www.wikidata.uk-ua.nina.az

Кубічне рівняння Кубі чне рівня ння алгебричне рівняння вигляду a x 3 b x 2 c x d 0 displaystyle ax 3 bx 2 cx d 0 де a 0

Кубічне рівняння

Кубі́чне рівня́ння — алгебричне рівняння вигляду

Для того, щоб отримати загальний розв'язок кубічного рівняння, потрібно його звести до канонічного вигляду

Це можна зробити, поділивши рівняння на старший коефіцієнт , після чого провівши заміну змінної .

При цьому коефіцієнти будуть рівні:

Історія Редагувати

Стародавній період Редагувати

Кубічні рівняння були відомі ще стародавнім єгиптянам, вавилонянам, стародавнім грекам, китайцям та індійцям. Знайдено клинописні таблички старовавилонського періоду (XX—XVI ст. до н. е.), що містять таблиці значень кубів та кубічних коренів. Вавилоняни могли використовувати ці таблиці для розв'язування кубічних рівнянь, але не існує жодних свідчень, що вони це робили.

Задача подвоєння куба використовує найпростіше і найстаріше з кубічних рівнянь, і стародавні єгиптяни не вірили, що його розв'язок існує. У V ст. до н. е. Гіппократ звів цю задачу до знаходження двох середніх пропорційних між одним відрізком та іншим, вдвічі більшим від нього, але не зміг розв'язати її за допомогою циркуля та лінійки, що, як тепер відомо, неможливо зробити.

У III столітті давньогрецький математик Діофант знайшов цілі та раціональні розв'язки для деяких кубічних рівнянь з двома невідомими (діофантових рівнянь). Вважається, що Гіппократ, Менехм і Архімед підійшли ближче до розв'язання задачі про подвоєння куба за допомогою конічних перерізів, хоча деякі історики, такі як Ревіель Нетц[en], кажуть, що невідомо, чи думали греки про кубічні рівняння, чи просто про здачі, які можуть привести до кубічних рівнянь. Томас Гіт[ru], перекладач і коментатор усіх праць Архімеда, які дійшли до нас, не погоджується, вказуючи на свідчення, що Архімед дійсно розв'язував кубічні рівняння за допомогою перетину двох конусів.

Чисельні методи розв'язування кубічних рівнянь з'являються в китайському математичному тексті Математика в дев'яти книгах, складеному близько другого століття до нашої ери і прокоментованому китайським математиком Лю Хуеєм у III столітті.

У VII столітті, за часів династії Тан, астроном і математик Ван Сяотун[en] у математичному трактаті, під назвою Цзігу Суаньцзін, виклав і розв'язав 25 кубічних рівнянь вигляду , у 23 з яких і у двох рівняннях .

Середньовіччя Редагувати

В XI столітті перський поет і математик Омар Хаям (1048—1131) досяг суттєвого прогресу в теорії кубічних рівнянь. У ранніх роботах, присвячених кубічним рівнянням, він виявив, що кубічне рівняння може мати два розв'язки (випадку трьох коренів він не помітив), і стверджував, що рівняння не можна розв'язати за допомогою циркуля та лінійки. Він також знайшов геометричний ров'язок. У його пізнішій праці Трактат про демонстрацію задач алгебри він описав повну класифікацію кубічних рівнянь зі своїми загальними геометричними розв'язками, що використовують перетини конічних перерізів.

У XII столітті індійський математик Бхаскара II намагався розв'язувати кубічні рівняння без особливих успіхів. Однак він навів один приклад розв'язання кубічного рівняння:

У тому ж XII столітті перський математик Шараф ад-Дін написав Al-Mu'adalat (Трактат про рівняння), в якому йдеться про вісім типів кубічних рівнянь з додатними розв'язками та про п'ять типів, що не мають додатних розв'язків. Він використав підхід, який пізніше став відомим як метод Руффіні — Горнера для чисельної апроксимації кореня кубічного рівняння. Він також розробив концепцію похідної функції та екстремумів кривої для розв'язування кубічних рівнянь, які можуть не мати додатних коренів. Він зрозумів важливість дискримінанта кубічного рівняння для знаходження алгебричного розв'язку деяких видів кубічних рівнянь.

У середньовічній Європі до XVI століття успіхів у розв'язанні кубічних рівнянь не було. Леонардо Пізанський, відомий також як Фібоначчі (1170—1250), умів знаходити додатні розв'язки кубічного рівняння за допомогою вавилонських цифр. Він вказав розв'язок що дорівнює у стандартному записі і відрізняється від точного розв'язку лише на три трильйонних.

Лука Пачолі у трактаті «Сума арифметики, геометрії, відношень і пропорцій» (1494) писав, що загальне розв'язання кубічних рівнянь «так само неможливе за сучасного стану науки, як і розв'язання квадратури круга циркулем та лінійкою».

Відкриття дель Ферро — Тартальї Редагувати

На початку XVI століття італійський математик Сципіон дель Ферро знайшов загальний метод розв'язувння важливого класу кубічних рівнянь, а саме, рівнянь вигляду з невід'ємними n і m. Фактично всі кубічні рівняння можна звести до такого вигляду, якщо допустити можливість і бути від'ємними, але від'ємні числа тоді ще не вважалися допустимими. Дель Ферро тримав своє відкриття в секреті, поки не розповів про нього перед смертю своєму учневі Антоніо Фіоре (Antonio Fiore).

Ніколо Фонтана Тарталья

1530 року Нікколо Тарталья отримав від Дзуанне да Кої[es] дві задачі у вигляді кубічних рівнянь і оголосив, що він їх може розв'язати. Він незабаром отримав від Фіоре виклик на математичне змагання, яке після його завершення стало знаменитим. Кожен із них мав запропонувати супернику розв'язати певну кількість задач. Виявилося, що всі задачі, які отримав Тарталья, зводилися до кубічних рівнянь типу . Незадовго до закінчення терміну Тартальї вдалося розробити загальний метод розв'язання кубічних рівнянь цього типу (перевідкривши метод дель Ферро), а також узагальнити його на два інші типи ( і ). Після цього він швидко розв'язав усі запропоновані йому задачі. Фіоре ж отримав від Тартальї задачі з різних розділів математики, багато з яких виявилися йому не під силу; як наслідок, Тарталья виграв змагання.

Пізніше Джероламо Кардано неодноразово намагався переконати Тарталью розкрити секрет розв'язування кубічних рівнянь. 1539 року йому це вдалося: Тарталья повідомив свій метод, але за умови, що Кардано нікому його не відкриє до виходу книги самого Тартальї про кубічні рівняння, над якою він працював і де збирався опублікувати метод. Через шість років Тарталья так і не опублікував свою книгу, а Кардано, дізнавшись на той час про роботи Ферро, вважав за можливе опублікувати метод дель Ферро (із згадкою про те, що Тарталья незалежно його відкрив) у своїй книзі «Ars Magna» 1545 року. Кардано виправдовувався тим, що обіцяв не повідомляти нікому результатів Тартальї, а не дель Ферро. Проте, Тарталья вважав, що Кардано порушив обіцянку і надіслав тому виклик на змагання, якого Кардано не прийняв. Виклик, зрештою, прийняв учень Кардано Лодовіко Феррарі, і виявився переможцем.

Кардано зауважив, що метод Тартальї іноді (а саме — за наявності трьох дійсних коренів) вимагає добування квадратного кореня з від'ємного числа. Він навіть включив обчислення з цими комплексними числами в Ars Magna, але насправді до кінця проблеми не зрозумів. Рафаель Бомбеллі вивчав цю проблему детально, тому вважається першовідкривачем комплексних чисел.

Франсуа Вієт (1540—1603) незалежно вивів розв'язок кубічного рівняння з трьома дійсними коренями. Його розв'язок ґрунтується на тригонометричній формулі

Зокрема, підстановка зводить рівняння

до вигляду

Пізніше Рене Декарт поглибив роботу Вієта.

Корені рівняння Редагувати

Число , що перетворює рівняння на тотожність, називають коренем або розв'язком рівняння. Воно є також коренем многочлена третього степеня, що стоїть у лівій частині канонічного запису.

Над полем комплексних чисел, відповідно до основної теореми алгебри, кубічне рівняння

завжди має 3 корені (з урахуванням кратності).

Оскільки кожен дійсний многочлен непарного степеня має хоча б один дійсний корінь, усі можливі випадки складу коренів кубічного рівняння вичерпуються трьома, описаними нижче.

Ці випадки розрізняються за знаком дискримінанта:

Можливі три випадки:

  • Якщо то рівняння має три різні дійсні корені.
  • Якщо то рівняння має один дійсний і пару комплексно спряжених коренів, якщо коефіцієнти рівняння — дійсні числа і не обов'язково комплексно спряжених в іншому випадку.
  • Якщо то хоча б два корені збігаються. Це може бути, коли рівняння має подвійний дійсний корінь і ще один відмінний від них дійсний корінь; або всі три корені збігаються, утворюючи корінь кратності 3. Розділити ці два випадки допомагає результант кубічного рівняння та його другої похідної: многочлен має корінь кратності 3 тоді й лише тоді, коли зазначений результант також дорівнює нулю.

За теоремою Вієта корені кубічного рівняння пов'язані з коефіцієнтами такими співвідношеннями :

Діленням зазначених співвідношень одне на одне можна отримати ще кілька співвідношень:

Методи розв'язування Редагувати

Загальні точні методи розв'язування:

Для деяких особливих типів кубічних рівнянь існують спеціальні способи розв'язування. Наприклад,:

Також можна застосовувати чисельні методи розв'язування рівнянь.

Метод Кардано Редагувати

Введемо дві змінні та , такі що

підставивши їх в рівняння отримаємо

введемо додаткову умову для змінних, а саме:

підставивши її в рівняння, та використавши отримаємо та розв'яжемо квадратне рівняння відносно наступним чином:

Всього є три розв'язки рівняння один з них є

Якщо та:

  • то рівняння має один дійсний корінь і два комплексні.
  • то всі три корені рівняння є різними дійсними числами.
  • то всі корені рівняння є дійсними числами, при чому принаймні два з них є однаковими.

Приклад Редагувати

Розв'яжемо рівняння з очевидними коренями -1, 0, +1:

Підстановка Вієта Редагувати

Як зазначалося вище, будь-яке кубічне рівняння можна звести до вигляду:

Зробимо підстановку, відому як підстановка Вієта:

Результатом буде рівняння:

Помноживши на , отримаємо рівняння шостого степеня від , яке, насправді, є квадратним рівнянням від :

Геометричний розв'язок Омара Хаяма кубічного рівняння для випадку , що дає корінь . Те, що вертикальна пряма перетинає вісь у центрі кола, — специфічне для даного конкретного прикладу.

Розв'язуючи це рівняння, отримаємо . Якщо , і є трьома кубічними коренями , то корені початкового рівняння можна отримати за формулами

Розв'язок Омара Хаяма Редагувати

Як показано на графіку, для розв'язання рівняння третього степеня , де Омар Хаям побудував параболу та коло, діаметром якого є відрізок додатної півосі , після чого провів вертикальну пряму, що проходить через перетин параболи та кола. Розв'язок визначається довжиною горизонтального відрізка від початку координат до перетину вертикальної прямої з віссю .

Просте сучасне доведення побудови: множимо на рівняння та групуємо члени

Ліва частина — це значення на параболі. Рівняння кола, збігається з правою частиною рівняння та дає значення на колі.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. ↑ John Crossley, Anthony W.-C. Lun. The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. — Oxford University Press, 1999. — С. 176. — ISBN 978-0-19-853936-0.
  2. ↑ Van der Waerden. Geometry and Algebra of Ancient Civilizations. — Zurich, 1983. — С. chapter 4. — ISBN 0-387-12159-5.
  3. Roger Cooke. [1] — John Wiley & Sons, 2012. — P. 63. — ISBN 978-1-118-46029-0. з джерела 21 травня 2021
  4. Karen Rhea Nemet-Nejat. [2] — Greenwood Publishing Group, 1998. — P. 306. — ISBN 978-0-313-29497-6. з джерела 22 грудня 2019
  5. Roger Cooke. [3] — John Wiley & Sons, 2008. — P. 64. — ISBN 978-0-470-27797-3. з джерела 29 червня 2014
  6. (Guilbeau, 1930) утверждает, что «египтяне полагали, что решение невозможно, но греки подошли к решению ближе.»
  7. ↑ (Guilbeau, 1930)
  8. Thomas L. Heath. Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra. — Martino Pub, 2009. — ISBN 978-1578987542.
  9. Archimedes (translation by T. L. Heath). The works of Archimedes. — Rough Draft Printing, 2007. — ISBN 978-1603860512.
  10. Yoshio Mikami. The Development of Mathematics in China and Japan. — 2nd ed. — New York : Chelsea Publishing Co, 1974. — С. 53—56. — ISBN 978-0-8284-0149-4.
  11. История математики, том I, 1970, с. 225.
  12. Робота Омара Хаяма, Scripta Math. 26 (1963), стор. 323—337
  13. у книзі О'Коннора і Робертсона «Omar Khayyam», MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, можна прочитати Ця задача привела Хаяма до кубічного рівняння x3 + 200x = 20x2 + 2000, і він знайшов додатний корінь цього рівняння як перетин рівнобічної гіперболи та кола. Наближений чисельний розв'язок потім знайдено шляхом інтерполяції тригонометричних таблиць.
  14. J. J. O'Connor и E. F. Robertson (1999), Omar Khayyam [ 2011-09-21 у Wayback Machine.], в архіві історії математики MacTutor, стверджують, «Хаям, схоже, був першим, хто задумався про загальну теорію кубічних рівнянь.»
  15. (Guilbeau, 1930) стверджує, «Омар Аль Хей Хорасан близько 1079 року зробив багато для просування методів розв'язування алгебричних рівнянь за допомогою перетинних конічних перерізів.»
  16. Datta, Singh. History of Hindu Mathematics. — Delhi, India, 2004. — С. 76,. — ISBN 81-86050-86-8. стр. 76, Equation of Higher Degree; Bharattya Kala Prakashan
  17. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi», MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
  18. J. L. Berggren. Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat // Journal of the American Oriental Society. — 1990. — Т. 110, вип. 2 (17 жовтня). — С. 304—309. — DOI:10.2307/604533.
  19. R. N. Knott and the Plus Team. The life and numbers of Fibonacci // Plus Magazine. — 2013. — 17 жовтня. з джерела 17 травня 2008. Процитовано 6 грудня 2021.
  20. Андронов И. К. Математика действительных и комплексных чисел. — Просвещение, 1975. — С. 91—92.
  21. Victor Katz. A History of Mathematics. — Boston : Addison Wesley, 2004. — С. 220. — ISBN 9780321016188.
  22. R. W. D. Nickalls. Viète, Descartes and the cubic equation // Mathematical Gazette. — 2006. — Т. 90 (1 липня). — С. 203—208. з джерела 6 грудня 2021. Процитовано 6 грудня 2021.
  23. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 139.

Література Редагувати

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Kubi chne rivnya nnya algebrichne rivnyannya viglyadu a x 3 b x 2 c x d 0 displaystyle ax 3 bx 2 cx d 0 de a 0 displaystyle a neq 0 Dlya togo shob otrimati zagalnij rozv yazok kubichnogo rivnyannya potribno jogo zvesti do kanonichnogo viglyadu z 3 p z q 0 displaystyle z 3 pz q 0 Ce mozhna zrobiti podilivshi rivnyannya na starshij koeficiyent a displaystyle a pislya chogo provivshi zaminu zminnoyi x z b 3 a displaystyle x z frac b 3a Pri comu koeficiyenti budut rivni q 2 b 3 27 a 3 b c 3 a 2 d a displaystyle q frac 2b 3 27a 3 frac bc 3a 2 frac d a p c a b 2 3 a 2 displaystyle p frac c a frac b 2 3a 2 Zmist 1 Istoriya 1 1 Starodavnij period 1 2 Serednovichchya 1 3 Vidkrittya del Ferro Tartalyi 2 Koreni rivnyannya 3 Metodi rozv yazuvannya 3 1 Metod Kardano 3 1 1 Priklad 3 2 Pidstanovka Viyeta 3 3 Rozv yazok Omara Hayama 4 Div takozh 5 Primitki 6 Literatura 7 PosilannyaIstoriya RedaguvatiStarodavnij period Redaguvati Kubichni rivnyannya buli vidomi she starodavnim yegiptyanam vavilonyanam starodavnim grekam kitajcyam ta indijcyam 1 2 Znajdeno klinopisni tablichki starovavilonskogo periodu XX XVI st do n e sho mistyat tablici znachen kubiv ta kubichnih koreniv 3 4 Vavilonyani mogli vikoristovuvati ci tablici dlya rozv yazuvannya kubichnih rivnyan ale ne isnuye zhodnih svidchen sho voni ce robili 5 Zadacha podvoyennya kuba vikoristovuye najprostishe i najstarishe z kubichnih rivnyan i starodavni yegiptyani ne virili sho jogo rozv yazok isnuye 6 U V st do n e Gippokrat zviv cyu zadachu do znahodzhennya dvoh serednih proporcijnih mizh odnim vidrizkom ta inshim vdvichi bilshim vid nogo ale ne zmig rozv yazati yiyi za dopomogoyu cirkulya ta linijki 7 sho yak teper vidomo nemozhlivo zrobiti U III stolitti davnogreckij matematik Diofant znajshov cili ta racionalni rozv yazki dlya deyakih kubichnih rivnyan z dvoma nevidomimi diofantovih rivnyan 2 8 Vvazhayetsya sho Gippokrat Menehm i Arhimed pidijshli blizhche do rozv yazannya zadachi pro podvoyennya kuba za dopomogoyu konichnih pereriziv 7 hocha deyaki istoriki taki yak Reviel Netc en kazhut sho nevidomo chi dumali greki pro kubichni rivnyannya chi prosto pro zdachi yaki mozhut privesti do kubichnih rivnyan Tomas Git ru perekladach i komentator usih prac Arhimeda yaki dijshli do nas ne pogodzhuyetsya vkazuyuchi na svidchennya sho Arhimed dijsno rozv yazuvav kubichni rivnyannya za dopomogoyu peretinu dvoh konusiv 9 Chiselni metodi rozv yazuvannya kubichnih rivnyan z yavlyayutsya v kitajskomu matematichnomu teksti Matematika v dev yati knigah skladenomu blizko drugogo stolittya do nashoyi eri i prokomentovanomu kitajskim matematikom Lyu Hueyem u III stolitti 1 U VII stolitti za chasiv dinastiyi Tan astronom i matematik Van Syaotun en u matematichnomu traktati pid nazvoyu Czigu Suanczin viklav i rozv yazav 25 kubichnih rivnyan viglyadu x 3 p x 2 q x N displaystyle x 3 px 2 qx N nbsp u 23 z yakih p q 0 displaystyle p q neq 0 nbsp i u dvoh rivnyannyah q 0 displaystyle q 0 nbsp 10 Serednovichchya Redaguvati V XI stolitti perskij poet i matematik Omar Hayam 1048 1131 dosyag suttyevogo progresu v teoriyi kubichnih rivnyan U rannih robotah prisvyachenih kubichnim rivnyannyam vin viyaviv sho kubichne rivnyannya mozhe mati dva rozv yazki vipadku troh koreniv vin ne pomitiv 11 i stverdzhuvav sho rivnyannya ne mozhna rozv yazati za dopomogoyu cirkulya ta linijki Vin takozh znajshov geometrichnij rov yazok 12 13 U jogo piznishij praci Traktat pro demonstraciyu zadach algebri vin opisav povnu klasifikaciyu kubichnih rivnyan zi svoyimi zagalnimi geometrichnimi rozv yazkami sho vikoristovuyut peretini konichnih pereriziv 14 15 U XII stolitti indijskij matematik Bhaskara II namagavsya rozv yazuvati kubichni rivnyannya bez osoblivih uspihiv Odnak vin naviv odin priklad rozv yazannya kubichnogo rivnyannya 16 x 3 12 x 6 x 2 35 displaystyle x 3 12x 6x 2 35 nbsp U tomu zh XII stolitti perskij matematik Sharaf ad Din napisav Al Mu adalat Traktat pro rivnyannya v yakomu jdetsya pro visim tipiv kubichnih rivnyan z dodatnimi rozv yazkami ta pro p yat tipiv sho ne mayut dodatnih rozv yazkiv Vin vikoristav pidhid yakij piznishe stav vidomim yak metod Ruffini Gornera dlya chiselnoyi aproksimaciyi korenya kubichnogo rivnyannya Vin takozh rozrobiv koncepciyu pohidnoyi funkciyi ta ekstremumiv krivoyi dlya rozv yazuvannya kubichnih rivnyan yaki mozhut ne mati dodatnih koreniv 17 Vin zrozumiv vazhlivist diskriminanta kubichnogo rivnyannya dlya znahodzhennya algebrichnogo rozv yazku deyakih vidiv kubichnih rivnyan 18 U serednovichnij Yevropi do XVI stolittya uspihiv u rozv yazanni kubichnih rivnyan ne bulo Leonardo Pizanskij vidomij takozh yak Fibonachchi 1170 1250 umiv znahoditi dodatni rozv yazki kubichnogo rivnyannya x 3 2 x 2 10 x 20 displaystyle x 3 2x 2 10x 20 nbsp za dopomogoyu vavilonskih cifr Vin vkazav rozv yazok 1 22 7 42 33 4 40 displaystyle 1 22 7 42 33 4 40 nbsp sho dorivnyuye 1 22 60 7 60 2 42 60 3 33 60 4 4 60 5 40 60 6 displaystyle 1 22 60 7 60 2 42 60 3 33 60 4 4 60 5 40 60 6 nbsp u standartnomu zapisi i vidriznyayetsya vid tochnogo rozv yazku lishe na tri triljonnih 19 Luka Pacholi u traktati Suma arifmetiki geometriyi vidnoshen i proporcij 1494 pisav sho zagalne rozv yazannya kubichnih rivnyan tak samo nemozhlive za suchasnogo stanu nauki yak i rozv yazannya kvadraturi kruga cirkulem ta linijkoyu 20 Vidkrittya del Ferro Tartalyi Redaguvati Na pochatku XVI stolittya italijskij matematik Scipion del Ferro znajshov zagalnij metod rozv yazuvnnya vazhlivogo klasu kubichnih rivnyan a same rivnyan viglyadu x 3 m x n displaystyle x 3 mx n nbsp z nevid yemnimi n i m Faktichno vsi kubichni rivnyannya mozhna zvesti do takogo viglyadu yaksho dopustiti mozhlivist m displaystyle m nbsp i n displaystyle n nbsp buti vid yemnimi ale vid yemni chisla todi she ne vvazhalisya dopustimimi Del Ferro trimav svoye vidkrittya v sekreti poki ne rozpoviv pro nogo pered smertyu svoyemu uchnevi Antonio Fiore Antonio Fiore nbsp Nikolo Fontana Tartalya1530 roku Nikkolo Tartalya otrimav vid Dzuanne da Koyi es dvi zadachi u viglyadi kubichnih rivnyan i ogolosiv sho vin yih mozhe rozv yazati Vin nezabarom otrimav vid Fiore viklik na matematichne zmagannya yake pislya jogo zavershennya stalo znamenitim Kozhen iz nih mav zaproponuvati superniku rozv yazati pevnu kilkist zadach Viyavilosya sho vsi zadachi yaki otrimav Tartalya zvodilisya do kubichnih rivnyan tipu x 3 m x n displaystyle x 3 mx n nbsp Nezadovgo do zakinchennya terminu Tartalyi vdalosya rozrobiti zagalnij metod rozv yazannya kubichnih rivnyan cogo tipu perevidkrivshi metod del Ferro a takozh uzagalniti jogo na dva inshi tipi x 3 m x n displaystyle x 3 mx n nbsp i x 3 n m x displaystyle x 3 n mx nbsp Pislya cogo vin shvidko rozv yazav usi zaproponovani jomu zadachi Fiore zh otrimav vid Tartalyi zadachi z riznih rozdiliv matematiki bagato z yakih viyavilisya jomu ne pid silu yak naslidok Tartalya vigrav zmagannya Piznishe Dzherolamo Kardano neodnorazovo namagavsya perekonati Tartalyu rozkriti sekret rozv yazuvannya kubichnih rivnyan 1539 roku jomu ce vdalosya Tartalya povidomiv svij metod ale za umovi sho Kardano nikomu jogo ne vidkriye do vihodu knigi samogo Tartalyi pro kubichni rivnyannya nad yakoyu vin pracyuvav i de zbiravsya opublikuvati metod Cherez shist rokiv Tartalya tak i ne opublikuvav svoyu knigu a Kardano diznavshis na toj chas pro roboti Ferro vvazhav za mozhlive opublikuvati metod del Ferro iz zgadkoyu pro te sho Tartalya nezalezhno jogo vidkriv u svoyij knizi Ars Magna 1545 roku Kardano vipravdovuvavsya tim sho obicyav ne povidomlyati nikomu rezultativ Tartalyi a ne del Ferro Prote Tartalya vvazhav sho Kardano porushiv obicyanku i nadislav tomu viklik na zmagannya yakogo Kardano ne prijnyav Viklik zreshtoyu prijnyav uchen Kardano Lodoviko Ferrari i viyavivsya peremozhcem 21 Kardano zauvazhiv sho metod Tartalyi inodi a same za nayavnosti troh dijsnih koreniv vimagaye dobuvannya kvadratnogo korenya z vid yemnogo chisla Vin navit vklyuchiv obchislennya z cimi kompleksnimi chislami v Ars Magna ale naspravdi do kincya problemi ne zrozumiv Rafael Bombelli vivchav cyu problemu detalno tomu vvazhayetsya pershovidkrivachem kompleksnih chisel Fransua Viyet 1540 1603 nezalezhno viviv rozv yazok kubichnogo rivnyannya z troma dijsnimi korenyami Jogo rozv yazok gruntuyetsya na trigonometrichnij formuli 2 cos ϕ 3 3 2 cos ϕ 2 cos 3 ϕ displaystyle 2 cdot cos phi 3 3 cdot 2 cdot cos phi 2 cdot cos 3 cdot phi nbsp Zokrema pidstanovka x 2 a cos ϕ displaystyle x 2 cdot a cdot cos phi nbsp zvodit rivnyannya x 3 3 a 2 x a 2 b displaystyle x 3 3 cdot a 2 cdot x a 2 cdot b nbsp do viglyadu 2 a cos 3 ϕ b displaystyle 2 cdot a cdot cos 3 cdot phi b nbsp Piznishe Rene Dekart poglibiv robotu Viyeta 22 Koreni rivnyannya RedaguvatiChislo x displaystyle x nbsp sho peretvoryuye rivnyannya na totozhnist nazivayut korenem abo rozv yazkom rivnyannya Vono ye takozh korenem mnogochlena tretogo stepenya sho stoyit u livij chastini kanonichnogo zapisu Nad polem kompleksnih chisel vidpovidno do osnovnoyi teoremi algebri kubichne rivnyannya a x 3 b x 2 c x d 0 displaystyle ax 3 bx 2 cx d 0 nbsp zavzhdi maye 3 koreni x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 nbsp z urahuvannyam kratnosti Oskilki kozhen dijsnij mnogochlen neparnogo stepenya maye hocha b odin dijsnij korin usi mozhlivi vipadki skladu koreniv kubichnogo rivnyannya vicherpuyutsya troma opisanimi nizhche Ci vipadki rozriznyayutsya za znakom diskriminanta D a 4 x 1 x 2 2 x 1 x 3 2 x 2 x 3 2 displaystyle Delta a 4 cdot x 1 x 2 2 cdot x 1 x 3 2 cdot x 2 x 3 2 nbsp 4 b 3 d b 2 c 2 4 a c 3 18 a b c d 27 a 2 d 2 displaystyle 4 cdot b 3 cdot d b 2 cdot c 2 4 cdot a cdot c 3 18 cdot a cdot b cdot c cdot d 27 cdot a 2 cdot d 2 nbsp dd Mozhlivi tri vipadki Yaksho D gt 0 displaystyle Delta gt 0 nbsp to rivnyannya maye tri rizni dijsni koreni Yaksho D lt 0 displaystyle Delta lt 0 nbsp to rivnyannya maye odin dijsnij i paru kompleksno spryazhenih koreniv yaksho koeficiyenti rivnyannya dijsni chisla i ne obov yazkovo kompleksno spryazhenih v inshomu vipadku Yaksho D 0 displaystyle Delta 0 nbsp to hocha b dva koreni zbigayutsya Ce mozhe buti koli rivnyannya maye podvijnij dijsnij korin i she odin vidminnij vid nih dijsnij korin abo vsi tri koreni zbigayutsya utvoryuyuchi korin kratnosti 3 Rozdiliti ci dva vipadki dopomagaye rezultant kubichnogo rivnyannya ta jogo drugoyi pohidnoyi mnogochlen maye korin kratnosti 3 todi j lishe todi koli zaznachenij rezultant takozh dorivnyuye nulyu Za teoremoyu Viyeta koreni kubichnogo rivnyannya x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 nbsp pov yazani z koeficiyentami a b c d displaystyle a b c d nbsp takimi spivvidnoshennyami 23 x 1 x 2 x 3 b a displaystyle x 1 x 2 x 3 frac b a nbsp x 1 x 2 x 2 x 3 x 1 x 3 c a displaystyle x 1 x 2 x 2 x 3 x 1 x 3 frac c a nbsp x 1 x 2 x 3 d a displaystyle x 1 x 2 x 3 frac d a nbsp Dilennyam zaznachenih spivvidnoshen odne na odne mozhna otrimati she kilka spivvidnoshen 1 x 1 1 x 2 1 x 3 c d d 0 displaystyle frac 1 x 1 frac 1 x 2 frac 1 x 3 frac c d quad d neq 0 nbsp 1 x 1 x 2 1 x 2 x 3 1 x 1 x 3 b d d 0 displaystyle frac 1 x 1 x 2 frac 1 x 2 x 3 frac 1 x 1 x 3 frac b d quad d neq 0 nbsp 1 x 1 x 2 x 3 a d d 0 displaystyle frac 1 x 1 x 2 x 3 frac a d quad d neq 0 nbsp Metodi rozv yazuvannya RedaguvatiZagalni tochni metodi rozv yazuvannya Formula Kardano Trigonometrichna formula Viyeta Peretvorennya ChirnhausaDlya deyakih osoblivih tipiv kubichnih rivnyan isnuyut specialni sposobi rozv yazuvannya Napriklad Zvorotne rivnyannya Teorema BezuTakozh mozhna zastosovuvati chiselni metodi rozv yazuvannya rivnyan Metod Kardano Redaguvati Dokladnishe Formula KardanoVvedemo dvi zminni u displaystyle u nbsp ta v displaystyle v nbsp taki sho z u v displaystyle z u v nbsp pidstavivshi yih v rivnyannya otrimayemo u 3 v 3 3 u v p u v q 0 displaystyle u 3 v 3 3uv p u v q 0 nbsp vvedemo dodatkovu umovu dlya zminnih a same 3 u v p 0 displaystyle 3uv p 0 nbsp pidstavivshi yiyi v rivnyannya ta vikoristavshi u v p 3 displaystyle uv frac p 3 nbsp otrimayemo ta rozv yazhemo kvadratne rivnyannya vidnosno u 3 displaystyle u 3 nbsp nastupnim chinom u 6 q u 3 p 3 27 0 u 3 q 2 D D q 2 4 p 3 27 displaystyle u 6 qu 3 p 3 over 27 0 qquad u 3 q over 2 pm sqrt D qquad D q 2 over 4 p 3 over 27 nbsp Vsogo ye tri rozv yazki rivnyannya z 3 p z q 0 displaystyle z 3 pz q 0 nbsp odin z nih ye z q 2 D 3 q 2 D 3 displaystyle z sqrt 3 frac q 2 sqrt D sqrt 3 frac q 2 sqrt D nbsp Yaksho p q R displaystyle p q in mathbb R nbsp ta D gt 0 displaystyle D gt 0 nbsp to rivnyannya maye odin dijsnij korin i dva kompleksni D lt 0 displaystyle D lt 0 nbsp to vsi tri koreni rivnyannya ye riznimi dijsnimi chislami D 0 displaystyle D 0 nbsp to vsi koreni rivnyannya ye dijsnimi chislami pri chomu prinajmni dva z nih ye odnakovimi Priklad Redaguvati Rozv yazhemo rivnyannya z 3 z 0 displaystyle z 3 z 0 nbsp z ochevidnimi korenyami 1 0 1 D 0 2 4 1 3 27 1 27 lt 0 displaystyle D 0 2 over 4 1 3 over 27 1 over 27 lt 0 nbsp Pidstanovka Viyeta Redaguvati Yak zaznachalosya vishe bud yake kubichne rivnyannya mozhna zvesti do viglyadu t 3 p t q 0 displaystyle t 3 pt q 0 nbsp Zrobimo pidstanovku vidomu yak pidstanovka Viyeta t w p 3 w displaystyle t w frac p 3w nbsp Rezultatom bude rivnyannya w 3 q p 3 27 w 3 0 displaystyle w 3 q frac p 3 27w 3 0 nbsp Pomnozhivshi na w 3 displaystyle w 3 nbsp otrimayemo rivnyannya shostogo stepenya vid w displaystyle w nbsp yake naspravdi ye kvadratnim rivnyannyam vid w 3 displaystyle w 3 nbsp w 6 q w 3 p 3 27 0 displaystyle w 6 qw 3 frac p 3 27 0 nbsp nbsp Geometrichnij rozv yazok Omara Hayama kubichnogo rivnyannya dlya vipadku a 2 b 16 displaystyle a 2 b 16 nbsp sho daye korin 2 displaystyle 2 nbsp Te sho vertikalna pryama peretinaye vis x displaystyle x nbsp u centri kola specifichne dlya danogo konkretnogo prikladu Rozv yazuyuchi ce rivnyannya otrimayemo w 3 displaystyle w 3 nbsp Yaksho w 1 displaystyle w 1 nbsp w 2 displaystyle w 2 nbsp i w 3 displaystyle w 3 nbsp ye troma kubichnimi korenyami w 3 displaystyle w 3 nbsp to koreni pochatkovogo rivnyannya mozhna otrimati za formulami t 1 w 1 p 3 w 1 t 2 w 2 p 3 w 2 displaystyle t 1 w 1 frac p 3w 1 quad t 2 w 2 frac p 3w 2 quad nbsp i t 3 w 3 p 3 w 3 displaystyle quad t 3 w 3 frac p 3w 3 nbsp Rozv yazok Omara Hayama Redaguvati Yak pokazano na grafiku dlya rozv yazannya rivnyannya tretogo stepenya x 3 a 2 x b displaystyle x 3 a 2 x b nbsp de b gt 0 displaystyle b gt 0 nbsp Omar Hayam pobuduvav parabolu y x 2 a displaystyle y frac x 2 a nbsp ta kolo diametrom yakogo ye vidrizok 0 b a 2 displaystyle left 0 frac b a 2 right nbsp dodatnoyi pivosi x displaystyle x nbsp pislya chogo proviv vertikalnu pryamu sho prohodit cherez peretin paraboli ta kola Rozv yazok viznachayetsya dovzhinoyu gorizontalnogo vidrizka vid pochatku koordinat do peretinu vertikalnoyi pryamoyi z vissyu x displaystyle x nbsp Proste suchasne dovedennya pobudovi mnozhimo na x displaystyle x nbsp rivnyannya ta grupuyemo chleni x 4 a 2 x b a 2 x displaystyle frac x 4 a 2 x left frac b a 2 x right nbsp Liva chastina ce znachennya y 2 displaystyle y 2 nbsp na paraboli Rivnyannya kola y 2 x x b a 2 0 displaystyle y 2 x left x frac b a 2 right 0 nbsp zbigayetsya z pravoyu chastinoyu rivnyannya ta daye znachennya y 2 displaystyle y 2 nbsp na koli Div takozh RedaguvatiDiskriminant Formula Kardano Kubika Rivnyannya chetvertogo stepenyaPrimitki Redaguvati a b John Crossley Anthony W C Lun The Nine Chapters on the Mathematical Art Companion and Commentary Oxford University Press 1999 S 176 ISBN 978 0 19 853936 0 a b Van der Waerden Geometry and Algebra of Ancient Civilizations Zurich 1983 S chapter 4 ISBN 0 387 12159 5 Roger Cooke 1 John Wiley amp Sons 2012 P 63 ISBN 978 1 118 46029 0 Arhivovano z dzherela 21 travnya 2021 Karen Rhea Nemet Nejat 2 Greenwood Publishing Group 1998 P 306 ISBN 978 0 313 29497 6 Arhivovano z dzherela 22 grudnya 2019 Roger Cooke 3 John Wiley amp Sons 2008 P 64 ISBN 978 0 470 27797 3 Arhivovano z dzherela 29 chervnya 2014 Guilbeau 1930 utverzhdaet chto egiptyane polagali chto reshenie nevozmozhno no greki podoshli k resheniyu blizhe a b Guilbeau 1930 Thomas L Heath Diophantus of Alexandria A Study in the History of Greek Algebra Martino Pub 2009 ISBN 978 1578987542 Archimedes translation by T L Heath The works of Archimedes Rough Draft Printing 2007 ISBN 978 1603860512 Yoshio Mikami The Development of Mathematics in China and Japan 2nd ed New York Chelsea Publishing Co 1974 S 53 56 ISBN 978 0 8284 0149 4 Istoriya matematiki tom I 1970 s 225 Robota Omara Hayama Scripta Math 26 1963 stor 323 337 u knizi O Konnora i Robertsona Omar Khayyam MacTutor History of Mathematics archive University of St Andrews mozhna prochitati Cya zadacha privela Hayama do kubichnogo rivnyannya x3 200x 20x2 2000 i vin znajshov dodatnij korin cogo rivnyannya yak peretin rivnobichnoyi giperboli ta kola Nablizhenij chiselnij rozv yazok potim znajdeno shlyahom interpolyaciyi trigonometrichnih tablic J J O Connor i E F Robertson 1999 Omar Khayyam Arhivovano 2011 09 21 u Wayback Machine v arhivi istoriyi matematiki MacTutor stverdzhuyut Hayam shozhe buv pershim hto zadumavsya pro zagalnu teoriyu kubichnih rivnyan Guilbeau 1930 stverdzhuye Omar Al Hej Horasan blizko 1079 roku zrobiv bagato dlya prosuvannya metodiv rozv yazuvannya algebrichnih rivnyan za dopomogoyu peretinnih konichnih pereriziv Datta Singh History of Hindu Mathematics Delhi India 2004 S 76 ISBN 81 86050 86 8 str 76 Equation of Higher Degree Bharattya Kala Prakashan O Connor John J Robertson Edmund F Sharaf al Din al Muzaffar al Tusi MacTutor History of Mathematics archive University of St Andrews J L Berggren Innovation and Tradition in Sharaf al Din al Tusi s Muadalat Journal of the American Oriental Society 1990 T 110 vip 2 17 zhovtnya S 304 309 DOI 10 2307 604533 R N Knott and the Plus Team The life and numbers of Fibonacci Plus Magazine 2013 17 zhovtnya Arhivovano z dzherela 17 travnya 2008 Procitovano 6 grudnya 2021 Andronov I K Matematika dejstvitelnyh i kompleksnyh chisel Prosveshenie 1975 S 91 92 Victor Katz A History of Mathematics Boston Addison Wesley 2004 S 220 ISBN 9780321016188 R W D Nickalls Viete Descartes and the cubic equation Mathematical Gazette 2006 T 90 1 lipnya S 203 208 Arhivovano z dzherela 6 grudnya 2021 Procitovano 6 grudnya 2021 Bronshtejn I N Semendyaev K A Spravochnik po matematike Izd 7 e stereotipnoe M Gosudarstvennoe izdatelstvo tehniko teoreticheskoj literatury 1967 S 139 Literatura RedaguvatiKorn G Korn T Spravochnik po matematike dlya nauchnyh rabotnikov i inzhenerov Moskva Nauka 1973 832 s ros Bronshtejn I N Semendyaev K A Spravochnik po matematike Izd 7 e stereotipnoe M Gosudarstvennoe izdatelstvo tehniko teoreticheskoj literatury 1967 S 138 139 Posilannya RedaguvatiDokladne onlajn rozv yazannya kubichnogo rivnyannya Arhivovano 30 serpnya 2019 u Wayback Machine Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Kubichne rivnyannya amp oldid 40337129