www.wikidata.uk-ua.nina.az

Поле Якобі векторне поле вздовж геодезичної лінії γ displaystyle gamma в деякому многовиді що в певному сенсі описує різ

Поле Якобі

Поле Якобі — векторне поле вздовж геодезичної лінії в деякому многовиді, що в певному сенсі описує різницю між цією геодезичною лінією і «нескінченно близькими» їй геодезичними лініями. Іншими словами, поля Якобі вздовж геодезичної лінії утворюють дотичний простір до геодезичної в просторі всіх геодезичних. Особливо часто розглядаються для ріманових многовидів.

Векторне поле вздовж геодезичної лінії є полем Якобі тоді й лише тоді коли воно задовольняє деякому рівнянню, яке називається рівнянням Якобі.

Названі на честь німецького математика Карла Якобі.

Визначення ред.

Рівняння Якобі ред.

Нехай M — гладкий многовид розмірності n, — афінна зв'язність на ньому, T і R — тензори кручення і кривини відповідно. Розглянемо деяку геодезичну лінію і позначимо її дотичне векторне поле. Векторне поле X визначене вздовж геодезичної лінії називається полем Якобі, якщо воно задовольняє наступному рівнянню (рівнянню Якобі):

У рівності вище використано позначення

В особливо важливому частковому випадку ріманового многовиду із зв'язністю Леві-Чивіти, тензор кручення є рівним нулю і рівняння Якобі спрощується:

Однопараметрична сім'я геодезичних ліній ред.

Розглянемо тепер відображення класу з множини в многовид M, з такими властивостями:

  • Для довільного крива є геодезичною лінією;

таке відображення визначає однопараметричну сім'ю геодезичних ліній. Для фіксованого t визначає криву для Для цієї кривої визначений дотичний вектор в точці Повторюючи цю процедуру для різних значень t отримуємо векторне поле, яке і називається полем Якобі:

Можна довести, що обидва визначення поля Якобі є насправді еквівалентними.

Приклад ред.

На сфері геодезичними лініями через Північний полюс є великі кола. Розглянемо дві такі геодезичні і з природною параметризацією , розділені кутом . Геодезичне відстань рівна

Щоб отримати цей вираз, потрібно знати геодезичні. Найцікавіший результат такий:

Замість цього ми можемо розглянути похідні по при :

Ми знову отримуємо перетин геодезичних при . Зауважимо, однак, що для обчислення цієї похідної не потрібно знати ; все, що потрібно зробити, це розв'язати рівняння

для деяких заданих початкових умов.

Поля Якобі дають природне узагальнення цього явища для довільних ріманових многовидів.

Явний вигляд рівняння Якобі ред.

Розглянемо для простоти випадок ріманового многовиду. Нехай ; додамо до цього вектора інші, щоб вийшов ортонормований базис в . Перемістимо його паралельним перенесенням, щоб отримати базис в будь-якій точці . Внаслідок цього отримуємо ортонормальний базис з . Поле Якобі можна записати в координатах, пов'язаних з цим базисом: , звідки:

і рівняння Якобі можна переписати у вигляді системи

для кожного . Таким чином ми отримаємо систему лінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. Така ж система отримується і у випадку звичайних многовидів де тензор кручення не є рівним нулю.

Властивості простору полів Якобі ред.

Зважаючи на поданий вище вид рівняння Якобі і його властивості отримуємо, що оскільки рівняння має гладкі коефіцієнти, розв'язки існують для всіх і є єдиними, якщо задані і для всіх і довільної точки .

Зокрема звідси випливає, що розмірність простору полів Якобі рівна 2n, де n — розмірність многовида.

Тангенціальні і нормальні поля Якобі для ріманових многовидів ред.

Всюди тут розглядється ріманів многовид із зв'язністю Леві-Чивіти.

  • Векторні поля і визначені уздовж є полями Якобі. Справді із кососиметричності тензора кривини випливає, що і також За означенням геодезичних ліній і тому також і тому задовольняє рівнянню Якобі. Для поля натомість і тому також , тож це поле теж задовольняє рівнянню Якобі. Лінійні комбінації (над полем дійсних чисел) полів і теж є полями Якобі. Поля такого типу називаються тангенціальними полями Якобі.
  • Векторне поле де — гладка функція, є полем Якобі тоді і тільки тоді, коли функція — лінійна. Відповідно у цьому випадку векторне поле є лінійною комбінацією над полем дійсних чисел векторних полів і тобто тангенціальним полем Якобі. Оскільки то є полем Якобі тоді і тільки тоді, коли Але Цей вираз є рівним нулю для всіх t тоді і лише тоді коли тобто є лінійною функцією.
  • Будь-яке поле Якобі можна в єдиний спосіб записати у вигляді суми , де — дійсні числа, а вектор є ортогональним до для всіх . Із властивостей ріманової метрики і означення поля Якобі Згідно властивостей тензора кривини у рімановій геометрії для будь яких векторів виконується рівність і звідси Тому також і тому для деяких дійсних чисел Тому якщо визначити то векторне поле буде ортогональним до в усіх точках геодезичної лінії. Окрім того і поле Якобі визначені однозначно. Поля Якобі, що є ортогональними до називаються нормальними полями Якобі.
  • Якщо поле Якобі X уздовж геодезичної лінії є ортогональним до в двох точках то воно є ортогональним в усіх точках геодезичної лінії. Це випливає з того, що згідно доведення попередньої властивості є лінійною функцією від t і тому, якщо вона є рівною 0 у двох різних точках, то вона є рівною 0 всюди.
  • Поле Якобі є нормальним тоді і тільки тоді, коли для довільної точки на геодезичній лінії, що відповідає деякому параметру t) виконуються рівності і Справді довільне поле Якобі однозначно записується як де векторне поле є ортогональним до Тому є нормальним тоді і тільки тоді, коли і Але записуючи у такій формі маємо:
і
тому і тоді і тільки тоді коли і
У другій рівності для доведення використано те, що і тому згідно означень геодезичної лінії і зв'язності Леві-Чивіти. Тому
  • Підсумовуючи тангенціальні поля Якобі утворюють двовимірний дійсний підпростір простору полів Якобі, а нормальні поля Якобі утворюють підпростір розмірності 2n - 2. Простір полів Якобі є прямою сумою підпросторів тангенціальних і нормальних полів Якобі.
  • Нехай — точки, що належать одній геодезичній лінії і не є спряженими щодо цієї геодезичної. Тоді для довільних існує єдине поле Якобі визначене на що приймає значення Y в точці p і Z в точці q.
  • Якщо X, Y — поля Якобі вздовж геодезичної лінії тоді:
і
Оскільки то що доводить твердження.
  • Якщо X є полем Якобі вздовж геодезичної лінії а , Y — кусково диференційовне векторне поле на цій же лінії, то для будь-яких чисел , таких, що геодезична лінія є заданою на проміжку виконується рівність:
Дана рівність випливає із інтегрування на обох сторін рівності (яка справедлива для всіх точок крім скінченної кількості точок де має розриви першого роду і тому при інтегруванні ними можна знехтувати):
  • Нехай для геодезичної лінії для якої інтервал належить області визначення, і векторного поля Y , що є кусково диференційовним вздовж геодезичної на цьому проміжку позначено Нехай додатково не має спряжених точок на геодезичній на інтервалі , векторне поле X є нормальним полем Якобі вздовж геодезичної для якого , а Y є кусково диференційовним векторним полем вздовж геодезичної на інтервалі , у кожній точці цього інтервалу є ортогональним до і Тоді і рівність виконується лише у випадку

Приклади ред.

  • Нехай і Визначимо підмножину таким чином: тоді і тільки тоді коли експоненційне відображення є визначеним. Тоді відображення визначене як є однопараметричною сім'єю геодезичних ліній, а диференціал задає поле Якобі вздовж кожної геодезичної лінії.

Розглянемо геодезичну лінію з паралельним ортонормованим репером , , побудованим, як описано вище.

  • В евклідовому просторі (а також для просторів постійної нульової секційної кривини) поля Якобі є лінійними по .
  • Для ріманових многовидів постійної від'ємної секційної кривини будь-яке поле Якобі є лінійною комбінацією , і , де .
  • Для ріманових многовидів постійної додатної секційної кривини будь-яке поле Якобі є лінійною комбінацією , , і , де .
  • Звуження поля Кіллінга на геодезичну лінію є полем Якобі в будь-якому рімановому многовиді.
  • Поля Якобі відповідають геодезичним лініям на дотичному розшаруванні (по відношенню до метрики в , індукованої метрикою на ).

Див. Також ред.

Література ред.

  • Hicks, Noel (1965). Notes on Differential Geometry. Van Nostrand, Princeton, N. J. ISBN 0442034105.  (англ.)
  • Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9.  (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Pole Yakobi vektorne pole vzdovzh geodezichnoyi liniyi g displaystyle gamma v deyakomu mnogovidi sho v pevnomu sensi opisuye riznicyu mizh ciyeyu geodezichnoyu liniyeyu i neskinchenno blizkimi yij geodezichnimi liniyami Inshimi slovami polya Yakobi vzdovzh geodezichnoyi liniyi utvoryuyut dotichnij prostir do geodezichnoyi v prostori vsih geodezichnih Osoblivo chasto rozglyadayutsya dlya rimanovih mnogovidiv Vektorne pole vzdovzh geodezichnoyi liniyi ye polem Yakobi todi j lishe todi koli vono zadovolnyaye deyakomu rivnyannyu yake nazivayetsya rivnyannyam Yakobi Nazvani na chest nimeckogo matematika Karla Yakobi Zmist 1 Viznachennya 1 1 Rivnyannya Yakobi 1 2 Odnoparametrichna sim ya geodezichnih linij 2 Priklad 3 Yavnij viglyad rivnyannya Yakobi 3 1 Vlastivosti prostoru poliv Yakobi 4 Tangencialni i normalni polya Yakobi dlya rimanovih mnogovidiv 5 Prikladi 6 Div Takozh 7 LiteraturaViznachennya red Rivnyannya Yakobi red Nehaj M gladkij mnogovid rozmirnosti n displaystyle nabla nbsp afinna zv yaznist na nomu T i R tenzori kruchennya i krivini vidpovidno Rozglyanemo deyaku geodezichnu liniyu g t displaystyle gamma t nbsp i poznachimo g t displaystyle dot gamma t nbsp yiyi dotichne vektorne pole Vektorne pole X viznachene vzdovzh geodezichnoyi liniyi g t displaystyle gamma t nbsp nazivayetsya polem Yakobi yaksho vono zadovolnyaye nastupnomu rivnyannyu rivnyannyu Yakobi g t 2 X g t T X g t R X g t g t 0 displaystyle nabla dot gamma t 2 X nabla dot gamma t T X dot gamma t R X dot gamma t dot gamma t 0 nbsp U rivnosti vishe vikoristano poznachennya g t 2 X g t g t X displaystyle nabla dot gamma t 2 X nabla dot gamma t nabla dot gamma t X nbsp V osoblivo vazhlivomu chastkovomu vipadku rimanovogo mnogovidu iz zv yaznistyu Levi Chiviti tenzor kruchennya ye rivnim nulyu i rivnyannya Yakobi sproshuyetsya g t 2 X R X g t g t 0 displaystyle nabla dot gamma t 2 X R X dot gamma t dot gamma t 0 nbsp Odnoparametrichna sim ya geodezichnih linij red Rozglyanemo teper vidobrazhennya klasu C displaystyle C infty nbsp z mnozhini 0 1 e e displaystyle 0 1 times varepsilon varepsilon nbsp v mnogovid M t t g t t displaystyle tau t to gamma tau t nbsp z takimi vlastivostyami Dlya dovilnogo t e e displaystyle tau in varepsilon varepsilon nbsp kriva g t t displaystyle gamma tau t nbsp ye geodezichnoyu liniyeyu g 0 t g t displaystyle gamma 0 t gamma t nbsp take vidobrazhennya viznachaye odnoparametrichnu sim yu geodezichnih linij Dlya fiksovanogo t g t t displaystyle gamma tau t nbsp viznachaye krivu dlya t e e displaystyle tau in varepsilon varepsilon nbsp Dlya ciyeyi krivoyi viznachenij dotichnij vektor v tochci t 0 displaystyle tau 0 nbsp Povtoryuyuchi cyu proceduru dlya riznih znachen t otrimuyemo vektorne pole yake i nazivayetsya polem Yakobi X t g t t t t 0 displaystyle X t left frac partial gamma tau t partial tau right tau 0 nbsp Mozhna dovesti sho obidva viznachennya polya Yakobi ye naspravdi ekvivalentnimi Priklad red Na sferi geodezichnimi liniyami cherez Pivnichnij polyus ye veliki kola Rozglyanemo dvi taki geodezichni g 0 displaystyle gamma 0 nbsp i g t displaystyle gamma tau nbsp z prirodnoyu parametrizaciyeyu t 0 p displaystyle t in 0 pi nbsp rozdileni kutom t displaystyle tau nbsp Geodezichne vidstan d g 0 t g t t displaystyle d gamma 0 t gamma tau t nbsp rivna d g 0 t g t t arcsin sin t sin t 1 cos 2 t tg 2 t 2 displaystyle d gamma 0 t gamma tau t operatorname arcsin bigg sin t sin tau sqrt 1 cos 2 t operatorname tg 2 tau 2 bigg nbsp Shob otrimati cej viraz potribno znati geodezichni Najcikavishij rezultat takij d g 0 p g t p 0 displaystyle d gamma 0 pi gamma tau pi 0 nbsp dlya bud yakogo t displaystyle tau nbsp Zamist cogo mi mozhemo rozglyanuti pohidni po t displaystyle tau nbsp pri t 0 displaystyle tau 0 nbsp t t 0 d g 0 t g t t J t sin t displaystyle frac partial partial tau bigg tau 0 d gamma 0 t gamma tau t J t sin t nbsp Mi znovu otrimuyemo peretin geodezichnih pri t p displaystyle t pi nbsp Zauvazhimo odnak sho dlya obchislennya ciyeyi pohidnoyi ne potribno znati d g 0 t g t t displaystyle d gamma 0 t gamma tau t nbsp vse sho potribno zrobiti ce rozv yazati rivnyannya y y 0 displaystyle y y 0 nbsp dlya deyakih zadanih pochatkovih umov Polya Yakobi dayut prirodne uzagalnennya cogo yavisha dlya dovilnih rimanovih mnogovidiv Yavnij viglyad rivnyannya Yakobi red Rozglyanemo dlya prostoti vipadok rimanovogo mnogovidu Nehaj e 1 0 g 0 g 0 displaystyle e 1 0 dot gamma 0 dot gamma 0 nbsp dodamo do cogo vektora inshi shob vijshov ortonormovanij bazis e i 0 displaystyle big e i 0 big nbsp v T g 0 M displaystyle T gamma 0 M nbsp Peremistimo jogo paralelnim perenesennyam shob otrimati bazis e i t displaystyle e i t nbsp v bud yakij tochci g displaystyle gamma nbsp Vnaslidok cogo otrimuyemo ortonormalnij bazis z e 1 t g t g t displaystyle e 1 t dot gamma t dot gamma t nbsp Pole Yakobi mozhna zapisati v koordinatah pov yazanih z cim bazisom X t k 1 n y k t e k t displaystyle X t sum k 1 n y k t e k t nbsp zvidki g t X k 1 n d y k d t e k t g t 2 X k 1 n d 2 y k d t 2 e k t displaystyle nabla dot gamma t X sum k 1 n frac dy k dt e k t quad nabla dot gamma t 2 X sum k 1 n frac d 2 y k dt 2 e k t nbsp i rivnyannya Yakobi mozhna perepisati u viglyadi sistemi d 2 y k d t 2 g 2 j y j t R e j t e 1 t e 1 t e k t 0 displaystyle frac d 2 y k dt 2 dot gamma 2 sum j y j t langle R e j t e 1 t e 1 t e k t rangle 0 nbsp dlya kozhnogo k displaystyle k nbsp Takim chinom mi otrimayemo sistemu linijnih zvichajnih diferencialnih rivnyan drugogo poryadku Taka zh sistema otrimuyetsya i u vipadku zvichajnih mnogovidiv de tenzor kruchennya ne ye rivnim nulyu Vlastivosti prostoru poliv Yakobi red Zvazhayuchi na podanij vishe vid rivnyannya Yakobi i jogo vlastivosti otrimuyemo sho oskilki rivnyannya maye gladki koeficiyenti rozv yazki isnuyut dlya vsih t displaystyle t nbsp i ye yedinimi yaksho zadani y k t 0 displaystyle y k t 0 nbsp i d y k d t t 0 displaystyle frac dy k dt t 0 nbsp dlya vsih k displaystyle k nbsp i dovilnoyi tochki t 0 displaystyle t 0 nbsp Zokrema zvidsi viplivaye sho rozmirnist prostoru poliv Yakobi rivna 2n de n rozmirnist mnogovida Tangencialni i normalni polya Yakobi dlya rimanovih mnogovidiv red Vsyudi tut rozglyadyetsya rimaniv mnogovid iz zv yaznistyu Levi Chiviti Vektorni polya g t displaystyle dot gamma t nbsp i t g t displaystyle t dot gamma t nbsp viznacheni uzdovzh g displaystyle gamma nbsp ye polyami Yakobi Spravdi iz kososimetrichnosti tenzora krivini viplivaye sho R g t g t 0 displaystyle R dot gamma t dot gamma t 0 nbsp i takozh R t g t g t t R g t g t 0 displaystyle R t dot gamma t dot gamma t tR dot gamma t dot gamma t 0 nbsp Za oznachennyam geodezichnih linij g t g t 0 displaystyle nabla dot gamma t dot gamma t 0 nbsp i tomu takozh g t 2 g t 0 displaystyle nabla dot gamma t 2 dot gamma t 0 nbsp i tomu g t displaystyle dot gamma t nbsp zadovolnyaye rivnyannyu Yakobi Dlya polya t g t displaystyle t dot gamma t nbsp natomist g t t g t g t t g t g t g t displaystyle nabla dot gamma t dot t gamma t dot gamma t t nabla dot gamma t dot gamma t dot gamma t nbsp i tomu takozh g t 2 g t g t g t 0 displaystyle nabla dot gamma t 2 dot gamma t nabla dot gamma t dot gamma t 0 nbsp tozh ce pole tezh zadovolnyaye rivnyannyu Yakobi Linijni kombinaciyi nad polem dijsnih chisel poliv g t displaystyle dot gamma t nbsp i t g t displaystyle t dot gamma t nbsp tezh ye polyami Yakobi Polya takogo tipu nazivayutsya tangencialnimi polyami Yakobi Vektorne pole f g t displaystyle f dot gamma t nbsp de f f t displaystyle f f t nbsp gladka funkciya ye polem Yakobi todi i tilki todi koli funkciya f displaystyle f nbsp linijna Vidpovidno u comu vipadku vektorne pole ye linijnoyu kombinaciyeyu nad polem dijsnih chisel vektornih poliv g t displaystyle dot gamma t nbsp i t g t displaystyle t dot gamma t nbsp tobto tangencialnim polem Yakobi Oskilki R f g t g t f R g t g t 0 displaystyle R f dot gamma t dot gamma t fR dot gamma t dot gamma t 0 nbsp to f g t displaystyle f dot gamma t nbsp ye polem Yakobi todi i tilki todi koli g t 2 f g t 0 displaystyle nabla dot gamma t 2 f dot gamma t 0 nbsp Ale g t 2 f g t g t f t g t f t g t displaystyle nabla dot gamma t 2 f dot gamma t nabla dot gamma t f t dot gamma t f t dot gamma t nbsp Cej viraz ye rivnim nulyu dlya vsih t todi i lishe todi koli f t 0 displaystyle f t 0 nbsp tobto f t displaystyle f t nbsp ye linijnoyu funkciyeyu Bud yake pole Yakobi X displaystyle X nbsp mozhna v yedinij sposib zapisati u viglyadi sumi a g t b t g t I displaystyle a dot gamma t bt dot gamma t I nbsp de a b displaystyle a b nbsp dijsni chisla a vektor I t displaystyle I t nbsp ye ortogonalnim do g t displaystyle dot gamma t nbsp dlya vsih t displaystyle t nbsp Iz vlastivostej rimanovoyi metriki i oznachennya polya Yakobi d 2 d t 2 g X g t g g t 2 X g t g R X g t g t g t displaystyle d 2 over dt 2 g X dot gamma t g nabla dot gamma t 2 X dot gamma t g R X dot gamma t dot gamma t dot gamma t nbsp Zgidno vlastivostej tenzora krivini u rimanovij geometriyi dlya bud yakih vektoriv A B X Y displaystyle A B X Y nbsp vikonuyetsya rivnist g R X Y A B g R X Y B A displaystyle g R X Y A B g R X Y B A nbsp i zvidsi g R X g t g t g t 0 displaystyle g R X dot gamma t dot gamma t dot gamma t 0 nbsp Tomu takozh d 2 d t 2 g X g t 0 displaystyle d 2 over dt 2 g X dot gamma t 0 nbsp i tomu g X g t a b t displaystyle g X dot gamma t bar a bar b t nbsp dlya deyakih dijsnih chisel a b displaystyle bar a bar b nbsp Tomu yaksho viznachiti a a g b b g displaystyle a bar a dot gamma b bar b dot gamma nbsp to vektorne pole I X a g t b t g t displaystyle I X a dot gamma t bt dot gamma t nbsp bude ortogonalnim do g t displaystyle dot gamma t nbsp v usih tochkah geodezichnoyi liniyi Okrim togo a b displaystyle a b nbsp i pole Yakobi I displaystyle I nbsp viznacheni odnoznachno Polya Yakobi sho ye ortogonalnimi do g t displaystyle dot gamma t nbsp nazivayutsya normalnimi polyami Yakobi Yaksho pole Yakobi X uzdovzh geodezichnoyi liniyi g t displaystyle gamma t nbsp ye ortogonalnim do g t displaystyle gamma t nbsp v dvoh tochkah to vono ye ortogonalnim v usih tochkah geodezichnoyi liniyi Ce viplivaye z togo sho zgidno dovedennya poperednoyi vlastivosti g X t g t displaystyle g X t dot gamma t nbsp ye linijnoyu funkciyeyu vid t i tomu yaksho vona ye rivnoyu 0 u dvoh riznih tochkah to vona ye rivnoyu 0 vsyudi Pole Yakobi X displaystyle X nbsp ye normalnim todi i tilki todi koli dlya dovilnoyi tochki na geodezichnij liniyi sho vidpovidaye deyakomu parametru t vikonuyutsya rivnosti g X t g t 0 displaystyle g X t dot gamma t 0 nbsp i g g t X t g t 0 displaystyle g nabla dot gamma t X t dot gamma t 0 nbsp Spravdi dovilne pole Yakobi odnoznachno zapisuyetsya yak X a g t b t g t I t displaystyle X a dot gamma t bt dot gamma t I t nbsp de vektorne pole I t displaystyle I t nbsp ye ortogonalnim do g t displaystyle dot gamma t nbsp Tomu X displaystyle X nbsp ye normalnim todi i tilki todi koli a 0 displaystyle a 0 nbsp i b 0 displaystyle b 0 nbsp Ale zapisuyuchi X displaystyle X nbsp u takij formi mayemo g a g t b t g t I t g t a b t g t displaystyle g a dot gamma t bt dot gamma t I t dot gamma t a bt dot gamma t nbsp dd ig g t a g t b t g t I t g t b g t displaystyle g nabla dot gamma t a dot gamma t bt dot gamma t I t dot gamma t b dot gamma t nbsp dd tomu a 0 displaystyle a 0 nbsp i b 0 displaystyle b 0 nbsp todi i tilki todi koli g X t g t 0 displaystyle g X t dot gamma t 0 nbsp i g g t X t g t 0 displaystyle g nabla dot gamma t X t dot gamma t 0 nbsp U drugij rivnosti dlya dovedennya vikoristano te sho g I t g t displaystyle g I t dot gamma t nbsp i tomu 0 d d t g I t g t g g t I t g t g I t g t g t g g t I t g t displaystyle 0 d over dt g I t dot gamma t g nabla dot gamma t I t dot gamma t g I t nabla dot gamma t dot gamma t g nabla dot gamma t I t dot gamma t nbsp zgidno oznachen geodezichnoyi liniyi i zv yaznosti Levi Chiviti Tomu g g t I t g t 0 displaystyle g nabla dot gamma t I t dot gamma t 0 nbsp Pidsumovuyuchi tangencialni polya Yakobi utvoryuyut dvovimirnij dijsnij pidprostir prostoru poliv Yakobi a normalni polya Yakobi utvoryuyut pidprostir rozmirnosti 2n 2 Prostir poliv Yakobi ye pryamoyu sumoyu pidprostoriv tangencialnih i normalnih poliv Yakobi Nehaj p q M displaystyle p q in M nbsp tochki sho nalezhat odnij geodezichnij liniyi g t displaystyle gamma t nbsp i ne ye spryazhenimi shodo ciyeyi geodezichnoyi Todi dlya dovilnih Y T p M Z T q N displaystyle Y in T p M Z in T q N nbsp isnuye yedine pole Yakobi viznachene na g t displaystyle gamma t nbsp sho prijmaye znachennya Y v tochci p i Z v tochci q Yaksho X Y polya Yakobi vzdovzh geodezichnoyi liniyi g t displaystyle gamma t nbsp todi g X g t Y g g t X Y c o n s t displaystyle g X nabla dot gamma t Y g nabla dot gamma t X Y const nbsp de g rimanova metrika Zokrema yaksho obidva vektorni polya ye nulovimi v deyakij tochci geodezichnoyi liniyi to g X g t Y g g t X Y 0 displaystyle g X nabla dot gamma t Y g nabla dot gamma t X Y 0 nbsp Ci vlastivosti viplivayut z togo sho d d t g X g t Y g g t X g t Y g X g t 2 Y g g t X g t Y g X R Y g t g t displaystyle d over dt g X nabla dot gamma t Y g nabla dot gamma t X nabla dot gamma t Y g X nabla dot gamma t 2 Y g nabla dot gamma t X nabla dot gamma t Y g X R Y dot gamma t dot gamma t nbsp dd id d t g g t X Y g g t X g t Y g g t 2 X Y g g t X g t Y g R X g t g t Y displaystyle d over dt g nabla dot gamma t X Y g nabla dot gamma t X nabla dot gamma t Y g nabla dot gamma t 2 X Y g nabla dot gamma t X nabla dot gamma t Y g R X dot gamma t dot gamma t Y nbsp dd Oskilki g X R Y g t g t g Y R X g t g t displaystyle g X R Y dot gamma t dot gamma t g Y R X dot gamma t dot gamma t nbsp to d d t g X g t Y g g t X Y 0 displaystyle d over dt g X nabla dot gamma t Y g nabla dot gamma t X Y 0 nbsp sho dovodit tverdzhennya Yaksho X ye polem Yakobi vzdovzh geodezichnoyi liniyi g t displaystyle gamma t nbsp a Y kuskovo diferencijovne vektorne pole na cij zhe liniyi to dlya bud yakih chisel a lt b displaystyle a lt b nbsp takih sho geodezichna liniya ye zadanoyu na promizhku a b displaystyle a b nbsp vikonuyetsya rivnist a b g g t X g t Y g R X g t g t Y d t g g t X Y t b g g t X Y t a displaystyle int a b left g nabla dot gamma t X nabla dot gamma t Y g R X dot gamma t dot gamma t Y right dt g nabla dot gamma t X Y t b g nabla dot gamma t X Y t a nbsp dd Dana rivnist viplivaye iz integruvannya na a b displaystyle a b nbsp oboh storin rivnosti yaka spravedliva dlya vsih tochok krim skinchennoyi kilkosti tochok de g t Y displaystyle nabla dot gamma t Y nbsp maye rozrivi pershogo rodu i tomu pri integruvanni nimi mozhna znehtuvati d d t g g t X Y g g t X g t Y g g t 2 X Y g g t X g t Y g R X g t g t Y displaystyle d over dt g nabla dot gamma t X Y g nabla dot gamma t X nabla dot gamma t Y g nabla dot gamma t 2 X Y g nabla dot gamma t X nabla dot gamma t Y g R X dot gamma t dot gamma t Y nbsp dd Nehaj dlya geodezichnoyi liniyi g t displaystyle gamma t nbsp dlya yakoyi interval a b displaystyle a b nbsp nalezhit oblasti viznachennya i vektornogo polya Y sho ye kuskovo diferencijovnim vzdovzh geodezichnoyi na comu promizhku poznacheno I a b Y a b g g t Y g t Y g R Y g t g t Y d t displaystyle I a b Y int a b left g nabla dot gamma t Y nabla dot gamma t Y g R Y dot gamma t dot gamma t Y right dt nbsp Nehaj dodatkovo g a displaystyle gamma a nbsp ne maye spryazhenih tochok na geodezichnij na intervali a b displaystyle a b nbsp vektorne pole X ye normalnim polem Yakobi vzdovzh geodezichnoyi dlya yakogo X g a 0 displaystyle X gamma a 0 nbsp a Y ye kuskovo diferencijovnim vektornim polem vzdovzh geodezichnoyi na intervali a b displaystyle a b nbsp u kozhnij tochci cogo intervalu Y g t displaystyle Y gamma t nbsp ye ortogonalnim do g t displaystyle dot gamma t nbsp i Y g a X g a 0 Y g b X g b displaystyle Y gamma a X gamma a 0 Y gamma b X gamma b nbsp Todi I a b X I a b Y displaystyle I a b X leqslant I a b Y nbsp i rivnist vikonuyetsya lishe u vipadku X Y displaystyle X Y nbsp Prikladi red Nehaj p M displaystyle p in M nbsp i A B T p M displaystyle A B in T p M nbsp Viznachimo pidmnozhinu Q R 2 displaystyle Q subset mathbb R 2 nbsp takim chinom t t Q displaystyle t tau in Q nbsp todi i tilki todi koli eksponencijne vidobrazhennya exp p t B t A displaystyle exp p t B tau A nbsp ye viznachenim Todi vidobrazhennya F Q M displaystyle F Q to M nbsp viznachene yak F t t exp p t B t A displaystyle F t tau exp p t B tau A nbsp ye odnoparametrichnoyu sim yeyu geodezichnih linij a diferencial d exp p t A displaystyle operatorname d exp p tA nbsp zadaye pole Yakobi vzdovzh kozhnoyi geodezichnoyi liniyi Rozglyanemo geodezichnu liniyu g t displaystyle gamma t nbsp z paralelnim ortonormovanim reperom e i t displaystyle e i t nbsp e 1 t g t g displaystyle e 1 t dot gamma t dot gamma nbsp pobudovanim yak opisano vishe V evklidovomu prostori a takozh dlya prostoriv postijnoyi nulovoyi sekcijnoyi krivini polya Yakobi ye linijnimi po t displaystyle t nbsp Dlya rimanovih mnogovidiv postijnoyi vid yemnoyi sekcijnoyi krivini k 2 displaystyle k 2 nbsp bud yake pole Yakobi ye linijnoyu kombinaciyeyu g t displaystyle dot gamma t nbsp t g t displaystyle t dot gamma t nbsp i exp k t e i t displaystyle exp pm kt e i t nbsp de i gt 1 displaystyle i gt 1 nbsp Dlya rimanovih mnogovidiv postijnoyi dodatnoyi sekcijnoyi krivini k 2 displaystyle k 2 nbsp bud yake pole Yakobi ye linijnoyu kombinaciyeyu g t displaystyle dot gamma t nbsp t g t displaystyle t dot gamma t nbsp sin k t e i t displaystyle sin kt e i t nbsp i cos k t e i t displaystyle cos kt e i t nbsp de i gt 1 displaystyle i gt 1 nbsp Zvuzhennya polya Killinga na geodezichnu liniyu ye polem Yakobi v bud yakomu rimanovomu mnogovidi Polya Yakobi vidpovidayut geodezichnim liniyam na dotichnomu rozsharuvanni po vidnoshennyu do metriki v T M displaystyle TM nbsp indukovanoyi metrikoyu na M displaystyle M nbsp Div Takozh red Spryazheni tochki Teorema Rauha pro porivnyannya Rivnyannya RikkatiLiteratura red Hicks Noel 1965 Notes on Differential Geometry Van Nostrand Princeton N J ISBN 0442034105 angl Kobayashi S Nomizu K 1963 Foundations of differential geometry John Wiley amp Sons ISBN 0 470 49647 9 angl Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Pole Yakobi amp oldid 36010727