Теорема Бельтрамі — Еннепера — теорема про властивості (асимптотичних ліній) (регулярних поверхонь).
Теорема доведена незалежно один від одного (Еудженіо Бельтрамі) у 1866 році у і Альфредом Еннепером у 1870 році.
Твердження теореми
Якщо (кривина) (асимптотичної лінії) в заданій точці не є рівною нулю то квадрат (скруту) цієї лінії дорівнює (кривині поверхні) у цій точці зі знаком мінус.
Для асимптотичної кривої, якщо визначена дотична площина, то вона збігається з дотичною площиною до поверхні. Тому замість квадрата скруту потрібно взяти квадрат швидкості обертання дотичної площини в цій точці при зміщенні по асимптотичній кривій. Це переформулювання є корисним коли кривина асимптотичної лінії в точці дорівнює нулю і отже дотична площина є невизначеною.
Доведення
Нехай — (асимптотична крива) на регулярній поверхні S. Оскільки за означенням (нормальна кривина) у напрямку є рівною нулю і є ненульовим вектором (оскільки кривина є ненульовою), то з означень нормальної кривини і (теореми Меньє) випливає, що вектор є (ортогональним) до N (нормалі до поверхні). Тоді також де позначає бінормаль у точках кривої. Тоді за означенням
Останній вираз можна переписати через (відображення Вейнгартена) як де — третя фундаментальна форма і використана (самоспряженість) оператора Вейнгартена.
Три фундаментальні форми задовольняють рівність З означення асимптотичної кривої також оскільки крива задана натуральною параметризацією.
Об'єднуючи всі рівності, маємо
Див. також
- (Асимптотична крива)
- (Відображення Гауса)
- (Теорема Меньє)
Література
- Toponogov, Victor A. (2005), Differential Geometry of Curves and Surfaces: A Concise Guide, Birkhauser, (ISBN)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет