www.wikidata.uk-ua.nina.az

Дійсна проєктивна площина приклад компактного неорієнтованого двовимірного многовида тобто односторонньої поверхні Проєк

Дійсна проєктивна площина

Дійсна проєктивна площина — приклад компактного неорієнтованого двовимірного многовида, тобто односторонньої поверхні. Проєктивну площину неможливо вкласти у звичайний тривимірний простір без самоперетину. Основна галузь застосування цієї площини — геометрія, позаяк основна побудова дійсної проєктивної площини — простір прямих R3, що проходять через початок координат.

Фундаментальний многокутник[en] площини
Стрічку Мебіуса з єдиним ребром можна замкнути в проєктивну площину, склеївши протилежні краї
 Для порівняння, пляшка Клейна — це стрічка Мебіуса, замкнена в циліндр

Площину часто описують топологічно в термінах побудови на основі стрічки Мебіуса — якщо склеїти (єдиний) край стрічки Мебіуса із собою в правильному напрямку, отримаємо проєктивну площину (це неможливо здійснити у тривимірному просторі). Еквівалентно, приклеювання круга вздовж межі стрічки Мебіуса дає проєктивну площину. Топологічно, поверхня має ейлерову характеристику 1, бо напіврід (неорієнтований або ейлерів рід) дорівнює 1.

Позаяк стрічку Мебіуса, у свою чергу, можна побудувати з квадрата склеюванням двох його сторін, дійсну проєктивну площину можна подати як одиничний квадрат (тобто [0,1] × [0,1]), у якому сторони ототожнено таким відношенням еквівалентності:

і

як на лівому малюнку вище.

Приклади Редагувати

Проєктивна геометрія не обов'язково стосується кривини і дійсна проєктивну площину можна скрутити й помістити в евклідову площину або тривимірний простір багатьма способами. Деякі важливі приклади вкладення площини описано нижче.

Проєктивну площину не можна вкласти (без перетинів) у тривимірний евклідів простір. Доводиться це приблизно так. Припустимо, що площину вкладено, тоді проєктивна площина обмежує компактну область тривимірного евклідового простору відповідно до узагальненої теореми Жордана. Спрямоване назовні одиничне векторне поле задає тоді орієнтацію межі многовида, проте межею многовида слугує проєктивна площина, яка не орієнтована. Маємо суперечність.

Проєктивна сфера Редагувати

Розглянемо сферу, нехай великі кола сфери будуть «прямими», а пари антиподальних точок[en] будуть «точками». Легко перевірити, що система підпорядковується аксіомам проєктивної площини:

  • будь-яка пара різних великих кіл перетинаються в парі антиподальних точок
  • будь-які дві різні пари антиподальних точок лежать на єдиному великому колі

Якщо ми ототожнюємо будь-яку точку на сфері з її антиподальною точкою, отримаємо подання дійсної проєктивної площини, в якій «точками» проєктивної площини є реальні точки. Це означає, що проєктивна площина є фактор-простором сфери, отриманим розбиттям сфери на класи еквівалентності відношенням , де якщо . Цей фактор-простір гомеоморфний множині всіх прямих, що проходять через початок координат в R3.

Факторне відображення зі сфери в дійсну проєктивну площину є, фактично, дволистим (тобто два-в-один) накриттям. Звідси випливає, що фундаментальна група дійсної проєктивної площини є циклічною групою порядку 2. За генератор можна взяти цикл AB на малюнку вгорі.

Проєктивна півсфера Редагувати

Оскільки сфера покриває дійсну проєктивну площину двічі, проєктивну площину можна подати як замкнуту півсферу, в якої протилежні точки обода ототожнено.

Поверхня Боя — занурення Редагувати

Проєктивну площину можна занурити (локальні околи області визначення не мають самоперетинів) у тривимірному просторі. Поверхня Боя є прикладом такого занурення.

Багатогранні приклади повинні мати щонайменше дев'ять граней.

Римська поверхня Редагувати

Анімація Римської поверхні

Римська поверхня[en] Штейнера є виродженим відображенням проєктивної площини в тривимірний простір, що містить плівку Мебіуса.

Тетрагемігексаедр є багатогранним поданням дійсної проєктивної площини.

Подання у вигляді многогранника — це тетрагемігексаедр, який має таку ж загальну форму, що й поверхня Штейнера.

Напівмногогранники Редагувати

З іншого боку, деякі абстрактні правильні многогранники, напівкуб[en], напівдодекаедр і напівікосаедр, можна побудувати як фігури проєктивної площини. Див. статтю «Проєктивний многогранник[en]».

Планарні проєкції Редагувати

Описано різні планарні проєкції або відображення проєктивної площини. 1874 року Кляйн описав відображення

Центральна проєкція проєктивної півсфери на площину дає звичайну нескінченну проєктивну площину, описану нижче.

Плівка Мебіуса Редагувати

Якщо склеїти круг із плівкою Мебіуса, отримаємо замкнуту поверхню. Цю поверхню можна задати параметрично такими рівняннями:

де u та v пробігають від 0 до 2π. Ці рівняння подібні до рівнянь для тора. На малюнку 1 показано замкнутий диск із плівкою Мебіуса.

Малюнок 1. Два види диска із плівкою Мебіуса.

Диск із плівкою Мебіуса має площину симетрії, яка проходить через відрізок із точками перетину (на малюнку площина буде горизонтальною). На малюнку 1 диск із плівкою Мебіуса показано зверху відносно площини симетрії z = 0, але він виглядатиме так само і при розгляді знизу.

Диск із плівкою Мебіуса можна розсікти вздовж площини симетрії з умовою, що не розсікається жодна подвійна точка. Результат наведено на малюнку 2.

Малюнок 2. Два види розсіченого диска із плівкою Мебіуса.

За такої умови видно, що розсічений диск із плівкою Мебіуса гомеоморфний самоперетнутому диску, як показано на малюнку 3.

Малюнок 3. Два різних вигляди самоперетнутого диска.

Самоперетнутий диск гомеоморфний звичайному диску. Параметричні рівняння самоперетнутого диска:

де u пробігає від 0 до 2π, а v — від 0 до 1.

Проєкція самоперетнутого диска на площину симетрії (z = 0 за наведеної вище параметризації), яка проходить тільки через подвійні точки, є звичайним диском, який повторює себе (згортається на себе).

Площина z = 0 розсікає самоперетнутий диск на пару дисків, що є дзеркальними відображеннями один одного. Диски мають центри в початку координат.

Розглянемо тепер ободи дисків (з v = 1). Точки на ободі самоперетнутого диска йдуть парами як відображення одна одної відносно площини z = 0.

Диск із плівкою Мебіуса утворюється ототожненням цих пар точок. Це означає, що точка з параметрами та координатами ототожнюється з точкою , координати якої . Але це означає, що пари протилежних точок на ободі (еквівалентного) звичайного диска ототожнюються. Таким чином, з диска формується дійсна проєктивна площина, так що поверхня, показана на малюнку 1 (диск із плівкою Мебіуса), топологічно еквівалентна дійсній проєктивній площині RP2.

Однорідні координати Редагувати

Точки площини можна подати однорідними координатами. Точка має однорідні координати , при цьому координати і відповідають для всіх ненульових значень одній і тій самій точці. Точки з координатами утворюють звичайну дійсну площину, яку називають кінцевою частиною проєктивної площини, а точки з координатами називають точками на нескінченності або ідеальними точками, які утворюють пряму, називану нескінченно віддаленою прямою[en] . Однорідні координати не задають ніякої точки.

Прямі на площині можна задати однорідними координатами. Проєктивна пряма, відповідна площині в R3, має однорідні координати . Таким чином, ці координати мають відношення еквівалентності. для всіх ненульових значень . Це наслідок того, що рівняння тієї ж прямої дає ті самі однорідні координати. Точка лежить на прямій , якщо . Таким чином, прямі з координатами , де і не дорівнюють 0, відповідають прямим звичайної дійсної площини, оскільки вони містять точки, що не лежать на нескінченності. Пряма з координатами є нескінченно віддаленою прямою, оскільки на ній лежать тільки точки, для яких .

Точки, прямі та площини Редагувати

Пряму в площині P2 можна задати рівнянням . Якщо ми розглядаємо , і як вектор-стовпець g, а , і як вектор-стовпець x, то наведене вище рівняння можна записати як:

Скориставшись векторним записом, маємо

Рівняння (де  — ненульовий скаляр) вимітає площину, яка проходить через початок координат R3, а вимітає пряму, яка також проходить через початок координат. Площина і пряма є лінійними підпросторами R3[en], які завжди проходять через початок координат.

Ідеальні точки Редагувати

У P2 рівняння прямої — і це рівняння може описувати будь-яку пряму на будь-якій площині, паралельній площині при множенні рівняння на .

Якщо , маємо нормалізовані однорідні координати. Усі точки, в яких , утворюють площину. Уявімо, що ми дивимося на цю площину (з точки далі по осі і в напрямку початку координат) і на площині є дві паралельні прямі. З точки огляду ми побачимо тільки частину площини (що обумовлено властивостями зору), яку на малюнку виділено червоним. Якщо ми віддаляємось від площини вздовж осі (продовжуючи дивитися в бік початку координат), ми можемо бачити більшу частину площини. Початкові точки нашого фрагмента огляду пересуваються. Ми можемо відобразити цей рух діленням однорідних координат на константу. На малюнку ми поділили на 2, тому значення тепер стало 0,5. Якщо ми відсуваємося досить далеко, розглянута область перетворюється на точку. В міру віддалення ми бачимо прямі дедалі ширше, при цьому паралельні прямі перетинаються на нескінченно віддаленій прямій (прямій, що проходить через початок координат на площині ). Прямі на площині є ідеальними точками. Площина є нескінченно віддаленою прямою.

Точка з однорідними координатами (0, 0, 0) — це точка, куди сходяться всі дійсні точки, коли ви дивитеся на площину з нескінченності, а пряма на площині ) — це пряма, де перетинаються всі паралельні прямі.

Двоїстість Редагувати

У рівнянні є два вектор-стовпці. При збереженні сталим одного стовпця можна змінювати інший. Якщо зберігати сталою точку x і змінювати коефіцієнти g, отримаємо нові прямі через точку. Якщо ж зберігати сталими коефіцієнти і змінювати точки, які відповідають рівнянню, отримаємо пряму. Ми розглядаємо x як точку, оскільки використовуємо осі , та . Якщо замість цього використати як коефіцієнти осі , , , точки стають прямими, а прямі — точками. Якщо деякий факт доводиться для графічного подання даних[en] при осях , і , ті ж самі доводи можна використовувати для осей , , . Це називають двоїстістю.

Прямі, що з'єднують точки, та перетин прямих (з використанням двоїстості) Редагувати

Рівняння обчислює скалярний добуток двох вектор-стовпців. Скалярний добуток двох векторів дорівнює нулю, якщо вектори ортогональні. У площині P2 пряму між точками x1 і x2 можна подати як вектор-стовпець g, що задовольняє рівнянням і , або, іншими словами, вектор-стовпець g, ортогональний векторам x1 і x2. Векторний добуток знаходить такий вектор — пряма, що з'єднує дві точки, має однорідні координати, задавані рівнянням . Перетин двох прямих можна знайти в такий самий спосіб, скориставшись двоїістістю, як векторний добуток векторів, що представляють прямі .

Вкладення у 4-вимірний простір Редагувати

Проєктивна площина вкладається в 4-вимірний евклідів простір. Дійсна проєктивна площина P2(R) є фактор-простором 2-сфери

за антиподальним відношенням . Розглянемо функцію задану як . Це відображення обмежується до відображення, областю визначення якого є S2 і, оскільки кожен член є однорідним поліномом парного степеня, воно набуває однакових значень у R4 на кожній з двох антиподальних точок сфери S2. Це дає відображення . Понад те, це відображення є вкладенням. Зауважимо, що це вкладення дозволяє проєкцію в R3, яка є римською поверхнею[en].

Неорієнтовані поверхні вищого півроду Редагувати

Склеївши проєктивні площини одну за одною, отримаємо неорієнтовані поверхні вищого напівроду. Процес склеювання полягає у вирізуванні маленького диска з кожної поверхні та ототожнення (склеювання) меж. Склеювання двох проєктивних площин дає пляшку Кляйна.

Стаття про фундаментальний многокутник[en] описує неорієнтовані поверхні вищого напівроду.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. ↑ Apéry, 1987.
  2. Weeks, 2002, с. 59.
  3. Brehm, 1990, с. 51—56.
  4. Richter.

Література Редагувати

  • Apéry F. Models of the real projective plane. — Vieweg, 1987. — ISBN 9783528089559.
  • Coxeter H.S.M. The Real Projective Plane. — 2nd ed. — Cambridge: At the University Press, 1955.
  • Reinhold Baer. Linear Algebra and Projective Geometry. — Dover, 2005. — ISBN 0-486-44565-8.
  • David A. Richter. Two Models of the Real Projective Plane. Процитовано 2010-04-15.
  • Weeks J. The shape of space. — Marcel Dekker, Ine, 2002. — (MONOGRAPHS AND TEXTBOOKS IN Pure and Applied Mathematics) — ISBN 0-8247-0709-5.
  • Brehm U. How to build minimal polyhedral models of the Boy surface // The mathematical intelligencer. — 1990. — Т. 12, вип. 4.

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Dijsna proyektivna ploshina priklad kompaktnogo neoriyentovanogo dvovimirnogo mnogovida tobto odnostoronnoyi poverhni Proyektivnu ploshinu nemozhlivo vklasti u zvichajnij trivimirnij prostir bez samoperetinu Osnovna galuz zastosuvannya ciyeyi ploshini geometriya pozayak osnovna pobudova dijsnoyi proyektivnoyi ploshini prostir pryamih R3 sho prohodyat cherez pochatok koordinat Fundamentalnij mnogokutnik en ploshini Strichku Mebiusa z yedinim rebrom mozhna zamknuti v proyektivnu ploshinu skleyivshi protilezhni krayi Dlya porivnyannya plyashka Klejna ce strichka Mebiusa zamknena v cilindrPloshinu chasto opisuyut topologichno v terminah pobudovi na osnovi strichki Mebiusa yaksho skleyiti yedinij kraj strichki Mebiusa iz soboyu v pravilnomu napryamku otrimayemo proyektivnu ploshinu ce nemozhlivo zdijsniti u trivimirnomu prostori Ekvivalentno prikleyuvannya kruga vzdovzh mezhi strichki Mebiusa daye proyektivnu ploshinu Topologichno poverhnya maye ejlerovu harakteristiku 1 bo napivrid neoriyentovanij abo ejleriv rid dorivnyuye 1 Pozayak strichku Mebiusa u svoyu chergu mozhna pobuduvati z kvadrata skleyuvannyam dvoh jogo storin dijsnu proyektivnu ploshinu mozhna podati yak odinichnij kvadrat tobto 0 1 0 1 u yakomu storoni ototozhneno takim vidnoshennyam ekvivalentnosti 0 y 1 1 y 0 y 1 displaystyle 0 y sim 1 1 y 0 leqslant y leqslant 1 i x 0 1 x 1 0 x 1 displaystyle x 0 sim 1 x 1 0 leqslant x leqslant 1 yak na livomu malyunku vishe Zmist 1 Prikladi 1 1 Proyektivna sfera 1 2 Proyektivna pivsfera 1 3 Poverhnya Boya zanurennya 1 4 Rimska poverhnya 1 5 Napivmnogogranniki 1 6 Planarni proyekciyi 1 7 Plivka Mebiusa 2 Odnoridni koordinati 2 1 Tochki pryami ta ploshini 2 2 Idealni tochki 2 3 Dvoyistist 2 3 1 Pryami sho z yednuyut tochki ta peretin pryamih z vikoristannyam dvoyistosti 3 Vkladennya u 4 vimirnij prostir 4 Neoriyentovani poverhni vishogo pivrodu 5 Div takozh 6 Primitki 7 Literatura 8 PosilannyaPrikladi RedaguvatiProyektivna geometriya ne obov yazkovo stosuyetsya krivini i dijsna proyektivnu ploshinu mozhna skrutiti j pomistiti v evklidovu ploshinu abo trivimirnij prostir bagatma sposobami 1 Deyaki vazhlivi prikladi vkladennya ploshini opisano nizhche Proyektivnu ploshinu ne mozhna vklasti bez peretiniv u trivimirnij evklidiv prostir Dovoditsya ce priblizno tak Pripustimo sho ploshinu vkladeno todi proyektivna ploshina obmezhuye kompaktnu oblast trivimirnogo evklidovogo prostoru vidpovidno do uzagalnenoyi teoremi Zhordana Spryamovane nazovni odinichne vektorne pole zadaye todi oriyentaciyu mezhi mnogovida prote mezheyu mnogovida sluguye proyektivna ploshina yaka ne oriyentovana Mayemo superechnist Proyektivna sfera Redaguvati Rozglyanemo sferu nehaj veliki kola sferi budut pryamimi a pari antipodalnih tochok en budut tochkami Legko pereviriti sho sistema pidporyadkovuyetsya aksiomam proyektivnoyi ploshini bud yaka para riznih velikih kil peretinayutsya v pari antipodalnih tochok bud yaki dvi rizni pari antipodalnih tochok lezhat na yedinomu velikomu koliYaksho mi ototozhnyuyemo bud yaku tochku na sferi z yiyi antipodalnoyu tochkoyu otrimayemo podannya dijsnoyi proyektivnoyi ploshini v yakij tochkami proyektivnoyi ploshini ye realni tochki Ce oznachaye sho proyektivna ploshina ye faktor prostorom sferi otrimanim rozbittyam sferi na klasi ekvivalentnosti vidnoshennyam displaystyle sim nbsp de x y displaystyle x sim y nbsp yaksho y x displaystyle y x nbsp Cej faktor prostir gomeomorfnij mnozhini vsih pryamih sho prohodyat cherez pochatok koordinat v R3 Faktorne vidobrazhennya zi sferi v dijsnu proyektivnu ploshinu ye faktichno dvolistim tobto dva v odin nakrittyam Zvidsi viplivaye sho fundamentalna grupa dijsnoyi proyektivnoyi ploshini ye ciklichnoyu grupoyu poryadku 2 Za generator mozhna vzyati cikl AB na malyunku vgori Proyektivna pivsfera Redaguvati Oskilki sfera pokrivaye dijsnu proyektivnu ploshinu dvichi proyektivnu ploshinu mozhna podati yak zamknutu pivsferu v yakoyi protilezhni tochki oboda ototozhneno 2 Poverhnya Boya zanurennya Redaguvati Proyektivnu ploshinu mozhna zanuriti lokalni okoli oblasti viznachennya ne mayut samoperetiniv u trivimirnomu prostori Poverhnya Boya ye prikladom takogo zanurennya Bagatogranni prikladi povinni mati shonajmenshe dev yat granej 3 Rimska poverhnya Redaguvati nbsp Animaciya Rimskoyi poverhniRimska poverhnya en Shtejnera ye virodzhenim vidobrazhennyam proyektivnoyi ploshini v trivimirnij prostir sho mistit plivku Mebiusa nbsp Tetragemigeksaedr ye bagatogrannim podannyam dijsnoyi proyektivnoyi ploshini Podannya u viglyadi mnogogrannika ce tetragemigeksaedr 4 yakij maye taku zh zagalnu formu sho j poverhnya Shtejnera Napivmnogogranniki Redaguvati Z inshogo boku deyaki abstraktni pravilni mnogogranniki napivkub en napivdodekaedr i napivikosaedr mozhna pobuduvati yak figuri proyektivnoyi ploshini Div stattyu Proyektivnij mnogogrannik en Planarni proyekciyi Redaguvati Opisano rizni planarni proyekciyi abo vidobrazhennya proyektivnoyi ploshini 1874 roku Klyajn opisav vidobrazhennya k x y 1 x 2 y 2 x y displaystyle k x y sqrt 1 x 2 y 2 x y nbsp 1 Centralna proyekciya proyektivnoyi pivsferi na ploshinu daye zvichajnu neskinchennu proyektivnu ploshinu opisanu nizhche Plivka Mebiusa Redaguvati Yaksho skleyiti krug iz plivkoyu Mebiusa otrimayemo zamknutu poverhnyu Cyu poverhnyu mozhna zadati parametrichno takimi rivnyannyami X u v r 1 cos v cos u displaystyle X u v r 1 cos v cos u nbsp Y u v r 1 cos v sin u displaystyle Y u v r 1 cos v sin u nbsp Z u v t h u p r sin v displaystyle Z u v mathrm th left u pi right r sin v nbsp de u ta v probigayut vid 0 do 2p Ci rivnyannya podibni do rivnyan dlya tora Na malyunku 1 pokazano zamknutij disk iz plivkoyu Mebiusa nbsp Malyunok 1 Dva vidi diska iz plivkoyu Mebiusa Disk iz plivkoyu Mebiusa maye ploshinu simetriyi yaka prohodit cherez vidrizok iz tochkami peretinu na malyunku ploshina bude gorizontalnoyu Na malyunku 1 disk iz plivkoyu Mebiusa pokazano zverhu vidnosno ploshini simetriyi z 0 ale vin viglyadatime tak samo i pri rozglyadi znizu Disk iz plivkoyu Mebiusa mozhna rozsikti vzdovzh ploshini simetriyi z umovoyu sho ne rozsikayetsya zhodna podvijna tochka Rezultat navedeno na malyunku 2 nbsp Malyunok 2 Dva vidi rozsichenogo diska iz plivkoyu Mebiusa Za takoyi umovi vidno sho rozsichenij disk iz plivkoyu Mebiusa gomeomorfnij samoperetnutomu disku yak pokazano na malyunku 3 nbsp Malyunok 3 Dva riznih viglyadi samoperetnutogo diska Samoperetnutij disk gomeomorfnij zvichajnomu disku Parametrichni rivnyannya samoperetnutogo diska X u v r v cos 2 u displaystyle X u v r v cos 2u nbsp Y u v r v sin 2 u displaystyle Y u v r v sin 2u nbsp Z u v r v cos u displaystyle Z u v r v cos u nbsp de u probigaye vid 0 do 2p a v vid 0 do 1 Proyekciya samoperetnutogo diska na ploshinu simetriyi z 0 za navedenoyi vishe parametrizaciyi yaka prohodit tilki cherez podvijni tochki ye zvichajnim diskom yakij povtoryuye sebe zgortayetsya na sebe Ploshina z 0 rozsikaye samoperetnutij disk na paru diskiv sho ye dzerkalnimi vidobrazhennyami odin odnogo Diski mayut centri v pochatku koordinat Rozglyanemo teper obodi diskiv z v 1 Tochki na obodi samoperetnutogo diska jdut parami yak vidobrazhennya odna odnoyi vidnosno ploshini z 0 Disk iz plivkoyu Mebiusa utvoryuyetsya ototozhnennyam cih par tochok Ce oznachaye sho tochka z parametrami u 1 displaystyle u 1 nbsp ta koordinatami r cos 2 u r sin 2 u r cos u displaystyle r cos 2u r sin 2u r cos u nbsp ototozhnyuyetsya z tochkoyu u p 1 displaystyle u pi 1 nbsp koordinati yakoyi r cos 2 u r sin 2 u r cos u displaystyle r cos 2u r sin 2u r cos u nbsp Ale ce oznachaye sho pari protilezhnih tochok na obodi ekvivalentnogo zvichajnogo diska ototozhnyuyutsya Takim chinom z diska formuyetsya dijsna proyektivna ploshina tak sho poverhnya pokazana na malyunku 1 disk iz plivkoyu Mebiusa topologichno ekvivalentna dijsnij proyektivnij ploshini RP2 Odnoridni koordinati RedaguvatiTochki ploshini mozhna podati odnoridnimi koordinatami Tochka maye odnoridni koordinati x y z displaystyle x y z nbsp pri comu koordinati x y z displaystyle x y z nbsp i t x t y t z displaystyle tx ty tz nbsp vidpovidayut dlya vsih nenulovih znachen t displaystyle t nbsp odnij i tij samij tochci Tochki z koordinatami x y 1 displaystyle x y 1 nbsp utvoryuyut zvichajnu dijsnu ploshinu yaku nazivayut kincevoyu chastinoyu proyektivnoyi ploshini a tochki z koordinatami x y 0 displaystyle x y 0 nbsp nazivayut tochkami na neskinchennosti abo idealnimi tochkami yaki utvoryuyut pryamu nazivanu neskinchenno viddalenoyu pryamoyu en Odnoridni koordinati 0 0 0 displaystyle 0 0 0 nbsp ne zadayut niyakoyi tochki Pryami na ploshini mozhna zadati odnoridnimi koordinatami Proyektivna pryama vidpovidna ploshini a x b y c z 0 displaystyle ax by cz 0 nbsp v R3 maye odnoridni koordinati a b c displaystyle a b c nbsp Takim chinom ci koordinati mayut vidnoshennya ekvivalentnosti a b c d a d b d c displaystyle a b c da db dc nbsp dlya vsih nenulovih znachen d displaystyle d nbsp Ce naslidok togo sho rivnyannya tiyeyi zh pryamoyi d a x d b y d c z 0 displaystyle dax dby dcz 0 nbsp daye ti sami odnoridni koordinati Tochka x y z displaystyle x y z nbsp lezhit na pryamij a b c displaystyle a b c nbsp yaksho a x b y c z 0 displaystyle ax by cz 0 nbsp Takim chinom pryami z koordinatami a b c displaystyle a b c nbsp de a displaystyle a nbsp i b displaystyle b nbsp ne dorivnyuyut 0 vidpovidayut pryamim zvichajnoyi dijsnoyi ploshini oskilki voni mistyat tochki sho ne lezhat na neskinchennosti Pryama z koordinatami 0 0 1 displaystyle 0 0 1 nbsp ye neskinchenno viddalenoyu pryamoyu oskilki na nij lezhat tilki tochki dlya yakih z 0 displaystyle z 0 nbsp Tochki pryami ta ploshini Redaguvati nbsp Pryamu v ploshini P2 mozhna zadati rivnyannyam a x b y c z 0 displaystyle ax by cz 0 nbsp Yaksho mi rozglyadayemo a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp i c displaystyle c nbsp yak vektor stovpec g a x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp i z displaystyle z nbsp yak vektor stovpec x to navedene vishe rivnyannya mozhna zapisati yak x T g 0 displaystyle mathbf x T mathbf g 0 nbsp abo g T x 0 displaystyle mathbf g T mathbf x 0 nbsp Skoristavshis vektornim zapisom mayemo x g 0 displaystyle mathbf x ldots mathbf g 0 nbsp abo g x 0 displaystyle mathbf g ldots mathbf x 0 nbsp Rivnyannya k x T g 0 displaystyle k mathbf x T mathbf g 0 nbsp de k displaystyle k nbsp nenulovij skalyar vimitaye ploshinu yaka prohodit cherez pochatok koordinat R3 a k x displaystyle k x nbsp vimitaye pryamu yaka takozh prohodit cherez pochatok koordinat Ploshina i pryama ye linijnimi pidprostorami R3 en yaki zavzhdi prohodyat cherez pochatok koordinat Idealni tochki Redaguvati nbsp U P2 rivnyannya pryamoyi a x b y c 0 displaystyle ax by c 0 nbsp i ce rivnyannya mozhe opisuvati bud yaku pryamu na bud yakij ploshini paralelnij ploshini x y displaystyle xy nbsp pri mnozhenni rivnyannya na k displaystyle k nbsp Yaksho z 1 displaystyle z 1 nbsp mayemo normalizovani odnoridni koordinati Usi tochki v yakih z 1 displaystyle z 1 nbsp utvoryuyut ploshinu Uyavimo sho mi divimosya na cyu ploshinu z tochki dali po osi z displaystyle z nbsp i v napryamku pochatku koordinat i na ploshini ye dvi paralelni pryami Z tochki oglyadu mi pobachimo tilki chastinu ploshini sho obumovleno vlastivostyami zoru yaku na malyunku vidileno chervonim Yaksho mi viddalyayemos vid ploshini vzdovzh osi z displaystyle z nbsp prodovzhuyuchi divitisya v bik pochatku koordinat mi mozhemo bachiti bilshu chastinu ploshini Pochatkovi tochki nashogo fragmenta oglyadu peresuvayutsya Mi mozhemo vidobraziti cej ruh dilennyam odnoridnih koordinat na konstantu Na malyunku mi podilili na 2 tomu znachennya z displaystyle z nbsp teper stalo 0 5 Yaksho mi vidsuvayemosya dosit daleko rozglyanuta oblast peretvoryuyetsya na tochku V miru viddalennya mi bachimo pryami dedali shirshe pri comu paralelni pryami peretinayutsya na neskinchenno viddalenij pryamij pryamij sho prohodit cherez pochatok koordinat na ploshini z 0 displaystyle z 0 nbsp Pryami na ploshini z 0 displaystyle z 0 nbsp ye idealnimi tochkami Ploshina z 0 displaystyle z 0 nbsp ye neskinchenno viddalenoyu pryamoyu Tochka z odnoridnimi koordinatami 0 0 0 ce tochka kudi shodyatsya vsi dijsni tochki koli vi divitesya na ploshinu z neskinchennosti a pryama na ploshini z 0 displaystyle z 0 nbsp ce pryama de peretinayutsya vsi paralelni pryami Dvoyistist Redaguvati nbsp U rivnyanni x T g 0 displaystyle mathbf x T mathbf g 0 nbsp ye dva vektor stovpci Pri zberezhenni stalim odnogo stovpcya mozhna zminyuvati inshij Yaksho zberigati staloyu tochku x i zminyuvati koeficiyenti g otrimayemo novi pryami cherez tochku Yaksho zh zberigati stalimi koeficiyenti i zminyuvati tochki yaki vidpovidayut rivnyannyu otrimayemo pryamu Mi rozglyadayemo x yak tochku oskilki vikoristovuyemo osi x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp ta z displaystyle z nbsp Yaksho zamist cogo vikoristati yak koeficiyenti osi a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp tochki stayut pryamimi a pryami tochkami Yaksho deyakij fakt dovoditsya dlya grafichnogo podannya danih en pri osyah x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp i z displaystyle z nbsp ti zh sami dovodi mozhna vikoristovuvati dlya osej a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp Ce nazivayut dvoyististyu Pryami sho z yednuyut tochki ta peretin pryamih z vikoristannyam dvoyistosti Redaguvati Rivnyannya x T g 0 displaystyle mathbf x T mathbf g 0 nbsp obchislyuye skalyarnij dobutok dvoh vektor stovpciv Skalyarnij dobutok dvoh vektoriv dorivnyuye nulyu yaksho vektori ortogonalni U ploshini P2 pryamu mizh tochkami x1 i x2 mozhna podati yak vektor stovpec g sho zadovolnyaye rivnyannyam x 1 T g 0 displaystyle mathbf x 1 T mathbf g 0 nbsp i x 2 T g 0 displaystyle mathbf x 2 T mathbf g 0 nbsp abo inshimi slovami vektor stovpec g ortogonalnij vektoram x1 i x2 Vektornij dobutok znahodit takij vektor pryama sho z yednuye dvi tochki maye odnoridni koordinati zadavani rivnyannyam x 1 x 2 displaystyle mathbf x 1 times mathbf x 2 nbsp Peretin dvoh pryamih mozhna znajti v takij samij sposib skoristavshis dvoyiististyu yak vektornij dobutok vektoriv sho predstavlyayut pryami g 1 g 2 displaystyle mathbf g 1 times mathbf g 2 nbsp Vkladennya u 4 vimirnij prostir RedaguvatiProyektivna ploshina vkladayetsya v 4 vimirnij evklidiv prostir Dijsna proyektivna ploshina P2 R ye faktor prostorom 2 sferi S 2 x y z R 3 3 x 2 y 2 z 2 1 displaystyle S 2 x y z in mathbf R 3 3 x 2 y 2 z 2 1 nbsp za antipodalnim vidnoshennyam x y z x y z displaystyle x y z sim x y z nbsp Rozglyanemo funkciyu R 3 R 4 displaystyle mathbf R 3 rightarrow mathbf R 4 nbsp zadanu yak x y z x y x z y 2 z 2 2 y z displaystyle x y z mapsto xy xz y 2 z 2 2yz nbsp Ce vidobrazhennya obmezhuyetsya do vidobrazhennya oblastyu viznachennya yakogo ye S2 i oskilki kozhen chlen ye odnoridnim polinomom parnogo stepenya vono nabuvaye odnakovih znachen u R4 na kozhnij z dvoh antipodalnih tochok sferi S2 Ce daye vidobrazhennya P 2 R R 4 displaystyle mathbf P 2 mathbf R rightarrow mathbf R 4 nbsp Ponad te ce vidobrazhennya ye vkladennyam Zauvazhimo sho ce vkladennya dozvolyaye proyekciyu v R3 yaka ye rimskoyu poverhneyu en Neoriyentovani poverhni vishogo pivrodu RedaguvatiSkleyivshi proyektivni ploshini odnu za odnoyu otrimayemo neoriyentovani poverhni vishogo napivrodu Proces skleyuvannya polyagaye u virizuvanni malenkogo diska z kozhnoyi poverhni ta ototozhnennya skleyuvannya mezh Skleyuvannya dvoh proyektivnih ploshin daye plyashku Klyajna Stattya pro fundamentalnij mnogokutnik en opisuye neoriyentovani poverhni vishogo napivrodu Div takozh RedaguvatiDijsnij proyektivnij prostir en Proyektivnij prostir Gladkij proyektivnij prostir en Primitki Redaguvati a b Apery 1987 Weeks 2002 s 59 Brehm 1990 s 51 56 Richter Literatura RedaguvatiApery F Models of the real projective plane Vieweg 1987 ISBN 9783528089559 Coxeter H S M The Real Projective Plane 2nd ed Cambridge At the University Press 1955 Reinhold Baer Linear Algebra and Projective Geometry Dover 2005 ISBN 0 486 44565 8 David A Richter Two Models of the Real Projective Plane Procitovano 2010 04 15 Weeks J The shape of space Marcel Dekker Ine 2002 MONOGRAPHS AND TEXTBOOKS IN Pure and Applied Mathematics ISBN 0 8247 0709 5 Brehm U How to build minimal polyhedral models of the Boy surface The mathematical intelligencer 1990 T 12 vip 4 Posilannya RedaguvatiWeisstein Eric W Dijsna proyektivna ploshina angl na sajti Wolfram MathWorld Line field coloring using Werner Boy s real projective plane immersion Dijsna proyektivna ploshina na YouTube Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Dijsna proyektivna ploshina amp oldid 39495439