www.wikidata.uk-ua.nina.az

Звичайні диференціальні рівняння диференціальні рівняння вигляду F x y y y y n 0 displaystyle F left x y y y y n right 0

Звичайні диференціальні рівняння

Звичайні диференціальні рівняння — диференціальні рівняння вигляду

де  — невідома функція (можливо, вектор-функція; в такому випадку часто говорять про систему диференціальних рівнянь), що залежить від змінної , штрих означає диференціювання по . Число називається порядком диференціального рівняння.

Розв'язування диференціального рівняння називають інтегруванням, а його розв'язок інтегралом диференціального рівняння. Якщо розв'язок диференціального рівняння можна задати у вигляді аналітичного рівняння

то говорять, що диференціальне рівняння розв'язується в квадратурах.

Задача розв'язування звичайного диференціального рівняння є знаходження невідомої функції. Загалом ця задача має нескінченно багато розв'язків. Кількість розв'язків обмежується накладанням на невідому функцію додаткових початкових або граничних умов.

Звичайні диференціальні рівняння першого порядку Редагувати

Звича́йним диференціальним рівня́нням пе́ршого поря́дку називають рівняння вигляду

де  — незалежна змінна,  — невідома функція від змінної ,  — похідна функції, а  — задана функція, яка визначена в деякій області простору .

Розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку називають функцію , , яка задовольняє такі умови:

  1. ( неперервно диференційована на );
  2. ;
  3. .

Загальним розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку називають функцію від незалежної змінної та параметра , яка задовольняє умову:

  • для будь-якого конкретного (допустимого) значення параметра функція від змінної , що пробігає допустимі значення з деякого числового проміжку (тобто, ), є розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Якщо загальний розв'язок звичайного диференціального рівняння першого порядку має таку властивість:

  • який би не був розв'язок , , звичайного диференційного рівняння першого порядку знайдеться значення параметра таке, що , ,

то цей загальний розв'язок називають повним загальним розв'язком (у протилежному разі його ще називають неповним загальним розв'язком).

Інтегралом звичайного диференціального рівняння першого порядку називають співвідношення вигляду , якщо будь-яка неявно задана ним неперервно диференційовна функція є розв'язком звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Диференціальне рівняння записане у вигляді у загальному вигляді ще називають неявним диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо ж у виразі, що задає рівняння явно виділено похідну , тобто рівняння записане як , то таке рівняння називають явним. Диференціальне рівняння першого порядку записане у вигляді

де задані неперервні функції двох змінних, які одночасно не тотожні нулю, називається диференціальним рівнянням записаним у симетричні формі.

Найпоширенішими типами диференціальних рівнянь першого порядку, які інтегруються у квадратурах є наступні:

Рівняння з відокремлюваними змінними Редагувати

Рівняння у симетричній формі або явне диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо воно може бути представлене у вигляді:

відповідно. Такі рівняння завжди можна розв'язати у квадратурах.

Однорідні рівняння Редагувати

Поняття однорідного диференціального рівняння першого порядку пов'язане з однорідними функціями. Рівняння у симетричній формі у випадку, коли функції є однорідними функціями одного порядку, та явне рівняння у випадку, коли є однорідною функцією нульового порядку називаються однорідними диференціальними рівняннями.

Такі рівняння заміною змінних зводяться до рівняння з відокремлюваними змінними відносно невідомої функції

Лінійні рівняння першого порядку Редагувати

Диференціальне рівняння першого порядку у випадку коли є лінійною функцією за сукупністю змінних називається лінійним однорідним рівнянням і може бути записане у вигляді

Поряд з лінійним однорідним рівнянням розглядається також лінійне неоднорідне рівняння, яке має вигляд

Загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння записується формулою

з якої, поклавши , отримуємо у загальний розв'язок лінійного однорідного рівняння.

Диференціальне рівняння Бернуллі Редагувати

Явне диференціальне рівняння, записане у вигляді

називається рівнянням Бернуллі. Заміною змінних рівняння Бернуллі зводиться до лінійного рівняння відносно .

Цей розділ потребує доповнення. (січень 2022)

Пониження порядку диференціальних рівнянь Редагувати

Часто диференціальне рівняння високого порядку може бути розв'язане шляхом пониження порядку рівняння, зокрема і до рівняння першого порядку.

Зведення рівняння вищого порядку до системи рівнянь першого порядку Редагувати

Вводячи змінні , , , звичайне диференціальне рівняння можна записати у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку

Методи розв'язання Редагувати

Аналітичні Редагувати

Цей розділ потребує доповнення. (вересень 2010)

Чисельні Редагувати


Див. також Редагувати

Література Редагувати

  1. Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; Парасюк I.О. (2003 р.). . Київ: Либідь. ISBN 966-06-0249-9. Архів оригіналу за 17 червня 2014. Процитовано 2 грудня 2015.  (укр.)
  2. Овчинников П. П.; Михайленко В. М. (2004 р.). Вища Математика, Частина 2. Київ: "Техніка". ISBN 966-575-100X.  (укр.)
  3. Шкіль М. І.; Сотніченко М. А. (1992 р.). Звичайні диференціальні рівняння: Навчальний посібник для вузів. Київ: Вища школа.  (укр.)
  4. Pontryagin, Lev (1962). . Adiwes International Series in Mathematics. Pergamon Press. Архів оригіналу за 13 липня 2020. Процитовано 13 липня 2020.  (англ.)
  5. Л. С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения — 4-е изд. — Москва, 1974. (рос.) (Підручник удостоєний державної премії СРСР)

Джерела Редагувати

  • Федорюк М.В. (85). Обыкновенные дифференциальные уравнения (російська) (вид. Издание второе, переработанное и дополенное). Москва: Наука.  (рос.)


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Zvichajni diferencialni rivnyannya diferencialni rivnyannya viglyadu F x y y y y n 0 displaystyle F left x y y y y n right 0 de y y x displaystyle y y x nevidoma funkciya mozhlivo vektor funkciya v takomu vipadku chasto govoryat pro sistemu diferencialnih rivnyan sho zalezhit vid zminnoyi x displaystyle x shtrih oznachaye diferenciyuvannya po x displaystyle x Chislo n displaystyle n nazivayetsya poryadkom diferencialnogo rivnyannya Rozv yazuvannya diferencialnogo rivnyannya nazivayut integruvannyam a jogo rozv yazok integralom diferencialnogo rivnyannya Yaksho rozv yazok diferencialnogo rivnyannya mozhna zadati u viglyadi analitichnogo rivnyannya G x y 0 displaystyle G x y 0 to govoryat sho diferencialne rivnyannya rozv yazuyetsya v kvadraturah Zadacha rozv yazuvannya zvichajnogo diferencialnogo rivnyannya ye znahodzhennya nevidomoyi funkciyi Zagalom cya zadacha maye neskinchenno bagato rozv yazkiv Kilkist rozv yazkiv obmezhuyetsya nakladannyam na nevidomu funkciyu dodatkovih pochatkovih abo granichnih umov Zmist 1 Zvichajni diferencialni rivnyannya pershogo poryadku 1 1 Rivnyannya z vidokremlyuvanimi zminnimi 1 2 Odnoridni rivnyannya 1 3 Linijni rivnyannya pershogo poryadku 1 4 Diferencialne rivnyannya Bernulli 2 Ponizhennya poryadku diferencialnih rivnyan 2 1 Zvedennya rivnyannya vishogo poryadku do sistemi rivnyan pershogo poryadku 3 Metodi rozv yazannya 3 1 Analitichni 3 2 Chiselni 4 Div takozh 5 Literatura 6 DzherelaZvichajni diferencialni rivnyannya pershogo poryadku RedaguvatiZvicha jnim diferencialnim rivnya nnyam pe rshogo porya dku nazivayut rivnyannya viglyadu F x y y 0 displaystyle F x y y 0 nbsp de x displaystyle x nbsp nezalezhna zminna y displaystyle y nbsp nevidoma funkciya vid zminnoyix displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp pohidna funkciyiy x displaystyle y x nbsp a F textstyle F nbsp zadana funkciya yaka viznachena v deyakij oblasti W textstyle Omega nbsp prostoru R 3 textstyle mathbb R 3 nbsp Rozv yazkom zvichajnogo diferencialnogo rivnyannya pershogo poryadku nazivayut funkciyu y f x displaystyle y varphi x nbsp x a b displaystyle x in langle a b rangle nbsp yaka zadovolnyaye taki umovi f C 1 a b displaystyle varphi in C 1 langle a b rangle nbsp f textstyle varphi nbsp neperervno diferencijovana na a b displaystyle langle a b rangle nbsp x f x f x W x a b displaystyle x varphi x varphi x in Omega quad forall x in langle a b rangle nbsp F x f x f x 0 x a b displaystyle F x varphi x varphi x 0 quad forall x in langle a b rangle nbsp Zagalnim rozv yazkom zvichajnogo diferencialnogo rivnyannya pershogo poryadku nazivayut funkciyu y ps x C displaystyle y psi x C nbsp vid nezalezhnoyi zminnoyi x displaystyle x nbsp ta parametra C textstyle C nbsp yaka zadovolnyaye umovu dlya bud yakogo konkretnogo dopustimogo znachennya C 0 displaystyle C 0 nbsp parametra C displaystyle C nbsp funkciya y ps x C 0 displaystyle y psi x C 0 nbsp vid zminnoyi x displaystyle x nbsp sho probigaye dopustimi znachennya z deyakogo chislovogo promizhku tobto x c d displaystyle x in langle c d rangle nbsp ye rozv yazkom zvichajnogo diferencialnogo rivnyannya pershogo poryadku Yaksho zagalnij rozv yazok zvichajnogo diferencialnogo rivnyannya pershogo poryadku y ps x C displaystyle y psi x C nbsp maye taku vlastivist yakij bi ne buv rozv yazok y f x displaystyle y varphi x nbsp x a b displaystyle x in langle a b rangle nbsp zvichajnogo diferencijnogo rivnyannya pershogo poryadku znajdetsya znachennya C f displaystyle C varphi nbsp parametra C displaystyle C nbsp take sho f t ps x C f displaystyle varphi t psi x C varphi nbsp x a b displaystyle x in langle a b rangle nbsp to cej zagalnij rozv yazok nazivayut povnim zagalnim rozv yazkom u protilezhnomu razi jogo she nazivayut nepovnim zagalnim rozv yazkom Integralom zvichajnogo diferencialnogo rivnyannya pershogo poryadku nazivayut spivvidnoshennya viglyadu F x y 0 displaystyle Phi x y 0 nbsp yaksho bud yaka neyavno zadana nim neperervno diferencijovna funkciya ye rozv yazkom zvichajnogo diferencialnogo rivnyannya pershogo poryadku Diferencialne rivnyannya zapisane u viglyadi u zagalnomu viglyadi F x y y 0 displaystyle F x y y 0 nbsp she nazivayut neyavnim diferencialnim rivnyannyam pershogo poryadku Yaksho zh u virazi sho zadaye rivnyannya yavno vidileno pohidnu x displaystyle x nbsp tobto rivnyannya zapisane yak y f x y displaystyle y f x y nbsp to take rivnyannya nazivayut yavnim Diferencialne rivnyannya pershogo poryadku zapisane u viglyadi M x y d x N x y d y 0 displaystyle M x y dx N x y dy 0 nbsp de M x y N x y displaystyle M x y N x y nbsp zadani neperervni funkciyi dvoh zminnih yaki odnochasno ne totozhni nulyu nazivayetsya diferencialnim rivnyannyam zapisanim u simetrichni formi Najposhirenishimi tipami diferencialnih rivnyan pershogo poryadku yaki integruyutsya u kvadraturah ye nastupni Rivnyannya z vidokremlyuvanimi zminnimi Redaguvati Rivnyannya u simetrichnij formi abo yavne diferencialne rivnyannya pershogo poryadku nazivayetsya rivnyannyam z vidokremlyuvanimi zminnimi yaksho vono mozhe buti predstavlene u viglyadi M 1 x N 1 y d x M 2 x N 2 y d y 0 abo y f x g y displaystyle M 1 x N 1 y dx M 2 x N 2 y dy 0 quad text abo quad y f x g y nbsp vidpovidno Taki rivnyannya zavzhdi mozhna rozv yazati u kvadraturah Odnoridni rivnyannya Redaguvati Ponyattya odnoridnogo diferencialnogo rivnyannya pershogo poryadku pov yazane z odnoridnimi funkciyami Rivnyannya u simetrichnij formi u vipadku koli funkciyi M x y N x y displaystyle M x y N x y nbsp ye odnoridnimi funkciyami odnogo poryadku ta yavne rivnyannya u vipadku koli f x y displaystyle f x y nbsp ye odnoridnoyu funkciyeyu nulovogo poryadku nazivayutsya odnoridnimi diferencialnimi rivnyannyami Taki rivnyannya zaminoyu zminnih y x x u x displaystyle y x x cdot u x nbsp zvodyatsya do rivnyannya z vidokremlyuvanimi zminnimi vidnosno nevidomoyi funkciyi u x displaystyle u x nbsp Linijni rivnyannya pershogo poryadku Redaguvati Dokladnishe Linijne diferencialne rivnyannya Rivnyannya pershogo poryadkuDiferencialne rivnyannya pershogo poryadku u vipadku koli F x y y displaystyle F x y y nbsp ye linijnoyu funkciyeyu za sukupnistyu zminnih y y displaystyle y y nbsp nazivayetsya linijnim odnoridnim rivnyannyam i mozhe buti zapisane u viglyadi y p x y 0 displaystyle y p x y 0 nbsp Poryad z linijnim odnoridnim rivnyannyam rozglyadayetsya takozh linijne neodnoridne rivnyannya yake maye viglyad y p x y f x displaystyle y p x y f x nbsp Zagalnij rozv yazok linijnogo neodnoridnogo rivnyannya zapisuyetsya formuloyu y x C e p x d x e p x d x f x e p x d x d x displaystyle y x Ce int p x dx e int p x dx int f x e int p x dx dx nbsp z yakoyi poklavshi f x 0 displaystyle f x 0 nbsp otrimuyemo u zagalnij rozv yazok linijnogo odnoridnogo rivnyannya Diferencialne rivnyannya Bernulli Redaguvati Yavne diferencialne rivnyannya zapisane u viglyadi y p x y f x y n n 0 1 displaystyle y p x y f x y n quad n neq 0 1 nbsp nazivayetsya rivnyannyam Bernulli Zaminoyu zminnih u y 1 n displaystyle u y 1 n nbsp rivnyannya Bernulli zvoditsya do linijnogo rivnyannya vidnosno u u x displaystyle u u x nbsp Cej rozdil potrebuye dopovnennya sichen 2022 Ponizhennya poryadku diferencialnih rivnyan RedaguvatiChasto diferencialne rivnyannya visokogo poryadku mozhe buti rozv yazane shlyahom ponizhennya poryadku rivnyannya zokrema i do rivnyannya pershogo poryadku Zvedennya rivnyannya vishogo poryadku do sistemi rivnyan pershogo poryadku Redaguvati Vvodyachi zminni y 1 y displaystyle y 1 y nbsp y 2 y displaystyle y 2 y nbsp y n 1 y n 1 displaystyle y n 1 y n 1 nbsp zvichajne diferencialne rivnyannya mozhna zapisati u viglyadi sistemi zvichajnih diferencialnih rivnyan pershogo poryadku F x y y 1 y 2 y n 1 y n 1 0 y y 1 y 1 y 2 y n 2 y n 1 displaystyle left begin matrix F left x y y 1 y 2 ldots y n 1 y n 1 prime right 0 y prime y 1 y 1 prime y 2 ldots y n 2 prime y n 1 end matrix right nbsp Metodi rozv yazannya RedaguvatiAnalitichni Redaguvati Cej rozdil potrebuye dopovnennya veresen 2010 Chiselni Redaguvati Metod Ejlera Metod Runge Kutti Metod AdamsaDiv takozh RedaguvatiZadacha Koshi Krajova zadachaLiteratura RedaguvatiSamojlenko A M Perestyuk M O Parasyuk I O 2003 r Diferencialni rivnyannya Kiyiv Libid ISBN 966 06 0249 9 Arhiv originalu za 17 chervnya 2014 Procitovano 2 grudnya 2015 ukr Ovchinnikov P P Mihajlenko V M 2004 r Visha Matematika Chastina 2 Kiyiv Tehnika ISBN 966 575 100X ukr Shkil M I Sotnichenko M A 1992 r Zvichajni diferencialni rivnyannya Navchalnij posibnik dlya vuziv Kiyiv Visha shkola ukr Pontryagin Lev 1962 Ordinary Differential Equations Adiwes International Series in Mathematics Pergamon Press Arhiv originalu za 13 lipnya 2020 Procitovano 13 lipnya 2020 angl L S Pontryagin Obyknovennye differencialnye uravneniya 4 e izd Moskva 1974 ros Pidruchnik udostoyenij derzhavnoyi premiyi SRSR Dzherela RedaguvatiFedoryuk M V 85 Obyknovennye differencialnye uravneniya rosijska vid Izdanie vtoroe pererabotannoe i dopolennoe Moskva Nauka ros nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Zvichajni diferencialni rivnyannya amp oldid 38376370