www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорема Гопфа Рінова стверджує що для лінійно зв язного ріманового многовиду M displaystyle M наступні твердження еквіва

Теорема Гопфа — Рінова

Теорема Гопфа — Рінова стверджує, що для лінійно зв'язного ріманового многовиду наступні твердження еквівалентні:

Наслідки ред.

  • Будь-які дві точки p і q в лінійно зв'язному повному рімановому многовиді можна з'єднати геодезичною лінією довжина якої рівна відстані між p і q;
  • Будь-яка геодезична в лінійно зв'язному повному рімановому многовиді є необмеженою, тобто визначена для всіх дійсних чисел.

Приклади ред.

  • Сфера , евклідовий простір і гіперболічний простір є геодезично повними;
  • Всі компактні зв'язані ріманові многовиди є геодезично повними;
  • Метричний простір з метрикою інкукованою звичайним скалярним добутком не є геодезично повним. Зокрема точки і не зв'язані жодною геодезичною лінією в .

Узагальнення ред.

Примітки ред.

  1. Atkin, C. J. (1975), The Hopf-Rinow theorem is false in infinite dimensions (PDF), The Bulletin of the London Mathematical Society, 7 (3): 261—266, doi:10.1112 / blms / 7.3.261, MR 0400283 {{citation}}: Перевірте значення |doi= (довідка).
  2. O'Neill, Barrett (+1983), , Pure and Applied Mathematics, т. 103, Academic Press, с. 193, ISBN 9780080570570, архів оригіналу за 14 травня 2021, процитовано 24 жовтня 2018.

Література ред.

  • Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971;
  • Кон-Фоссен, Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959.
  • Jost, J., Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-42627-2.
  • Manfredo Perdigao do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhauser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Teorema Gopfa Rinova stverdzhuye sho dlya linijno zv yaznogo rimanovogo mnogovidu M displaystyle M nastupni tverdzhennya ekvivalentni M displaystyle M ye povnim metrichnim prostorom Dlya deyakoyi tochki p M displaystyle p in M eksponencijne vidobrazhennya expp Tp M displaystyle exp p T p to M viznacheno dlya vsih vektoriv u Tp displaystyle T p de Tp displaystyle T p dotichnij prostir do M displaystyle M v tochci p displaystyle p Prostori z takimi vlastivostyami nazivayutsya geodezichno povnimi Kozhna mnozhina obmezhena i zamknuta v M displaystyle M ye kompaktnoyu Zmist 1 Naslidki 2 Prikladi 3 Uzagalnennya 4 Primitki 5 LiteraturaNaslidki red Bud yaki dvi tochki p i q v linijno zv yaznomu povnomu rimanovomu mnogovidi mozhna z yednati geodezichnoyu liniyeyu dovzhina yakoyi rivna vidstani mizh p i q Bud yaka geodezichna v linijno zv yaznomu povnomu rimanovomu mnogovidi ye neobmezhenoyu tobto viznachena dlya vsih dijsnih chisel Prikladi red Sfera Sn displaystyle mathbb S n nbsp evklidovij prostir Rn displaystyle mathbb R n nbsp i giperbolichnij prostir Hn displaystyle mathbb H n nbsp ye geodezichno povnimi Vsi kompaktni zv yazani rimanovi mnogovidi ye geodezichno povnimi Metrichnij prostir M R2 0 displaystyle M mathbb R 2 setminus 0 nbsp z metrikoyu inkukovanoyu zvichajnim skalyarnim dobutkom ne ye geodezichno povnim Zokrema tochki p x1 x2 M displaystyle p x 1 x 2 in M nbsp i q x1 x2 M displaystyle q x 1 x 2 in M nbsp ne zv yazani zhodnoyu geodezichnoyu liniyeyu v M displaystyle M nbsp Uzagalnennya red Teorema Gopfa Rinova virna dlya prostoriv z vnutrishnoyu metrikoyu ne obov yazkovo rimanovoyu napriklad finslerovih yaksho X r displaystyle X rho nbsp lokalno kompaktnij povnij metrichnij prostir z vnutrishnoyu metrikoyu to bud yaki dvi tochki prostoru X displaystyle X nbsp mozhna z yednati najkorotshoyu liniyeyu Teorema Gopfa Rinova ne virna v neskinchennovimirnih prostorah zokrema dvi tochki skinchennovimirnogo povnogo Gilbertovogo mnogovidu mozhut ne buti spoluchenimi zhodnoyu geodezichnoyu liniyeyu 1 Tverdzhennya teoremi takozh nepravilne dlya psevdorimanovih mnogovidiv zokrema mnogovidiv Lorenca 2 Primitki red Atkin C J 1975 The Hopf Rinow theorem is false in infinite dimensions PDF The Bulletin of the London Mathematical Society 7 3 261 266 doi 10 1112 blms 7 3 261 MR 0400283 b citation b Perevirte znachennya doi dovidka O Neill Barrett 1983 Semi Riemannian Geometry With Applications to Relativity Pure and Applied Mathematics t 103 Academic Press s 193 ISBN 9780080570570 arhiv originalu za 14 travnya 2021 procitovano 24 zhovtnya 2018 Literatura red Gromol D Klingenberg V Mejer V Rimanova geometriya v celom per s nem M 1971 Kon Fossen Nekotorye voprosy differencialnoj geometrii v celom M 1959 Jost J Riemannian Geometry and Geometric Analysis Springer Verlag Berlin 2002 ISBN 3 540 42627 2 Manfredo Perdigao do Carmo Riemannian Geometry Birkhauser Boston 1992 ISBN 0 8176 3490 8 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teorema Gopfa Rinova amp oldid 37014448