www.wikidata.uk-ua.nina.az

Асимптотична крива або асимптотична лінія лінія на поверхні яка в кожній точці дотична асимптотичного напрямку 1 тобто т

Асимптотична крива

Асимптотична крива або асимптотична лінія — лінія на поверхні, яка в кожній точці дотична асимптотичного напрямку, тобто такого напрямку, в якому нормальний переріз поверхні має нульову кривину.

Наприклад, на поверхні другого порядку асимптотичні лінії — тільки прямолінійні твірні.

На довільній поверхні асимптотична крива визначається диференціальним рівнянням

Три типи точок поверхні ред.

Точки, в яких гаусова кривина , називаються гіперболічними (прикладом поверхні всі точки якої — гіперболічні, є однопорожнинний гіперболоїд або гіперболічний параболоїд); точки, в яких гаусова кривина , називаються еліптичними (прикладом поверхні всі точки якої — еліптичні є еліпсоїд або двопорожнинний гіперболоїд); точки, в яких гаусова кривина , але середня кривина , називаються параболічними (прикладом поверхні всі точки якої — параболічні, є конус або циліндр).

Параболічні точки, як правило, утворюють криву, що розділяє поверхню на еліптичну і гіперболічну області.

В області еліптичних точок асимптотичних ліній немає.

В області гіперболічних точок є рівно дві групи асимптотичних ліній, що складають так звану асимптотичну мережу: через кожну гіперболічну точку проходить по одній лінії кожної групи, кут їх перетину відмінний від нуля.

В параболічних точках асимптотичні лінії мають, як правило, касп і мають вигляд напівкубічної параболи, що лежить (за виключенням самої точки) в гіперболічній області, що примикає до параболічної лінії.

Властивості ред.

  • Стична площина асимптотичної кривої (там, де вона існує) збігається з дотичною площиною до поверхні F в тій же точці.
  • Квадрат скруту асимптотичної кривої (там, де його визначено) дорівнює модулю гаусової кривини поверхні (теорема Бельтрамі — Еннепера).
  • Прямолінійний відрізок на поверхні завжди є асимптотичною кривою. Зокрема асимптотичними кривими є прямолінійні твірні поверхні.
  • На поверхнях сталої від'ємної кривини асимптотична мережа є мережею Чебишева[ru], зокрема площа чотирикутника, утвореного асимптотичними кривими, пропорційна перевищенню суми його внутрішніх кутів над (формула Хацидакіса).
  • На мінімальний поверхні асимптотична мережа є ортогональною мережею.
  • При проективному перетворенні простору асимптотичні криві поверхні переходять в асимптотичні криві поверхні .

Рівняння для графіка функції ред.

Нехай в евклідовому просторі з координатами і метрикою поверхня задана у вигляді графіка функції . Тоді в координатах асимптотичні лінії поверхні задаються диференціальним рівнянням

Ввівши позначення , його можна переписати у вигляді

Дискримінант який стоїть у лівій частині квадратного тричлена (відносно змінної ) збігається з гессіаном функції , взятим із оберненим знаком, і рівняння задає на площині криву, що складається із параболічних точок поверхні (за умови, якщо один із коефіцієнтів або відмінний від нуля), яка так само є дискримінантою кривої даного диференціального рівняння, не розв'язного щодо похідної. У типовому випадку майже у всіх параболічних точках це рівняння має нормальну форму Чибраріо, виняток становлять лише точки, що лежать на дискримінантній кривій дискретно, в них нормальна форма рівняння більш складна. Ще більш складну нормальну форму рівняння асимптотичних ліній має в точках, де всі три коефіцієнти , , перетворюються в нуль одночасно, — це так звані плоскі омбіліки, в яких , тобто всі нормальні перетини поверхні мають нульову кривину.

Приклади ред.

  • Всі точки однопорожнинного гіперболоїда належать до гіперболічного типу. Рівняння асимптотичних ліній в цьому випадку приймає вигляд , де . Як легко перевірити, загальний розв'язок цього рівняння задається формулою , де параметри і задовольняють співвідношення . Таким чином ми отримуємо дві сім'ї (що відповідають різним знакам у формулі ) асимптотичних ліній однопорожнинного гіперболоїда, що збігаються з його прямолінійними твірними.
  • Асимптотичні лінії конуса так само збігаються з його прямолінійними твірними. Так як всі точки конуса параболічні, то ми маємо одну сім'ю асимптотичних ліній.
  • У випадку поверхні заданої рівнянням , маємо . Лінія параболічних точок () ділить поверхню на еліптичну () і гіперболічну () області. В останній розташовані дві сім'ї асимптотичних ліній. У всіх параболічних точках, за винятком початку координат (), рівняння асимптотичних ліній має нормальну форму Чибраріо, отже асимптотичні лінії в околі цих точок мають вигляд напівкубічних парабол. На початку координат мережа асимптотичних ліній має більш складну особливість, характер якої залежить від параметра .
  • Асимптотичними кривими на торі, заданому параметрично у вигляді:

є два паралелі , що розділяють гіперболічні і еліптичні області і повністю складаються з параболічних точок .

Див. також ред.

Примітки ред.

  1. Борисенко, с. 127.

Література ред.

  • Борисенко, О. А. Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — С. 41-46. — ISBN 5-7768-0388-8. Архівовано з джерела 23 січня 2022
  • Погорєлов О. В. [1] — М. : Наука, 1974. — 184 с. — ISBN 5-93972-068-4. з джерела 6 жовтня 2014
  • Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии.
  • Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии.
  • Фиников С. П. Теория поверхностей.
  • Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии.
  • Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Asimptotichna kriva abo asimptotichna liniya liniya na poverhni yaka v kozhnij tochci dotichna asimptotichnogo napryamku 1 tobto takogo napryamku v yakomu normalnij pereriz poverhni maye nulovu krivinu Napriklad na poverhni drugogo poryadku asimptotichni liniyi tilki pryamolinijni tvirni Na dovilnij poverhni asimptotichna kriva g g t displaystyle gamma gamma t viznachayetsya diferencialnim rivnyannyam I I g t g t g t 0 displaystyle mathrm I I gamma t dot gamma t dot gamma t 0 de I I displaystyle mathrm I I druga kvadratichna forma poverhni Zmist 1 Tri tipi tochok poverhni 2 Vlastivosti 3 Rivnyannya dlya grafika funkciyi 4 Prikladi 5 Div takozh 6 Primitki 7 LiteraturaTri tipi tochok poverhni red Tochki v yakih gausova krivina K lt 0 displaystyle K lt 0 nbsp nazivayutsya giperbolichnimi prikladom poverhni vsi tochki yakoyi giperbolichni ye odnoporozhninnij giperboloyid abo giperbolichnij paraboloyid tochki v yakih gausova krivina K gt 0 displaystyle K gt 0 nbsp nazivayutsya eliptichnimi prikladom poverhni vsi tochki yakoyi eliptichni ye elipsoyid abo dvoporozhninnij giperboloyid tochki v yakih gausova krivina K 0 displaystyle K 0 nbsp ale serednya krivina H 0 displaystyle H neq 0 nbsp nazivayutsya parabolichnimi prikladom poverhni vsi tochki yakoyi parabolichni ye konus abo cilindr Parabolichni tochki yak pravilo utvoryuyut krivu sho rozdilyaye poverhnyu na eliptichnu i giperbolichnu oblasti V oblasti eliptichnih tochok asimptotichnih linij nemaye V oblasti giperbolichnih tochok ye rivno dvi grupi asimptotichnih linij sho skladayut tak zvanu asimptotichnu merezhu cherez kozhnu giperbolichnu tochku prohodit po odnij liniyi kozhnoyi grupi kut yih peretinu vidminnij vid nulya V parabolichnih tochkah asimptotichni liniyi mayut yak pravilo kasp i mayut viglyad napivkubichnoyi paraboli sho lezhit za viklyuchennyam samoyi tochki v giperbolichnij oblasti sho primikaye do parabolichnoyi liniyi Vlastivosti red Stichna ploshina asimptotichnoyi krivoyi g displaystyle gamma nbsp tam de vona isnuye zbigayetsya z dotichnoyu ploshinoyu do poverhni F v tij zhe tochci Kvadrat skrutu asimptotichnoyi krivoyi tam de jogo viznacheno dorivnyuye modulyu gausovoyi krivini poverhni F displaystyle F nbsp teorema Beltrami Ennepera Pryamolinijnij vidrizok na poverhni F displaystyle F nbsp zavzhdi ye asimptotichnoyu krivoyu Zokrema asimptotichnimi krivimi ye pryamolinijni tvirni poverhni Na poverhnyah staloyi vid yemnoyi krivini asimptotichna merezha ye merezheyu Chebisheva ru zokrema plosha chotirikutnika utvorenogo asimptotichnimi krivimi proporcijna perevishennyu sumi jogo vnutrishnih kutiv nad 2 p displaystyle 2 pi nbsp formula Hacidakisa Na minimalnij poverhni asimptotichna merezha ye ortogonalnoyu merezheyu Pri proektivnomu peretvorenni p displaystyle pi nbsp prostoru asimptotichni krivi poverhni F displaystyle F nbsp perehodyat v asimptotichni krivi poverhni p F displaystyle pi F nbsp Rivnyannya dlya grafika funkciyi red Nehaj v evklidovomu prostori z koordinatami x y z displaystyle x y z nbsp i metrikoyu d s 2 d x 2 d y 2 d z 2 displaystyle ds 2 dx 2 dy 2 dz 2 nbsp poverhnya zadana u viglyadi grafika funkciyi z f x y displaystyle z f x y nbsp Todi v koordinatah x y displaystyle x y nbsp asimptotichni liniyi poverhni zadayutsya diferencialnim rivnyannyam f y y d y 2 2 f x y d x d y f x x d x 2 0 displaystyle f yy dy 2 2f xy dxdy f xx dx 2 0 nbsp Vvivshi poznachennya p d y d x displaystyle p dy dx nbsp jogo mozhna perepisati u viglyadi f y y p 2 2 f x y p f x x 0 displaystyle f yy p 2 2f xy p f xx 0 nbsp Diskriminant D f x y 2 f x x f y y displaystyle Delta f xy 2 f xx f yy nbsp yakij stoyit u livij chastini kvadratnogo trichlena vidnosno zminnoyi p displaystyle p nbsp zbigayetsya z gessianom funkciyi f x y displaystyle f x y nbsp vzyatim iz obernenim znakom i rivnyannya D 0 displaystyle Delta 0 nbsp zadaye na ploshini x y displaystyle x y nbsp krivu sho skladayetsya iz parabolichnih tochok poverhni za umovi yaksho odin iz koeficiyentiv f x x displaystyle f xx nbsp abo f y y displaystyle f yy nbsp vidminnij vid nulya yaka tak samo ye diskriminantoyu krivoyi danogo diferencialnogo rivnyannya ne rozv yaznogo shodo pohidnoyi U tipovomu vipadku majzhe u vsih parabolichnih tochkah ce rivnyannya maye normalnu formu Chibrario vinyatok stanovlyat lishe tochki sho lezhat na diskriminantnij krivij diskretno v nih normalna forma rivnyannya bilsh skladna She bilsh skladnu normalnu formu rivnyannya asimptotichnih linij maye v tochkah de vsi tri koeficiyenti f x x displaystyle f xx nbsp f x y displaystyle f xy nbsp f y y displaystyle f yy nbsp peretvoryuyutsya v nul odnochasno ce tak zvani ploski ombiliki v yakih H K 0 displaystyle H K 0 nbsp tobto vsi normalni peretini poverhni mayut nulovu krivinu Prikladi red Vsi tochki odnoporozhninnogo giperboloyida x 2 y 2 z 2 1 displaystyle x 2 y 2 z 2 1 nbsp nalezhat do giperbolichnogo tipu Rivnyannya asimptotichnih linij v comu vipadku prijmaye viglyad x 2 1 p 2 2 x y p y 2 1 0 displaystyle x 2 1 p 2 2xyp y 2 1 0 nbsp de p d y d x displaystyle p dy dx nbsp Yak legko pereviriti zagalnij rozv yazok cogo rivnyannya zadayetsya formuloyu y a x b displaystyle y ax b nbsp de parametri a displaystyle a nbsp i b displaystyle b nbsp zadovolnyayut spivvidnoshennya b 2 a 2 1 displaystyle b 2 a 2 1 nbsp Takim chinom mi otrimuyemo dvi sim yi sho vidpovidayut riznim znakam displaystyle pm nbsp u formuli b a 2 1 displaystyle b pm sqrt a 2 1 nbsp asimptotichnih linij odnoporozhninnogo giperboloyida sho zbigayutsya z jogo pryamolinijnimi tvirnimi Asimptotichni liniyi konusa x 2 y 2 z 2 0 displaystyle x 2 y 2 z 2 0 nbsp tak samo zbigayutsya z jogo pryamolinijnimi tvirnimi Tak yak vsi tochki konusa parabolichni to mi mayemo odnu sim yu asimptotichnih linij U vipadku poverhni zadanoyi rivnyannyam z y 2 x 2 y a x 4 displaystyle z y 2 x 2 y ax 4 nbsp mayemo D 1 6 a x 2 y displaystyle Delta 1 6a x 2 y nbsp Liniya parabolichnih tochok y 1 6 a x 2 displaystyle y 1 6a x 2 nbsp dilit poverhnyu na eliptichnu y gt 1 6 a x 2 displaystyle y gt 1 6a x 2 nbsp i giperbolichnu y lt 1 6 a x 2 displaystyle y lt 1 6a x 2 nbsp oblasti V ostannij roztashovani dvi sim yi asimptotichnih linij U vsih parabolichnih tochkah za vinyatkom pochatku koordinat x y 0 displaystyle x y 0 nbsp rivnyannya asimptotichnih linij maye normalnu formu Chibrario otzhe asimptotichni liniyi v okoli cih tochok mayut viglyad napivkubichnih parabol Na pochatku koordinat merezha asimptotichnih linij maye bilsh skladnu osoblivist harakter yakoyi zalezhit vid parametra a displaystyle a nbsp Asimptotichnimi krivimi na tori zadanomu parametrichno u viglyadi x ϕ ps R r cos ϕ cos ps y ϕ ps R r cos ϕ sin ps z ϕ ps r sin ϕ ϕ ps 0 2 p displaystyle left begin matrix x phi psi amp R r cos phi cos psi y phi psi amp R r cos phi sin psi z phi psi amp r sin phi end matrix right qquad phi psi in 0 2 pi nbsp ye dva paraleli z r displaystyle z pm r nbsp sho rozdilyayut giperbolichni i eliptichni oblasti i povnistyu skladayutsya z parabolichnih tochok Asimptotichnoyu krivoyu ye rebro povernennya na psevdosferi Div takozh red Asimptotichna rivnistPrimitki red Borisenko s 127 Literatura red Borisenko O A Diferencialna geometriya i topologiya Navch posibnik dlya stud Harkiv Osnova 1995 S 41 46 ISBN 5 7768 0388 8 Arhivovano z dzherela 23 sichnya 2022 Pogoryelov O V 1 M Nauka 1974 184 s ISBN 5 93972 068 4 Arhivovano z dzherela 6 zhovtnya 2014 Rashevskij P K Kurs differencialnoj geometrii Finikov S P Kurs differencialnoj geometrii Finikov S P Teoriya poverhnostej Mishenko A S Fomenko A T Kurs differencialnoj geometrii i topologii Toponogov V A Differencialnaya geometriya krivyh i poverhnostej Fizmatkniga 2012 ISBN 9785891552135 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Asimptotichna kriva amp oldid 37570407