Лінійне диференціальне рівняння — звичайне диференціальне рівняння, в яке невідома функція та її похідні входять лінійно, тобто рівняння вигляду
де та — функції, що залежать тільки від аргументу x.
Важливий підклас лінійних диференційних рівнянь складають лінійні диференційні рівняння зі сталими коефіцієнтами, для яких .
Рівняння
називається однорідним лінійним диференційним рівнянням.
Однорідне диференційне рівняння n-го порядку має n лінійно незалежних розв'язків.
Якщо відомий хоча б один частковий розв'язок лінійного диференційного рівняння, то його загальний розв'язок є сумою часткового розв'язку та лінійної комбінації n розв'язків однорідного диференційного рівняння.
Операторний запис ред.
Лінійні диференціальні рівняння мають вигляд
де диференціальний оператор L — лінійний оператор, у — невідома функція (наприклад, від часу ), а функція праворуч — ƒ є даною функцією такого ж характеру, як у . Для такої функції ми можемо записати рівняння явно
і, навіть точніше,
Лінійний оператор можна розглядати у формі
Лінійність умови на L виключає такі операції, як піднесення до квадрату похідної від у, але дозволяє, наприклад, брати другу похідну у. Зручно переписати це рівняння в операторній формі
де D є диференціальним оператором д / д (тобто Dy = у ', D 2 у = у ", …), і я — задані функції.
Таке рівняння має порядок п, індекс старшої похідної у, у рівнянні.
Типовим простим прикладом лінійного диференціального рівняння є, наприклад, те, що використовуються для моделювання радіоактивного розпаду. Нехай N (т) позначає число радіоактивних атомів в деякому зразку матеріалу у час t. Тоді для деякої сталої А> 0, кількість радіоактивних атомів, що розпадається, може бути записана як
Якщо у вважається функцією тільки однієї змінної, то говорять про звичайне диференціальне рівняння, в іншому разі похідні та їх коефіцієнти слід розуміти як вектори, матриці або тензори, тож одержимо (лінійне) рівняння в частинних похідних.
Випадок, коли ƒ = 0, називається однорідним рівнянням . Воно особливо важливе для розв'язання у загального випадку, оскільки його розв'язки можна додавати до розв'язку неоднорідного рівняння, щоб дістати інший розв'язок (методом часткового і однорідного розв'язків). Коли я — це числа, рівняння, називається рівнянням зі сталими коефіцієнтами.
Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами ред.
Історично перший метод розв'язування звичайних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами пов'язаний з іменем Ейлера, який зрозумів, що розв'язки мають вигляд e^{x}, де ,- (в загальному випадку)-комплексні значення . Щоб сума кількох похідних функції дорівнювала нулю, похідні повинні врівноважувати одна одну, тож єдиний спосіб досягнути цього — похідні мусять мати ту ж форму, що й вихідна функція. Міркуючи так, для розв'язання
покладемо , що дає
Діленням на многочлен n-го порядку
Це алгебраїчне рівняння , характеристичне рівняння, було розглянуто пізніше Ґаспаром Монжем і Оґюстеном-Луї Коші.
Формально, члени
вихідних диференціальних рівнянь замінюються на . Розв'язок алгебраїчного рівняння дає n значень . Підстановка будь-якого з цих значень z в дає розв'язок Оскільки однорідні лінійні диференціальні рівняння підпорядковані принципу суперпозиції, будь-яка лінійна комбінація цих функцій також задовольняє дане диференціальне рівняння.
Коли всі корені різні, ми маємо n різних розв'язків диференціального рівняння. Застосовуючи визначник Вандермонда, можна показати, що вони лінійно незалежні і разом утворюють базис в просторі всіх розв'язків диференціального рівняння.
Вищесказане дає розв'язок в разі, коли всі корені різні, тобто кожен з них має кратність 1. У загальному випадку, якщо z (можливо, комплексний) нуль (=корінь) Р(x), що має кратність m, то є розв'язками ЛОР (де ). Застосування цього до всіх коренів дає набір з n різних і лінійно незалежних функцій, де n-степінь F(x). Як і раніше, ці функції утворюють базис простору розв'язків.
Якщо коефіцієнти диференціального рівняння дійсні, то перевагу віддаємо дійснозначним розв'язкам. Оскільки комплексні (не дійсні) корені сполучені в пари спряжених, як і відповідні базисні функції, xkezx, то бажаний результат одержимо заміною кожної пари дійсною лінійною комбінацією з і , де y — одна з функцій пари.
Випадки, що включають комплексні корені, можуть бути розглянуті за допомогою формули Ейлера.
Приклад
має характеристичне рівняння
Його корені i, -i, й 1 (кратності 2). Базис розв'язків
Відповідний дійснозначний базис
Приклади ред.
Дано, . Характеристичне рівняння має корені 2 + і і 2 — і. Таким чином, базис розв'язків є . Тепер у є розв'язком тоді і тільки тоді для .
Оскільки коефіцієнти дійсні,
- ми, ймовірно, не зацікавлені в комплексних розв'язках
- наші базисні елементи взаємно спряжені
Лінійні комбінації
дають нам дійсний базис .
Простий гармонічний осцилятор ред.
Диференціальне рівняння другого порядку
що описує простий гармонічний осцилятор, можна переформулювати
Вираз в дужках може бути факторизований, що дає
це рівняння має пару лінійно незалежних розв'язків, один для
інший для
Розв'язки, відповідно,
та
Ці розв'язки є базисом двовимірного «простору розв'язків» диференціального рівняння другого порядку. Крім того, для
та
-останні тригонометричні розв'язки лінійно незалежні, а тому можуть слугувати іншим базисом простору розв'язків, що дає таку загальну форму розв'язку:
Затухаючий гармонічний осцилятор ред.
Враховуючи рівняння затухаючого гармонічного осцилятора:
отримаємо спочатку характеристичне рівняння формальною заміною D на λ. Це рівняння має виконуватися для всіх у, наступним чином:
Розв'яжемо:
Використаємо ці дані для розкладу вихідного диференціального рівняння:
Це визначає пару рішень, з яких одне відповідає
а інше
Розв'язки, відповідно,
та
де ω = B / 2 . З цієї пари лінійно незалежних рішень можна побудувати іншу лінійно незалежну пару, що таким чином, слугуватиме базисом для двовимірного простору рішень:
Однак, якщо | ω | <| ω 0 |, то бажано позбутися уявних частин, виражаючи загальний розв'язок як
Останній розв'язок відповідає слабко затухаючому випадку, тоді як попередній відповідає сильно затухаючому разі: розв'язок для слабко загальмованого випадку коливатиметься, а для розв'язку сильно загальмованого випадку це не так.
Неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами ред.
Щоб отримати розв'язок неоднорідного рівняння , слід знайти частковий розв'язок неоднорідного рівняння або методом невизначених коефіцієнтів, або методом варіації сталих; загальний розв'язок лінійного диференціального рівняння є сумою загального розв'язку відповідного однорідного рівняння і часткового інтеграла. Якщо ж задані початкові умови, можна застосувати перетворення Лапласа для отримання конкретного розв'язку безпосередньо.
Припустимо, нам дано
Для подальших обчислень, виділимо характеристичний многочлен
Ми знайдемо базис розв'язків як і в однорідному (F (X) = 0) випадку. Частковий розв'язок у р (х) одержимо методом варіації сталих. Нехай коефіцієнти лінійної комбінації є функціями від х:
Для зручності позначень будемо опускати залежність від х (тобто, частини звичного запису вигляду (х)). Використовуючи операторний запис і вільно використовуючи позначення, дане рівняння набуде вигляду , тож
З обмеженнями
параметри виносяться, після чого залишається дещо «зайве»:
Але , тому
Це, з обмеженнями, дає лінійну система за . ЇЇ, насправді, завжди можна розв'язати поєднуючи методи Крамера і Вронського,
Решта зводиться до інтегрування
частковий розв'язок не є єдиним, також задовольняє рівняння для будь-якого набору констант з основного поля.
Приклад ред.
Покладемо, . Ми візьмемо базис розв'язку, знайдений вище .
Використовуючи список інтегралів від експоненціальних функцій,
І тому
Задля інтересу зазначимо, це рівняння має фізичний зміст, описує вимушений гармонічний осцилятор, з тертям; у р представляє стійкий стан, а є перехідним станом.
Рівняння зі змінними коефіцієнтами ред.
Лінійне диференціальне рівняння порядку n зі змінними коефіцієнтами має загальний вигляд
Приклади ред.
Простим прикладом є рівняння Коші-Ейлера, що часто використовуються в машинобудуванні
Рівняння першого порядку ред.
Лінійне диференціальне рівняння 1-го порядку зі змінними коефіцієнтами має загальний вигляд
Тут D — диференціальний оператор. Рівняння такого виду може бути розв'язане множенням на інтегрувальний множник
що дає
спрощуючи за правилом добутку, дістанемо
Звідси інтегруванням
Отже, розв'язком лінійного диференціального рівняння першого порядку
з коефіцієнтами, які можуть залежати від х, є:
Зазначимо, що — стала інтегрування, і
Компактна форма загального розв'язку
— узагальнена дельта-функція Дірака.
Приклади ред.
Розглянемо диференціальне рівняння першого порядку із сталими коефіцієнтами:
Це рівняння має особливе значення для систем першого порядку на кшталт RC-схем (ємність-опір) і систем маса-демпфер.
В цьому випадку f(х) = b, g(х) = 1.
Тож розв'язком є
Див. також ред.
Посилання ред.
- Лінійне диференціальне рівняння першого порядку // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 475. — 594 с.
- напівлінійних диференціальних рівнянь (в диспергуючих PDE Wiki)
- квазілінійного диференціального рівняння (в диспергуючих PDE Wiki)
- повністю нелінійних диференціальних рівнянь (в диспергуючих PDE Wiki)
- http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm [ 30 червня 2007 у Wayback Machine.]
Примітки ред.
Література ред.
- Jack K. Hale; Joseph P. LaSalle (1963). . SIAM Review (англ. ) 5 (3): 249–272. Архів оригіналу за 4 жовтня 2015. Процитовано 4 грудня 2015.