www.wikidata.uk-ua.nina.az

Показникова функція Показнико ва або експоненці йна фу нкція англ exponential function функція виду f x a x displaystyle

Показникова функція

Показнико́ва, або експоненці́йна фу́нкція (англ. exponential function) — функція виду , де  — стале число (додатне, але відмінне від одиниці).

Показникова функція

У дійсному випадку основа степеня — деяке додатне дійсне число, а аргументом функції є дійсний показник степеня.

Показникова функція узагальнюється в теорії комплексних функцій, де аргумент і показник степеня можуть бути довільними комплексними числами.

У найзагальнішому вигляді — , введена Лейбніцем 1695 року.

Особливо виділяється випадок, коли як основа степеня виступає число e. Така функція називається експоне́нтою (дійсною або комплексною).

Визначення Редагувати

Нехай  — додатне дійсне число,  — раціональне число: . Тоді визначається за такими правилами.

  • Якщо , то .
  • Якщо , то .
  • Якщо , то (для ).

Показникову функцію можливо визначити багатьма еквівалентними способами. Зазвичай її визначають за допомогою наступного степеневого ряду:

Оскільки радіус збіжності цього степеневого ряду є нескінченним, це визначення застосовується для всіх комплексних чисел . Сталу e можна визначити як .

Для довільного дійсного показника значення можна визначити як границю послідовності , де  — раціональні числа, що сходяться до . Для експоненти є й інші визначення через границю, наприклад:

Основні властивості Редагувати

Дійсну показникову функцію визначено на всій дійсній осі більше нуля. При вона всюди зростає; при функція спадає на всій області визначення.

Виконуються тотожності

  • ;
  • ;
  • .

Зворотна функція до показникової функції — логарифм.

Показникова функція росте на нескінченності швидше будь-якої степеневої:

Показникова функція нескінченно диференційована, її похідною є

Експонента Редагувати

e — це таке унікальне число a, при якому похідна (іншими словами тангенс кута нахилу дотичної) показникової функції f (x) = ax (синя крива) в точці x = 0 в точності дорівнює 1. Для порівняння показані функції 2x (точкова крива) та 4x (пунктирна крива); тангенс нахилу їхньої дотичної відмінний від 1 (ця дотична намальована червоним)

Експонента () — функція , де e — основа натурального логарифма ( — число Ейлера).

Властивості Редагувати

Експонента є визначеною на всій дійсній осі. Вона усюди зростає й є більшою за нуль. Зворотною функцією до неї є натуральний логарифм.

Експонента є нескінченно диференційованою. Її похідна в точці нуль дорівнює «1», тому дотична в цій точці проходить під кутом 45°.

Основна функціональна властивість експоненти: . Неперервна функція з такою властивістю або тотожно дорівнює 0, або має вид , де  — деяка стала.

Формальне визначення Редагувати

Експоненційна функція (синя лінія), і сума перших n + 1 членів степеневого ряду записаного зліва (червона лінія).

Експоненційну функцію може бути означено двома еквівалентними способами. Через ряд Тейлора:

або через границю:

Тут x — довільне дійсне, комплексне, p-адичне число або обмежений лінійний оператор.

Комплексна експонента Редагувати

Графік експоненти в комплексній площині.
Легенда

Комплексна експонента — математична функція, що означується співвідношенням , де є комплексним числом. Комплексна експонента означується як аналітичне продовження експоненти дійсної змінної :

Означмо формальний вираз

.

Означений таким чином вираз на дійсній осі буде збігатися з класичною дійсною експонентою. Для повної коректності побудови необхідно довести аналітичність функції , тобто показати, що розкладається в деякий збіжний до даної функції ряд. Покажемо це:

Збіжність даного ряду легко доводиться:

.

Ряд усюди збігається абсолютно, тобто взагалі всюди збігається, таким чином, сума цього ряду в кожній конкретній точці буде визначати значення аналітичної функції . Відповідно до теореми єдиності, отримане продовження буде єдиним, отже, на комплексній площині функція є всюди визначеною й аналітичною.

Властивості Редагувати

  • Комплексна експонента — ціла голоморфна функція на всій комплексній площині. Вона в жодній точці не обертається на нуль.
  •  — періодична функція з основним періодом 2πi: . Через періодичність комплексна експонента має безліч листів. Як її однолисну область можна вибрати будь-яку горизонтальну смугу висотою .
  •  — єдина функція, похідна (а також, відповідно, й інтеграл) якої дорівнює їй самій.
  • Алгебрично експоненту від комплексного аргументу може бути визначено наступним чином:

Графіки функції Редагувати

Показникова функція відображує будь-яку пряму в комплексній площині у логарифмічну спіраль на комплексній площині з центром в початку координат. Необхідно відмітити два особливі випадки: коли початкова пряма є паралельною до осі дійсних чисел, отримувана в результаті спіраль ніколи не замикається в собі; коли пряма є паралельною осі уявних чисел, отримувана в результаті спіраль є колом із деяким радіусом.

Примітки Редагувати

  1. Rudin, Walter (1987). Real and complex analysis (вид. 3rd). New York: McGraw-Hill. с. 1. ISBN 978-0-07-054234-1.  (англ.)

Література Редагувати

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Pokazniko va abo eksponenci jna fu nkciya angl exponential function funkciya vidu f x a x displaystyle f x a x de a displaystyle a stale chislo dodatne ale vidminne vid odinici Pokaznikova funkciya y e x displaystyle y e x U dijsnomu vipadku osnova stepenya deyake dodatne dijsne chislo a argumentom funkciyi ye dijsnij pokaznik stepenya Pokaznikova funkciya uzagalnyuyetsya v teoriyi kompleksnih funkcij de argument i pokaznik stepenya mozhut buti dovilnimi kompleksnimi chislami U najzagalnishomu viglyadi u v displaystyle u v vvedena Lejbnicem 1695 roku Osoblivo vidilyayetsya vipadok koli yak osnova stepenya vistupaye chislo e Taka funkciya nazivayetsya ekspone ntoyu dijsnoyu abo kompleksnoyu Zmist 1 Viznachennya 2 Osnovni vlastivosti 3 Eksponenta 3 1 Vlastivosti 3 2 Formalne viznachennya 4 Kompleksna eksponenta 4 1 Vlastivosti 4 2 Grafiki funkciyi 5 Primitki 6 Literatura 7 PosilannyaViznachennya RedaguvatiNehaj a displaystyle a nbsp dodatne dijsne chislo x displaystyle x nbsp racionalne chislo x m n displaystyle x frac m n nbsp Todi a x displaystyle a x nbsp viznachayetsya za takimi pravilami Yaksho x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp to a x a m n displaystyle a x sqrt n a m nbsp Yaksho x 0 displaystyle x 0 nbsp to a x 1 displaystyle a x 1 nbsp Yaksho x lt 0 displaystyle x lt 0 nbsp to a x 1 a x displaystyle a x frac 1 a x nbsp dlya a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp Pokaznikovu funkciyu exp C C displaystyle exp mathbb C to mathbb C nbsp mozhlivo viznachiti bagatma ekvivalentnimi sposobami Zazvichaj yiyi viznachayut za dopomogoyu nastupnogo stepenevogo ryadu 1 exp z k 0 z k k 1 z z 2 2 z 3 6 z 4 24 displaystyle exp z sum k 0 infty z k over k 1 z z 2 over 2 z 3 over 6 z 4 over 24 cdots nbsp Oskilki radius zbizhnosti cogo stepenevogo ryadu ye neskinchennim ce viznachennya zastosovuyetsya dlya vsih kompleksnih chisel z displaystyle z nbsp Stalu e mozhna viznachiti yak e exp 1 k 0 1 k textstyle e exp 1 sum k 0 infty 1 k nbsp Dlya dovilnogo dijsnogo pokaznika x displaystyle x nbsp znachennya a x displaystyle a x nbsp mozhna viznachiti yak granicyu poslidovnosti a r n displaystyle a r n nbsp de r n displaystyle r n nbsp racionalni chisla sho shodyatsya do x displaystyle x nbsp Dlya eksponenti ye j inshi viznachennya cherez granicyu napriklad e x lim n 1 x n n displaystyle e x lim n rightarrow infty left 1 frac x n right n nbsp Osnovni vlastivosti RedaguvatiDijsnu pokaznikovu funkciyu viznacheno na vsij dijsnij osi bilshe nulya Pri a gt 1 displaystyle a gt 1 nbsp vona vsyudi zrostaye pri 0 lt a lt 1 displaystyle 0 lt a lt 1 nbsp funkciya spadaye na vsij oblasti viznachennya Vikonuyutsya totozhnosti a 0 1 displaystyle a 0 1 nbsp a x y a x a y displaystyle a x y a x a y nbsp a x y a x y displaystyle a x y a xy nbsp Zvorotna funkciya do pokaznikovoyi funkciyi logarifm Pokaznikova funkciya roste na neskinchennosti shvidshe bud yakoyi stepenevoyi lim x x n a x 0 displaystyle lim limits x to infty frac x n a x 0 nbsp Pokaznikova funkciya neskinchenno diferencijovana yiyi pohidnoyu ye d d x a x ln a a x displaystyle d over dx a x ln a a x nbsp Eksponenta Redaguvati nbsp e ce take unikalne chislo a pri yakomu pohidna inshimi slovami tangens kuta nahilu dotichnoyi pokaznikovoyi funkciyi f x ax sinya kriva v tochci x 0 v tochnosti dorivnyuye 1 Dlya porivnyannya pokazani funkciyi 2x tochkova kriva ta 4x punktirna kriva tangens nahilu yihnoyi dotichnoyi vidminnij vid 1 cya dotichna namalovana chervonim Eksponenta exp displaystyle exp nbsp funkciya exp x e x displaystyle exp x e x nbsp de e osnova naturalnogo logarifma e 2 718 281 828 459 displaystyle e approx 2 718 281 828 459 nbsp chislo Ejlera Dokladnishe EksponentaVlastivosti Redaguvati Eksponenta ye viznachenoyu na vsij dijsnij osi Vona usyudi zrostaye j ye bilshoyu za nul Zvorotnoyu funkciyeyu do neyi ye naturalnij logarifm Eksponenta ye neskinchenno diferencijovanoyu Yiyi pohidna v tochci nul dorivnyuye 1 tomu dotichna v cij tochci prohodit pid kutom 45 Osnovna funkcionalna vlastivist eksponenti exp a b exp a exp b displaystyle exp a b exp a exp b nbsp Neperervna funkciya z takoyu vlastivistyu abo totozhno dorivnyuye 0 abo maye vid exp c t displaystyle exp ct nbsp de c displaystyle c nbsp deyaka stala Formalne viznachennya Redaguvati nbsp Eksponencijna funkciya sinya liniya i suma pershih n 1 chleniv stepenevogo ryadu zapisanogo zliva chervona liniya Eksponencijnu funkciyu mozhe buti oznacheno dvoma ekvivalentnimi sposobami Cherez ryad Tejlora e x n 0 x n n 1 x x 2 2 x 3 3 x 4 4 displaystyle e x sum n 0 infty x n over n 1 x x 2 over 2 x 3 over 3 x 4 over 4 cdots nbsp abo cherez granicyu e x lim n 1 x n n displaystyle e x lim n rightarrow infty 1 x n n nbsp Tut x dovilne dijsne kompleksne p adichne chislo abo obmezhenij linijnij operator Kompleksna eksponenta Redaguvati nbsp Grafik eksponenti v kompleksnij ploshini LegendaKompleksna eksponenta matematichna funkciya sho oznachuyetsya spivvidnoshennyam f z e z displaystyle f z e z nbsp de z displaystyle z nbsp ye kompleksnim chislom Kompleksna eksponenta oznachuyetsya yak analitichne prodovzhennya eksponenti f x e x displaystyle f x e x nbsp dijsnoyi zminnoyi x displaystyle x nbsp Oznachmo formalnij viraze z e x i y e x e i y displaystyle e z e x iy e x cdot e iy nbsp Oznachenij takim chinom viraz na dijsnij osi bude zbigatisya z klasichnoyu dijsnoyu eksponentoyu Dlya povnoyi korektnosti pobudovi neobhidno dovesti analitichnist funkciyi e z displaystyle e z nbsp tobto pokazati sho e z displaystyle e z nbsp rozkladayetsya v deyakij zbizhnij do danoyi funkciyi ryad Pokazhemo ce f z e z e x e i y e i y n 0 x n n displaystyle f z e z e x cdot e iy e iy sum n 0 infty frac x n n nbsp Zbizhnist danogo ryadu legko dovoditsya e i y n 0 x n n n 0 x n n n 0 x n n n 0 x n n e x displaystyle left e iy sum n 0 infty frac x n n right leq left sum n 0 infty frac x n n right leq sum n 0 infty left frac x n n right sum n 0 infty dfrac x n n e x nbsp Ryad usyudi zbigayetsya absolyutno tobto vzagali vsyudi zbigayetsya takim chinom suma cogo ryadu v kozhnij konkretnij tochci bude viznachati znachennya analitichnoyi funkciyi f z e z displaystyle f z e z nbsp Vidpovidno do teoremi yedinosti otrimane prodovzhennya bude yedinim otzhe na kompleksnij ploshini funkciya e z displaystyle e z nbsp ye vsyudi viznachenoyu j analitichnoyu Vlastivosti Redaguvati Kompleksna eksponenta cila golomorfna funkciya na vsij kompleksnij ploshini Vona v zhodnij tochci ne obertayetsya na nul e z displaystyle e z nbsp periodichna funkciya z osnovnim periodom 2pi e i f e i f 2 p displaystyle e i varphi e i varphi 2 pi nbsp Cherez periodichnist kompleksna eksponenta maye bezlich listiv Yak yiyi odnolisnu oblast mozhna vibrati bud yaku gorizontalnu smugu visotoyu 2 p displaystyle 2 pi nbsp e z displaystyle e z nbsp yedina funkciya pohidna a takozh vidpovidno j integral yakoyi dorivnyuye yij samij Algebrichno eksponentu vid kompleksnogo argumentu z x i y displaystyle z x iy nbsp mozhe buti viznacheno nastupnim chinom e z e x i y e x e i y e x cos y i sin y displaystyle e z e x iy e x e iy e x cos y i sin y nbsp formula Ejlera Zokrema maye misce totozhnist Ejlera e i p 1 0 displaystyle e i pi 1 0 nbsp Grafiki funkciyi Redaguvati Pokaznikova funkciya vidobrazhuye bud yaku pryamu v kompleksnij ploshini u logarifmichnu spiral na kompleksnij ploshini z centrom v pochatku koordinat Neobhidno vidmititi dva osoblivi vipadki koli pochatkova pryama ye paralelnoyu do osi dijsnih chisel otrimuvana v rezultati spiral nikoli ne zamikayetsya v sobi koli pryama ye paralelnoyu osi uyavnih chisel otrimuvana v rezultati spiral ye kolom iz deyakim radiusom Grafiki pokaznikovoyi funkciyi u kompleksnij ploshini nbsp z Re ex iy nbsp z Im ex iy nbsp z e x i y displaystyle z e x iy nbsp Primitki Redaguvati Rudin Walter 1987 Real and complex analysis vid 3rd New York McGraw Hill s 1 ISBN 978 0 07 054234 1 angl Literatura RedaguvatiS T Zavalo 1972 Elementi analizu Algebra mnogochleniv Kiyiv Radyanska shkola Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2023 1300 s ukr Posilannya RedaguvatiPokaznikova funkciya Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 179 594 s Eksponenta i chislo e prosto i zrozumilo Arhivovano 22 grudnya 2016 u Wayback Machine ros pereklad statti An Intuitive Guide To Exponential Functions amp e BetterExplained Arhivovano 23 chervnya 2007 u Wayback Machine angl Sposobi rozv yazannya pokaznikovih rivnyan nedostupne posilannya z lipnya 2019 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Pokaznikova funkciya amp oldid 40598179