www.wikidata.uk-ua.nina.az

Автокореляція Автокореля ція англ autocorrelation іноді відома як послідо вна кореля ція англ serial correlation у випад

Автокореляція

Автокореля́ція (англ. autocorrelation), іноді відома як послідо́вна кореля́ція (англ. serial correlation), у випадку дискретного часу[en] — це кореляція сигналу із затриманою копією самого себе як функція від затримки. Неформально — це схожість між спостереженнями як функція від відставання в часі (англ. time lag) між ними. Аналіз автокореляції — це математичний інструмент для пошуку повторюваних закономірностей, таких як наявність періодичного сигналу, заекранованого шумом[en], або визначення відсутньої основної частоти[en] в сигналі, на яку натякають його гармонічні частоти. Його часто використовують в обробці сигналів для аналізу функцій або рядів значень, таких як сигнали часової області.

Нагорі: графік ряду зі 100 випадкових чисел, що приховують функцію синуса. Внизу: ця функція синуса, виявлена в корелограмі, отриманій за допомогою автокореляції.
Наочне порівняння згортки, взаємної кореляції та автокореляції. Для операцій, що включають функцію f, і виходячи з припущення, що висота f становить 1,0, значення результату в 5 різних точках показано затіненою областю під кожною точкою. Також, вертикальна симетрія f є причиною того, що та у цьому прикладі ідентичні.

Різні галузі досліджень визначають автокореляцію по-різному, й не всі ці визначення є рівнозначними. У деяких галузях цей термін використовують взаємозамінно з автоковаріацією.

Особливими видами процесів із автокореляцією є процеси з одиничним коренем[en], тренд-стаціонарні процеси[en], авторегресійні процеси[en] та процеси ковзного середнього[en].

Автокореляція стохастичних процесів Редагувати

У статистиці автокореляція дійсного або комплексного випадкового процесу — це кореляція Пірсона між значеннями цього процесу в різні моменти часу як функція від двох моментів часу, або від відставання в часі. Нехай  — випадковий процес, а  — будь-яка точка в часі ( може бути цілим числом для дискретночасового[en], або дійсним числом для неперервночасового[en] процесу). Тоді  — це значення (або реалізація[en]), отримане в результаті заданого виконання[en] процесу в момент часу . Припустімо, що цей процес у момент часу має середнє значення та дисперсію , для будь-якого . Тоді визначенням автокореляці́йної фу́нкції (англ. auto-correlation function) між моментами часу та є:с.388:с.165

 

 

 

 

(1)

де  — оператор математичного сподівання, а риска подає комплексне спряження. Зауважте, що це математичне сподівання може не бути однозначна визначеним[en].

Віднімання середнього значення перед множенням дає автоковаріаці́йну фу́нкцію (англ. auto-covariance function) між моментами часу та ::с.392:с.168

 

 

 

 

(2)

Зауважте, що цей вираз не є однозначно визначеним для всіх часових рядів та процесів, оскільки середнього значення може не існувати, або дисперсія може бути нульовою (для сталого процесу) чи нескінченною (для процесів із розподілом без коректних моментів, таких як певні типи степеневого розподілу).

Визначення для стаціонарного в широкому сенсі стохастичного процесу Редагувати

Якщо  — стаціонарний у широкому сенсі процес, то середнє значення та дисперсія незалежні від часу, й відтак автоковаріаційна функція залежить лише від відставання між та : автоковаріація залежить лише від часової відстані між парою значень, але не від їхнього положення в часі. Це відтак означає, що автоковаріацію та автокореляцію можливо виразити як функцію від відставання в часі, й що вона буде парною функцією відставання в часі . Це дає звичніші вигляди автокореляційної функції:с.395

 

 

 

 

(3)

та автоковаріаційної функції:

 

 

 

 

(4)

Унормовування Редагувати

Поширеною практикою в деяких дисциплінах (наприклад, у статистиці та аналізі часових рядів) є унормовувати автоковаріаційну функцію, щоб отримувати залежний від часу коефіцієнт кореляції Пірсона. Проте в деяких інших дисциплінах (наприклад, в інженерії) унормовування зазвичай пропускають, а терміни «автокореляція» та «автоковаріація» використовують як взаємозамінні.

Визначення коефіцієнта автокореляції стохастичного процесу::с.169

Якщо функція  однозначно визначена, її значення мусять лежати в діапазоні , причому 1 вказує на ідеальну кореляцію, а −1 — на ідеальну антикореляцію[en].

Для слабко стаціонарного, стаціонарного в широкому сенсі (СШС) процесу, визначення таке:

де

Унормовування важливе як тому, що інтерпретація автокореляції як кореляції забезпечує безмасштабну міру сили статистичної залежності, так і тому, що воно впливає на статистичні властивості оцінюваних автокореляцій.

Властивості Редагувати

Властивість симетрії Редагувати

Той факт, що автокореляційна функція парна, може бути сформульовано як:с.171

відповідно, для СШС процесу::с.173

Максимум в нулі Редагувати

Для СШС процесу:с.174

Зверніть увагу, що завжди дійсна.

Нерівність Коші — Буняковського Редагувати

Нерівність Коші — Буняковського, нерівність для стохастичних процесів::с.392

Автокореляція білого шуму Редагувати

Автокореляція неперервночасового сигналу білого шуму матиме сильний пік (представлений дельта-функцією Дірака) при , й дорівнюватиме для всіх інших .

Теорема Вінера — Хінчина Редагувати

Теорема Вінера — Хінчина[en] пов'язує автокореляційну функцію зі спектральною густиною потужності через перетворення Фур'є:

Для дійснозначних функцій симетрична автокореляційна функція має дійсне симетричне перетворення, тож теорему Вінера — Хінчина[en] можливо виразити в термінах лише дійсних косинусів:

Автокореляція випадкових векторів Редагувати

(Потенційно залежна від часу) автокореляці́йна ма́триця (англ. auto-correlation matrix, також звана другим моментом) (потенційно залежного від часу) випадкового вектора  — це матриця , яка містить як елементи автокореляції всіх пар елементів випадкового вектора . Автокореляційну матрицю використовують у різних алгоритмах цифрової обробки сигналів.

Для випадкового вектора , що містить випадкові елементи, математичне сподівання та дисперсія яких існують, автокореляційну матрицю визначають як:с.190:c.334

 

 

 

 

(5)

де позначує транспонування, й має розміри .

У поелементному записі:

Якщо  — комплексний випадковий вектор[en], то автокореляційну матрицю натомість визначають як

Тут позначує ермітове транспонування.

Наприклад, якщо  — випадковий вектор, то  — матриця , чиїм -м елементом є .

Властивості автокореляційної матриці Редагувати

  • Автокореляційна матриця — ермітова матриця для комплексних випадкових векторів, і симетрична матриця для дійсних випадкових векторів.:с.190
  • Автоковаріаційна матриця додатно напіввизначена,:с.190 тобто, для всіх для дійсного випадкового вектора, й відповідно для всіх у разі комплексного випадкового вектора.
  • Усі власні значення автокореляційної матриці є дійсними та невід'ємними.
  • Автоковаріаційна матриця пов'язана з автокореляціною матрицею наступним чином:
    Відповідно, для комплексних випадкових векторів:

Автокореляція детермінованих сигналів Редагувати

В обробці сигналів наведене вище визначення часто використовують без унормовування, тобто без віднімання середнього значення й ділення на дисперсію. Коли автокореляційну функцію унормовують за середнім значенням та дисперсією, її іноді називають коефіціє́нтом автокореля́ції (англ. autocorrelation coefficient) або автоковаріаційною функцією.

Автокореляція неперервночасового сигналу Редагувати

За заданого сигналу неперервну автокореляцію найчастіше визначають як неперервний взаємнокореляційний інтеграл із самим собою, з відставанням .:с.411

 

 

 

 

(6)

де являє собою комплексне спряження . Зверніть увагу, що параметр в інтегралі є фіктивною змінною, необхідною лише для обчислення інтеграла. Вона не несе конкретного змісту.

Автокореляція дискретночасового сигналу Редагувати

Дискретна автокореляція за відставання для дискретночасового сигналу часу :

 

 

 

 

(7)

Наведені вище визначення працюють для квадратно інтегровних або квадратно сумовних сигналів, тобто, зі скінченною енергією. Сигнали, що «тривають вічно», натомість розглядають як випадкові процеси, й у цьому випадку необхідні відмінні визначення, на основі математичних сподівань. Для стаціонарних у широкому сенсі випадкових процесів автокореляції визначають як

Для процесів, що не є стаціонарними, вони також будуть функціями від та .

Для процесів, що є також ергодичними[en], математичне сподівання можливо замінити границею усереднення за часом. Автокореляцію ергодичного процесу іноді визначають як, або прирівнюють до

Ці визначення мають ту перевагу, що вони дають осмислені однозначно визначені однопараметрові результати для періодичних функцій, навіть якщо ці функції не є результатом стаціонарних ергодичних процесів.

Крім того, сигнали, які тривають вічно, можливо розглядати за допомогою аналізу віконних автокореляційних функцій (англ. short-time autocorrelation function analysis), застосовуючи скінченні інтеграли за часом. (Про пов'язаний процес див. віконне перетворення Фур'є.)

Визначення для періодичних сигналів Редагувати

Якщо  — неперервна періодична функція з періодом , то інтегрування від до замінюють інтегруванням над будь-яким інтервалом довжини :

що рівнозначне

Властивості Редагувати

Далі ми опишемо властивості лише одновимірних автокореляцій, оскільки більшість властивостей легко переносяться з одновимірного випадку на багатовимірні. Ці властивості справедливі для стаціонарних у широкому сенсі процесів.

  • Основною властивістю автокореляції є симетрія, , що легко довести з визначення. У неперервному випадку
  • Неперервна автокореляційна функція досягає свого піку в початку координат, де вона набуває дійсного значення, тобто, для будь-якої затримки , .:с.410 Це — наслідок нерівності перестановок. Той самий результат має місце і в дискретному випадку.
  • Автокореляція періодичної функції сама по собі є періодичною, з тим самим періодом.
  • Автокореляція суми двох абсолютно некорельованих функцій (взаємна кореляція дорівнює нулеві для всіх ) є сумою автокореляцій кожної з функцій окремо.
  • Оскільки автокореляція є особливим видом взаємної кореляції, вона зберігає всі властивості взаємної кореляції.
  • За допомогою символу для подання згортки, й функції , що маніпулює функцією , й визначена як , визначення для може бути записано так:

Багатовимірна автокореляція Редагувати

Багатовимірну автокореляцію визначають аналогічно. Наприклад, у трьох вимірах автокореляцією квадратно-сумовного дискретного сигналу була би

Коли перед обчисленням автокореляційної функції від сигналів віднімають середні значення, отриману функцію зазвичай називають автоковаріаційною функцією.

Ефективне обчислення Редагувати

Для даних, виражених як дискретна послідовність, часто необхідно обчислювати автокореляцію з високою обчислювальною ефективністю. Метод грубої сили[en], що ґрунтується на визначенні обробки сигналу , можливо використовувати, коли розмір сигналу невеликий. Наприклад, для обчислення автокореляції послідовності дійсного сигналу (тобто, , й для всіх інших значень i) вручну ми спочатку з'ясовуємо, що щойно наведене визначення таке саме, як і «звичайне» множення, але зі зміщеннями праворуч, де кожне вертикальне додавання дає автокореляцію для певних значень відставання:

Таким чином, потрібна послідовність автокореляції — , де а автокореляція для інших значень відставання дорівнює нулеві. В цьому обчисленні ми не виконуємо операцію перенесення під час додавання, як це зазвичай відбувається при звичайному множенні. Зауважте, що ми можемо зменшити кількість необхідних операцій вдвічі, використовуючи притаманну автокореляції симетрію. Якщо сигнал виявляється періодичним, тобто то ми отримуємо циклічну автокореляцію (англ. circular autocorrelation, подібну до циклічної згортки[en]), де лівий та правий хвости попередньої автокореляційної послідовності перекриватимуться й даватимуть , що має той самий період, що й послідовність сигналу Цю процедуру можливо розглядати як застосування властивості згортки Z-перетворення дискретного сигналу.

В той час як алгоритм грубої сили має порядок n2, існує декілька ефективних алгоритмів, які можуть обчислювати автокореляцію в межах порядку n log(n). Наприклад, Теорема Вінера — Хінчина[en] дозволяє обчислювати автокореляцію з сирих даних X(t) за допомогою двох швидких перетворень Фур'є (англ. fast Fourier transforms, FFT):[сторінка?]

де IFFT позначує обернене швидке перетворення Фур'є (англ. inverse fast Fourier transform). Зірочка позначує комплексне спряження.

Як альтернатива, кореляцію для декількох τ можливо виконувати, використовуючи обчислення грубою сили для низьких значень τ, а потім поступово об'єднуючи дані X(t) з логарифмічною густиною для обчислення для вищих значень, що дає ту ж ефективність n log(n), але з нижчими вимогами до пам'яті.

Оцінювання Редагувати

Для дискретного процесу з відомими середнім значенням та дисперсією, для якого ми спостерігаємо спостережень , оцінку коефіцієнта автокореляції можна отримати через

для будь-якого додатного цілого . Коли істинне середнє значення та дисперсія відомі, ця оцінка є незмі́щеною (англ. unbiased). Якщо істинне середнє значення та дисперсія процесу невідомі, є декілька можливостей:

  • Якщо та замінити стандартними формулами для вибіркового середнього та вибіркової дисперсії, то це змі́щена оці́нка (англ. biased estimate).
  • Оцінка на основі періодограми[en] замінює у наведеній вище формулі на . Ця оцінка завжди зміщена; проте, вона зазвичай має меншу середньоквадратичну похибку.
  • Інші можливості випливають із розгляду двох частин даних та окремо, та обчислення окремих вибіркових середніх та/або вибіркових дисперсій для використання при визначенні оцінки.[джерело?]

Перевага оцінок останнього типу полягає в тому, що набір оцінених автокореляцій, як функція від , потім формує функцію, яка є дійсною автокореляцією в тому сенсі, що можливо визначити теоретичний процес, що має саме таку автокореляцію. Інші оцінки можуть страждати від проблеми, що, якщо їх використовують для обчислення дисперсії лінійної комбінації -ів, то обчислювана дисперсія може виявлятися від'ємною.

Регресійний аналіз Редагувати

У регресійному аналізі з використанням даних часових рядів автокореляцію у цільовій змінній зазвичай моделюють авторегресійною моделлю (АР, англ. autoregressive model, AR), моделлю ковзного середнього[en] (КС, англ. moving average model, MA), їхнім поєднанням як моделлю авторегресії з ковзним середнім (АРКС, англ. autoregressive-moving-average model, ARMA) або розширенням крайнього, званим моделлю авторегресії з інтегрованим ковзним середнім (АРІКС, англ. autoregressive integrated moving average model, ARIMA). При множинних взаємопов'язаних рядах даних використовують векторну авторегресію (ВАР, англ. vector autoregression, VAR) або її розширення.

У звичайних найменших квадратах[en] (ЗНК, англ. ordinary least squares, OLS) адекватність специфікації моделі можливо частково перевіряти, встановлюючи, чи існує автокореляція залишків регресії. Проблемну автокореляцію похибок, що самі по собі неспостережні, зазвичай можливо виявляти через те, що вона створює автокореляцію у спостережуваних залишках. (Похибки також відомі як «члени похибки», англ. error terms, в економетрії.) Автокореляція похибок порушує припущення звичайних найменших квадратів, що члени похибки некорельовані, що означає незастосовність теореми Гауса — Маркова, і що оцінювачі ЗНК вже не є найкращими лінійними незміщеними оцінювачами (НЛНО, англ. Best Linear Unbiased Estimators, BLUE). Хоч це й не зміщує оцінок коефіцієнтів ЗНК, але коли автокореляції похибок при малих відставання є додатними, то стандартні похибки, як правило, недооцінюються (а t-показники[en] завищуються).

Традиційною перевіркою на наявність автокореляції першого порядку є критерій Дарбіна — Уотсона, або, якщо пояснювальні змінні включають залежну змінну з відставанням, h-критерій Дарбіна. Проте, Дарбіна — Уотсона можливо лінійно відобразити на кореляцію Пірсона між значеннями та їхніми відставаннями. Гнучкішим критерієм, що охоплює автокореляцію вищих порядків, і є застосовним незалежно від того, чи включають незалежні змінні відставання залежної змінної, є критерій Бройша — Ґодфрі[en]. Він включає допоміжну регресію залишків, отримуваних в результаті оцінки цільової моделі, на (а) первинні незалежні змінні, та (б) k відставань залишків, де «k» є порядком цього критерію. Найпростішим варіантом статистичного критерію з цієї допоміжної регресії є TR 2, де T — розмір вибірки, а R 2 — коефіцієнт детермінації. За нульової гіпотези відсутності автокореляції ця статистика асимптотично має розподіл з k ступенями вільності.

До відповідей на ненульову автокореляцію належать узагальнені найменші квадрати[en] та оцінювач Ньюї — Уеста ГАС[en] (гетероскедастично та автокореляційно стійкий, англ. Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent, HAC).

В оцінюванні моделлю ковзного середнього[en] (КС) функцію автокореляції використовують, щоби визначати, яку кількість членів відставання буде доречно включити. Це ґрунтується на тому факті, що для процесу КС порядку q маємо для , й для .

Застосування Редагувати

  • Автокореляційний аналіз широко застосовують у флуоресцентній кореляційній спектроскопії, щоби забезпечувати кількісне уявлення про дифузію та хімічні реакції на молекулярному рівні.
  • Іншим застосуванням автокореляції є вимірювання оптичних спектрів і вимірювання надкоротких світлових імпульсів, створюваних лазерами, обидва з використанням оптичних автокореляторів[en].
  • Автокореляцію використовують для аналізу даних динамічного розсіювання світла[en], що, зокрема, дозволяє визначати розподіл розмірів нанометрових частинок або міцел, зважених у рідині. Лазер, що світить у суміш, створює спекл-структуру[en], яка виникає в результаті руху частинок. Автокореляцію цього сигналу можливо аналізувати з точки зору дифузії частинок. З цього, знаючи в'язкість рідини, можливо обчислювати розміри частинок.
  • Використовують у системі GPS для уточнення затримки поширювання[en], або часового зсуву між моментом передачі опорного сигналу на супутниках і моментом часу в приймачі на землі. Для цього приймач генерує копію сигналу 1 023-бітового коду C/A (англ. Coarse/Acquisition), і генерує рядки кодових імпульсів [-1,1] у пакетах по десять за раз, або 10 230 імпульси (1 023 × 10), злегка зміщуючись по ходу, щоби врахувати доплерівський зсув у вхідному супутниковому сигналі, доки сигнал приймачевої копії та коди супутникового сигналу не збіжаться.
  • Інтенсивність малокутового рентгенівського розсіювання наноструктурної системи — це перетворенням Фур'є просторової автокореляційної функції електронної густини.
  • У науці про поверхню та в сканувальній зондовій мікроскопії автокореляцію використовують для встановлювання зв'язку між морфологією поверхні та функційними характеристиками.
  • В оптиці нормовані автокореляції та взаємні кореляції дають ступінь когерентності[en] електромагнітного поля.
  • В обробці сигналів автокореляція може давати інформацію про повторювані події, такі як музичні долі (наприклад, щоби визначати темп) або частоти пульсарів, хоч вона й не може визначити положення долі в часі. Її також можуть використовувати, щоб оцінювати висоту музичного звуку[en].
  • У музичнім звукозаписі автокореляцію використовують як алгоритм визначення висоти звуку[en] перед обробкою голосу, як ефект дисторшн, або для усунення небажаних помилок і неточностей.
  • Дифракціювальники рентгенівських променів використовують автокореляцію в просторі замість часу за допомогою функції Паттерсона[en], щоби полегшувати відновлення «фазової інформації Фур'є» про положення атомів, недоступної за допомогою самої лише дифракції.
  • У статистиці просторова автокореляція між положеннями зразків також допомагає оцінювати невизначеність середнього значення[en] під час вибірки з неоднорідної сукупності.
  • Алгоритм SEQUEST[en] для аналізу спектрів мас використовує автокореляцію у поєднанні зі взаємною кореляцією, щоб оцінювати подібність спостережуваного спектру до ідеалізованого спектру, що подає якийсь пептид.
  • В астрофізиці автокореляцію використовують для вивчення та характеризування просторового розподілу галактик у Всесвіті, та при багатохвильових спостереженнях рентгенівських подвійних малої маси.
  • У панельних даних[en] просторова автокореляція стосується кореляції змінної з самою собою в просторі.
  • При аналізі даних Монте-Карло марковських ланцюгів автокореляцію необхідно враховувати, щоби правильного визначати похибку.
  • У науках про Землю (зокрема в геофізиці) її можливо використовувати для обчислення автокореляційного сейсмічного параметра за допомогою тривимірної сейсмічної зйомки під землею.
  • У медичній ультразвуковій візуалізації автокореляцію використовують для унаочнювання кровотоку.
  • При міжчасовому виборі портфеля[en] наявність або відсутність автокореляції в нормі прибутковості активу може впливати на оптимальну частину портфеля для зберігання в цьому активі.

Послідовна залежність Редагувати

Послідо́вна зале́жність (англ. serial dependence) тісно пов'язана з поняттям автокореляції, але подає окреме поняття (див. кореляцію та залежність). Зокрема, можливо мати послідовну залежність за відсутності (лінійної) кореляції. Проте у деяких областях ці два терміни використовують як синоніми.

Часовий ряд випадкової величини має послідовну залежність, якщо значення в якийсь момент часу цього ряду статистично залежне від значення в інший момент часу . Ряд є послідовно незалежним, якщо між будь-якою парою моментів часу залежності немає.

Якщо часовий ряд стаціонарний, то статистична залежність всередині пари означала би, що існує статистична залежність між усіма парами значень з однаковим відставанням .

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  1. ↑ Gubner, John A. (2006). Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86470-1.  (англ.)
  2. ↑ Kun Il Park, Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications, Springer, 2018, ISBN 978-3-319-68074-3 (англ.)
  3. ↑ Papoulis, Athanasius, Probability, Random variables and Stochastic processes, McGraw-Hill, 1991 (англ.)
  4. ↑ Dunn, Patrick F. (2005). Measurement and Data Analysis for Engineering and Science. New York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-282538-1.  (англ.)
  5. Proakis, John (31 серпня 2001). Communication Systems Engineering (2nd Edition) (вид. 2). Pearson. с. 168. ISBN 978-0130617934.  (англ.)
  6. Box, G. E. P.; Jenkins, G. M.; Reinsel, G. C. (1994). Time Series Analysis: Forecasting and Control (вид. 3rd). Upper Saddle River, NJ: Prentice–Hall. ISBN 978-0130607744.  (англ.)
  7. Frenkel, D.; Smit, B. (2002). chap. 4.4.2. Understanding Molecular Simulation (вид. 2nd). London: Academic Press. ISBN 978-0122673511.  (англ.)
  8. Colberg, P.; Höfling, F. (2011). Highly accelerated simulations of glassy dynamics using GPUs: caveats on limited floating-point precision. Comput. Phys. Commun.[en] 182 (5): 1120–1129. Bibcode:2011CoPhC.182.1120C. arXiv:0912.3824. doi:10.1016/j.cpc.2011.01.009.  (англ.)
  9. Priestley, M. B. (1982). Spectral Analysis and Time Series. London, New York: Academic Press. ISBN 978-0125649018.  (англ.)
  10. Percival, Donald B.; Andrew T. Walden (1993). Spectral Analysis for Physical Applications: Multitaper and Conventional Univariate Techniques. Cambridge University Press. с. 190–195. ISBN 978-0-521-43541-3.  (англ.)
  11. Percival, Donald B. (1993). Three Curious Properties of the Sample Variance and Autocovariance for Stationary Processes with Unknown Mean. The American Statistician (англ.) 47 (4): 274–276. doi:10.1080/00031305.1993.10475997.  (англ.)
  12. . Statistical Ideas. 26 травня 2014. Архів оригіналу за 27 листопада 2021. Процитовано 27 листопада 2021.  (англ.)
  13. Baum, Christopher F. (2006). An Introduction to Modern Econometrics Using Stata. Stata Press. ISBN 978-1-59718-013-9.  (англ.)
  14. Elson, Elliot L. (December 2011). Fluorescence Correlation Spectroscopy: Past, Present, Future. Biophysical Journal (англ.) 101 (12): 2855–2870. Bibcode:2011BpJ...101.2855E. PMC 3244056. PMID 22208184. doi:10.1016/j.bpj.2011.11.012.  (англ.)
  15. Hołyst, Robert; Poniewierski, Andrzej; Zhang, Xuzhu (2017). Analytical form of the autocorrelation function for the fluorescence correlation spectroscopy. Soft Matter (англ.) 13 (6): 1267–1275. Bibcode:2017SMat...13.1267H. ISSN 1744-683X. PMID 28106203. doi:10.1039/C6SM02643E.  (англ.)
  16. Van Sickle, Jan (2008). GPS for Land Surveyors (вид. Third). CRC Press. с. 18–19. ISBN 978-0-8493-9195-8.  (англ.)
  17. Kalvani, Payam Rajabi; Jahangiri, Ali Reza; Shapouri, Samaneh; Sari, Amirhossein; Jalili, Yousef Seyed (August 2019). Multimode AFM analysis of aluminum-doped zinc oxide thin films sputtered under various substrate temperatures for optoelectronic applications. Superlattices and Microstructures (англ.) 132: 106173. doi:10.1016/j.spmi.2019.106173.  (англ.)
  18. Tyrangiel, Josh (5 лютого 2009). . Time. Архів оригіналу за 10 лютого 2009.  (англ.)

 

Література Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Avtokorelya ciya angl autocorrelation inodi vidoma yak poslido vna korelya ciya angl serial correlation u vipadku diskretnogo chasu en ce korelyaciya signalu iz zatrimanoyu kopiyeyu samogo sebe yak funkciya vid zatrimki Neformalno ce shozhist mizh sposterezhennyami yak funkciya vid vidstavannya v chasi angl time lag mizh nimi Analiz avtokorelyaciyi ce matematichnij instrument dlya poshuku povtoryuvanih zakonomirnostej takih yak nayavnist periodichnogo signalu zaekranovanogo shumom en abo viznachennya vidsutnoyi osnovnoyi chastoti en v signali na yaku natyakayut jogo garmonichni chastoti Jogo chasto vikoristovuyut v obrobci signaliv dlya analizu funkcij abo ryadiv znachen takih yak signali chasovoyi oblasti Nagori grafik ryadu zi 100 vipadkovih chisel sho prihovuyut funkciyu sinusa Vnizu cya funkciya sinusa viyavlena v korelogrami otrimanij za dopomogoyu avtokorelyaciyi Naochne porivnyannya zgortki vzayemnoyi korelyaciyi ta avtokorelyaciyi Dlya operacij sho vklyuchayut funkciyu f i vihodyachi z pripushennya sho visota f stanovit 1 0 znachennya rezultatu v 5 riznih tochkah pokazano zatinenoyu oblastyu pid kozhnoyu tochkoyu Takozh vertikalna simetriya f ye prichinoyu togo sho g f displaystyle g f ta f g displaystyle f star g u comu prikladi identichni Rizni galuzi doslidzhen viznachayut avtokorelyaciyu po riznomu j ne vsi ci viznachennya ye rivnoznachnimi U deyakih galuzyah cej termin vikoristovuyut vzayemozaminno z avtokovariaciyeyu Osoblivimi vidami procesiv iz avtokorelyaciyeyu ye procesi z odinichnim korenem en trend stacionarni procesi en avtoregresijni procesi en ta procesi kovznogo serednogo en Zmist 1 Avtokorelyaciya stohastichnih procesiv 1 1 Viznachennya dlya stacionarnogo v shirokomu sensi stohastichnogo procesu 1 2 Unormovuvannya 1 3 Vlastivosti 1 3 1 Vlastivist simetriyi 1 3 2 Maksimum v nuli 1 3 3 Nerivnist Koshi Bunyakovskogo 1 3 4 Avtokorelyaciya bilogo shumu 1 3 5 Teorema Vinera Hinchina 2 Avtokorelyaciya vipadkovih vektoriv 2 1 Vlastivosti avtokorelyacijnoyi matrici 3 Avtokorelyaciya determinovanih signaliv 3 1 Avtokorelyaciya neperervnochasovogo signalu 3 2 Avtokorelyaciya diskretnochasovogo signalu 3 3 Viznachennya dlya periodichnih signaliv 3 4 Vlastivosti 4 Bagatovimirna avtokorelyaciya 5 Efektivne obchislennya 6 Ocinyuvannya 7 Regresijnij analiz 8 Zastosuvannya 9 Poslidovna zalezhnist 10 Div takozh 11 Primitki 12 LiteraturaAvtokorelyaciya stohastichnih procesiv RedaguvatiU statistici avtokorelyaciya dijsnogo abo kompleksnogo vipadkovogo procesu ce korelyaciya Pirsona mizh znachennyami cogo procesu v rizni momenti chasu yak funkciya vid dvoh momentiv chasu abo vid vidstavannya v chasi Nehaj X t displaystyle left X t right nbsp vipadkovij proces a t displaystyle t nbsp bud yaka tochka v chasi t displaystyle t nbsp mozhe buti cilim chislom dlya diskretnochasovogo en abo dijsnim chislom dlya neperervnochasovogo en procesu Todi X t displaystyle X t nbsp ce znachennya abo realizaciya en otrimane v rezultati zadanogo vikonannya en procesu v moment chasu t displaystyle t nbsp Pripustimo sho cej proces u moment chasu t displaystyle t nbsp maye serednye znachennya m t displaystyle mu t nbsp ta dispersiyu s t 2 displaystyle sigma t 2 nbsp dlya bud yakogo t displaystyle t nbsp Todi viznachennyam avtokorelyaci jnoyi fu nkciyi angl auto correlation function mizh momentami chasu t 1 displaystyle t 1 nbsp ta t 2 displaystyle t 2 nbsp ye 1 s 388 2 s 165 R X X t 1 t 2 E X t 1 X t 2 displaystyle operatorname R XX t 1 t 2 operatorname E left X t 1 overline X t 2 right nbsp 1 de E displaystyle operatorname E nbsp operator matematichnogo spodivannya a riska podaye kompleksne spryazhennya Zauvazhte sho ce matematichne spodivannya mozhe ne buti odnoznachna viznachenim en Vidnimannya serednogo znachennya pered mnozhennyam daye avtokovariaci jnu fu nkciyu angl auto covariance function mizh momentami chasu t 1 displaystyle t 1 nbsp ta t 2 displaystyle t 2 nbsp 1 s 392 2 s 168 K X X t 1 t 2 E X t 1 m t 1 X t 2 m t 2 E X t 1 X t 2 m t 1 m t 2 displaystyle operatorname K XX t 1 t 2 operatorname E left X t 1 mu t 1 overline X t 2 mu t 2 right operatorname E left X t 1 overline X t 2 right mu t 1 overline mu t 2 nbsp 2 Zauvazhte sho cej viraz ne ye odnoznachno viznachenim dlya vsih chasovih ryadiv ta procesiv oskilki serednogo znachennya mozhe ne isnuvati abo dispersiya mozhe buti nulovoyu dlya stalogo procesu chi neskinchennoyu dlya procesiv iz rozpodilom bez korektnih momentiv takih yak pevni tipi stepenevogo rozpodilu Viznachennya dlya stacionarnogo v shirokomu sensi stohastichnogo procesu Redaguvati Yaksho X t displaystyle left X t right nbsp stacionarnij u shirokomu sensi proces to serednye znachennya m displaystyle mu nbsp ta dispersiya s 2 displaystyle sigma 2 nbsp nezalezhni vid chasu j vidtak avtokovariacijna funkciya zalezhit lishe vid vidstavannya mizh t 1 displaystyle t 1 nbsp ta t 2 displaystyle t 2 nbsp avtokovariaciya zalezhit lishe vid chasovoyi vidstani mizh paroyu znachen ale ne vid yihnogo polozhennya v chasi Ce vidtak oznachaye sho avtokovariaciyu ta avtokorelyaciyu mozhlivo viraziti yak funkciyu vid vidstavannya v chasi j sho vona bude parnoyu funkciyeyu vidstavannya v chasi t t 2 t 1 displaystyle tau t 2 t 1 nbsp Ce daye zvichnishi viglyadi avtokorelyacijnoyi funkciyi 1 s 395 R X X t E X t t X t displaystyle operatorname R XX tau operatorname E left X t tau overline X t right nbsp 3 ta avtokovariacijnoyi funkciyi K X X t E X t t m X t m E X t t X t m m displaystyle operatorname K XX tau operatorname E left X t tau mu overline X t mu right operatorname E left X t tau overline X t right mu overline mu nbsp 4 Unormovuvannya Redaguvati Poshirenoyu praktikoyu v deyakih disciplinah napriklad u statistici ta analizi chasovih ryadiv ye unormovuvati avtokovariacijnu funkciyu shob otrimuvati zalezhnij vid chasu koeficiyent korelyaciyi Pirsona Prote v deyakih inshih disciplinah napriklad v inzheneriyi unormovuvannya zazvichaj propuskayut a termini avtokorelyaciya ta avtokovariaciya vikoristovuyut yak vzayemozaminni Viznachennya koeficiyenta avtokorelyaciyi stohastichnogo procesu 2 s 169r X X t 1 t 2 K X X t 1 t 2 s t 1 s t 2 E X t 1 m t 1 X t 2 m t 2 s t 1 s t 2 displaystyle rho XX t 1 t 2 frac operatorname K XX t 1 t 2 sigma t 1 sigma t 2 frac operatorname E left X t 1 mu t 1 overline X t 2 mu t 2 right sigma t 1 sigma t 2 nbsp Yaksho funkciya r X X displaystyle rho XX nbsp odnoznachno viznachena yiyi znachennya musyat lezhati v diapazoni 1 1 displaystyle 1 1 nbsp prichomu 1 vkazuye na idealnu korelyaciyu a 1 na idealnu antikorelyaciyu en Dlya slabko stacionarnogo stacionarnogo v shirokomu sensi SShS procesu viznachennya take r X X t K X X t s 2 E X t t m X t m s 2 displaystyle rho XX tau frac operatorname K XX tau sigma 2 frac operatorname E left X t tau mu overline X t mu right sigma 2 nbsp deK X X 0 s 2 displaystyle operatorname K XX 0 sigma 2 nbsp Unormovuvannya vazhlive yak tomu sho interpretaciya avtokorelyaciyi yak korelyaciyi zabezpechuye bezmasshtabnu miru sili statistichnoyi zalezhnosti tak i tomu sho vono vplivaye na statistichni vlastivosti ocinyuvanih avtokorelyacij Vlastivosti Redaguvati Vlastivist simetriyi Redaguvati Toj fakt sho avtokorelyacijna funkciya R X X displaystyle operatorname R XX nbsp parna mozhe buti sformulovano yak 2 s 171R X X t 1 t 2 R X X t 2 t 1 displaystyle operatorname R XX t 1 t 2 overline operatorname R XX t 2 t 1 nbsp vidpovidno dlya SShS procesu 2 s 173R X X t R X X t displaystyle operatorname R XX tau overline operatorname R XX tau nbsp Maksimum v nuli Redaguvati Dlya SShS procesu 2 s 174 R X X t R X X 0 displaystyle left operatorname R XX tau right leq operatorname R XX 0 nbsp Zvernit uvagu sho R X X 0 displaystyle operatorname R XX 0 nbsp zavzhdi dijsna Nerivnist Koshi Bunyakovskogo Redaguvati Nerivnist Koshi Bunyakovskogo nerivnist dlya stohastichnih procesiv 1 s 392 R X X t 1 t 2 2 E X t 1 2 E X t 2 2 displaystyle left operatorname R XX t 1 t 2 right 2 leq operatorname E left X t 1 2 right operatorname E left X t 2 2 right nbsp Avtokorelyaciya bilogo shumu Redaguvati Avtokorelyaciya neperervnochasovogo signalu bilogo shumu matime silnij pik predstavlenij delta funkciyeyu Diraka pri t 0 displaystyle tau 0 nbsp j dorivnyuvatime 0 displaystyle 0 nbsp dlya vsih inshih t displaystyle tau nbsp Teorema Vinera Hinchina Redaguvati Teorema Vinera Hinchina en pov yazuye avtokorelyacijnu funkciyu R X X displaystyle operatorname R XX nbsp zi spektralnoyu gustinoyu potuzhnosti S X X displaystyle S XX nbsp cherez peretvorennya Fur ye R X X t S X X f e i 2 p f t d f displaystyle operatorname R XX tau int infty infty S XX f e i2 pi f tau rm d f nbsp S X X f R X X t e i 2 p f t d t displaystyle S XX f int infty infty operatorname R XX tau e i2 pi f tau rm d tau nbsp Dlya dijsnoznachnih funkcij simetrichna avtokorelyacijna funkciya maye dijsne simetrichne peretvorennya tozh teoremu Vinera Hinchina en mozhlivo viraziti v terminah lishe dijsnih kosinusiv R X X t S X X f cos 2 p f t d f displaystyle operatorname R XX tau int infty infty S XX f cos 2 pi f tau rm d f nbsp S X X f R X X t cos 2 p f t d t displaystyle S XX f int infty infty operatorname R XX tau cos 2 pi f tau rm d tau nbsp Avtokorelyaciya vipadkovih vektoriv Redaguvati Potencijno zalezhna vid chasu avtokorelyaci jna ma tricya angl auto correlation matrix takozh zvana drugim momentom potencijno zalezhnogo vid chasu vipadkovogo vektora X X 1 X n T displaystyle mathbf X X 1 ldots X n rm T nbsp ce matricya n n displaystyle n times n nbsp yaka mistit yak elementi avtokorelyaciyi vsih par elementiv vipadkovogo vektora X displaystyle mathbf X nbsp Avtokorelyacijnu matricyu vikoristovuyut u riznih algoritmah cifrovoyi obrobki signaliv Dlya vipadkovogo vektora X X 1 X n T displaystyle mathbf X X 1 ldots X n rm T nbsp sho mistit vipadkovi elementi matematichne spodivannya ta dispersiya yakih isnuyut avtokorelyacijnu matricyu viznachayut yak 3 s 190 1 c 334 R X X E X X T displaystyle operatorname R mathbf X mathbf X triangleq operatorname E left mathbf X mathbf X rm T right nbsp 5 de T displaystyle rm T nbsp poznachuye transponuvannya j maye rozmiri n n displaystyle n times n nbsp U poelementnomu zapisi R X X E X 1 X 1 E X 1 X 2 E X 1 X n E X 2 X 1 E X 2 X 2 E X 2 X n E X n X 1 E X n X 2 E X n X n displaystyle operatorname R mathbf X mathbf X begin bmatrix operatorname E X 1 X 1 amp operatorname E X 1 X 2 amp cdots amp operatorname E X 1 X n operatorname E X 2 X 1 amp operatorname E X 2 X 2 amp cdots amp operatorname E X 2 X n vdots amp vdots amp ddots amp vdots operatorname E X n X 1 amp operatorname E X n X 2 amp cdots amp operatorname E X n X n end bmatrix nbsp Yaksho Z displaystyle mathbf Z nbsp kompleksnij vipadkovij vektor en to avtokorelyacijnu matricyu natomist viznachayut yakR Z Z E Z Z H displaystyle operatorname R mathbf Z mathbf Z triangleq operatorname E mathbf Z mathbf Z rm H nbsp Tut H displaystyle rm H nbsp poznachuye ermitove transponuvannya Napriklad yaksho X X 1 X 2 X 3 T displaystyle mathbf X left X 1 X 2 X 3 right rm T nbsp vipadkovij vektor to R X X displaystyle operatorname R mathbf X mathbf X nbsp matricya 3 3 displaystyle 3 times 3 nbsp chiyim i j displaystyle i j nbsp m elementom ye E X i X j displaystyle operatorname E X i X j nbsp Vlastivosti avtokorelyacijnoyi matrici Redaguvati Avtokorelyacijna matricya ermitova matricya dlya kompleksnih vipadkovih vektoriv i simetrichna matricya dlya dijsnih vipadkovih vektoriv 3 s 190 Avtokovariacijna matricya dodatno napivviznachena 3 s 190 tobto a T R X X a 0 displaystyle mathbf a mathrm T operatorname R mathbf X mathbf X mathbf a geq 0 nbsp dlya vsih a R n displaystyle mathbf a in mathbb R n nbsp dlya dijsnogo vipadkovogo vektora j vidpovidno a H R Z Z a 0 displaystyle mathbf a mathrm H operatorname R mathbf Z mathbf Z mathbf a geq 0 nbsp dlya vsih a C n displaystyle mathbf a in mathbb C n nbsp u razi kompleksnogo vipadkovogo vektora Usi vlasni znachennya avtokorelyacijnoyi matrici ye dijsnimi ta nevid yemnimi Avtokovariacijna matricya pov yazana z avtokorelyacinoyu matriceyu nastupnim chinom K X X E X E X X E X T R X X E X E X T displaystyle operatorname K mathbf X mathbf X operatorname E mathbf X operatorname E mathbf X mathbf X operatorname E mathbf X rm T operatorname R mathbf X mathbf X operatorname E mathbf X operatorname E mathbf X rm T nbsp Vidpovidno dlya kompleksnih vipadkovih vektoriv K Z Z E Z E Z Z E Z H R Z Z E Z E Z H displaystyle operatorname K mathbf Z mathbf Z operatorname E mathbf Z operatorname E mathbf Z mathbf Z operatorname E mathbf Z rm H operatorname R mathbf Z mathbf Z operatorname E mathbf Z operatorname E mathbf Z rm H nbsp Avtokorelyaciya determinovanih signaliv RedaguvatiV obrobci signaliv navedene vishe viznachennya chasto vikoristovuyut bez unormovuvannya tobto bez vidnimannya serednogo znachennya j dilennya na dispersiyu Koli avtokorelyacijnu funkciyu unormovuyut za serednim znachennyam ta dispersiyeyu yiyi inodi nazivayut koeficiye ntom avtokorelya ciyi angl autocorrelation coefficient 4 abo avtokovariacijnoyu funkciyeyu Avtokorelyaciya neperervnochasovogo signalu Redaguvati Za zadanogo signalu f t displaystyle f t nbsp neperervnu avtokorelyaciyu R f f t displaystyle R ff tau nbsp najchastishe viznachayut yak neperervnij vzayemnokorelyacijnij integral f t displaystyle f t nbsp iz samim soboyu z vidstavannyam t displaystyle tau nbsp 1 s 411 R f f t f t t f t d t f t f t t d t displaystyle R ff tau int infty infty f t tau overline f t rm d t int infty infty f t overline f t tau rm d t nbsp 6 de f t displaystyle overline f t nbsp yavlyaye soboyu kompleksne spryazhennya f t displaystyle f t nbsp Zvernit uvagu sho parametr t displaystyle t nbsp v integrali ye fiktivnoyu zminnoyu neobhidnoyu lishe dlya obchislennya integrala Vona ne nese konkretnogo zmistu Avtokorelyaciya diskretnochasovogo signalu Redaguvati Diskretna avtokorelyaciya R displaystyle R nbsp za vidstavannya ℓ displaystyle ell nbsp dlya diskretnochasovogo signalu chasu y n displaystyle y n nbsp R y y ℓ n Z y n y n ℓ displaystyle R yy ell sum n in Z y n overline y n ell nbsp 7 Navedeni vishe viznachennya pracyuyut dlya kvadratno integrovnih abo kvadratno sumovnih signaliv tobto zi skinchennoyu energiyeyu Signali sho trivayut vichno natomist rozglyadayut yak vipadkovi procesi j u comu vipadku neobhidni vidminni viznachennya na osnovi matematichnih spodivan Dlya stacionarnih u shirokomu sensi vipadkovih procesiv avtokorelyaciyi viznachayut yakR f f t E f t f t t R y y ℓ E y n y n ℓ displaystyle begin aligned R ff tau amp operatorname E left f t overline f t tau right R yy ell amp operatorname E left y n overline y n ell right end aligned nbsp Dlya procesiv sho ne ye stacionarnimi voni takozh budut funkciyami vid t displaystyle t nbsp ta n displaystyle n nbsp Dlya procesiv sho ye takozh ergodichnimi en matematichne spodivannya mozhlivo zaminiti graniceyu userednennya za chasom Avtokorelyaciyu ergodichnogo procesu inodi viznachayut yak abo pririvnyuyut do 4 R f f t lim T 1 T 0 T f t t f t d t R y y ℓ lim N 1 N n 0 N 1 y n y n ℓ displaystyle begin aligned R ff tau amp lim T rightarrow infty frac 1 T int 0 T f t tau overline f t rm d t R yy ell amp lim N rightarrow infty frac 1 N sum n 0 N 1 y n overline y n ell end aligned nbsp Ci viznachennya mayut tu perevagu sho voni dayut osmisleni odnoznachno viznacheni odnoparametrovi rezultati dlya periodichnih funkcij navit yaksho ci funkciyi ne ye rezultatom stacionarnih ergodichnih procesiv Krim togo signali yaki trivayut vichno mozhlivo rozglyadati za dopomogoyu analizu vikonnih avtokorelyacijnih funkcij angl short time autocorrelation function analysis zastosovuyuchi skinchenni integrali za chasom Pro pov yazanij proces div vikonne peretvorennya Fur ye Viznachennya dlya periodichnih signaliv Redaguvati Yaksho f displaystyle f nbsp neperervna periodichna funkciya z periodom T displaystyle T nbsp to integruvannya vid displaystyle infty nbsp do displaystyle infty nbsp zaminyuyut integruvannyam nad bud yakim intervalom t 0 t 0 T displaystyle t 0 t 0 T nbsp dovzhini T displaystyle T nbsp R f f t t 0 t 0 T f t t f t d t displaystyle R ff tau triangleq int t 0 t 0 T f t tau overline f t dt nbsp sho rivnoznachneR f f t t 0 t 0 T f t f t t d t displaystyle R ff tau triangleq int t 0 t 0 T f t overline f t tau dt nbsp Vlastivosti Redaguvati Dali mi opishemo vlastivosti lishe odnovimirnih avtokorelyacij oskilki bilshist vlastivostej legko perenosyatsya z odnovimirnogo vipadku na bagatovimirni Ci vlastivosti spravedlivi dlya stacionarnih u shirokomu sensi procesiv 5 Osnovnoyu vlastivistyu avtokorelyaciyi ye simetriya R f f t R f f t displaystyle R ff tau R ff tau nbsp sho legko dovesti z viznachennya U neperervnomu vipadku avtokorelyaciya ye parnoyu funkciyeyu R f f t R f f t displaystyle R ff tau R ff tau nbsp koli f displaystyle f nbsp ye dijsnoyu funkciyeyu i avtokorelyaciya ye ermitovoyu funkciyeyu en R f f t R f f t displaystyle R ff tau R ff tau nbsp koli f displaystyle f nbsp ye kompleksnoyu funkciyeyu Neperervna avtokorelyacijna funkciya dosyagaye svogo piku v pochatku koordinat de vona nabuvaye dijsnogo znachennya tobto dlya bud yakoyi zatrimki t displaystyle tau nbsp R f f t R f f 0 displaystyle R ff tau leq R ff 0 nbsp 1 s 410 Ce naslidok nerivnosti perestanovok Toj samij rezultat maye misce i v diskretnomu vipadku Avtokorelyaciya periodichnoyi funkciyi sama po sobi ye periodichnoyu z tim samim periodom Avtokorelyaciya sumi dvoh absolyutno nekorelovanih funkcij vzayemna korelyaciya dorivnyuye nulevi dlya vsih t displaystyle tau nbsp ye sumoyu avtokorelyacij kozhnoyi z funkcij okremo Oskilki avtokorelyaciya ye osoblivim vidom vzayemnoyi korelyaciyi vona zberigaye vsi vlastivosti vzayemnoyi korelyaciyi Za dopomogoyu simvolu displaystyle nbsp dlya podannya zgortki j funkciyi g 1 displaystyle g 1 nbsp sho manipulyuye funkciyeyu f displaystyle f nbsp j viznachena yak g 1 f t f t displaystyle g 1 f t f t nbsp viznachennya dlya R f f t displaystyle R ff tau nbsp mozhe buti zapisano tak R f f t f g 1 f t displaystyle R ff tau f g 1 overline f tau nbsp Bagatovimirna avtokorelyaciya RedaguvatiBagatovimirnu avtokorelyaciyu viznachayut analogichno Napriklad u troh vimirah avtokorelyaciyeyu kvadratno sumovnogo diskretnogo signalu bula biR j k ℓ n q r x n q r x n j q k r ℓ displaystyle R j k ell sum n q r x n q r overline x n j q k r ell nbsp Koli pered obchislennyam avtokorelyacijnoyi funkciyi vid signaliv vidnimayut seredni znachennya otrimanu funkciyu zazvichaj nazivayut avtokovariacijnoyu funkciyeyu Efektivne obchislennya RedaguvatiDlya danih virazhenih yak diskretna poslidovnist chasto neobhidno obchislyuvati avtokorelyaciyu z visokoyu obchislyuvalnoyu efektivnistyu Metod gruboyi sili en sho gruntuyetsya na viznachenni obrobki signalu R x x j n x n x n j displaystyle R xx j sum n x n overline x n j nbsp mozhlivo vikoristovuvati koli rozmir signalu nevelikij Napriklad dlya obchislennya avtokorelyaciyi poslidovnosti dijsnogo signalu x 2 3 1 displaystyle x 2 3 1 nbsp tobto x 0 2 x 1 3 x 2 1 displaystyle x 0 2 x 1 3 x 2 1 nbsp j x i 0 displaystyle x i 0 nbsp dlya vsih inshih znachen i vruchnu mi spochatku z yasovuyemo sho shojno navedene viznachennya take same yak i zvichajne mnozhennya ale zi zmishennyami pravoruch de kozhne vertikalne dodavannya daye avtokorelyaciyu dlya pevnih znachen vidstavannya 2 3 1 2 3 1 2 3 1 6 9 3 4 6 2 2 3 14 3 2 displaystyle begin array rrrrrr amp 2 amp 3 amp 1 times amp 2 amp 3 amp 1 hline amp 2 amp 3 amp 1 amp amp 6 amp 9 amp 3 amp amp amp 4 amp 6 amp 2 hline amp 2 amp 3 amp 14 amp 3 amp 2 end array nbsp Takim chinom potribna poslidovnist avtokorelyaciyi R x x 2 3 14 3 2 displaystyle R xx 2 3 14 3 2 nbsp de R x x 0 14 displaystyle R xx 0 14 nbsp R x x 1 R x x 1 3 displaystyle R xx 1 R xx 1 3 nbsp a R x x 2 R x x 2 2 displaystyle R xx 2 R xx 2 2 nbsp avtokorelyaciya dlya inshih znachen vidstavannya dorivnyuye nulevi V comu obchislenni mi ne vikonuyemo operaciyu perenesennya pid chas dodavannya yak ce zazvichaj vidbuvayetsya pri zvichajnomu mnozhenni Zauvazhte sho mi mozhemo zmenshiti kilkist neobhidnih operacij vdvichi vikoristovuyuchi pritamannu avtokorelyaciyi simetriyu Yaksho signal viyavlyayetsya periodichnim tobto x 2 3 1 2 3 1 displaystyle x ldots 2 3 1 2 3 1 ldots nbsp to mi otrimuyemo ciklichnu avtokorelyaciyu angl circular autocorrelation podibnu do ciklichnoyi zgortki en de livij ta pravij hvosti poperednoyi avtokorelyacijnoyi poslidovnosti perekrivatimutsya j davatimut R x x 14 1 1 14 1 1 displaystyle R xx ldots 14 1 1 14 1 1 ldots nbsp sho maye toj samij period sho j poslidovnist signalu x displaystyle x nbsp Cyu proceduru mozhlivo rozglyadati yak zastosuvannya vlastivosti zgortki Z peretvorennya diskretnogo signalu V toj chas yak algoritm gruboyi sili maye poryadok n2 isnuye dekilka efektivnih algoritmiv yaki mozhut obchislyuvati avtokorelyaciyu v mezhah poryadku n log n Napriklad Teorema Vinera Hinchina en dozvolyaye obchislyuvati avtokorelyaciyu z sirih danih X t za dopomogoyu dvoh shvidkih peretvoren Fur ye angl fast Fourier transforms FFT 6 storinka F R f FFT X t S f F R f F R f R t IFFT S f displaystyle begin aligned F R f amp operatorname FFT X t S f amp F R f F R f R tau amp operatorname IFFT S f end aligned nbsp de IFFT poznachuye obernene shvidke peretvorennya Fur ye angl inverse fast Fourier transform Zirochka poznachuye kompleksne spryazhennya Yak alternativa korelyaciyu dlya dekilkoh t mozhlivo vikonuvati vikoristovuyuchi obchislennya gruboyu sili dlya nizkih znachen t a potim postupovo ob yednuyuchi dani X t z logarifmichnoyu gustinoyu dlya obchislennya dlya vishih znachen sho daye tu zh efektivnist n log n ale z nizhchimi vimogami do pam yati 7 8 Ocinyuvannya RedaguvatiDlya diskretnogo procesu z vidomimi serednim znachennyam ta dispersiyeyu dlya yakogo mi sposterigayemo n displaystyle n nbsp sposterezhen X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 ldots X n nbsp ocinku koeficiyenta avtokorelyaciyi mozhna otrimati cherezR k 1 n k s 2 t 1 n k X t m X t k m displaystyle hat R k frac 1 n k sigma 2 sum t 1 n k X t mu X t k mu nbsp dlya bud yakogo dodatnogo cilogo k lt n displaystyle k lt n nbsp Koli istinne serednye znachennya m displaystyle mu nbsp ta dispersiya s 2 displaystyle sigma 2 nbsp vidomi cya ocinka ye nezmi shenoyu angl unbiased Yaksho istinne serednye znachennya ta dispersiya procesu nevidomi ye dekilka mozhlivostej Yaksho m displaystyle mu nbsp ta s 2 displaystyle sigma 2 nbsp zaminiti standartnimi formulami dlya vibirkovogo serednogo ta vibirkovoyi dispersiyi to ce zmi shena oci nka angl biased estimate Ocinka na osnovi periodogrami en zaminyuye n k displaystyle n k nbsp u navedenij vishe formuli na n displaystyle n nbsp Cya ocinka zavzhdi zmishena prote vona zazvichaj maye menshu serednokvadratichnu pohibku 9 10 Inshi mozhlivosti viplivayut iz rozglyadu dvoh chastin danih X 1 X 2 X n k displaystyle X 1 X 2 ldots X n k nbsp ta X k 1 X k 2 X n displaystyle X k 1 X k 2 ldots X n nbsp okremo ta obchislennya okremih vibirkovih serednih ta abo vibirkovih dispersij dlya vikoristannya pri viznachenni ocinki dzherelo Perevaga ocinok ostannogo tipu polyagaye v tomu sho nabir ocinenih avtokorelyacij yak funkciya vid k displaystyle k nbsp potim formuye funkciyu yaka ye dijsnoyu avtokorelyaciyeyu v tomu sensi sho mozhlivo viznachiti teoretichnij proces sho maye same taku avtokorelyaciyu Inshi ocinki mozhut strazhdati vid problemi sho yaksho yih vikoristovuyut dlya obchislennya dispersiyi linijnoyi kombinaciyi X displaystyle X nbsp iv to obchislyuvana dispersiya mozhe viyavlyatisya vid yemnoyu 11 Regresijnij analiz RedaguvatiU regresijnomu analizi z vikoristannyam danih chasovih ryadiv avtokorelyaciyu u cilovij zminnij zazvichaj modelyuyut avtoregresijnoyu modellyu AR angl autoregressive model AR modellyu kovznogo serednogo en KS angl moving average model MA yihnim poyednannyam yak modellyu avtoregresiyi z kovznim serednim ARKS angl autoregressive moving average model ARMA abo rozshirennyam krajnogo zvanim modellyu avtoregresiyi z integrovanim kovznim serednim ARIKS angl autoregressive integrated moving average model ARIMA Pri mnozhinnih vzayemopov yazanih ryadah danih vikoristovuyut vektornu avtoregresiyu VAR angl vector autoregression VAR abo yiyi rozshirennya U zvichajnih najmenshih kvadratah en ZNK angl ordinary least squares OLS adekvatnist specifikaciyi modeli mozhlivo chastkovo pereviryati vstanovlyuyuchi chi isnuye avtokorelyaciya zalishkiv regresiyi Problemnu avtokorelyaciyu pohibok sho sami po sobi nesposterezhni zazvichaj mozhlivo viyavlyati cherez te sho vona stvoryuye avtokorelyaciyu u sposterezhuvanih zalishkah Pohibki takozh vidomi yak chleni pohibki angl error terms v ekonometriyi Avtokorelyaciya pohibok porushuye pripushennya zvichajnih najmenshih kvadrativ sho chleni pohibki nekorelovani sho oznachaye nezastosovnist teoremi Gausa Markova i sho ocinyuvachi ZNK vzhe ne ye najkrashimi linijnimi nezmishenimi ocinyuvachami NLNO angl Best Linear Unbiased Estimators BLUE Hoch ce j ne zmishuye ocinok koeficiyentiv ZNK ale koli avtokorelyaciyi pohibok pri malih vidstavannya ye dodatnimi to standartni pohibki yak pravilo nedoocinyuyutsya a t pokazniki en zavishuyutsya Tradicijnoyu perevirkoyu na nayavnist avtokorelyaciyi pershogo poryadku ye kriterij Darbina Uotsona abo yaksho poyasnyuvalni zminni vklyuchayut zalezhnu zminnu z vidstavannyam h kriterij Darbina Prote Darbina Uotsona mozhlivo linijno vidobraziti na korelyaciyu Pirsona mizh znachennyami ta yihnimi vidstavannyami 12 Gnuchkishim kriteriyem sho ohoplyuye avtokorelyaciyu vishih poryadkiv i ye zastosovnim nezalezhno vid togo chi vklyuchayut nezalezhni zminni vidstavannya zalezhnoyi zminnoyi ye kriterij Brojsha Godfri en Vin vklyuchaye dopomizhnu regresiyu zalishkiv otrimuvanih v rezultati ocinki cilovoyi modeli na a pervinni nezalezhni zminni ta b k vidstavan zalishkiv de k ye poryadkom cogo kriteriyu Najprostishim variantom statistichnogo kriteriyu z ciyeyi dopomizhnoyi regresiyi ye TR 2 de T rozmir vibirki a R 2 koeficiyent determinaciyi Za nulovoyi gipotezi vidsutnosti avtokorelyaciyi cya statistika asimptotichno maye rozpodil x 2 displaystyle chi 2 nbsp z k stupenyami vilnosti Do vidpovidej na nenulovu avtokorelyaciyu nalezhat uzagalneni najmenshi kvadrati en ta ocinyuvach Nyuyi Uesta GAS en geteroskedastichno ta avtokorelyacijno stijkij angl Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent HAC 13 V ocinyuvanni modellyu kovznogo serednogo en KS funkciyu avtokorelyaciyi vikoristovuyut shobi viznachati yaku kilkist chleniv vidstavannya bude dorechno vklyuchiti Ce gruntuyetsya na tomu fakti sho dlya procesu KS poryadku q mayemo R t 0 displaystyle R tau neq 0 nbsp dlya t 0 1 q displaystyle tau 0 1 ldots q nbsp j R t 0 displaystyle R tau 0 nbsp dlya t gt q displaystyle tau gt q nbsp Zastosuvannya RedaguvatiAvtokorelyacijnij analiz shiroko zastosovuyut u fluorescentnij korelyacijnij spektroskopiyi 14 shobi zabezpechuvati kilkisne uyavlennya pro difuziyu ta himichni reakciyi na molekulyarnomu rivni 15 Inshim zastosuvannyam avtokorelyaciyi ye vimiryuvannya optichnih spektriv i vimiryuvannya nadkorotkih svitlovih impulsiv stvoryuvanih lazerami obidva z vikoristannyam optichnih avtokorelyatoriv en Avtokorelyaciyu vikoristovuyut dlya analizu danih dinamichnogo rozsiyuvannya svitla en sho zokrema dozvolyaye viznachati rozpodil rozmiriv nanometrovih chastinok abo micel zvazhenih u ridini Lazer sho svitit u sumish stvoryuye spekl strukturu en yaka vinikaye v rezultati ruhu chastinok Avtokorelyaciyu cogo signalu mozhlivo analizuvati z tochki zoru difuziyi chastinok Z cogo znayuchi v yazkist ridini mozhlivo obchislyuvati rozmiri chastinok Vikoristovuyut u sistemi GPS dlya utochnennya zatrimki poshiryuvannya en abo chasovogo zsuvu mizh momentom peredachi opornogo signalu na suputnikah i momentom chasu v prijmachi na zemli Dlya cogo prijmach generuye kopiyu signalu 1 023 bitovogo kodu C A angl Coarse Acquisition i generuye ryadki kodovih impulsiv 1 1 u paketah po desyat za raz abo 10 230 impulsi 1 023 10 zlegka zmishuyuchis po hodu shobi vrahuvati doplerivskij zsuv u vhidnomu suputnikovomu signali doki signal prijmachevoyi kopiyi ta kodi suputnikovogo signalu ne zbizhatsya 16 Intensivnist malokutovogo rentgenivskogo rozsiyuvannya nanostrukturnoyi sistemi ce peretvorennyam Fur ye prostorovoyi avtokorelyacijnoyi funkciyi elektronnoyi gustini U nauci pro poverhnyu ta v skanuvalnij zondovij mikroskopiyi avtokorelyaciyu vikoristovuyut dlya vstanovlyuvannya zv yazku mizh morfologiyeyu poverhni ta funkcijnimi harakteristikami 17 V optici normovani avtokorelyaciyi ta vzayemni korelyaciyi dayut stupin kogerentnosti en elektromagnitnogo polya V obrobci signaliv avtokorelyaciya mozhe davati informaciyu pro povtoryuvani podiyi taki yak muzichni doli napriklad shobi viznachati temp abo chastoti pulsariv hoch vona j ne mozhe viznachiti polozhennya doli v chasi Yiyi takozh mozhut vikoristovuvati shob ocinyuvati visotu muzichnogo zvuku en U muzichnim zvukozapisi avtokorelyaciyu vikoristovuyut yak algoritm viznachennya visoti zvuku en pered obrobkoyu golosu yak efekt distorshn abo dlya usunennya nebazhanih pomilok i netochnostej 18 Difrakciyuvalniki rentgenivskih promeniv vikoristovuyut avtokorelyaciyu v prostori zamist chasu za dopomogoyu funkciyi Pattersona en shobi polegshuvati vidnovlennya fazovoyi informaciyi Fur ye pro polozhennya atomiv nedostupnoyi za dopomogoyu samoyi lishe difrakciyi U statistici prostorova avtokorelyaciya mizh polozhennyami zrazkiv takozh dopomagaye ocinyuvati neviznachenist serednogo znachennya en pid chas vibirki z neodnoridnoyi sukupnosti Algoritm SEQUEST en dlya analizu spektriv mas vikoristovuye avtokorelyaciyu u poyednanni zi vzayemnoyu korelyaciyeyu shob ocinyuvati podibnist sposterezhuvanogo spektru do idealizovanogo spektru sho podaye yakijs peptid V astrofizici avtokorelyaciyu vikoristovuyut dlya vivchennya ta harakterizuvannya prostorovogo rozpodilu galaktik u Vsesviti ta pri bagatohvilovih sposterezhennyah rentgenivskih podvijnih maloyi masi U panelnih danih en prostorova avtokorelyaciya stosuyetsya korelyaciyi zminnoyi z samoyu soboyu v prostori Pri analizi danih Monte Karlo markovskih lancyugiv avtokorelyaciyu neobhidno vrahovuvati shobi pravilnogo viznachati pohibku U naukah pro Zemlyu zokrema v geofizici yiyi mozhlivo vikoristovuvati dlya obchislennya avtokorelyacijnogo sejsmichnogo parametra za dopomogoyu trivimirnoyi sejsmichnoyi zjomki pid zemleyu U medichnij ultrazvukovij vizualizaciyi avtokorelyaciyu vikoristovuyut dlya unaochnyuvannya krovotoku Pri mizhchasovomu vibori portfelya en nayavnist abo vidsutnist avtokorelyaciyi v normi pributkovosti aktivu mozhe vplivati na optimalnu chastinu portfelya dlya zberigannya v comu aktivi Poslidovna zalezhnist RedaguvatiPoslido vna zale zhnist angl serial dependence tisno pov yazana z ponyattyam avtokorelyaciyi ale podaye okreme ponyattya div korelyaciyu ta zalezhnist Zokrema mozhlivo mati poslidovnu zalezhnist za vidsutnosti linijnoyi korelyaciyi Prote u deyakih oblastyah ci dva termini vikoristovuyut yak sinonimi Chasovij ryad vipadkovoyi velichini maye poslidovnu zalezhnist yaksho znachennya v yakijs moment chasu t displaystyle t nbsp cogo ryadu statistichno zalezhne vid znachennya v inshij moment chasu s displaystyle s nbsp Ryad ye poslidovno nezalezhnim yaksho mizh bud yakoyu paroyu momentiv chasu zalezhnosti nemaye Yaksho chasovij ryad X t displaystyle left X t right nbsp stacionarnij to statistichna zalezhnist vseredini pari X t X s displaystyle X t X s nbsp oznachala bi sho isnuye statistichna zalezhnist mizh usima parami znachen z odnakovim vidstavannyam t s t displaystyle tau s t nbsp Div takozh RedaguvatiAvtokorelyacijna matricya Avtokorelyacijna metodika en Avtokorelyaciya formalnogo slova en Avtokorelyator en Vzayemna korelyaciya Zadacha Galtona en Korelyacijna funkciya Korelograma Chastinna avtokorelyacijna funkciya en Flyuorescentna korelyacijna spektroskopiya Optichna avtokorelyaciya en Algoritm viznachennya visoti muzichnogo zvuku en Potrijna korelyaciya en CUSUM en Procedura Kokrejna Orkatta en peretvorennya dlya avtokorelovanih chleniv pohibki Peretvorennya Prejza Uinsena en Masshtabna korelyaciya en Nezmishene ocinyuvannya standartnogo vidhilennya en Primitki Redaguvati a b v g d e zh Gubner John A 2006 Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers Cambridge University Press ISBN 978 0 521 86470 1 angl a b v g d e Kun Il Park Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications Springer 2018 ISBN 978 3 319 68074 3 angl a b v Papoulis Athanasius Probability Random variables and Stochastic processes McGraw Hill 1991 angl a b Dunn Patrick F 2005 Measurement and Data Analysis for Engineering and Science New York McGraw Hill ISBN 978 0 07 282538 1 angl Proakis John 31 serpnya 2001 Communication Systems Engineering 2nd Edition vid 2 Pearson s 168 ISBN 978 0130617934 angl Box G E P Jenkins G M Reinsel G C 1994 Time Series Analysis Forecasting and Control vid 3rd Upper Saddle River NJ Prentice Hall ISBN 978 0130607744 angl Frenkel D Smit B 2002 chap 4 4 2 Understanding Molecular Simulation vid 2nd London Academic Press ISBN 978 0122673511 angl Colberg P Hofling F 2011 Highly accelerated simulations of glassy dynamics using GPUs caveats on limited floating point precision Comput Phys Commun en 182 5 1120 1129 Bibcode 2011CoPhC 182 1120C arXiv 0912 3824 doi 10 1016 j cpc 2011 01 009 angl Priestley M B 1982 Spectral Analysis and Time Series London New York Academic Press ISBN 978 0125649018 angl Percival Donald B Andrew T Walden 1993 Spectral Analysis for Physical Applications Multitaper and Conventional Univariate Techniques Cambridge University Press s 190 195 ISBN 978 0 521 43541 3 angl Percival Donald B 1993 Three Curious Properties of the Sample Variance and Autocovariance for Stationary Processes with Unknown Mean The American Statistician angl 47 4 274 276 doi 10 1080 00031305 1993 10475997 angl Serial correlation techniques Statistical Ideas 26 travnya 2014 Arhiv originalu za 27 listopada 2021 Procitovano 27 listopada 2021 angl Baum Christopher F 2006 An Introduction to Modern Econometrics Using Stata Stata Press ISBN 978 1 59718 013 9 angl Elson Elliot L December 2011 Fluorescence Correlation Spectroscopy Past Present Future Biophysical Journal angl 101 12 2855 2870 Bibcode 2011BpJ 101 2855E PMC 3244056 PMID 22208184 doi 10 1016 j bpj 2011 11 012 angl Holyst Robert Poniewierski Andrzej Zhang Xuzhu 2017 Analytical form of the autocorrelation function for the fluorescence correlation spectroscopy Soft Matter angl 13 6 1267 1275 Bibcode 2017SMat 13 1267H ISSN 1744 683X PMID 28106203 doi 10 1039 C6SM02643E angl Van Sickle Jan 2008 GPS for Land Surveyors vid Third CRC Press s 18 19 ISBN 978 0 8493 9195 8 angl Kalvani Payam Rajabi Jahangiri Ali Reza Shapouri Samaneh Sari Amirhossein Jalili Yousef Seyed August 2019 Multimode AFM analysis of aluminum doped zinc oxide thin films sputtered under various substrate temperatures for optoelectronic applications Superlattices and Microstructures angl 132 106173 doi 10 1016 j spmi 2019 106173 angl Tyrangiel Josh 5 lyutogo 2009 Auto Tune Why Pop Music Sounds Perfect Time Arhiv originalu za 10 lyutogo 2009 angl Literatura RedaguvatiKmenta Jan 1986 Elements of Econometrics vid Second New York Macmillan s 298 334 ISBN 978 0 02 365070 3 angl Marno Verbeek 10 serpnya 2017 A Guide to Modern Econometrics Wiley ISBN 978 1 119 40110 0 Arhiv originalu za 27 listopada 2021 Procitovano 27 listopada 2021 angl Mojtaba Soltanalian and Petre Stoica Computational design of sequences with good correlation properties Arhivovano 15 grudnya 2013 u Wayback Machine IEEE Transactions on Signal Processing 60 5 2012 2180 2193 angl Solomon W Golomb and Guang Gong Signal design for good correlation for wireless communication cryptography and radar Arhivovano 23 veresnya 2015 u Wayback Machine Cambridge University Press 2005 angl Klapetek Petr 2018 Quantitative Data Processing in Scanning Probe Microscopy SPM Applications for Nanometrology Arhivovano 27 listopada 2021 u Wayback Machine Second ed Elsevier pp 108 112 ISBN 9780128133477 angl Weisstein Eric W Autocorrelation angl na sajti Wolfram MathWorld Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Avtokorelyaciya amp oldid 40652621