www.wikidata.uk-ua.nina.az

Геометрія Лобачевського гіперболічна геометрія одна з неевклідових геометрій геометрична теорія що базується на тих же о

Геометрія Лобачевського

Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія) — одна з неевклідових геометрій, геометрична теорія, що базується на тих же основних міркуваннях, що і звичайна евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельність, що замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського.

Титульний аркуш книги Лобачевського

Евклідова аксіома про паралельні твердить:

через точку, що не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, що лежить з даною прямою в одній площині і не перетинає її.

В геометрії Лобачевського замість неї приймається наступна аксіома:

через точку, що не лежить на даній прямій, проходять щонайменше дві прямі, що лежать з даною прямою в одній площині і не перетинають її.

Геометрія Лобачевського має широке застосування як в математиці, так і у фізиці. Історичне її значення полягає у тому, що її побудовою Лобачевський показав можливість існування геометрії, відмінної від евклідової. Це ознаменувало нову епоху в розвитку геометрії і математики загалом.

Історія ред.

Джерелом геометрії Лобачевського слугувало питання аксіоми про паралельні прямі, котра відома також як п'ятий постулат Евкліда (під цим номером у списку постулатів із «Начал» Евкліда знаходиться твердження, еквівалентне до наведеної аксіоми про паралельні прямі). Цей постулат, складніший порівняно з іншими, довгий час викликав спроби довести його на основі інших постулатів.

Ось неповний список учених, що займались доведенням V постулату до XIX ст.:

  • давньогрецькі математики Птолемей (II ст.), Прокл Діадох (V ст.) (доведення Прокла базується на припущенні скінченності відстані між двома паралельними),
  • Ібн аль-Хайсам з Іраку (кінець X ст. — початок XI ст.) (Ібн аль-Хайсам намагався довести V постулат, виходячи з припущення, що кінець рухомого перпендикуляра до прямої описує прямую лінію),
  • іранський математик Омар Хаям (друга половина XI — початок XII ст.),
  • азербайджанський математик Насиреддин Тусі (XIII ст.) (Хаям та Насиреддин при доведенні V постулату виходили з припущення, що дві збіжні прямі не можуть при продовженні стати розбіжними при перетині),
  • німецький математик Христофор Клавій (1574),
  • італійські математики
    • П'єтро Катальді[en] (вперше в 1603 надрукував роботу, повністю присвячену питанню паралельних прямих),
    • Дж. Бореллі (1658), Дж. Вітале (1680),
  • англійський математик Джон Волліс (1663, опубліковано в 1693) (Волліс ґрунтує доведення V постулату на припущенні, що для кожної фігури існує подібна їй, але не рівна фігура).

Доведення вказаних вчених зводились до заміни V постулату іншими припущеннями, що здавались очевиднішими.

Моделі геометрії Лобачевського ред.

Моделлю геометрії Лобачевського називається поверхня або простір, в якому виконуються аксіоми геометрії Лобачевського.

Оскільки всі реалізації геометрії Лобачевського ізоморфні, твердження, доведене в одній моделі геометрії Лобачевського, буде дійсне в будь-якій іншій моделі. Тим самим для проведення міркувань можна щоразу вибирати найбільш «зручну» модель. Наприклад, в конформних моделях Пуанкаре, кут між кривими дорівнює евклідовому куту.

Модель Кляйна ред.

Докладніше: Проєктивна модель
Прямі в моделі Кляйна. Через точку P проходить нескінченно багато прямих, які не перетинають пряму a.

Точками моделі Кляйна є внутрішні точки круга одиничного радіуса з центром у початку координат. Відстань між точками і визначається за допомогою подвійного відношення, а саме як

для інтервалу , де і  — точки перетину прямої з граничним колом круга.

Зазначимо, що точки граничного кола будуть нескінченно віддаленими точками площини Лобачевського. Граничне коло називають абсолютом або ідеальною межею.

У моделі Кляйна прямими є хорди кола. Тому в цій моделі зручно розглядати питання пов'язані з опуклими множинами геометрії Лобачевського.

Перша фундаментальна форма площини Лобачевського в моделі Кляйна має вигляд

Аналогічним чином влаштована модель багатовимірного простору Лобачевського. Точками простору будуть внутрішні точки кулі одиничного радіуса, та точно так само, як і на площині, задається відстань подвійним відношенням.

Модель Пуанкаре в кулі ред.

Через точку площини проходять прямі, паралельні заданій прямій

Точками в моделі Пуанкаре в кулі будуть внутрішні точки кулі, а множиною нескінченно віддалених точок (абсолютом) буде гранична сфера. Прямими в цій моделі будуть дуги кіл та відрізки, ортогональні абсолюту. Метричними сферами в цієї моделі будуть евклідові сфери, які лежать в кулі (зауважимо, що взагалі центри сфер зміщені відносно центрів евклідових сфер).

Це конформна модель геометрії Лобачевського, тобто кут між кривими в цій моделі збігається з евклідовим кутом.

Перша фундаментальна форма простору Лобачевського в моделі Пуанкаре в кулі має вигляд

Модель Пуанкаре у півпросторі ред.

Точками в моделі Пуанкаре у верхній півплощині будуть внутрішні точки півпростору , а множиною нескінченно віддалених точок (абсолютом) буде гіперплощина . Прямими в цій моделі будуть дуги кіл і промені ортогональні абсолюту. Метричними сферами в цій моделі будуть звичайні евклідові сфери.

Перша фундаментальна форма простору Лобачевського в моделі Пуанкаре у верхній півплощині має вигляд

Як і модель Пуанкаре в кулі, це також конформна модель геометрії Лобачевського. Існує конформне перетворення, яке перетворює одну модель в іншу.

Див. також ред.

Примітки ред.

  1. Погорелов А. В., с. 84
  2. Прасолов В. В., Тихомиров В. М., с. 184
  3. ↑ Ефимов Н. В., с. 525
  4. Бердон А., с. 118

Література ред.

  • Лаптев Борис Лукич. Геометрия Лобачевского, её история и значение. — Москва : «Знание», 1976. — Т. 9. — 64 с. — (Новое в жизни, науке, технике. Серия «Математика, кибернетика») — 45 250 прим. (рос.)

Джерела ред.

  • Бердон А. Геометрія дискретних груп = Геометрия дискретных групп: Пер. з англ.. — Москва : Наука, 1986. — 304 с.
  • Ефимов Н.В. Вища геометрія = Высшая геометрия. — Москва : Наука, 1978. — 576 с.
  • Погорелов А.В. Лекції з основ геометрії = Лекции по основаниям геометрии. — Харків : ХДУ, 1964. — 138 с.
  • Прасолов В.В., Тихомиров В.М. Геометрія = Геометрия. — Москва : МЦНМО, 1997. — 352 с. (Книга в *.pdf та *.ps форматі. [ 9 січня 2015 у Wayback Machine.])

Посилання ред.


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Geometriya Lobachevskogo giperbolichna geometriya odna z neevklidovih geometrij geometrichna teoriya sho bazuyetsya na tih zhe osnovnih mirkuvannyah sho i zvichajna evklidova geometriya za vinyatkom aksiomi pro paralelnist sho zaminyuyetsya na aksiomu pro paralelni Lobachevskogo Titulnij arkush knigi LobachevskogoEvklidova aksioma pro paralelni tverdit cherez tochku sho ne lezhit na danij pryamij prohodit tilki odna pryama sho lezhit z danoyu pryamoyu v odnij ploshini i ne peretinaye yiyi V geometriyi Lobachevskogo zamist neyi prijmayetsya nastupna aksioma cherez tochku sho ne lezhit na danij pryamij prohodyat shonajmenshe dvi pryami sho lezhat z danoyu pryamoyu v odnij ploshini i ne peretinayut yiyi Geometriya Lobachevskogo maye shiroke zastosuvannya yak v matematici tak i u fizici Istorichne yiyi znachennya polyagaye u tomu sho yiyi pobudovoyu Lobachevskij pokazav mozhlivist isnuvannya geometriyi vidminnoyi vid evklidovoyi Ce oznamenuvalo novu epohu v rozvitku geometriyi i matematiki zagalom Zmist 1 Istoriya 2 Modeli geometriyi Lobachevskogo 2 1 Model Klyajna 2 2 Model Puankare v kuli 2 3 Model Puankare u pivprostori 3 Div takozh 4 Primitki 5 Literatura 6 Dzherela 7 PosilannyaIstoriya red Dzherelom geometriyi Lobachevskogo sluguvalo pitannya aksiomi pro paralelni pryami kotra vidoma takozh yak p yatij postulat Evklida pid cim nomerom u spisku postulativ iz Nachal Evklida znahoditsya tverdzhennya ekvivalentne do navedenoyi aksiomi pro paralelni pryami Cej postulat skladnishij porivnyano z inshimi dovgij chas viklikav sprobi dovesti jogo na osnovi inshih postulativ Os nepovnij spisok uchenih sho zajmalis dovedennyam V postulatu do XIX st davnogrecki matematiki Ptolemej II st Prokl Diadoh V st dovedennya Prokla bazuyetsya na pripushenni skinchennosti vidstani mizh dvoma paralelnimi Ibn al Hajsam z Iraku kinec X st pochatok XI st Ibn al Hajsam namagavsya dovesti V postulat vihodyachi z pripushennya sho kinec ruhomogo perpendikulyara do pryamoyi opisuye pryamuyu liniyu iranskij matematik Omar Hayam druga polovina XI pochatok XII st azerbajdzhanskij matematik Nasireddin Tusi XIII st Hayam ta Nasireddin pri dovedenni V postulatu vihodili z pripushennya sho dvi zbizhni pryami ne mozhut pri prodovzhenni stati rozbizhnimi pri peretini nimeckij matematik Hristofor Klavij 1574 italijski matematiki P yetro Kataldi en vpershe v 1603 nadrukuvav robotu povnistyu prisvyachenu pitannyu paralelnih pryamih Dzh Borelli 1658 Dzh Vitale 1680 anglijskij matematik Dzhon Vollis 1663 opublikovano v 1693 Vollis gruntuye dovedennya V postulatu na pripushenni sho dlya kozhnoyi figuri isnuye podibna yij ale ne rivna figura Dovedennya vkazanih vchenih zvodilis do zamini V postulatu inshimi pripushennyami sho zdavalis ochevidnishimi Modeli geometriyi Lobachevskogo red Modellyu geometriyi Lobachevskogo nazivayetsya poverhnya abo prostir v yakomu vikonuyutsya aksiomi geometriyi Lobachevskogo Oskilki vsi realizaciyi geometriyi Lobachevskogo izomorfni 1 tverdzhennya dovedene v odnij modeli geometriyi Lobachevskogo bude dijsne v bud yakij inshij modeli Tim samim dlya provedennya mirkuvan mozhna shorazu vibirati najbilsh zruchnu model Napriklad v konformnih modelyah Puankare kut mizh krivimi dorivnyuye evklidovomu kutu Model Klyajna red Dokladnishe Proyektivna model nbsp Pryami v modeli Klyajna Cherez tochku P prohodit neskinchenno bagato pryamih yaki ne peretinayut pryamu a Tochkami modeli Klyajna ye vnutrishni tochki kruga odinichnogo radiusa z centrom u pochatku koordinat Vidstan mizh tochkami a displaystyle a nbsp i b displaystyle b nbsp viznachayetsya za dopomogoyu podvijnogo vidnoshennya a same yak 12 ln x ax b y ay b displaystyle frac 1 2 left ln left frac x a x b frac y a y b right right nbsp dlya intervalu x y displaystyle x y nbsp de x displaystyle x nbsp i y displaystyle y nbsp tochki peretinu pryamoyi ab displaystyle ab nbsp z granichnim kolom kruga Zaznachimo sho tochki granichnogo kola budut neskinchenno viddalenimi tochkami ploshini Lobachevskogo Granichne kolo nazivayut absolyutom abo idealnoyu mezheyu U modeli Klyajna pryamimi ye hordi kola 2 Tomu v cij modeli zruchno rozglyadati pitannya pov yazani z opuklimi mnozhinami geometriyi Lobachevskogo Persha fundamentalna forma ploshini Lobachevskogo v modeli Klyajna maye viglyad 3 ds2 1 y2 dx2 2xydxdy 1 x2 dy2 1 x2 y2 2 displaystyle ds 2 frac 1 y 2 dx 2 2xy dx dy 1 x 2 dy 2 1 x 2 y 2 2 nbsp Analogichnim chinom vlashtovana model bagatovimirnogo prostoru Lobachevskogo Tochkami prostoru budut vnutrishni tochki kuli odinichnogo radiusa ta tochno tak samo yak i na ploshini zadayetsya vidstan podvijnim vidnoshennyam Model Puankare v kuli red nbsp Cherez tochku ploshini prohodyat pryami paralelni zadanij pryamijTochkami v modeli Puankare v kuli Dn displaystyle Delta n nbsp budut vnutrishni tochki kuli a mnozhinoyu neskinchenno viddalenih tochok absolyutom bude granichna sfera Pryamimi v cij modeli budut dugi kil ta vidrizki ortogonalni absolyutu Metrichnimi sferami v ciyeyi modeli budut evklidovi sferi yaki lezhat v kuli Dn displaystyle Delta n nbsp zauvazhimo sho vzagali centri sfer zmisheni vidnosno centriv evklidovih sfer Ce konformna model geometriyi Lobachevskogo tobto kut mizh krivimi v cij modeli zbigayetsya z evklidovim kutom Persha fundamentalna forma prostoru Lobachevskogo v modeli Puankare v kuli maye viglyad 3 ds2 4 dx12 dxn2 1 x12 xn2 2 displaystyle ds 2 frac 4 dx 1 2 dots dx n 2 1 x 1 2 dots x n 2 2 nbsp Model Puankare u pivprostori red Tochkami v modeli Puankare u verhnij pivploshini Hn displaystyle mathbb H n nbsp budut vnutrishni tochki pivprostoru Hn x1 xn Rn xn gt 0 displaystyle mathbb H n x 1 dots x n in mathbb R n x n gt 0 nbsp a mnozhinoyu neskinchenno viddalenih tochok absolyutom bude giperploshina x 0 displaystyle x 0 cup infty nbsp Pryamimi v cij modeli budut dugi kil i promeni ortogonalni absolyutu Metrichnimi sferami v cij modeli budut zvichajni evklidovi sferi Persha fundamentalna forma prostoru Lobachevskogo v modeli Puankare u verhnij pivploshini maye viglyad 4 ds2 dx12 dxn2xn2 displaystyle ds 2 frac dx 1 2 dots dx n 2 x n 2 nbsp Yak i model Puankare v kuli ce takozh konformna model geometriyi Lobachevskogo Isnuye konformne peretvorennya yake peretvoryuye odnu model v inshu Div takozh red Orisfera Oricikl Sferichna geometriya Prostir Lobachevskogo Idealnij trikutnik Kut paralelnostiPrimitki red Pogorelov A V s 84 Prasolov V V Tihomirov V M s 184 a b Efimov N V s 525 Berdon A s 118Literatura red Laptev Boris Lukich Geometriya Lobachevskogo eyo istoriya i znachenie Moskva Znanie 1976 T 9 64 s Novoe v zhizni nauke tehnike Seriya Matematika kibernetika 45 250 prim ros Dzherela red Berdon A Geometriya diskretnih grup Geometriya diskretnyh grupp Per z angl Moskva Nauka 1986 304 s Efimov N V Visha geometriya Vysshaya geometriya Moskva Nauka 1978 576 s Pogorelov A V Lekciyi z osnov geometriyi Lekcii po osnovaniyam geometrii Harkiv HDU 1964 138 s Prasolov V V Tihomirov V M Geometriya Geometriya Moskva MCNMO 1997 352 s Kniga v pdf ta ps formati Arhivovano 9 sichnya 2015 u Wayback Machine Posilannya red A S Smogorzhevskij Pro geometriyu Lobachevskogo Arhivovano 16 travnya 2013 u Wayback Machine Populyarni lekciyi z matematiki Arhivovano 21 sichnya 2022 u Wayback Machine Vipusk 23 Gostehizdat 1957 g 68 st ros F Klejn Neevklidova geometriya Arhivovano 4 bereznya 2016 u Wayback Machine M L ONTI 1936 356 s ros N N Iovlev Vvedenie v elementarnuyu geometriyu i trigonometriyu Lobachevskogo Arhivovano 5 zhovtnya 2014 u Wayback Machine M L Giz 1930 g 67 s ros nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Geometriya Lobachevskogo amp oldid 41884380