problemy matematiki Fundamentalnye napravleniya V Ramaswami 1934 Notes on Riemann s z function J London Math Soc 9 165 169 doi 10 1112 jlms s1 9 3 165 Weisstein Eric W Stala Aperi angl na sajti Wolfram MathWorld Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Stala Aperi amp oldid 37322538