www.wikidata.uk-ua.nina.az

Алгебричне рівняння Алгебраїчне рівня ння також алгебричне рівняння рівняння вигляду P x 1 x 2 x n 0 displaystyle P x 1

Алгебричне рівняння

Алгебраїчне рівня́ння, також алгебричне рівняння — рівняння вигляду

де  — многочлен від змінних . Ці змінні називають невідомими.

Впорядкований набір чисел задовольняє цьому рівнянню, якщо при заміні на , на і так далі отримується правильна числова рівність (наприклад, упорядкована трійка чисел задовольняє рівнянню , оскільки ). Число, що задовольняє алгебричне рівняння з одним невідомим, називають коренем цього рівняння. Множина всіх наборів чисел, що задовольняють дане рівняння, є множиною розв'язків цього рівняння. Два алгебричні рівняння, що мають одну й ту ж множину розв'язків, називаються рівносильними.

Степенем многочлена називається степінь рівняння Наприклад,  — рівняння першого степеня,  — другого степеня, а  — четвертого степеня. Рівняння першого степеня називають також лінійними. Алгебричне рівняння з одним невідомим має скінченну кількість коренів, а множина розв'язків алгебричного рівняння з більшою кількістю невідомих може бути нескінченною множиною наборів чисел. Тому здебільшого розглядають не окремі алгебричні рівняння з невідомими, а системи рівнянь і шукають набори чисел, які одночасно задовольняють всі рівняння цієї системи. Сукупність усіх таких наборів утворює множину розв'язків системи. Наприклад, множина розв'язків системи рівнянь

така:

Розв'язання Редагувати

Алгебричні рівняння з одним невідомим степеня завжди можна записати у вигляді . Формули для розв'язання алгебричних рівнянь 1-го степеня і 2-го степеня (квадратне рівняння) даються в елементарній алгебрі.

Відомі формули для розв'язання алгебричних рівнянь 3-го степеня (кубічне рівняння) і 4-го степеня. Для алгебричних рівнянь 5-го і вищих степенів не існує загальної формули, яка б виражала корені через коефіцієнти рівняння за допомогою скінченного числа арифметичних операцій і добування коренів (довів Н. Абель, поч. XIX століття).

Докладніше: Теорема Абеля — Руффіні

Історія Редагувати

Алгебричні рівняння 1-го степеня з одним невідомим розв'язували вже в давньому Єгипті і давньому Вавилоні. Вавилонські переписувачі вміли розв'язувати і квадратні рівняння, а також найпростіші системи лінійних рівнянь і рівнянь 2-го степеня. За допомогою особливих таблиць вони розв'язували і деякі рівняння 3-го степеня, наприклад .

У Стародавній Греції квадратні рівняння розв'язували за допомогою геометричних побудов. Грецький математик Діофант розробив методи розв'язування алгебричних рівнянь і систем таких рівнянь з багатьма невідомими в раціональних числах. Наприклад, він розв'язав у раціональних числах рівняння систему рівнянь тощо. (див. Діофантові рівняння).

Деякі геометричні задачі: подвоєння куба, трисекція кута, побудова правильного семикутника, зводяться до розв'язання кубічних рівнянь. Для їх розв'язання необхідно було відшукати точки перетину конічних перетинів (еліпсів, парабол і гіпербол). Користуючись геометричними методами, математики середньовічного Сходу досліджували розв'язки кубічних рівнянь. Проте їм не вдалося вивести загальну формулу для їх розв'язку. Першим великим відкриттям західноєвропейської математики стала отримана в XVI столітті формула для розв'язання кубічного рівняння. Оскільки в той час від'ємні числа ще не набули поширення, довелося окремо розбирати такі типи рівнянь: тощо. Італійський математик С. дель-Феро (1465—1526) розв'язав рівняння і повідомив розв'язок своєму зятю й учневі А.-М. Фіоре, який викликав на математичний турнір чудового математика-самоука Н. Тарталью (1499−1557). За кілька днів до турніру Тарталья знайшов загальний метод розв'язування кубічних рівнянь і переміг, швидко розв'язавши всі запропоновані йому 30 завдань. Проте знайдену Тартальєю формулу розв'язку однорідного рівняння

опублікував не він, а італійський учений Дж. Кардано (1501—1576), який дізнався її від Тартальї. Тоді ж Л. Феррарі (1522—1565), учень Кардано, знайшов розв'язок рівняння 4-го степеня.

Створення алгебричної символіки й узагальнення поняття числа аж до комплексних чисел дозволили в XVII—XVIII ст. досліджувати загальні властивості алгебричних рівнянь вищих степенів, а також загальні властивості многочленів від однієї і кількох змінних.

Одною з найважливіших задач теорії алгебричних рівнянь у XVII—XVIII ст. було відшукання формули для розв'язку рівняння 5-го степеня. Після безплідних пошуків багатьох поколінь алгебристів зусиллями французького вченого XVIII ст. Ж. Лагранжа (1736—1813), італійського вченого П. Руффіні (1765—1822) і норвезького математика Н. Абеля наприкінці XVIII — на початку XIX ст. було доведено, що не існує формули, за допомогою якої можна виразити корені будь-якого рівняння 5-го степеня через його коефіцієнти, використовуючи лише арифметичні операції й операцію кореня. Ці дослідження завершено роботами Е. Галуа, теорія якого дозволяє для будь-якого рівняння визначити, чи виражаються його корені в радикалах (див. Теорія Галуа). Ще до цього К. Ф. Гаус розв'язав задачу знаходження в квадратних радикалах коренів однорідного рівняння , до якого зводиться задача про побудову за допомогою циркуля і лінійки правильного -кутника. Зокрема, неможливо за допомогою цих інструментів побудувати правильний семикутник, дев'ятикутник і т. д. — така побудова можлива тоді, коли  — просте число вигляду чи добуток різних простих чисел такого вигляду.

Поряд з пошуком формул для розв'язків конкретних рівнянь було досліджено питання про існування коренів алгебричного рівняння. У XVIII ст. французький філософ і математик Ж. д'Аламбер довів, що будь-яке алгебричне рівняння ненульового степеня з комплексними коефіцієнтами має хоча б один комплексний корінь. У доведенні Д'Аламбера були пропуски, які пізніше заповнив Гаус. З цієї теореми випливало, що будь-який многочлен степеня розкладається на лінійних множників.

В наш час теорія систем алгебричних рівнянь перетворилася на самостійну галузь математики — алгебричну геометрію. Вона вивчає лінії, поверхні та многовиди вищих розмірностей, що задаються системами таких рівнянь.

Посилання Редагувати

  1. Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан ; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1977. — Т. 1 : А — Борона. — С. Алгебричні рівняння.

Джерела Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Algebrayichne rivnya nnya takozh algebrichne rivnyannya rivnyannya viglyadu P x 1 x 2 x n 0 displaystyle P x 1 x 2 ldots x n 0 de P displaystyle P mnogochlen vid zminnih x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n Ci zminni nazivayut nevidomimi Vporyadkovanij nabir chisel a 1 a n displaystyle a 1 ldots a n zadovolnyaye comu rivnyannyu yaksho pri zamini x 1 displaystyle x 1 na a 1 displaystyle a 1 x 2 displaystyle x 2 na a 2 displaystyle a 2 i tak dali otrimuyetsya pravilna chislova rivnist napriklad uporyadkovana trijka chisel 3 4 5 displaystyle 3 4 5 zadovolnyaye rivnyannyu x 2 y 2 z 2 displaystyle x 2 y 2 z 2 oskilki 3 2 4 2 5 2 displaystyle 3 2 4 2 5 2 Chislo sho zadovolnyaye algebrichne rivnyannya z odnim nevidomim nazivayut korenem cogo rivnyannya Mnozhina vsih naboriv chisel sho zadovolnyayut dane rivnyannya ye mnozhinoyu rozv yazkiv cogo rivnyannya Dva algebrichni rivnyannya sho mayut odnu j tu zh mnozhinu rozv yazkiv nazivayutsya rivnosilnimi Stepenem mnogochlena P displaystyle P nazivayetsya stepin rivnyannya P x 1 x n 0 displaystyle P x 1 ldots x n 0 Napriklad 3 x 5 y z c displaystyle 3x 5y z c rivnyannya pershogo stepenya x 2 y 2 z 2 displaystyle x 2 y 2 z 2 drugogo stepenya a x 4 3 x 3 1 0 displaystyle x 4 3x 3 1 0 chetvertogo stepenya Rivnyannya pershogo stepenya nazivayut takozh linijnimi Algebrichne rivnyannya z odnim nevidomim maye skinchennu kilkist koreniv a mnozhina rozv yazkiv algebrichnogo rivnyannya z bilshoyu kilkistyu nevidomih mozhe buti neskinchennoyu mnozhinoyu naboriv chisel Tomu zdebilshogo rozglyadayut ne okremi algebrichni rivnyannya z n displaystyle n nevidomimi a sistemi rivnyan i shukayut nabori chisel yaki odnochasno zadovolnyayut vsi rivnyannya ciyeyi sistemi Sukupnist usih takih naboriv utvoryuye mnozhinu rozv yazkiv sistemi Napriklad mnozhina rozv yazkiv sistemi rivnyan x 2 y 2 10 x 2 y 2 8 displaystyle left begin matrix x 2 y 2 10 amp x 2 y 2 8 amp end matrix right taka 3 1 3 1 3 1 3 1 displaystyle 3 1 3 1 3 1 3 1 Zmist 1 Rozv yazannya 2 Istoriya 3 Posilannya 4 DzherelaRozv yazannya RedaguvatiAlgebrichni rivnyannya z odnim nevidomim stepenya n displaystyle n nbsp zavzhdi mozhna zapisati u viglyadi a 0 x n a 0 x n 1 a n 0 displaystyle a 0 x n a 0 x n 1 dots a n 0 nbsp Formuli dlya rozv yazannya algebrichnih rivnyan 1 go stepenya a x b 0 displaystyle ax b 0 nbsp i 2 go stepenya a x 2 b x c 0 displaystyle ax 2 bx c 0 nbsp kvadratne rivnyannya dayutsya v elementarnij algebri Vidomi formuli dlya rozv yazannya algebrichnih rivnyan 3 go stepenya kubichne rivnyannya i 4 go stepenya Dlya algebrichnih rivnyan 5 go i vishih stepeniv ne isnuye zagalnoyi formuli yaka b virazhala koreni cherez koeficiyenti rivnyannya za dopomogoyu skinchennogo chisla arifmetichnih operacij i dobuvannya koreniv doviv N Abel poch XIX stolittya 1 Dokladnishe Teorema Abelya RuffiniIstoriya RedaguvatiAlgebrichni rivnyannya 1 go stepenya z odnim nevidomim rozv yazuvali vzhe v davnomu Yegipti i davnomu Vaviloni Vavilonski perepisuvachi vmili rozv yazuvati i kvadratni rivnyannya a takozh najprostishi sistemi linijnih rivnyan i rivnyan 2 go stepenya Za dopomogoyu osoblivih tablic voni rozv yazuvali i deyaki rivnyannya 3 go stepenya napriklad x 3 x a displaystyle x 3 x a nbsp U Starodavnij Greciyi kvadratni rivnyannya rozv yazuvali za dopomogoyu geometrichnih pobudov Greckij matematik Diofant rozrobiv metodi rozv yazuvannya algebrichnih rivnyan i sistem takih rivnyan z bagatma nevidomimi v racionalnih chislah Napriklad vin rozv yazav u racionalnih chislah rivnyannya x 4 y 4 z 4 n 2 displaystyle x 4 y 4 z 4 n 2 nbsp sistemu rivnyan y 3 x 2 u 2 z 2 x 2 v 3 displaystyle left begin matrix y 3 x 2 u 2 amp z 2 x 2 v 3 amp end matrix right nbsp tosho div Diofantovi rivnyannya Deyaki geometrichni zadachi podvoyennya kuba trisekciya kuta pobudova pravilnogo semikutnika zvodyatsya do rozv yazannya kubichnih rivnyan Dlya yih rozv yazannya neobhidno bulo vidshukati tochki peretinu konichnih peretiniv elipsiv parabol i giperbol Koristuyuchis geometrichnimi metodami matematiki serednovichnogo Shodu doslidzhuvali rozv yazki kubichnih rivnyan Prote yim ne vdalosya vivesti zagalnu formulu dlya yih rozv yazku Pershim velikim vidkrittyam zahidnoyevropejskoyi matematiki stala otrimana v XVI stolitti formula dlya rozv yazannya kubichnogo rivnyannya Oskilki v toj chas vid yemni chisla she ne nabuli poshirennya dovelosya okremo rozbirati taki tipi rivnyan x 3 p x q displaystyle x 3 px q nbsp x 3 q p x displaystyle x 3 q px nbsp tosho Italijskij matematik S del Fero 1465 1526 rozv yazav rivnyannya x 3 p x q displaystyle x 3 px q nbsp i povidomiv rozv yazok svoyemu zyatyu j uchnevi A M Fiore yakij viklikav na matematichnij turnir chudovogo matematika samouka N Tartalyu 1499 1557 Za kilka dniv do turniru Tartalya znajshov zagalnij metod rozv yazuvannya kubichnih rivnyan i peremig shvidko rozv yazavshi vsi zaproponovani jomu 30 zavdan Prote znajdenu Tartalyeyu formulu rozv yazku odnoridnogo rivnyannya x 3 p x q 0 displaystyle x 3 px q 0 nbsp x q 2 q 2 4 p 3 27 3 q 2 q 2 4 p 3 27 3 displaystyle x sqrt 3 q over 2 sqrt q 2 over 4 p 3 over 27 sqrt 3 q over 2 sqrt q 2 over 4 p 3 over 27 nbsp opublikuvav ne vin a italijskij uchenij Dzh Kardano 1501 1576 yakij diznavsya yiyi vid Tartalyi Todi zh L Ferrari 1522 1565 uchen Kardano znajshov rozv yazok rivnyannya 4 go stepenya Stvorennya algebrichnoyi simvoliki j uzagalnennya ponyattya chisla azh do kompleksnih chisel dozvolili v XVII XVIII st doslidzhuvati zagalni vlastivosti algebrichnih rivnyan vishih stepeniv a takozh zagalni vlastivosti mnogochleniv vid odniyeyi i kilkoh zminnih Odnoyu z najvazhlivishih zadach teoriyi algebrichnih rivnyan u XVII XVIII st bulo vidshukannya formuli dlya rozv yazku rivnyannya 5 go stepenya Pislya bezplidnih poshukiv bagatoh pokolin algebristiv zusillyami francuzkogo vchenogo XVIII st Zh Lagranzha 1736 1813 italijskogo vchenogo P Ruffini 1765 1822 i norvezkogo matematika N Abelya naprikinci XVIII na pochatku XIX st bulo dovedeno sho ne isnuye formuli za dopomogoyu yakoyi mozhna viraziti koreni bud yakogo rivnyannya 5 go stepenya cherez jogo koeficiyenti vikoristovuyuchi lishe arifmetichni operaciyi j operaciyu korenya Ci doslidzhennya zaversheno robotami E Galua teoriya yakogo dozvolyaye dlya bud yakogo rivnyannya viznachiti chi virazhayutsya jogo koreni v radikalah div Teoriya Galua She do cogo K F Gaus rozv yazav zadachu znahodzhennya v kvadratnih radikalah koreniv odnoridnogo rivnyannya x n 1 0 displaystyle x n 1 0 nbsp do yakogo zvoditsya zadacha pro pobudovu za dopomogoyu cirkulya i linijki pravilnogo n displaystyle n nbsp kutnika Zokrema nemozhlivo za dopomogoyu cih instrumentiv pobuduvati pravilnij semikutnik dev yatikutnik i t d taka pobudova mozhliva todi koli n displaystyle n nbsp proste chislo viglyadu 2 2 k 1 displaystyle 2 2 k 1 nbsp chi dobutok riznih prostih chisel takogo viglyadu Poryad z poshukom formul dlya rozv yazkiv konkretnih rivnyan bulo doslidzheno pitannya pro isnuvannya koreniv algebrichnogo rivnyannya U XVIII st francuzkij filosof i matematik Zh d Alamber doviv sho bud yake algebrichne rivnyannya nenulovogo stepenya z kompleksnimi koeficiyentami maye hocha b odin kompleksnij korin U dovedenni D Alambera buli propuski yaki piznishe zapovniv Gaus Z ciyeyi teoremi viplivalo sho bud yakij mnogochlen stepenya n displaystyle n nbsp rozkladayetsya na n displaystyle n nbsp linijnih mnozhnikiv V nash chas teoriya sistem algebrichnih rivnyan peretvorilasya na samostijnu galuz matematiki algebrichnu geometriyu Vona vivchaye liniyi poverhni ta mnogovidi vishih rozmirnostej sho zadayutsya sistemami takih rivnyan Posilannya Redaguvati Ukrayinska radyanska enciklopediya u 12 t gol red M P Bazhan redkol O K Antonov ta in 2 ge vid K Golovna redakciya URE 1977 T 1 A Borona S Algebrichni rivnyannya Dzherela Redaguvati nbsp Portal Matematika Matematicheskij enciklopedicheskij slovar Moskva Sovetskaya enciklopediya 1988 EqWorld MIR MATEMATIChESKIH URAVNENIJ Algebraicheskie uravneniya Arhivovano 14 lyutogo 2009 u Wayback Machine ros Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Algebrichne rivnyannya amp oldid 35851144