| {3,3,3} | {3,3,4} | {4,3,3} |
|---|---|---|
П'ятикомірник 4-симплекс | Шістнадцятикомірник Ортоплекс 4-ортоплекс | Тесеракт 4-куб |
| {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
Октаплекс Двадцятичотирьохкомірник[en] | Додекаплекс Стодвадцятикомірник | Тетраплекс Шестисоткомірник[en] |
4-політоп або чотиривимірний політоп — політоп у чотиривимірному просторі. Зв'язана замкнута фігура, що складається з політопів меншої розмірності — вершин, ребер, граней (многокутників) та комірок[en] (тривимірних многогранників). Кожна грань належить рівно двом коміркам.
Двовимірним відповідником 4-політопа є многокутник, а тривимірним — тривимірний многогранник.
Топологічно 4-політопи тісно пов'язані з однорідними стільниками[en], такими як кубічний стільник, що замощує тривимірний простір. Подібно тривимірний куб пов'язаний із нескінченним двовимірним квадратним паркетом. Опуклі 4-політопи можна розрізати та розгорнути у вигляді розгорток у тривимірному просторі.
Визначення ред.
4-політоп є замкнутою чотиривимірною фігурою. Він складається з вершин (кутових точок), ребер, граней і комірок[en]. Комірка — тривимірний відповідник грані і є тривимірним многогранником. Кожна двовимірна грань повинна з'єднувати рівно дві комірки, аналогічно тому, як ребро тривимірного многогранника з'єднує рівно дві грані. Подібно до інших політопів, елементи 4-політопа не можна розділити на дві або більше множин, які також є 4-політопами, тобто він не є складеним.
Найвідомішим 4-політопом є тесеракт (гіперкуб), чотиривимірний відповідник куба.
Візуалізація ред.
| Зріз | Розгортка | |
|---|---|---|
| Проєкції | ||
| Шлегель | 2D ортогональна | 3D ортогональна |
4-політопи неможливо уявити в тривимірному просторі через зайву розмірність. Для візуалізації використовують низку технік.
Ортогональні проєкції можна використовувати для показу різних симетрій 4-політопа. Проєкції можна подати у вигляді двовимірних графів, а можна — у вигляді тривимірних тіл як проєктивних оболонок[en].
Так само, як тривимірні фігури можна спроєктувати на плоский аркуш, чотиривимірні фігури можна спроєктувати в тривимірний простір або навіть на площину. Найпоширенішим видом проєкції є діаграма Шлегеля, що використовує стереографічну проєкцію точок на поверхню 3-сфери в тривимірному просторі, з'єднаних у тривимірному просторі прямими ребрами, гранями та комірками.
Так само, як розріз многогранника виявляє поверхню розрізу, зріз 4-політопа дає «гіперповерхню» в тривимірному просторі. Послідовність таких зрізів можна використати для розуміння будови всієї фігури. Зайву розмірність можна прирівняти до часу для утворення анімації цих перерізів.
Розгортка 4-політопа складається зі многогранних комірок[en], з'єднаних гранями і розташованих у тривимірному просторі, так само, як многокутні грані розгортки тривимірного многогранника з'єднані ребрами і розташовуються всі в одній площині.
Топологічні характеристики ред.
Топологія будь-якого заданого 4-політопа визначається його числами Бетті та коефіцієнтами закруту[en].
Значення ейлерової характеристики, що використовується для характеристики многогранників, не узагальнюється належним чином на вищі розмірності і дорівнює нулю для всіх 4-політопів, якою б не була нижча топологія. Ця невідповідність ейлерової характеристики для достеменного розрізнення топологій у високих розмірностях веде до появи більш витончених чисел Бетті.
Подібно, поняття орієнтованості многогранника недостатньо для характеристики закруту поверхонь тороїдальних многогранників, що приводить до використання коефіцієнтів закруту.
Класифікація ред.
Критерії ред.
4-політопи можна класифікувати за властивостями, такими як «опуклість» і «симетрія».
- 4-політоп є опуклим, якщо його межі (включно з комірками, (тривимірними) гранями та ребрами) не перетинають себе (в принципі, грані політопа можуть проходити всередині оболонки) і відрізки, що з'єднують будь-які дві точки 4-політопа, містяться повністю всередині нього. В іншому випадку політоп вважають неопуклим. 4-політопи, що самоперетинаються, відомі також як зірчасті політопи за аналогією зі схожими на зірки формами неопуклих многогранників Кеплера — Пуансо.
- 4-політоп є правильним, якщо він транзитивний відносно його прапорів. Це означає, що всі його комірки є конгруентними правильними многогранниками, а також його вершинні фігури конгруентні іншому виду правильних многогранників.
- Опуклий 4-політоп є напівправильним, якщо він має групу симетрії, за якої всі вершини еквівалентні (вершинно-транзитивні) і комірки є правильними многогранниками. Комірки можуть бути двох і більше видів, за умови, що вони мають один і той же вид граней. Існує лише 3 таких фігури, які 1900 року знайшов Торолд Госсет[en]: всезрізаний п'ятикомірник, всезрізаний шестисоткомірник[en] і кирпатий двадцятичотирьохкомірник.
- 4-політоп є однорідним, якщо він має групу симетрії, за якої всі вершини еквівалентні та комірки є однорідними многогранниками. Грані (2-вимірні) однорідного 4-політопа повинні бути правильними многокутниками.
- 4-політоп є рівнореберним політопом[en], якщо він вершинно-транзитивний і має ребра однієї довжини. Тобто дозволяються неоднорідні комірки, наприклад, опуклі многогранники Джонсона.
- Про правильний 4-політоп, що є до того ж опуклим, кажуть як про правильний опуклий 4-політоп[en].
- 4-політоп є призматичним, якщо він являє собою прямий добуток двох і більше многогранників меншої розмірності. Призматичний 4-політоп є однорідним, якщо його співмножники у прямому добутку однорідні. Гіперкуб є призматичним (добуток двох квадратів або куба і відрізка), але розглядається окремо, оскільки він має вищу симетрію, ніж симетрії, успадковані від співмножників.
- Мозаїка або стільники в тривимірному просторі — це розклади тривимірного евклідового простору на повторювану ґратку[en] многогранних комірок. Такі мозаїки або замощення нескінченні і не обмежені «4D»-об'ємом, тому є прикладами нескінченних 4-політопів. Однорідна мозаїка тривимірного простору — це мозаїка, в якій вершини конгруентні і пов'язані кристалографічною групою, а комірки є однорідними многогранниками.
Класи ред.
Наведемо список різних категорій 4-політопів, класифікований згідно з викладеними вище критеріями:
Однорідний 4-політоп[en] (вершинно-транзитивний).
- Опуклі однорідні 4-політопи (64 + два нескінченних сімейства)
- 47 непризматичних опуклих однорідних 4-політопи включають:
- 6 правильних 4-політопів[en].
- Призматичні однорідні політопи[en]:
- {} × {p, q} : 18 многогранних призм[en] (включно з кубічними гіперпризмами, правильними гіперкубами);
- Призми, побудовані на антипризмах (нескінченне сімейство);
- {p} × {q} : дуопризми[en] (нескінченне сімейство)
- 47 непризматичних опуклих однорідних 4-політопи включають:
- Неопуклі однорідні 4-політопи (10 + невідомо):
Величний великий стодвадцятикомірник[en], що має 600 вершин, є найбільшим із 10 правильних 4-політопів - 10 (правильних) многогранників Шлефлі — Гесса[en];
- 57 гіперпризм, побудованих на неопуклих однорідних многогранниках;
- Невідома кількість неопуклих однорідних 4-політопів — Норман Джонсон[en] та інші співавтори знайшли 1849 многогранників (опуклих і зірчастих); усі вони побудовані на вершинних фігурах за допомогою програми Stella4D[en].
Інші опуклі 4-політопи:
- Многогранна піраміда[en];
- Многогранна призма[en].
Нескінченні однорідні 4-політопи в евклідовому 3-вимірному просторі (однорідні замощення опуклими однорідними комірками):
- 28 опуклих однорідних стільників[en] (однорідних опуклих замощень), зокрема:
- 1 правильне замощення, кубічний стільник[en]: {4,3,4}.
Нескінченні однорідні 4-політопи гіперболічного тривимірного простору (однорідні замощення опуклими однорідними комірками):
- 76 вітгофових опуклих однорідних стільників у гіперболічному просторі[en], зокрема:
- 4 правильних замощення компактного гіперболічного тривимірного простору[en]: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}.
Двоїсті однорідні 4-політопи[en] (комірко-транзитивні[en]):
- 41 унікальний двоїстий однорідний 4-політоп;
- 17 унікальних двоїстих однорідних многогранних призм;
- нескінченне сімейство двоїстих опуклих однорідних дуопризм (з неправильними тетраедральними комірками);
- 27 унікальних двоїстих однорідних стільників, зокрема:
- Ромбічний додекаедральний стільник[en] ;
- Рівногранний тетраедральний стільник[en].
Інші:
- Структура Вейра — Фелана[en] періодичного стільника з неправильними комірками, що заповнює простір.
Абстрактні правильні 4-політопи:
- Одинадцятикомірник
- П'ятдесятисемикомірник[en]
Ці категорії включають лише 4-політопи з високим ступенем симетрії. Можливе існування багатьох інших 4-політопів, але їх не вивчали настільки інтенсивно, як перелічені вище.
Див. також ред.
- Правильний 4-політоп[en]
- 3-сфера — інша широко обговорювана фігура, в чотиривимірному просторі. Але вона не є 4-політопом, оскільки не обмежена многогранними комірками.
- Дуоциліндр[en] — фігура в чотиривимірному просторі, пов'язана з дуопризмами, хоча це не многогранник.
Примітки ред.
- Vialar, 2009, с. 674.
- Capecchi, Buscema, D'Amore, 2010, с. 598.
- ↑ Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.
- В англійській мові використано слово scaliform, утворене від двох слів — scale (багатозначне слово, тут — розмір, шкала) і uniform (однорідний). Назву запропонував Джонатан Боуерс (Jonathan Bowers)
- Uniform Polychora, Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 cases in 2005
Література ред.
- T. Vialar. Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance. — Springer, 2009. — С. 674. — ISBN 978-3-540-85977-2.
- V. Capecchi, P. Capecchi, M. Buscema, B. D'Amore. Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. — Springer, 2010. — С. 598. — ISBN 978-90-481-8580-1. — DOI:
- H.S.M. Coxeter:
- H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
- H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes[en]. — 3rd (1947, 63, 73). — New York : Dover Publications Inc, 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
- H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380—407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559—591]
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- J.H. Conway, M.J.T. Guy. Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen. — 1965. — С. 38-39.
- Norman Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — Ph.D. Dissertation. — University of Toronto, 1966.
- Four-dimensional Archimedean Polytopes (German), Marco Möller, 2004 PhD dissertation [1]
Посилання ред.
- Weisstein, Eric W. Polychoron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Polyhedral formula(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Regular polychoron Euler characteristics(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- George Olshevsky[pt]
- George Olshevsky[pt] на Glossary for Hyperspace
- Uniform Polychora, Jonathan Bowers
- Dr. R. Klitzing, polychora