Cyu stattyu treba vikifikuvati dlya vidpovidnosti standartam yakosti Vikipediyi Bud laska dopomozhit dodavannyam dorechnih vnutrishnih posilan abo vdoskonalennyam rozmitki statti listopad 2015 Oberneni trigonometrichni funkciyi arkfunkciyi matematichni funkciyi sho ye obernenimi do trigonometrichnih funkcij Do obernenih trigonometrichnih funkcij vidnosyat 6 funkcij arksi nus arcsin arkko sinus arccos arkta ngens arctg v inozemnij literaturi arctan arkkota ngens arcctg v inozemnij literaturi arccot chi arccotan arkse kans arcsec arkkose kans arccosec v inozemnij literaturi arccsc Nazva obernenoyi trigonometrichnoyi funkciyi utvoryuyetsya vid nazvi trigonometrinoyi funkciyi za dopomogoyu prefiksa ark vid lat arc duga Ce tomu sho geometrichno znachennya obernenoyi trigonometrichnoyi funkciyi rivne duzi odinichnogo kola chi kutovi sho styaguye cyu dugu yaka opirayetsya na zadanij vidrizok Zmist 1 Osnovni vlastivosti 1 1 Golovni znachennya 2 Osnovni vidnoshennya 3 Vidnoshennya mizh obernenimi trigonometrichnimi ta trigonometrichnimi funkciyami 4 Diferenciyuvannya trigonometrichnih funkcij 5 Zastosuvannya 5 1 Znahodzhennya kutiv pryamokutnogo trikutnika 5 2 U komp yuternij nauci i inzheneriyi 5 2 1 Variant arktangensu z dvoma argumentami 5 2 2 Chislova tochnist 6 Div takozh 7 Dzherela 8 PrimitkiOsnovni vlastivosti RedaguvatiGolovni znachennya Redaguvati Oskilki zhodna iz trigonometrichnih funkciyi ne ye odnoznachnoyu voni mayut obmezhennya dlya togo shob mati oberneni funkciyi Tomu oblasti znachen obernenih funkcij ye vidpovidnimi pidmnozhinami oblasti viznachennya pochatkovih funkcij Funkciyu y arcsin x mozhna viznachiti yak taku sho sin y x Dlya danogo dijsnogo chisla x v diapazoni 1 x 1 isnuye dekilka na spravdi neskinchenno bagato chisel y takih sho sin y x napriklad sin 0 0 ale i sin p 0 sin 2p 0 i tak dali Yaksho neobhidno otrimati lishe odne znachennya funkciyu mozhna obmezhiti do yiyi golovnoyi oblasti Iz takim obmezhennyam dlya kozhnogo x viraz arcsin x bude obchislyuvati lishe odne znachennya yake nazivayetsya golovnim znachennyam en Ci vlastivosti zastosovuyetsya do vsih obernenih trigonometrichnih funkcij Golovni oblasti znachen zvorotnih funkcij navedeni u tablici Nazva Poznachennya Viznachennya Mozhlivi dijsni znachennya argumentu funkciyi Oblast znachen radiani Oblast znachen gradusi arksinus y arcsin x x sin y 1 x 1 p 2 y p 2 90 y 90 arkkosinus y arccos x x cos y 1 x 1 0 y p 0 y 180 arktangens y arctg x x tg y vsi dijsni chisla p 2 lt y lt p 2 90 lt y lt 90 arkkotangens y arcctg x x ctg y vsi dijsni chisla 0 lt y lt p 0 lt y lt 180 arksekans y arcsec x x sec y x 1 or 1 x 0 y lt p 2 or p 2 lt y p 0 y lt 90 or 90 lt y 180 arkkosekans y arccosec x x cosec y x 1 or 1 x p 2 y lt 0 or 0 lt y p 2 90 y lt 0 or 0 lt y 90 Osnovni vidnoshennya Redaguvati nbsp Golovni znachennya funkcij arcsin x ta arccos x nbsp Golovni znachennya funkcij arcsec x ta arccsc x Dopovnyuvalnij kut arccos x p 2 arcsin x displaystyle arccos x frac pi 2 arcsin x nbsp arccot x p 2 arctan x displaystyle operatorname arccot x frac pi 2 arctan x nbsp arccsc x p 2 arcsec x displaystyle operatorname arccsc x frac pi 2 operatorname arcsec x nbsp Vid yemnij argument arcsin x arcsin x displaystyle arcsin x arcsin x nbsp arccos x p arccos x displaystyle arccos x pi arccos x nbsp arctan x arctan x displaystyle arctan x arctan x nbsp arccot x p arccot x displaystyle operatorname arccot x pi operatorname arccot x nbsp arcsec x p arcsec x displaystyle operatorname arcsec x pi operatorname arcsec x nbsp arccsc x arccsc x displaystyle operatorname arccsc x operatorname arccsc x nbsp Obernenij argument arccos 1 x arcsec x displaystyle arccos 1 x operatorname arcsec x nbsp arcsin 1 x arccsc x displaystyle arcsin 1 x operatorname arccsc x nbsp arctan 1 x 1 2 p arctan x arccot x if x gt 0 displaystyle arctan 1 x tfrac 1 2 pi arctan x operatorname arccot x text if x gt 0 nbsp arctan 1 x 1 2 p arctan x p arccot x if x lt 0 displaystyle arctan 1 x tfrac 1 2 pi arctan x pi operatorname arccot x text if x lt 0 nbsp arccot 1 x 1 2 p arccot x arctan x if x gt 0 displaystyle operatorname arccot 1 x tfrac 1 2 pi operatorname arccot x arctan x text if x gt 0 nbsp arccot 1 x 3 2 p arccot x p arctan x if x lt 0 displaystyle operatorname arccot 1 x tfrac 3 2 pi operatorname arccot x pi arctan x text if x lt 0 nbsp arcsec 1 x arccos x displaystyle operatorname arcsec 1 x arccos x nbsp arccsc 1 x arcsin x displaystyle operatorname arccsc 1 x arcsin x nbsp Yaksho nayavna tilki chastina tablici dlya sine arccos x arcsin 1 x 2 if 0 x 1 displaystyle arccos x arcsin sqrt 1 x 2 text if 0 leq x leq 1 nbsp arctan x arcsin x x 2 1 displaystyle arctan x arcsin frac x sqrt x 2 1 nbsp Iz formuli polovinnogo kuta tan 8 2 sin 8 1 cos 8 displaystyle tan frac theta 2 frac sin theta 1 cos theta nbsp otrimayemo arcsin x 2 arctan x 1 1 x 2 displaystyle arcsin x 2 arctan frac x 1 sqrt 1 x 2 nbsp arccos x 2 arctan 1 x 2 1 x if 1 lt x 1 displaystyle arccos x 2 arctan frac sqrt 1 x 2 1 x text if 1 lt x leq 1 nbsp arctan x 2 arctan x 1 1 x 2 displaystyle arctan x 2 arctan frac x 1 sqrt 1 x 2 nbsp Vidnoshennya mizh obernenimi trigonometrichnimi ta trigonometrichnimi funkciyami RedaguvatiTrigonometrichni funkciyi argumentom yakih ye zvorotni trigonometrichni funkciyi privedeni v tablici nizhche Yih mozhna shvidko vivesti iz geometriyi pravilnogo trikutnika odna iz storin yakogo maye dovzhinu 1 a insha storona maye dovzhinu x bud yake dijsne chislo sho prijmaye znachennya vid 0 do 1 i zastosuvavshi Teoremu Pifagora i viznachennya trigonometrichnih spivvidnoshen 8 displaystyle theta nbsp sin 8 displaystyle sin theta nbsp cos 8 displaystyle cos theta nbsp tan 8 displaystyle tan theta nbsp Diagramiarcsin x displaystyle arcsin x nbsp sin arcsin x x displaystyle sin arcsin x x nbsp cos arcsin x 1 x 2 displaystyle cos arcsin x sqrt 1 x 2 nbsp tan arcsin x x 1 x 2 displaystyle tan arcsin x frac x sqrt 1 x 2 nbsp nbsp arccos x displaystyle arccos x nbsp sin arccos x 1 x 2 displaystyle sin arccos x sqrt 1 x 2 nbsp cos arccos x x displaystyle cos arccos x x nbsp tan arccos x 1 x 2 x displaystyle tan arccos x frac sqrt 1 x 2 x nbsp nbsp arctan x displaystyle arctan x nbsp sin arctan x x 1 x 2 displaystyle sin arctan x frac x sqrt 1 x 2 nbsp cos arctan x 1 1 x 2 displaystyle cos arctan x frac 1 sqrt 1 x 2 nbsp tan arctan x x displaystyle tan arctan x x nbsp nbsp arccsc x displaystyle operatorname arccsc x nbsp sin arccsc x 1 x displaystyle sin operatorname arccsc x frac 1 x nbsp cos arccsc x x 2 1 x displaystyle cos operatorname arccsc x frac sqrt x 2 1 x nbsp tan arccsc x 1 x 2 1 displaystyle tan operatorname arccsc x frac 1 sqrt x 2 1 nbsp nbsp arcsec x displaystyle operatorname arcsec x nbsp sin arcsec x x 2 1 x displaystyle sin operatorname arcsec x frac sqrt x 2 1 x nbsp cos arcsec x 1 x displaystyle cos operatorname arcsec x frac 1 x nbsp tan arcsec x x 2 1 displaystyle tan operatorname arcsec x sqrt x 2 1 nbsp nbsp arccot x displaystyle operatorname arccot x nbsp sin arccot x 1 1 x 2 displaystyle sin operatorname arccot x frac 1 sqrt 1 x 2 nbsp cos arccot x x 1 x 2 displaystyle cos operatorname arccot x frac x sqrt 1 x 2 nbsp tan arccot x 1 x displaystyle tan operatorname arccot x frac 1 x nbsp nbsp Diferenciyuvannya trigonometrichnih funkcij RedaguvatiPohidna dlya dijsnih ta kompleksnih znachen x d d x arcsin x 1 1 x 2 d d x arccos x 1 1 x 2 d d x arctan x 1 1 x 2 d d x arccot x 1 1 x 2 d d x arcsec x 1 x x 2 1 d d x arccsc x 1 x x 2 1 displaystyle begin aligned frac d dx arcsin x amp frac 1 sqrt 1 x 2 frac d dx arccos x amp frac 1 sqrt 1 x 2 frac d dx arctan x amp frac 1 1 x 2 frac d dx operatorname arccot x amp frac 1 1 x 2 frac d dx operatorname arcsec x amp frac 1 x sqrt x 2 1 frac d dx operatorname arccsc x amp frac 1 x sqrt x 2 1 end aligned nbsp Tilki dlya dijsnih znachen x d d x arcsec x 1 x x 2 1 x gt 1 d d x arccsc x 1 x x 2 1 x gt 1 displaystyle begin aligned frac d dx operatorname arcsec x amp frac 1 x sqrt x 2 1 qquad x gt 1 frac d dx operatorname arccsc x amp frac 1 x sqrt x 2 1 qquad x gt 1 end aligned nbsp Priklad znahodzhennya pohidnoyi nehaj 8 arcsin x displaystyle theta arcsin x nbsp otrimayemo d arcsin x d x d 8 d sin 8 1 cos 8 1 1 sin 2 8 1 1 x 2 displaystyle frac d arcsin x dx frac d theta d sin theta frac 1 cos theta frac 1 sqrt 1 sin 2 theta frac 1 sqrt 1 x 2 nbsp Zastosuvannya RedaguvatiZnahodzhennya kutiv pryamokutnogo trikutnika Redaguvati nbsp Pryamokutnij trikutnik a protilezhnij katet b prileglij katet i h gipotenuza Oberneni trigonometrichni funkciyi ye korisnimi koli neobhidno viznachiti dva ne pryami kuti pryamokutnogo trikutnika pri vidomih dovzhinah storin trikutnika Yaksho dlya pryamokutnogo trikutnika zgadati viznachennya sinusa napriklad bude otrimane nastupne 8 arcsin a h displaystyle theta arcsin left frac text a text h right nbsp Chasto gipotenuza ye ne vidomoyu i pered zastosuvannyam funkcij arksinusa abo arkkosinusa yiyi neobhidno rozrahuvati vikoristovuyuchi teoremu Pifagora a 2 b 2 h 2 displaystyle a 2 b 2 h 2 nbsp de h displaystyle h nbsp ce dovzhina gipotenuzi Arktangens staye korisnim v takij situaciyi oskilki dovzhina gipotenuzi ne ye neobhidnoyu 8 arctan a b displaystyle theta arctan left frac text a text b right nbsp Napriklad dopustimo dah maye visotu v 8 metriv i prosuvayetsya v dovzhinu na 20 metriv Dah utvoryuye kut 8 iz gorizontallyu de 8 mozhna rozrahuvati nastupnim chinom 8 arctan a b arctan visota dovzhina arctan 8 20 21 8 displaystyle theta arctan left frac text a text b right arctan left frac text visota text dovzhina right arctan left frac 8 20 right approx 21 8 circ nbsp U komp yuternij nauci i inzheneriyi Redaguvati Variant arktangensu z dvoma argumentami Redaguvati Funkciya z dvoma argumentami atan2 en rozrahovuye arktangens y x dlya zadanih y i x ale v diapazoni p p Inshimi slovami atan2 y x povertaye kut mizh dodatnoyu chastinoyu osi x na ploshini i tochkoyu x y na nij i povertaye dodani znachennya dlya kutiv proti godinnikovoyi strilki verhnij pivploshini y gt 0 i vid yemni znachennya dlya kutiv za godinnikovoyu strilkoyu nizhnoyi pivploshini y lt 0 Vpershe taka funkciya z yavilasya v komp yuternih movah programuvannya ale zaraz vona ye vidomoyu i v inshih oblastyah nauki i inzheneriyi Cherez standartnu funkciyu arctan u diapazoni p 2 p 2 yiyi mozhna zadati nastupnim chinom atan2 y x arctan y x x gt 0 arctan y x p y 0 x lt 0 arctan y x p y lt 0 x lt 0 p 2 y gt 0 x 0 p 2 y lt 0 x 0 undefined y 0 x 0 displaystyle operatorname atan2 y x begin cases arctan frac y x amp quad x gt 0 arctan frac y x pi amp quad y geq 0 x lt 0 arctan frac y x pi amp quad y lt 0 x lt 0 frac pi 2 amp quad y gt 0 x 0 frac pi 2 amp quad y lt 0 x 0 text undefined amp quad y 0 x 0 end cases nbsp Ce takozh dorivnyuye golovnomu znachennyu en argumenta en kompleksnogo chisla x iy Cyu funkciyu takozh mozhna viznachiti iz vikoristannyam formuli tangensa polovinnogo kuta nastupnim chinom atan2 y x 2 arctan y x 2 y 2 x displaystyle operatorname atan2 y x 2 arctan left frac y sqrt x 2 y 2 x right nbsp za umovi sho x gt 0 abo y 0 Odnak znachennya bude ne korektnim yaksho x 0 i y 0 tomu takij viraz ne ye korisnim dlya rozrahunkiv Vishezgadanij poryadok argumentiv y x ye najbilsh zagalnim i zokrema vikoristovuyetsya v ISO standartah sho zastosovuyutsya napriklad v movi programuvannya C ale deyaki avtori mozhut vikoristovuvati poryadok navpaki x y tomu potribno pridilyati uvagu Chislova tochnist Redaguvati Dlya kutiv blizkimi za znachennyam do 0 i p arccosine ye pogano obumovlenim i tomu obchislennya kuta bude vidbuvatisya iz zmenshenoyu tochnistyu pri realizaciyi na komp yuteri cherez obmezhenu kilkist rozryadiv 1 Analogichno arcsine ye netochnim dlya kutiv blizkih do p 2 and p 2 Div takozh RedaguvatiTrigonometriya Trigonometrichni funkciyi Spisok trigonometrichnih totozhnostej Tablicya integraliv trigonometrichnih funkcij Tablicya integraliv obernenih trigonometrichnih funkcij Integralni trigonometrichni funkciyi Oberneni giperbolichni funkciyiDzherela RedaguvatiWeisstein Eric W Inverse Trigonometric Functions angl na sajti Wolfram MathWorld Arkfunkciya vid A do Ya O S Ister Vid 2 ge Ternopil Navch kn Bogdan 2012 175 s il tabl 20 sm Bibliotechka fiziko matematichnoyi shkoli ISBN 978 966 10 0742 9 ISBN 978 966 10 2985 8 Oberneni trigonometrichni funkciyi Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 182 594 s Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2023 1300 s ukr Primitki Redaguvati Gade Kenneth 2010 A non singular horizontal position representation PDF The Journal of Navigation Cambridge University Press 63 3 395 417 doi 10 1017 S0373463309990415 nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Oberneni trigonometrichni funkciyi amp oldid 40597916
