www.wikidata.uk-ua.nina.az

Диференціальне рівняння з частинними похідними також відоме як рівняння математичної фізики диференціальне рівняння що м

Диференціальне рівняння з частинними похідними

Диференціальне рівняння з частинними похідними (також відоме як рівняння математичної фізики) — диференціальне рівняння, що містить невідомі функції декількох змінних і їхні частинні похідні.

Вступ ред.

Розглянемо порівняно просте рівняння з частинними похідними:

З цього співвідношення випливає, що значення функції u(x,y) не залежить від x. Отже, загальний розв'язок рівняння є наступним:

де f — довільна функція змінної y. Аналогічне звичайне диференціальне рівняння має вигляд:

і його розв'язок

де c — довільна константа (незалежна від x). Ці два приклади показують, що загальний розв'язок звичайного диференціального рівняння містить довільні константи, а загальний розв'язок диференціального рівняння з частинними похідними містить довільні функції.

Визначення ред.

Диференціальним рівнянням з частинними похідними називається рівняння виду

де F — задана дійсна функція точки області D евклідового простору і дійсних змінних (u(x) - невідома функція) з невід'ємними цілочисловими індексами і принаймні одна з похідних функції F по змінній, що відповідає найвищому порядку часткових похідних, відмінна від нуля; натуральне число m називається порядком рівняння. Визначена у області D задання рівнянням функція u(x), неперервна разом з своїми частинними похідними, що входять в це рівняння, і що обертає його в тотожність, називається регулярним розв'язком. Разом з регулярними розв'язками в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними важливе значення мають розв'язки, що перестають бути регулярними поблизу ізольованих точок або многовидів особливого вигляду: до них належать зокрема, елементарні (фундаментальні) розв'язки. Вони дозволяють будувати широкі класи регулярних розв'язків (так званих потенціалів) і встановлювати їх структурні і якісні властивості.

У випадку неперервності часткових похідних F відносно змінних (тобто відносно часткових похідних найвищого порядку), важливе значення відіграє форма порядку m:

Дана форма називається характеристичною формою, що відповідає рівнянню з частинними похідними.

Лінійні рівняння ред.

Диференціальне рівняння з частинними похідними називається лінійним, якщо воно лінійне відносно невідомої функції і всіх її частинних похідних, тобто функція F з означення лінійна відносно аргументів

Класифікація рівнянь другого порядку ред.

Лінійне рівняння 2-го порядку має вигляд:

де — задані в області D дійсні функції точки x.

Для лінійного рівняння 2-го порядку характеристична форма є квадратичною:

У кожній точці квадратична форма Q за допомогою невиродженого афінного перетворення змінних , може бути приведена до канонічного виду

де коефіцієнти приймають значення 1, -1, 0, причому число від'ємних коефіцієнтів (індекс інерції) і число нульових коефіцієнтів (дефект форми) є афінними інваріантами.

Коли всі або всі тобто коли форма Q відповідно додатно або від'ємно визначена (дефінітна), рівняння називається еліптичним в точці . Якщо один з коефіцієнтів від'ємний, а всі інші додатні (або навпаки), то рівняння називається гіперболічним в точці х. У випадку коли коефіцієнтів — додатні, а решта n - l від'ємні, рівняння називається ультрагіперболічним. Якщо ж хоча би один з цих коефіцієнтів (але не всі) рівний нулю то рівняння називається параболічним в точці х. Кажуть, що у області визначення D рівняння є рівнянням еліптичного, гіперболічного або параболічного типу, якщо воно відповідно еліптичне, гіперболічне або параболічне у кожній точці цієї області. Еліптичне в області D рівняння називається рівномірно еліптичним, якщо існують дійсні числа і k_1 однакового знаку такі, що

для всіх . Коли в різних частинах області D рівняння належить до різних типів, то воно називається рівнянням змішаного типу в цій області. У випадку лінійного рівняння від двох змінних тип рівняння в точці визначити досить просто. Лінійне рівняння другого порядку, залежне від двох змінних має вигляд:

де A, B, C - коефіцієнти, залежні від змінних x і y, а крапки позначають члени, залежні від x, y, u і часткових похідних першого порядку: і . Це рівняння схоже на рівняння конічного перетину:

Так само, як конічні перетини розділяються на еліпси, параболи і гіперболи, залежно від знаку дискримінанта , класифікуються рівняння другого порядку в заданій точці:

  1. — Гіперболічне рівняння
  2. — Еліптичне рівняння
  3. — Параболічне рівняння (тут передбачається, що в даній точці коефіцієнти A, B, C не рівні одночасно нулю).

У разі, коли всі коефіцієнти A, B, C — сталі, рівняння має один і той же тип в усіх точках площини змінних x і y. У випадку, якщо коефіцієнти A, B, C неперервно залежать від x і y, множини точок, в яких дане рівняння є гіперболічного (еліптичного) типу, утворює на площині відкриту область, що називається гіперболічною (еліптичною), а множина точок, в яких рівняння відноситься до параболічного типа, є замкнутою. Рівняння називається змішаним, якщо в деяких точках площини воно гіперболічне, а в деяких - еліптичне. В цьому випадку параболічні точки, як правило, утворюють лінію, звану лінією зміни типу або лінією виродження.

Існування і єдиність розв'язку ред.

Хоча відповідь на питання про існування і єдиність розв'язку звичайного диференціального рівняння має цілком вичерпну відповідь (теорема Пікара — Лінделефа), для рівняння з частинними похідними однозначної відповіді на це питання немає. Існує загальна теорема (теорема Коші-Ковалевськоі), яка стверджує, що задача Коші для будь-якого рівняння з частинними похідними, аналітичного щодо невідомих функцій і їх похідних має єдиний аналітичний розв'язок. Проте, існують приклади лінійних рівнянь з частинними похідними, що не мають розв'язку, коефіцієнти яких мають похідні всіх порядків. Навіть якщо розв'язок існує і є єдиним, він може мати небажані властивості.

Розглянемо послідовність задач Коші (залежну від n) для рівняння Лапласа:

з початковими умовами:

де n — ціле число. Похідна від функції u по змінній y рівномірно прямує до 0 по x при зростанні n, проте розв'язком рівняння є

Розв'язок прямує до нескінченності, якщо nx не кратно для будь-якого ненульового значення y. задача Коші для рівняння Лапласа називається некоректною, оскільки немає неперервної залежності розв'язку від початкових даних.

Приклади ред.

Одновимірне рівняння теплопровідності ред.

Рівняння, що описує розповсюдження тепла в однорідному стрижні має вигляд

де u(t,x) - температура, і — додатна константа, що описує швидкість розповсюдження тепла. Задача Коші ставиться таким чином:

,

де f(x) — довільна функція.

Рівняння коливання струни ред.

Тут u(t,x) - зсув струни з положення рівноваги, або надмірний тиск повітря в трубі, або магнітуда електромагнітного поля в трубі, а c — швидкість розповсюдження хвилі. Для того, щоб сформулювати задачу Коші в початковий момент часу, слід задати зсув і швидкість струни в початковий момент часу:

Двовимірне рівняння Лапласа ред.

Рівняння Лапласа для невідомої функції двох змінних має вигляд:

Його розв'язки називаються гармонічними функціями.

Зв'язок з аналітичними функціями ред.

Дійсна і уявна частини будь-якої голоморфної функції комплексної змінної є спряжено гармонічними функціями: вони обидві задовольняють рівнянню Лапласа і їх градієнти ортогональні. Якщо f=u+iv, то умови Коші — Рімана стверджують наступне:

Додаючи і віднімаючи рівняння один з одного, одержуємо:

Також можна показати, що будь-яка гармонічна функція є дійсною частиною деякої аналітичної функції.

Граничні умови ред.

Граничні умови ставляться таким чином: знайти функцію u, яка задовольняє рівнянню Лапласа у всіх внутрішніх точках області S, а на межі області — деякій умові. Залежно від виду умови розрізняють такі краєві задачі:

Рівняння Гінзбурга — Ландау ред.

Рівняння Гінзбурга — Ландау використовуються для моделювання надпровідності. Рівняння має вигляд

Розв'язок рівнянь математичної фізики ред.

Існує два види методів розв'язування даного типа рівнянь:

  • аналітичні, при яких результат виводиться різними математичними перетвореннями;
  • чисельні, при яких одержаний результат відповідає дійсному із заданою точністю.

Аналітичний розв'язок ред.

Рівняння коливань ред.

Розглянемо задачу про коливання струни довжини . Вважатимемо, що на кінцях струни функція набуває значення нуль:

У початковий момент часу задамо початкові умови:

Представимо розв'язок у вигляді:

Після підстановки в початкове рівняння коливань, розділимо на добуток одержуємо:

Права частина цього рівняння залежить від , ліва — від , отже це рівняння може виконуватися лише тоді, коли обидві його частини рівні сталій величині, яку позначимо через :

Звідси знаходимо рівняння для :

Нетривіальні розв'язки цього рівняння за однорідних краєвих умов можливі тільки при і мають вигляд:

Розглянемо рівняння для знаходження :

Його розв'язок:

Отже, кожна функція вигляду

є рішенням хвильового рівняння.

Щоб задовольнити початкові умови, утворимо ряд:

Підстановка в початкові умови дає:

Останні формули є розкладом функцій і у ряд Фур'є на відрізку . Коефіцієнти розкладу обчислюються за формулами:

Чисельний розв'язок ред.

Рівняння коливань струни ред.

Цей спосіб рішення називається методом скінченних різниць. Цей метод заснований на визначенні похідної функції :

Якщо є функція , то часткова похідна буде наступна:

Оскільки ми використовуємо достатньо малий, знаки меж можна відкинути. Тоді одержимо такі вирази:




Тоді попередні вирази можна записати так: ,

Ці вирази називають правими диференціалами. Їх можна записати і по-іншому: , - це ліві диференціали.

Підсумувавши обидва вирази одержимо наступне:

з яких одержується:

Аналогічно можна одержати і диференціали другого порядку:

Рівняння коливань струни записується в такій формі: .

Додаткові умови задаються у вигляді: , , , ,

У обчисленнях використовують дискретизацію струни (розділяють її на однакові інтервали, довжина яких .

Значення функції для інших і можна обчислити з рівняння коливань струни:

Таким чином, ми одержали схему, за якою можна знайти значення функції для будь-яких і , використовуючи значення функції при попередніх і .

Цей метод дає наближену відповідь, ступінь точності . Для достатньо точних результатів необхідно використовувати інтервали і .

Див. також ред.

Література ред.

  • Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971. — 512 с.
  • Гончаренко В. М. Основи теорії рівнянь з частинними похідними. — К., 1996
  • Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964;
  • Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. — М.:Высш. шк., 1977. — 432 с.
  • Перестюк М. О., Маринець В. В. Теорія рівнянь математичної фізики. — К.: Либідь, 2002. — 336 с.
  • Рівняння математичної фізики (практикум) : навч. посіб. / О. І. Бобик, І. О. Бобик, В. В. Литвин ; за наук. ред. В. В. Пасічника ; М-во освіти і науки України. – Л. : Новий Світ-2000, 2010. – 253 с. – (Комп'ютинг). – Бібліогр.: с. 252 (10 назв). – ISBN 978-966-418-122-5
  • Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, М., 1983;
  • Evans, L. C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 .
  • John, F. (1982), Partial Differential Equations (4th ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6 .
  • Polyanin, A. D. (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9 .
  • Polyanin, A. D. & Zaitsev, V. F. (2004), Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-355-3 .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Diferencialne rivnyannya z chastinnimi pohidnimi takozh vidome yak rivnyannya matematichnoyi fiziki diferencialne rivnyannya sho mistit nevidomi funkciyi dekilkoh zminnih i yihni chastinni pohidni Zmist 1 Vstup 2 Viznachennya 3 Linijni rivnyannya 3 1 Klasifikaciya rivnyan drugogo poryadku 4 Isnuvannya i yedinist rozv yazku 5 Prikladi 5 1 Odnovimirne rivnyannya teploprovidnosti 5 2 Rivnyannya kolivannya struni 5 3 Dvovimirne rivnyannya Laplasa 5 3 1 Zv yazok z analitichnimi funkciyami 5 3 2 Granichni umovi 5 4 Rivnyannya Ginzburga Landau 6 Rozv yazok rivnyan matematichnoyi fiziki 6 1 Analitichnij rozv yazok 6 1 1 Rivnyannya kolivan 6 2 Chiselnij rozv yazok 6 2 1 Rivnyannya kolivan struni 7 Div takozh 8 LiteraturaVstup red Rozglyanemo porivnyano proste rivnyannya z chastinnimi pohidnimi x u x y 0 displaystyle frac partial partial x u x y 0 nbsp Z cogo spivvidnoshennya viplivaye sho znachennya funkciyi u x y ne zalezhit vid x Otzhe zagalnij rozv yazok rivnyannya ye nastupnim u x y f y displaystyle u x y f y nbsp de f dovilna funkciya zminnoyi y Analogichne zvichajne diferencialne rivnyannya maye viglyad d f y d x 0 displaystyle frac df y dx 0 nbsp i jogo rozv yazok u x y c displaystyle u x y c nbsp de c dovilna konstanta nezalezhna vid x Ci dva prikladi pokazuyut sho zagalnij rozv yazok zvichajnogo diferencialnogo rivnyannya mistit dovilni konstanti a zagalnij rozv yazok diferencialnogo rivnyannya z chastinnimi pohidnimi mistit dovilni funkciyi Viznachennya red Diferencialnim rivnyannyam z chastinnimi pohidnimi nazivayetsya rivnyannya viduF x 1 x 2 x m u u x 1 u x m u x 1 a 1 x 2 a 2 x m a m k 0 displaystyle F x 1 x 2 ldots x m u u x 1 ldots u x m ldots u x 1 a 1 x 2 a 2 ldots x m a m k ldots 0 nbsp de F zadana dijsna funkciya tochki x 1 x 2 x m displaystyle x 1 x 2 x m nbsp oblasti D evklidovogo prostoru E m m 2 displaystyle E m m geqslant 2 nbsp i dijsnih zminnih u x 1 a 1 x 2 a 2 x m a m k k u x 1 x 2 x m x 1 a 1 x 2 a 2 x m a m displaystyle u x 1 a 1 x 2 a 2 ldots x m a m k frac partial k u x 1 x 2 x m partial x 1 alpha 1 partial x 2 alpha 2 partial x m alpha m nbsp u x nevidoma funkciya z nevid yemnimi cilochislovimi indeksami i 1 m a i k k 0 n displaystyle sum limits i 1 m alpha i k k 0 ldots n nbsp i prinajmni odna z pohidnih funkciyi F po zminnij sho vidpovidaye najvishomu poryadku chastkovih pohidnih vidminna vid nulya naturalne chislo m nazivayetsya poryadkom rivnyannya Viznachena u oblasti D zadannya rivnyannyam funkciya u x neperervna razom z svoyimi chastinnimi pohidnimi sho vhodyat v ce rivnyannya i sho obertaye jogo v totozhnist nazivayetsya regulyarnim rozv yazkom Razom z regulyarnimi rozv yazkami v teoriyi diferencialnih rivnyan z chastinnimi pohidnimi vazhlive znachennya mayut rozv yazki sho perestayut buti regulyarnimi poblizu izolovanih tochok abo mnogovidiv osoblivogo viglyadu do nih nalezhat zokrema elementarni fundamentalni rozv yazki Voni dozvolyayut buduvati shiroki klasi regulyarnih rozv yazkiv tak zvanih potencialiv i vstanovlyuvati yih strukturni i yakisni vlastivosti U vipadku neperervnosti chastkovih pohidnih F vidnosno zminnih u x 1 a 1 x 2 a 2 x m a m n displaystyle u x 1 a 1 x 2 a 2 ldots x m a m n nbsp tobto vidnosno chastkovih pohidnih najvishogo poryadku vazhlive znachennya vidigraye forma poryadku m k l 1 l 2 l m F u x 1 a 1 x 2 a 2 x m a m n l 1 a 1 l 2 a 2 l m a m displaystyle k lambda 1 lambda 2 ldots lambda m sum frac partial F partial u x 1 a 1 x 2 a 2 ldots x m a m n lambda 1 a 1 lambda 2 a 2 ldots lambda m a m nbsp Dana forma nazivayetsya harakteristichnoyu formoyu sho vidpovidaye rivnyannyu z chastinnimi pohidnimi Linijni rivnyannya red Diferencialne rivnyannya z chastinnimi pohidnimi nazivayetsya linijnim yaksho vono linijne vidnosno nevidomoyi funkciyi i vsih yiyi chastinnih pohidnih tobto funkciya F z oznachennya linijna vidnosno argumentiv u x 1 a 1 x 2 a 2 x m a m k displaystyle u x 1 a 1 x 2 a 2 ldots x m a m k nbsp Klasifikaciya rivnyan drugogo poryadku red Linijne rivnyannya 2 go poryadku maye viglyad i j 1 m A i j x u x i x j i 1 m B i x u x i C x u f x displaystyle sum limits i j 1 m A ij x u x i x j sum limits i 1 m B i x u x i C x u f x nbsp de A i j B i C f displaystyle A ij B i C f nbsp zadani v oblasti D dijsni funkciyi tochki x Dlya linijnogo rivnyannya 2 go poryadku harakteristichna forma ye kvadratichnoyu Q l 1 l 2 l m i 1 m A i j l i l j displaystyle Q lambda 1 lambda 2 ldots lambda m sum limits i 1 m A ij lambda i lambda j nbsp U kozhnij tochci x D displaystyle x in D nbsp kvadratichna forma Q za dopomogoyu nevirodzhenogo afinnogo peretvorennya zminnih l i l i s 1 s m i 1 m displaystyle lambda i lambda i sigma 1 ldots sigma m quad i 1 ldots m nbsp mozhe buti privedena do kanonichnogo vidu Q i 1 m A i s i 2 displaystyle Q sum limits i 1 m mathrm A i sigma i 2 nbsp de koeficiyenti A i i 1 n displaystyle mathrm A i quad i 1 ldots n nbsp prijmayut znachennya 1 1 0 prichomu chislo vid yemnih koeficiyentiv indeks inerciyi i chislo nulovih koeficiyentiv defekt formi ye afinnimi invariantami Koli vsi A i 1 displaystyle mathrm A i 1 nbsp abo vsi A i 1 displaystyle mathrm A i 1 nbsp tobto koli forma Q vidpovidno dodatno abo vid yemno viznachena definitna rivnyannya nazivayetsya eliptichnim v tochci x D displaystyle x in D nbsp Yaksho odin z koeficiyentiv A i displaystyle mathrm A i nbsp vid yemnij a vsi inshi dodatni abo navpaki to rivnyannya nazivayetsya giperbolichnim v tochci h U vipadku koli l 1 lt l lt n 1 displaystyle l 1 lt l lt n 1 nbsp koeficiyentiv A i displaystyle mathrm A i nbsp dodatni a reshta n l vid yemni rivnyannya nazivayetsya ultragiperbolichnim Yaksho zh hocha bi odin z cih koeficiyentiv ale ne vsi rivnij nulyu to rivnyannya nazivayetsya parabolichnim v tochci h Kazhut sho u oblasti viznachennya D rivnyannya ye rivnyannyam eliptichnogo giperbolichnogo abo parabolichnogo tipu yaksho vono vidpovidno eliptichne giperbolichne abo parabolichne u kozhnij tochci ciyeyi oblasti Eliptichne v oblasti D rivnyannya nazivayetsya rivnomirno eliptichnim yaksho isnuyut dijsni chisla k 0 displaystyle k 0 nbsp i k 1 odnakovogo znaku taki sho k 0 i 1 m l i 2 Q l 1 l 2 l m k 1 i 1 m l i 2 displaystyle k 0 sum limits i 1 m lambda i 2 leqslant Q lambda 1 lambda 2 ldots lambda m leqslant k 1 sum limits i 1 m lambda i 2 nbsp dlya vsih x D displaystyle x in D nbsp Koli v riznih chastinah oblasti D rivnyannya nalezhit do riznih tipiv to vono nazivayetsya rivnyannyam zmishanogo tipu v cij oblasti U vipadku linijnogo rivnyannya vid dvoh zminnih tip rivnyannya v tochci viznachiti dosit prosto Linijne rivnyannya drugogo poryadku zalezhne vid dvoh zminnih maye viglyad A 2 u x 2 2 B 2 u x y C 2 u y 2 0 displaystyle A frac partial 2 u partial x 2 2B frac partial 2 u partial x partial y C frac partial 2 u partial y 2 0 nbsp de A B C koeficiyenti zalezhni vid zminnih x i y a krapki poznachayut chleni zalezhni vid x y u i chastkovih pohidnih pershogo poryadku u x displaystyle partial u partial x nbsp i u y displaystyle partial u partial y nbsp Ce rivnyannya shozhe na rivnyannya konichnogo peretinu A x 2 2 B x y C y 2 0 displaystyle Ax 2 2Bxy Cy 2 cdots 0 nbsp Tak samo yak konichni peretini rozdilyayutsya na elipsi paraboli i giperboli zalezhno vid znaku diskriminanta D B 2 A C displaystyle D B 2 AC nbsp klasifikuyutsya rivnyannya drugogo poryadku v zadanij tochci D B 2 A C gt 0 displaystyle D B 2 AC gt 0 nbsp Giperbolichne rivnyannya D B 2 A C lt 0 displaystyle D B 2 AC lt 0 nbsp Eliptichne rivnyannya D B 2 A C 0 displaystyle D B 2 AC 0 nbsp Parabolichne rivnyannya tut peredbachayetsya sho v danij tochci koeficiyenti A B C ne rivni odnochasno nulyu U razi koli vsi koeficiyenti A B C stali rivnyannya maye odin i toj zhe tip v usih tochkah ploshini zminnih x i y U vipadku yaksho koeficiyenti A B C neperervno zalezhat vid x i y mnozhini tochok v yakih dane rivnyannya ye giperbolichnogo eliptichnogo tipu utvoryuye na ploshini vidkritu oblast sho nazivayetsya giperbolichnoyu eliptichnoyu a mnozhina tochok v yakih rivnyannya vidnositsya do parabolichnogo tipa ye zamknutoyu Rivnyannya nazivayetsya zmishanim yaksho v deyakih tochkah ploshini vono giperbolichne a v deyakih eliptichne V comu vipadku parabolichni tochki yak pravilo utvoryuyut liniyu zvanu liniyeyu zmini tipu abo liniyeyu virodzhennya Isnuvannya i yedinist rozv yazku red Hocha vidpovid na pitannya pro isnuvannya i yedinist rozv yazku zvichajnogo diferencialnogo rivnyannya maye cilkom vicherpnu vidpovid teorema Pikara Lindelefa dlya rivnyannya z chastinnimi pohidnimi odnoznachnoyi vidpovidi na ce pitannya nemaye Isnuye zagalna teorema teorema Koshi Kovalevskoi yaka stverdzhuye sho zadacha Koshi dlya bud yakogo rivnyannya z chastinnimi pohidnimi analitichnogo shodo nevidomih funkcij i yih pohidnih maye yedinij analitichnij rozv yazok Prote isnuyut prikladi linijnih rivnyan z chastinnimi pohidnimi sho ne mayut rozv yazku koeficiyenti yakih mayut pohidni vsih poryadkiv Navit yaksho rozv yazok isnuye i ye yedinim vin mozhe mati nebazhani vlastivosti Rozglyanemo poslidovnist zadach Koshi zalezhnu vid n dlya rivnyannya Laplasa 2 u x 2 2 u y 2 0 displaystyle frac partial 2 u partial x 2 frac partial 2 u partial y 2 0 nbsp z pochatkovimi umovami u x 0 0 displaystyle u x 0 0 nbsp u y x 0 sin n x n displaystyle frac partial u partial y x 0 frac sin nx n nbsp de n cile chislo Pohidna vid funkciyi u po zminnij y rivnomirno pryamuye do 0 po x pri zrostanni n prote rozv yazkom rivnyannya ye u x y sinh n y sin n x n 2 displaystyle u x y frac sinh ny sin nx n 2 nbsp Rozv yazok pryamuye do neskinchennosti yaksho nx ne kratno p displaystyle pi nbsp dlya bud yakogo nenulovogo znachennya y zadacha Koshi dlya rivnyannya Laplasa nazivayetsya nekorektnoyu oskilki nemaye neperervnoyi zalezhnosti rozv yazku vid pochatkovih danih Prikladi red Odnovimirne rivnyannya teploprovidnosti red Rivnyannya sho opisuye rozpovsyudzhennya tepla v odnoridnomu strizhni maye viglyad u t a 2 u x 2 displaystyle frac partial u partial t alpha frac partial 2 u partial x 2 nbsp de u t x temperatura i a displaystyle alpha nbsp dodatna konstanta sho opisuye shvidkist rozpovsyudzhennya tepla Zadacha Koshi stavitsya takim chinom u 0 x f x displaystyle u 0 x f x nbsp de f x dovilna funkciya Rivnyannya kolivannya struni red 2 u t 2 c 2 2 u x 2 displaystyle frac partial 2 u partial t 2 c 2 frac partial 2 u partial x 2 nbsp Tut u t x zsuv struni z polozhennya rivnovagi abo nadmirnij tisk povitrya v trubi abo magnituda elektromagnitnogo polya v trubi a c shvidkist rozpovsyudzhennya hvili Dlya togo shob sformulyuvati zadachu Koshi v pochatkovij moment chasu slid zadati zsuv i shvidkist struni v pochatkovij moment chasu u 0 x f x displaystyle u 0 x f x nbsp u t 0 x g x displaystyle u t 0 x g x nbsp Dvovimirne rivnyannya Laplasa red Rivnyannya Laplasa dlya nevidomoyi funkciyi dvoh zminnih maye viglyad 2 u x 2 2 u y 2 0 displaystyle frac partial 2 u partial x 2 frac partial 2 u partial y 2 0 nbsp Jogo rozv yazki nazivayutsya garmonichnimi funkciyami Zv yazok z analitichnimi funkciyami red Dijsna i uyavna chastini bud yakoyi golomorfnoyi funkciyi f displaystyle f nbsp kompleksnoyi zminnoyi z x i y displaystyle z x iy nbsp ye spryazheno garmonichnimi funkciyami voni obidvi zadovolnyayut rivnyannyu Laplasa i yih gradiyenti ortogonalni Yaksho f u iv to umovi Koshi Rimana stverdzhuyut nastupne u x v y v x u y displaystyle frac partial u partial x frac partial v partial y quad frac partial v partial x frac partial u partial y nbsp Dodayuchi i vidnimayuchi rivnyannya odin z odnogo oderzhuyemo 2 u x 2 2 u y 2 0 2 v x 2 2 v y 2 0 displaystyle frac partial 2 u partial x 2 frac partial 2 u partial y 2 0 quad frac partial 2 v partial x 2 frac partial 2 v partial y 2 0 nbsp Takozh mozhna pokazati sho bud yaka garmonichna funkciya ye dijsnoyu chastinoyu deyakoyi analitichnoyi funkciyi Granichni umovi red Granichni umovi stavlyatsya takim chinom znajti funkciyu u yaka zadovolnyaye rivnyannyu Laplasa u vsih vnutrishnih tochkah oblasti S a na mezhi oblasti S displaystyle partial S nbsp deyakij umovi Zalezhno vid vidu umovi rozriznyayut taki krayevi zadachi u S ps x y x y S displaystyle u partial S psi x y quad x y in partial S nbsp zadacha Dirihle u n S ps x y x y S displaystyle frac partial u partial n big partial S psi x y quad x y in partial S nbsp zadacha Nejmana Rivnyannya Ginzburga Landau red Rivnyannya Ginzburga Landau vikoristovuyutsya dlya modelyuvannya nadprovidnosti Rivnyannya maye viglyad t A x t A 1 i b 2 A x 2 1 i c A 2 A displaystyle frac partial partial t A x t A 1 ib frac partial 2 A partial x 2 1 ic A 2 A nbsp Rozv yazok rivnyan matematichnoyi fiziki red Isnuye dva vidi metodiv rozv yazuvannya danogo tipa rivnyan analitichni pri yakih rezultat vivoditsya riznimi matematichnimi peretvorennyami chiselni pri yakih oderzhanij rezultat vidpovidaye dijsnomu iz zadanoyu tochnistyu Analitichnij rozv yazok red Rivnyannya kolivan red Rozglyanemo zadachu pro kolivannya struni dovzhini L displaystyle L nbsp Vvazhatimemo sho na kincyah struni funkciya u x t displaystyle u x t nbsp nabuvaye znachennya nul u x t x 0 u x t x L 0 displaystyle u x t big x 0 u x t big x L 0 nbsp dd U pochatkovij moment chasu zadamo pochatkovi umovi u x t t 0 f x displaystyle u x t big t 0 f x nbsp u t x t t 0 g x displaystyle dfrac partial u partial t x t big t 0 g x nbsp dd Predstavimo rozv yazok u viglyadi u x t X x T t displaystyle u x t X x T t nbsp Pislya pidstanovki v pochatkove rivnyannya kolivan rozdilimo na dobutok X x T t displaystyle X x T t nbsp oderzhuyemo T t a 2 T t X x X x displaystyle dfrac T t a 2 T t dfrac X x X x nbsp dd Prava chastina cogo rivnyannya zalezhit vid t displaystyle t nbsp liva vid x displaystyle x nbsp otzhe ce rivnyannya mozhe vikonuvatisya lishe todi koli obidvi jogo chastini rivni stalij velichini yaku poznachimo cherez l 2 displaystyle lambda 2 nbsp T t a 2 T t X x X x l 2 displaystyle dfrac T t a 2 T t dfrac X x X x lambda 2 nbsp dd Zvidsi znahodimo rivnyannya dlya X x displaystyle X x nbsp X x l 2 X x 0 displaystyle X x lambda 2 X x 0 nbsp Netrivialni rozv yazki cogo rivnyannya za odnoridnih krayevih umov mozhlivi tilki pri l p n L displaystyle lambda dfrac pi n L nbsp i mayut viglyad X n x s i n p n x L displaystyle X n x sin left dfrac pi nx L right nbsp Rozglyanemo rivnyannya dlya znahodzhennya T t displaystyle T t nbsp T t a 2 l n 2 T t 0 displaystyle T t a 2 lambda n 2 T t 0 nbsp dd Jogo rozv yazok T t A n c o s a p n L t B n s i n a p n L t displaystyle T t A n cos left dfrac a pi n L t right B n sin left dfrac a pi n L t right nbsp dd Otzhe kozhna funkciya viglyadu u x t A n c o s a p n L t B n s i n a p n L t s i n p n x L displaystyle u x t left A n cos left dfrac a pi n L t right B n sin left dfrac a pi n L t right right sin left dfrac pi nx L right nbsp dd ye rishennyam hvilovogo rivnyannya Shob zadovolniti pochatkovi umovi utvorimo ryad u x t n 0 A n c o s a p n L t B n s i n a p n L t s i n p n x L displaystyle u x t sum limits n 0 infty left A n cos left dfrac a pi n L t right B n sin left dfrac a pi n L t right right sin left dfrac pi nx L right nbsp dd Pidstanovka v pochatkovi umovi daye n 0 A n s i n p n x L f x n 0 a p n L B n s i n p n x L g x displaystyle sum limits n 0 infty A n sin left dfrac pi nx L right f x quad sum limits n 0 infty dfrac a pi n L B n sin left dfrac pi nx L right g x nbsp dd Ostanni formuli ye rozkladom funkcij f x displaystyle f x nbsp i g x displaystyle g x nbsp u ryad Fur ye na vidrizku 0 L displaystyle 0 L nbsp Koeficiyenti rozkladu obchislyuyutsya za formulami A n 2 L 0 L f x s i n p n x L d x B n 2 n p a 0 L g x s i n p n x L d x displaystyle A n dfrac 2 L int limits 0 L f x sin left dfrac pi nx L right dx quad B n dfrac 2 n pi a int limits 0 L g x sin left dfrac pi nx L right dx nbsp dd Chiselnij rozv yazok red Rivnyannya kolivan struni red Cej sposib rishennya nazivayetsya metodom skinchennih riznic Cej metod zasnovanij na viznachenni pohidnoyi funkciyi y y x displaystyle y y x nbsp y lim D x 0 D y D x lim D x 0 f x D x f x D x displaystyle y lim Delta x to 0 Delta y over Delta x lim Delta x to 0 f x Delta x f x over Delta x nbsp dd Yaksho ye funkciya u u x t displaystyle u u x t nbsp to chastkova pohidna bude nastupna u x u x lim D x 0 u x D x t u x t D x displaystyle u x partial u over partial x lim Delta x to 0 u x Delta x t u x t over Delta x nbsp dd Oskilki D x displaystyle Delta x nbsp mi vikoristovuyemo dostatno malij znaki mezh mozhna vidkinuti Todi oderzhimo taki virazi u x u x D x t u x t D x displaystyle u x approx u x Delta x t u x t over Delta x nbsp dd u t u x t D t u x t D t displaystyle u t approx u x t Delta t u x t over Delta t nbsp dd u x t u i j displaystyle u x t u i j nbsp dd u x D x t u i 1 j displaystyle u x Delta x t u i 1 j nbsp dd u x t D t u i j 1 displaystyle u x t Delta t u i j 1 nbsp dd D x h displaystyle Delta x h nbsp D t t displaystyle Delta t tau nbsp dd Todi poperedni virazi mozhna zapisati tak u x u i 1 j u i j h displaystyle u x approx u i 1 j u i j over h nbsp u t u i j 1 u i j t displaystyle u t approx u i j 1 u i j over tau nbsp Ci virazi nazivayut pravimi diferencialami Yih mozhna zapisati i po inshomu u x u i j u i 1 j h displaystyle u x approx u i j u i 1 j over h nbsp u t u i j u i j 1 t displaystyle u t approx u i j u i j 1 over tau nbsp ce livi diferenciali Pidsumuvavshi obidva virazi oderzhimo nastupne 2 u x u i j u i 1 j u i 1 j u i j h displaystyle 2u x approx u i j u i 1 j u i 1 j u i j over h nbsp dd 2 u t u i j u i j 1 u i j 1 u i j t displaystyle 2u t approx u i j u i j 1 u i j 1 u i j over tau nbsp dd z yakih oderzhuyetsya u x u i 1 j u i 1 j 2 h displaystyle u x approx u i 1 j u i 1 j over 2h nbsp dd u t u i j 1 u i j 1 2 t displaystyle u t approx u i j 1 u i j 1 over 2 tau nbsp dd Analogichno mozhna oderzhati i diferenciali drugogo poryadku u x x 2 u x 2 u i 1 j 2 u i j u i 1 j h 2 displaystyle u xx partial 2 u over partial x 2 approx u i 1 j 2u i j u i 1 j over h 2 nbsp dd u t t 2 u t 2 u i j 1 2 u i j u i j 1 t 2 displaystyle u tt partial 2 u over partial t 2 approx u i j 1 2u i j u i j 1 over tau 2 nbsp dd Rivnyannya kolivan struni zapisuyetsya v takij formi 2 u t 2 a 2 2 u x 2 displaystyle frac partial 2 u partial t 2 a 2 frac partial 2 u partial x 2 nbsp Dodatkovi umovi zadayutsya u viglyadi u x 0 f 1 t displaystyle u x 0 f 1 t nbsp u x l f 2 t displaystyle u x l f 2 t nbsp u t 0 g 1 x displaystyle u t 0 g 1 x nbsp u t t 0 g 2 x displaystyle u t t 0 g 2 x nbsp de f 1 t displaystyle f 1 t nbsp i f 2 t displaystyle f 2 t nbsp poziciyi kinciv kriplen struni v chasi a g 1 x displaystyle g 1 x nbsp i g 2 x displaystyle g 2 x nbsp pochatkovij stan i shvidkist struni z yakoyi mi mozhemo otrimati stan struni v nastupnij moment chasu za formuloyuu i j 1 t g 2 x u i j displaystyle u i j 1 tau cdot g 2 x u i j nbsp dd U obchislennyah vikoristovuyut diskretizaciyu struni rozdilyayut yiyi na odnakovi intervali dovzhina yakih h displaystyle h nbsp Znachennya funkciyi dlya inshih x displaystyle x nbsp i t displaystyle t nbsp mozhna obchisliti z rivnyannya kolivan struni 2 u t 2 a 2 2 u x 2 displaystyle frac partial 2 u partial t 2 a 2 frac partial 2 u partial x 2 nbsp dd 2 u t 2 u i j 1 2 u i j u i j 1 t 2 displaystyle partial 2 u over partial t 2 u i j 1 2u i j u i j 1 over tau 2 nbsp dd 2 u x 2 u i 1 j 2 u i j u i 1 j h 2 displaystyle partial 2 u over partial x 2 u i 1 j 2u i j u i 1 j over h 2 nbsp dd u i j 1 2 u i j u i j 1 t 2 a 2 u i 1 j 2 u i j u i 1 j h 2 displaystyle u i j 1 2u i j u i j 1 over tau 2 a 2 u i 1 j 2u i j u i 1 j over h 2 nbsp dd u i j 1 t 2 a 2 h 2 u i 1 j 2 u i j u i 1 j 2 u i j u i j 1 displaystyle u i j 1 tau 2 a 2 over h 2 left u i 1 j 2u i j u i 1 j right 2u i j u i j 1 nbsp dd Takim chinom mi oderzhali shemu za yakoyu mozhna znajti znachennya funkciyi dlya bud yakih x displaystyle x nbsp i t displaystyle t nbsp vikoristovuyuchi znachennya funkciyi pri poperednih x displaystyle x nbsp i t displaystyle t nbsp Cej metod daye nablizhenu vidpovid stupin tochnosti 8 t 2 h 2 displaystyle Theta tau 2 h 2 nbsp Dlya dostatno tochnih rezultativ neobhidno vikoristovuvati intervali h lt 0 1 displaystyle h lt 0 1 nbsp i t h 2 2 displaystyle tau leq h 2 over 2 nbsp Div takozh red Diferencialne rivnyannya Zvichajne diferencialne rivnyannya Matematichna fizikaLiteratura red Vladimirov V S Uravneniya matematicheskoj fiziki M Nauka 1971 512 s Goncharenko V M Osnovi teoriyi rivnyan z chastinnimi pohidnimi K 1996 Kurant R Uravneniya s chastnymi proizvodnymi per s angl M 1964 Mihlin S G Linejnye uravneniya v chastnyh proizvodnyh M Vyssh shk 1977 432 s Perestyuk M O Marinec V V Teoriya rivnyan matematichnoyi fiziki K Libid 2002 336 s Rivnyannya matematichnoyi fiziki praktikum navch posib O I Bobik I O Bobik V V Litvin za nauk red V V Pasichnika M vo osviti i nauki Ukrayini L Novij Svit 2000 2010 253 s Komp yuting Bibliogr s 252 10 nazv ISBN 978 966 418 122 5 Tihonov A N Samarskij A A Uravneniya matematicheskoj fiziki M 1983 Evans L C 1998 Partial Differential Equations Providence American Mathematical Society ISBN 0 8218 0772 2 John F 1982 Partial Differential Equations 4th ed New York Springer Verlag ISBN 0 387 90609 6 Polyanin A D 2002 Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists Boca Raton Chapman amp Hall CRC Press ISBN 1 58488 299 9 Polyanin A D amp Zaitsev V F 2004 Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations Boca Raton Chapman amp Hall CRC Press ISBN 1 58488 355 3 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Diferencialne rivnyannya z chastinnimi pohidnimi amp oldid 27314222