Integruvalnij mnozhnik angl integrating factor funkciya za dopomogoyu yakoyi sproshuyut rozv yazuvannya pevnogo rivnyannya iz diferencialami Integruvalnij mnozhnik chasto vikoristovuyut dlya rozv yazannya zvichajnih diferencialnih rivnyan ale takozh vikoristovuyetsya v analizi funkcij bagatoh zminnih de mnozhennya na takij mnozhnik dozvolyaye netochnij diferencial perevesti v tochnij yakij vzhe mozhna integruvati dlya otrimannya skalyarnogo polya Ce osoblivo korisno v termodinamici de temperatura staye integruvalnim mnozhnikom yakij robit entropiyu tochnim diferencialom Vikoristannya dlya rozv yazannya zvichajnih diferencialnih rivnyan RedaguvatiIntegruvalni mnozhniki stayut u prigodi pid chas rov yazannya zvichajnih diferencialnih rivnyan yaki mozhna zapisati v formi y P x y Q x displaystyle y P x y Q x nbsp Ideya polyagaye u vidnajdeni deyakoyi funkciyi M x displaystyle M x nbsp yaka zvetsya integruvalnij mnozhnik na yaku mi mozhemo pomnozhiti nashe diferencialne rivnyannya z tim shob otrimati livoruch pohidnu Dlya linijnogo diferencialnogo rivnyannya v kanonichnij formi yak navedeno vishe integruvalnij mnozhnik bude M x e s 0 x P s d s displaystyle M x e int s 0 x P s ds nbsp I mnozhennya na M x displaystyle M x nbsp daye y e s 0 x P s d s P x y e s 0 x P s d s Q x e s 0 x P s d s displaystyle y e int s 0 x P s ds P x ye int s 0 x P s ds Q x e int s 0 x P s ds nbsp Vikoristovuyuchi pravilo dobutku v zvorotnomu napryamku mi bachimo sho livij bik rivnyannya mozhna viraziti yak odnu pohidnu po x displaystyle x nbsp y e s 0 x P s d s P x y e s 0 x P s d s d d x y e s 0 x P s d s displaystyle y e int s 0 x P s ds P x ye int s 0 x P s ds frac d dx ye int s 0 x P s ds nbsp Mi vikoristovuyemo cej fakt shob sprostiti viraz do d d x y e s 0 x P s d s Q x e s 0 x P s d s displaystyle frac d dx ye int s 0 x P s ds Q x e int s 0 x P s ds nbsp Todi mi integruyemo obidva boki po x displaystyle x nbsp spochatku cherez perejmenuvannya x displaystyle x nbsp u t displaystyle t nbsp otrimuyemo y e s 0 x P s d s t 0 x Q t e s 0 t P s d s d t C displaystyle ye int s 0 x P s ds int t 0 x Q t e int s 0 t P s ds dt C nbsp Nasamkinec mi mozhemo perenesti pokaznikovu funkciyu pravoruch dlya otrimannya zagalnogo rozv yazku y e s 0 x P s d s t 0 x Q t e s 0 t P s d s d t C e s 0 x P s d s displaystyle y e int s 0 x P s ds int t 0 x Q t e int s 0 t P s ds dt Ce int s 0 x P s ds nbsp U vipadku odnoridnogo diferencialnogo rivnyannya koli Q x 0 displaystyle Q x 0 nbsp mi otrimuyemo y C e s 0 x P s d s displaystyle y frac C e int s 0 x P s ds nbsp de C displaystyle C nbsp ye staloyu Priklad Redaguvati Rozv yazhemo diferencialne rivnyannya y 2 y x 0 displaystyle y frac 2y x 0 nbsp Mozhna pobachiti sho v comu vipadku P x 2 x displaystyle P x frac 2 x nbsp M x e P x d x displaystyle M x e int P x dx nbsp M x e 2 x d x e 2 ln x e ln x 2 x 2 displaystyle M x e int frac 2 x dx e 2 ln x e ln x 2 x 2 nbsp Zauvazhte sho mi ne musimo vklyuchati stalu integruvannya nam potriben lishe rozv yazok a ne zagalnij rozv yazok M x 1 x 2 displaystyle M x frac 1 x 2 nbsp Mnozhimo na M x displaystyle M x nbsp i otrimuyemo y x 2 2 y x 3 0 displaystyle frac y x 2 frac 2y x 3 0 nbsp y x 3 2 x 2 y x 5 0 displaystyle frac y x 3 2x 2 y x 5 0 nbsp x y x 2 2 x y x 5 0 displaystyle frac x y x 2 2xy x 5 0 nbsp y x 2 2 x y x 4 0 displaystyle frac y x 2 2xy x 4 0 nbsp Zgaduyemo yak brati pohidnu vid drobu i robimo ce u zvorotnomu napryamku y x 2 0 displaystyle left frac y x 2 right 0 nbsp abo y x 2 C displaystyle frac y x 2 C nbsp sho nam daye y x C x 2 displaystyle y left x right Cx 2 nbsp Posilannya RedaguvatiWeisstein Eric W Integruvalnij mnozhnik angl na sajti Wolfram MathWorld Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Integruvalnij mnozhnik amp oldid 20245261
