www.wikidata.uk-ua.nina.az

Степеневий розподіл В статистиці степеневий розподіл англ power law це така функціональна залежність між двома величинам

Степеневий розподіл

В статистиці степеневий розподіл (англ. power law) — це така функціональна залежність між двома величинами, при котрій відносна зміна однієї величини призводить до пропорційної відносної зміни іншої величини, незалежно від початкових значень цих величин: залежність однієї величини від іншої являє собою степеневу функцію. Наприклад, площа квадрата має степеневу залежність від довжини його сторони: якщо довжина буде збільшена удвічі, то площа збільшиться вчетверо.

Приклад графіку степеневого розподілу, який використовується для демонстрації ранжування по популярності. Праворуч довгий хвіст, ліворуч невелика група тих, що домінують (дивіться Принцип 80-20).

Приклади з практики Редагувати

В багатьох фізичних, біологічних та штучних явищах спостерігаються розподіли, відповідні степеневому закону в різних масштабах: наприклад, розміри місячних кратерів і сонячних спалахів, закономірності харчування різних видів, активність популяцій нейронів, частота вживання слів в більшості мов, розповсюдженість прізвищ, кількість видів[en] в кладах організмів, масштаби аварій в енергосистемах, число карних звинувачень на одного злочинця, кількість вивержень вулканів, людські оцінки інтенсивності стимулів і багато інших величин. Емпіричні розподіли можуть відповідати степеневому закону на всьому діапазоні своїх значень, або, наприклад, в хвості. Затухання звукових коливань[en] проходить за степеневим законом у широких смугах частот у багатьох складних середовищах. Аллометричні закономірності для відношень між біологічними змінними є одними з самих відомих прикладів степеневих законів в природі.

Властивості Редагувати

Масштабна інваріантність Редагувати

Для степеневого закону характерна масштабна інваріантність[en]. Якщо виконується , то масштабування аргументу на постійний коефіцієнт призведе до пропорційного масштабування самої функції. Тобто:

де означає пряму пропорційність. Іншими словами, Множення аргументу на сталу величину призводить просто до множення значень функції на сталу величину . Таким чином, всі степеневі закони з заданим показником ступеню еквівалентні з точністю до множення на константу, оскільки всі вони являють собою лише масштабування версії один одного. Це породжує лінійну залежність між логарифмами величин та , і пряму лінію на графіку у подвійному логарифмічному масштабі (log–log), яку часто вважають характерною ознакою степеневого закону. В реальних даних ця ознака є необхідною, але не достатньою, щоб зробити висновок щодо наявності степеневого закону. Існує багато способів згенерувати кінцеві об'єми даних, що імітують відповідність степеневому закону, але відхиляються від нього в асимптотичній межі (наприклад, якщо процес генерації даних підпорядковується логнормальному розподілу). Перевірка моделей на відповідність степеневому закону є актуальною областю досліджень в статистиці, див. нижче.

Відсутність строго визначеного середнього значення Редагувати

Степеневий закон має строго визначене середнє значення при , тільки якщо , і має кінцеву дисперсію, тільки якщо . Для більшості відомих степеневих законів в природі значення показника ступеню такі, що середнє значення є строго визначеним, а дисперсія ні, тому для них існує можливість виникнення подій типу «чорний лебідь». Це можна показати на прикладі наступного уявного експерименту: уявіть себе в кімнаті з друзями і оцініть середньомісячний прибуток у цій кімнаті. Тепер уявіть, що в цю кімнату увійшла сама заможна людина у світі з місячним прибутком близько 1 мільярда US$. Як зміниться значення середньомісячного доходу в кімнаті? Розподіл доходів підпорядковується степеневому закону, відомому як розподіл Парето (наприклад, капітали американців, розподіленні за степеневим законом з показником ступеню 2).

З одного боку, це не дозволяє коректно застосовувати традиційну статистику, засновану на дисперсії і середньоквадратичному відхиленні (наприклад, регресійний аналіз). З іншого, це дозволяє здійснювати ефективне за витратами втручання. Наприклад, нехай шкідливі викиди автомобілів розподіленні по степеневому закону серед автомобілів (тобто більшість забруднень здійснюється дуже невеликим числом автомобілів). Тоді буде достатньо прибрати з доріг цю невелику кількість автомобілів, щоб суттєво знизити цю кількість викидів.

Медіана існує: для степеневого закону x –k с показником ступеню вона приймає значення 21/(k — 1)xmin, де xmin — це мінімальне значення, для якого виконується степеневий закон.

Універсальність Редагувати

Еквівалентність степеневого розподілу з особливою масштабною експонентою може скоріше мати пояснення в теорії динамічних процесів, ніж виводитися з відношень степеневого розподілу. У фізиці, наприклад, фазовий перехід в термодинамічних системах асоціюється з появою степеневого розподілу деяких величин, експоненти відносяться до критичних індексів системи. Різні системи з однаковими критичними індексами — це ті, що демонструють ідентичну поведінку при наближенні до критичного значення — може буди продемонстрована за допомогою теорії ренормалізаційних груп, поділяти однакову фундаментальну динаміку. Наприклад, поведінка води та CO2 в їх точках кипіння потрапляє в однакові класи універсальності, тому, що вони мають однакові критичні індекси.[джерело?][прояснити] По факту, майже вся суть фазових переходів описана невеличкою множиною класів універсальності. Подібні спостереження були зроблені, хоча й не так всеосяжно, для різних самоорганізованих критичних систем, де критичні точки систем — це атрактор. Формально, цей динамічний обмін відноситься до універсальності[en], і системи з точно такими ж критичними індексами називаються тими, що належать класу універсальності.

Функції степеневого розподілу Редагувати

Науковий інтерес до відношень степеневого розподілу частково випливає з легкості, з якою деякі поширені класи механізмів їх породжують. Наявність степеневого розподілу на деяких даних може вказати на специфіку поведінки механізмів, які можуть лежати в основі природного феномену в цьому питанні, та може визначати глибокі зв'язки з іншими, здавалося ніяк не пов'язаними, системами; див. також універсальність вище. Поширеність степеневого розподілу в фізиці частково походить з обмежень на розмірності, у той час як в складних системах, степеневий розподіл несе відбиток ієрархій або специфічних випадкових процесів. У доволі рідких випадках степеневий розподіл є розподілом Парето, структурною подібністю фракталів або законів масштабування в біологічних системах. Пошук причин виникнення степеневого розподілу та зусилля по його виявленню та доведенню їх в реальному житті є актуальною темою у багатьох галузях науки, включаючи фізику, комп'ютерні науки, мовознавство, геофізику, нейронауку та інші.

Однак, найбільший інтерес до степеневого розподілу походить з розподілу ймовірностей: розподіл великої кількості різноманітних величин здається виводиться з формул степеневого розподілу, принаймні в верхній частині(значні події). Поведінка цих значних подій прив'язує ці величини до вивчення теорії екстремальних значень[en], яка розглядає частоти вкрай рідкісних подій як біржовий крах та великі стихійні лиха. Це головним чином вивчення статистичних процесів, названих «степеневим розподілом».

В емпіричному контексті, апроксимація в степеневому розподілі зазвичай включає відхилення моменту , яка може представлятися невизначеністю в спостережених даних (можливість виміру або помилки вибірки) або прокладає простий шлях до спостереження відхилень з функцією степеневого розподілу (можливо для випадкових процесів):

Математично, строгий степеневий розподіл не може бути розподілом ймовірностей, але розподіл представлений усіченою степеневою функцією можливий: for де експонента більше ніж 1 , мінімальне значення потребує іншого розподілу, що має нескінченну площу x наближаючись до 0, та константа C — це вимірювальний фактор для забезпечення того, що вся площа буде рівнятися 1, як необхідна умова розподілу ймовірностей. Частіше використовується асимптотичний степеневий розподіл — який вірний тільки в межі; дивіться розподіл ймовірностей степеневого розподілу для більших деталей. Типова експонента спадає в межах , хоча не завжди.

Посилання Редагувати

Примітки

  1. Yaneer Bar-Yam. Concepts: Power Law. New England Complex Systems Institute. Процитовано 18 серпня 2015. 
  2. Newman, M. E. J. (2005). Power laws, Pareto distributions and Zipf's law. Contemporary Physics 46 (5): 323–351. Bibcode:2005ConPh..46..323N. arXiv:cond-mat/0412004. doi:10.1080/00107510500052444. 
  3. Environmental context explains Lévy and Brownian movement patterns of marine predators. Nature 465 (7301): 1066–1069. 2010. Bibcode:2010Natur.465.1066H. PMID 20531470. doi:10.1038/nature09116.  Проігноровано невідомий параметр |vauthors= (довідка)
  4. Klaus A, Yu S, Plenz D (2011). Statistical Analyses Support Power Law Distributions Found in Neuronal Avalanches. У Zochowski, Michal. PLoS ONE 6 (5): e19779. Bibcode:2011PLoSO...619779K. PMC 3102672. PMID 21720544. doi:10.1371/journal.pone.0019779. 
  5. Albert, J. S.; Reis, R. E., ред. (2011пппп). Historical Biogeography of Neotropical Freshwater Fishes. Berkeley: University of California Press. 
  6. Cannavo, Flavio; Nunnari, Giuseppe (1 березня 2016). On a Possible Unified Scaling Law for Volcanic Eruption Durations. Scientific Reports (англ.) 6: 22289. Bibcode:2016NatSR...622289C. ISSN 2045-2322. PMC 4772095. PMID 26926425. doi:10.1038/srep22289. 
  7. Stevens, S. S. (1957). On the psychophysical law. Psychological Review, 64, 153—181
  8. Staddon, J. E. R. (1978). Theory of behavioral power functions. Psychological Review, 85, 305—320.
  9. ↑ Clauset, Shalizi та Newman, 2009.
  10. Newman, M. E. J.; Reggiani, Aura; Nijkamp, Peter (2005). Power laws, Pareto distributions and Zipf's law. Cities 30 (2005): 323–351. arXiv:cond-mat/0412004. doi:10.1016/j.cities.2012.03.001. 
  11. ↑ 9na CEPAL Charlas Sobre Sistemas Complejos Sociales (CCSSCS): Leyes de potencias, https://www.youtube.com/watch?v=4uDSEs86xCI
  12. Malcolm Gladwell (2006), Million-Dollar Murray; . Архів оригіналу за 18 березня 2015. Процитовано 14 червня 2015. 
  13. Newman, Mark EJ. «Power laws, Pareto distributions and Zipf's law.» Contemporary physics 46.5 (2005): 323—351.
  14. Sornette, 2006.
  15. Simon, 1955.

Бібліографія

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
V statistici stepenevij rozpodil angl power law ce taka funkcionalna zalezhnist mizh dvoma velichinami pri kotrij vidnosna zmina odniyeyi velichini prizvodit do proporcijnoyi vidnosnoyi zmini inshoyi velichini nezalezhno vid pochatkovih znachen cih velichin zalezhnist odniyeyi velichini vid inshoyi yavlyaye soboyu stepenevu funkciyu Napriklad plosha kvadrata maye stepenevu zalezhnist vid dovzhini jogo storoni yaksho dovzhina bude zbilshena udvichi to plosha zbilshitsya vchetvero 1 Priklad grafiku stepenevogo rozpodilu yakij vikoristovuyetsya dlya demonstraciyi ranzhuvannya po populyarnosti Pravoruch dovgij hvist livoruch nevelika grupa tih sho dominuyut divitsya Princip 80 20 Zmist 1 Prikladi z praktiki 2 Vlastivosti 2 1 Masshtabna invariantnist 2 2 Vidsutnist strogo viznachenogo serednogo znachennya 2 3 Universalnist 3 Funkciyi stepenevogo rozpodilu 4 PosilannyaPrikladi z praktiki RedaguvatiV bagatoh fizichnih biologichnih ta shtuchnih yavishah sposterigayutsya rozpodili vidpovidni stepenevomu zakonu v riznih masshtabah napriklad rozmiri misyachnih krateriv i sonyachnih spalahiv 2 zakonomirnosti harchuvannya riznih vidiv 3 aktivnist populyacij nejroniv 4 chastota vzhivannya sliv v bilshosti mov rozpovsyudzhenist prizvish kilkist vidiv en v kladah organizmiv 5 masshtabi avarij v energosistemah chislo karnih zvinuvachen na odnogo zlochincya kilkist viverzhen vulkaniv 6 lyudski ocinki intensivnosti stimuliv 7 8 i bagato inshih velichin 9 Empirichni rozpodili mozhut vidpovidati stepenevomu zakonu na vsomu diapazoni svoyih znachen abo napriklad v hvosti Zatuhannya zvukovih kolivan en prohodit za stepenevim zakonom u shirokih smugah chastot u bagatoh skladnih seredovishah Allometrichni zakonomirnosti dlya vidnoshen mizh biologichnimi zminnimi ye odnimi z samih vidomih prikladiv stepenevih zakoniv v prirodi Vlastivosti RedaguvatiMasshtabna invariantnist Redaguvati Dlya stepenevogo zakonu harakterna masshtabna invariantnist en Yaksho vikonuyetsya f x a x k displaystyle f x ax k nbsp to masshtabuvannya argumentu x displaystyle x nbsp na postijnij koeficiyent c displaystyle c nbsp prizvede do proporcijnogo masshtabuvannya samoyi funkciyi Tobto f c x a c x k c k f x f x displaystyle f cx a cx k c k f x propto f x nbsp de displaystyle propto nbsp oznachaye pryamu proporcijnist Inshimi slovami Mnozhennya argumentu na stalu velichinu c displaystyle c nbsp prizvodit prosto do mnozhennya znachen funkciyi na stalu velichinu c k displaystyle c k nbsp Takim chinom vsi stepenevi zakoni z zadanim pokaznikom stupenyu ekvivalentni z tochnistyu do mnozhennya na konstantu oskilki vsi voni yavlyayut soboyu lishe masshtabuvannya versiyi odin odnogo Ce porodzhuye linijnu zalezhnist mizh logarifmami velichin f x displaystyle f x nbsp ta x displaystyle x nbsp i pryamu liniyu na grafiku u podvijnomu logarifmichnomu masshtabi log log yaku chasto vvazhayut harakternoyu oznakoyu stepenevogo zakonu V realnih danih cya oznaka ye neobhidnoyu ale ne dostatnoyu shob zrobiti visnovok shodo nayavnosti stepenevogo zakonu Isnuye bagato sposobiv zgeneruvati kincevi ob yemi danih sho imituyut vidpovidnist stepenevomu zakonu ale vidhilyayutsya vid nogo v asimptotichnij mezhi napriklad yaksho proces generaciyi danih pidporyadkovuyetsya lognormalnomu rozpodilu Perevirka modelej na vidpovidnist stepenevomu zakonu ye aktualnoyu oblastyu doslidzhen v statistici div nizhche Vidsutnist strogo viznachenogo serednogo znachennya Redaguvati Stepenevij zakon x k displaystyle x k nbsp maye strogo viznachene serednye znachennya pri x 1 displaystyle x in 1 infty nbsp tilki yaksho k gt 2 displaystyle k gt 2 nbsp i maye kincevu dispersiyu tilki yaksho k gt 3 displaystyle k gt 3 nbsp Dlya bilshosti vidomih stepenevih zakoniv v prirodi znachennya pokaznika stupenyu taki sho serednye znachennya ye strogo viznachenim a dispersiya ni tomu dlya nih isnuye mozhlivist viniknennya podij tipu chornij lebid 10 Ce mozhna pokazati na prikladi nastupnogo uyavnogo eksperimentu 11 uyavit sebe v kimnati z druzyami i ocinit serednomisyachnij pributok u cij kimnati Teper uyavit sho v cyu kimnatu uvijshla sama zamozhna lyudina u sviti z misyachnim pributkom blizko 1 milyarda US Yak zminitsya znachennya serednomisyachnogo dohodu v kimnati Rozpodil dohodiv pidporyadkovuyetsya stepenevomu zakonu vidomomu yak rozpodil Pareto napriklad kapitali amerikanciv rozpodilenni za stepenevim zakonom z pokaznikom stupenyu 2 Z odnogo boku ce ne dozvolyaye korektno zastosovuvati tradicijnu statistiku zasnovanu na dispersiyi i serednokvadratichnomu vidhilenni napriklad regresijnij analiz Z inshogo ce dozvolyaye zdijsnyuvati efektivne za vitratami vtruchannya 11 Napriklad nehaj shkidlivi vikidi avtomobiliv rozpodilenni po stepenevomu zakonu sered avtomobiliv tobto bilshist zabrudnen zdijsnyuyetsya duzhe nevelikim chislom avtomobiliv Todi bude dostatno pribrati z dorig cyu neveliku kilkist avtomobiliv shob suttyevo zniziti cyu kilkist vikidiv 12 Mediana isnuye dlya stepenevogo zakonu x k s pokaznikom stupenyu k gt 1 displaystyle k gt 1 nbsp vona prijmaye znachennya 21 k 1 xmin de xmin ce minimalne znachennya dlya yakogo vikonuyetsya stepenevij zakon 13 Universalnist Redaguvati Ekvivalentnist stepenevogo rozpodilu z osoblivoyu masshtabnoyu eksponentoyu mozhe skorishe mati poyasnennya v teoriyi dinamichnih procesiv nizh vivoditisya z vidnoshen stepenevogo rozpodilu U fizici napriklad fazovij perehid v termodinamichnih sistemah asociyuyetsya z poyavoyu stepenevogo rozpodilu deyakih velichin eksponenti vidnosyatsya do kritichnih indeksiv sistemi Rizni sistemi z odnakovimi kritichnimi indeksami ce ti sho demonstruyut identichnu povedinku pri nablizhenni do kritichnogo znachennya mozhe budi prodemonstrovana za dopomogoyu teoriyi renormalizacijnih grup podilyati odnakovu fundamentalnu dinamiku Napriklad povedinka vodi ta CO2 v yih tochkah kipinnya potraplyaye v odnakovi klasi universalnosti tomu sho voni mayut odnakovi kritichni indeksi dzherelo proyasniti Po faktu majzhe vsya sut fazovih perehodiv opisana nevelichkoyu mnozhinoyu klasiv universalnosti Podibni sposterezhennya buli zrobleni hocha j ne tak vseosyazhno dlya riznih samoorganizovanih kritichnih sistem de kritichni tochki sistem ce atraktor Formalno cej dinamichnij obmin vidnositsya do universalnosti en i sistemi z tochno takimi zh kritichnimi indeksami nazivayutsya timi sho nalezhat klasu universalnosti Funkciyi stepenevogo rozpodilu RedaguvatiNaukovij interes do vidnoshen stepenevogo rozpodilu chastkovo viplivaye z legkosti z yakoyu deyaki poshireni klasi mehanizmiv yih porodzhuyut 14 Nayavnist stepenevogo rozpodilu na deyakih danih mozhe vkazati na specifiku povedinki mehanizmiv yaki mozhut lezhati v osnovi prirodnogo fenomenu v comu pitanni ta mozhe viznachati gliboki zv yazki z inshimi zdavalosya niyak ne pov yazanimi sistemami 15 div takozh universalnist vishe Poshirenist stepenevogo rozpodilu v fizici chastkovo pohodit z obmezhen na rozmirnosti u toj chas yak v skladnih sistemah stepenevij rozpodil nese vidbitok iyerarhij abo specifichnih vipadkovih procesiv U dovoli ridkih vipadkah stepenevij rozpodil ye rozpodilom Pareto strukturnoyu podibnistyu fraktaliv abo zakoniv masshtabuvannya v biologichnih sistemah Poshuk prichin viniknennya stepenevogo rozpodilu ta zusillya po jogo viyavlennyu ta dovedennyu yih v realnomu zhitti ye aktualnoyu temoyu u bagatoh galuzyah nauki vklyuchayuchi fiziku komp yuterni nauki movoznavstvo geofiziku nejronauku ta inshi Odnak najbilshij interes do stepenevogo rozpodilu pohodit z rozpodilu jmovirnostej rozpodil velikoyi kilkosti riznomanitnih velichin zdayetsya vivoditsya z formul stepenevogo rozpodilu prinajmni v verhnij chastini znachni podiyi Povedinka cih znachnih podij priv yazuye ci velichini do vivchennya teoriyi ekstremalnih znachen en yaka rozglyadaye chastoti vkraj ridkisnih podij yak birzhovij krah ta veliki stihijni liha Ce golovnim chinom vivchennya statistichnih procesiv nazvanih stepenevim rozpodilom V empirichnomu konteksti aproksimaciya v stepenevomu rozpodili o x k displaystyle o x k nbsp zazvichaj vklyuchaye vidhilennya momentu e displaystyle varepsilon nbsp yaka mozhe predstavlyatisya neviznachenistyu v sposterezhenih danih mozhlivist vimiru abo pomilki vibirki abo prokladaye prostij shlyah do sposterezhennya vidhilen z funkciyeyu stepenevogo rozpodilu mozhlivo dlya vipadkovih procesiv y a x k e displaystyle y ax k varepsilon nbsp Matematichno strogij stepenevij rozpodil ne mozhe buti rozpodilom jmovirnostej ale rozpodil predstavlenij usichenoyu stepenevoyu funkciyeyu mozhlivij p x C x a displaystyle p x Cx alpha nbsp for x gt x min displaystyle x gt x text min nbsp de eksponenta a displaystyle alpha nbsp bilshe nizh 1 minimalne znachennya x min displaystyle x text min nbsp potrebuye inshogo rozpodilu sho maye neskinchennu ploshu x nablizhayuchis do 0 ta konstanta C ce vimiryuvalnij faktor dlya zabezpechennya togo sho vsya plosha bude rivnyatisya 1 yak neobhidna umova rozpodilu jmovirnostej Chastishe vikoristovuyetsya asimptotichnij stepenevij rozpodil yakij virnij tilki v mezhi divitsya rozpodil jmovirnostej stepenevogo rozpodilu dlya bilshih detalej Tipova eksponenta spadaye v mezhah 2 lt a lt 3 displaystyle 2 lt alpha lt 3 nbsp hocha ne zavzhdi 9 Posilannya RedaguvatiPrimitki Yaneer Bar Yam Concepts Power Law New England Complex Systems Institute Procitovano 18 serpnya 2015 Newman M E J 2005 Power laws Pareto distributions and Zipf s law Contemporary Physics 46 5 323 351 Bibcode 2005ConPh 46 323N arXiv cond mat 0412004 doi 10 1080 00107510500052444 Environmental context explains Levy and Brownian movement patterns of marine predators Nature 465 7301 1066 1069 2010 Bibcode 2010Natur 465 1066H PMID 20531470 doi 10 1038 nature09116 Proignorovano nevidomij parametr vauthors dovidka Klaus A Yu S Plenz D 2011 Statistical Analyses Support Power Law Distributions Found in Neuronal Avalanches U Zochowski Michal PLoS ONE 6 5 e19779 Bibcode 2011PLoSO 619779K PMC 3102672 PMID 21720544 doi 10 1371 journal pone 0019779 Albert J S Reis R E red 2011pppp Historical Biogeography of Neotropical Freshwater Fishes Berkeley University of California Press Cannavo Flavio Nunnari Giuseppe 1 bereznya 2016 On a Possible Unified Scaling Law for Volcanic Eruption Durations Scientific Reports angl 6 22289 Bibcode 2016NatSR 622289C ISSN 2045 2322 PMC 4772095 PMID 26926425 doi 10 1038 srep22289 Stevens S S 1957 On the psychophysical law Psychological Review 64 153 181 Staddon J E R 1978 Theory of behavioral power functions Psychological Review 85 305 320 a b Clauset Shalizi ta Newman 2009 Newman M E J Reggiani Aura Nijkamp Peter 2005 Power laws Pareto distributions and Zipf s law Cities 30 2005 323 351 arXiv cond mat 0412004 doi 10 1016 j cities 2012 03 001 a b 9na CEPAL Charlas Sobre Sistemas Complejos Sociales CCSSCS Leyes de potencias https www youtube com watch v 4uDSEs86xCI Malcolm Gladwell 2006 Million Dollar Murray Archived copy Arhiv originalu za 18 bereznya 2015 Procitovano 14 chervnya 2015 Newman Mark EJ Power laws Pareto distributions and Zipf s law Contemporary physics 46 5 2005 323 351 Sornette 2006 Simon 1955 Bibliografiya Bak Per 1997 How nature works Oxford University Press ISBN 0 19 850164 1 Clauset A Shalizi C R Newman M E J 2009 Power Law Distributions in Empirical Data SIAM Review 51 4 661 703 Bibcode 2009SIAMR 51 661C arXiv 0706 1062 doi 10 1137 070710111 Laherrere J Sornette D 1998 Stretched exponential distributions in nature and economy fat tails with characteristic scales The European Physical Journal B 2 4 525 539 Bibcode 1998EPJB 2 525L arXiv cond mat 9801293 doi 10 1007 s100510050276 Mitzenmacher M 2004 A Brief History of Generative Models for Power Law and Lognormal Distributions Internet Mathematics 1 2 226 251 doi 10 1080 15427951 2004 10129088 Alexander Saichev Yannick Malevergne and Didier Sornette 2009 Theory of Zipf s law and beyond Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems Volume 632 Springer November 2009 ISBN 978 3 642 02945 5 Simon H A 1955 On a Class of Skew Distribution Functions Biometrika 42 3 4 425 440 JSTOR 2333389 doi 10 2307 2333389 Sornette Didier 2006 Critical Phenomena in Natural Sciences Chaos Fractals Self organization and Disorder Concepts and Tools Springer Series in Synergetics vid 2nd Heidelberg Springer ISBN 978 3 540 30882 9 Mark Buchanan 2000 Ubiquity Weidenfeld amp Nicolson ISBN 0 297 64376 2 Stumpf M P H Porter M A 2012 Critical Truths about Power Laws Science 335 6069 665 6 Bibcode 2012Sci 335 665S PMID 22323807 doi 10 1126 science 1216142 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Stepenevij rozpodil amp oldid 38332604