www.wikidata.uk-ua.nina.az

Конформна група простору це група перетворень простору в себе зі збереженням кутів Формальніше це група перетворень що з

Конформна група

Конформна група простору — це група перетворень простору в себе зі збереженням кутів. Формальніше, це група перетворень, що зберігає конформну геометрію простору.

Деякі конкретні конформні групи особливо важливі:

  • Конформна ортогональна група. Якщо V — векторний простір з квадратичною формоюа Q, то конформна ортогональна група є групою лінійних перетворень T простору V, таких що для кожного x із V існує скаляр , такий що

Всі конформні групи є групами Лі.

Аналіз кутів Редагувати

У евклідовій геометрії можна очікувати, що характеристикою буде стандартний кут, але в псевдоевклідовому просторі існує також гіперболічний кут[en]. У спеціальній теорії відносності різні точки відліку зміни швидкості відносно інших точок відліку, пов'язані з бистротою, гіперболічним кутом. Один зі способів описати лоренців буст — гіперболічне обертання[en], яке зберігає різницю кутів між швидкостями. Таким чином, вони є конформними перетвореннями відносно гіперболічних кутів.

Один з підходів до опису відповідної конформної групи — імітація групи Мебіуса як конформної групи звичайної комплексної площини. Псевдоевклідова геометрія відповідає альтернативним комплексними площинами, де, замість звичайних комплексних чисел, точками є спліт-комплексні числа або подвійні числа. Як для повного опису групи Мебіуса потрібна сфера Рімана, компактний простір, так само альтернативні комплексні площини вимагають для повного опису компактифікації конформного відображення. У кожному з випадків конформна група задається дробово-лінійними перетвореннями на відповідній площині.

Конформна група простору-часу Редагувати

1908 року Гаррі Бейтмен[ru] і Ебенезер Кеннінгем, двоє молодих дослідників із Ліверпульського університету, оголосили ідею конформної групи простору-часу (тепер зазвичай позначається як ). Вони стверджували, що кінематичні групи конформні, оскільки вони зберігають квадратичну форму простору-часу і тим самим споріднені ортогональними перетвореннями, що розглядається як ізотропна квадратична форма[en]. Свободи електромагнітного поля не поширюються на кінематичні рухи, а вимагають тільки бути локально пропорційними перетворенням, які зберігають квадратичну форму. У статті 1910 року Гаррі Бейтмен вивчає матрицю Якобі перетворення, яке зберігає світловий конус, і показує, що перетворення має властивість конформності. Бейтмен і Кеннінгем показали, що ця конформна група є «найбільшою групою перетворень, які залишають рівняння Максвелла структурно інваріантними».

Ісаак Яглом зробив внесок у математику простору-часу, розглянувши конформні перетворення в подвійних числах. Оскільки подвійні числа мають властивості кільця, але не поля, дробово-лінійні перетворення вимагають від проєктивної прямої над кільцем[en] бути бієктивним відображенням.

Традиційно, як у статті Людвіка Зільберштейна[en] (1914), для подання групи Лоренца використовується кільце бікватерніонів. Для конформної групи простору-часу достатньо розглядати дробово-лінійні перетворення на проєктивній прямій над цим кільцем. Елементи конформної групи простору-часу Бейтменом назвав сферичним перетворенням хвилі[en]. Конкретне вивчення квадратичної форми простору-часу увібрала в себе сферична геометрія Лі[en].

Примітка Редагувати

  1. Vaz, da Rocha, 2016, с. 140.
  2. Takasu, 1941, с. 330–8.
  3. Bateman, 1908, с. 70–89.
  4. Bateman, 1910, с. 223–264.
  5. Cunningham, 1910, с. 77–98.
  6. Косяков, 2017, с. 225.
  7. Warwick, 2003, с. 416–24.
  8. Gilmore, 1994, с. 349.
  9. Яглом, 1969.

Література Редагувати

  • Jayme Vaz Jr., Roldão da Rocha Jr. An Introduction to Clifford Algebras and Spinors. — Oxford University Press, 2016. — С. 140. — ISBN 9780191085789.
  • Tsurusaburo Takasu. Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometri // [1] — 1941. — Т. 17. з джерела 16 червня 2020
  • Harry Bateman. The Conformal Transformations of a Space of Four Dimensions and their Applications to Geometrical Optics // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1908. — Т. 7 (11 жовтня). — DOI:10.1112/plms/s2-7.1.70.
  • Harry Bateman. The Transformation of the Electrodynamical Equations // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1910. — Т. 8 (11 жовтня). — DOI:10.1112/plms/s2-8.1.223.
  • Ebenezer Cunningham. The principle of Relativity in Electrodynamics and an Extension Thereof // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1910. — Т. 8 (11 жовтня). — С. 77–98. — DOI:10.1112/plms/s2-8.1.77.
  • Косяков Б.П. Введение в классическую теорию частиц полей. — Москва, Ижевск, 2017. — ISBN 978-5-4344-0450-1.
  • Andrew Warwick. Masters of theory: Cambridge and the rise of mathematical physics. — Chicago : University of Chicago Press, 2003. — ISBN 0-226-87375-7.
  • Robert Gilmore. Lie Groups, Lie Algebras and some of their Applications. — Robert E. Krieger Publishing, 1994. — ISBN 0-89464-759-8. Перше видання 1974
  • Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. — Москва : «Наука», 1969. — (Библиотека математического кружка)

Література для подальшого читання Редагувати

  • Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. — «Наука», 1986.
  • Sharpe R.W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. — New York : Springer-Verlag, 1997. — ISBN 0-387-94732-9.
  • Peter Scherk. Some Concepts of Conformal Geometry // American Mathematical Monthly. — 1960. — Т. 67, вип. 1 (11 жовтня). — С. 1−30. — DOI:10.2307/2308920.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Konformna grupa prostoru ce grupa peretvoren prostoru v sebe zi zberezhennyam kutiv Formalnishe ce grupa peretvoren sho zberigaye konformnu geometriyu prostoru Deyaki konkretni konformni grupi osoblivo vazhlivi Konformna ortogonalna grupa Yaksho V vektornij prostir z kvadratichnoyu formoyua Q to konformna ortogonalna grupa C O V Q displaystyle mathrm CO V Q ye grupoyu linijnih peretvoren T prostoru V takih sho dlya kozhnogo x iz V isnuye skalyar l displaystyle lambda takij sho Q T x l 2 Q x displaystyle Q Tx lambda 2 Q x Dlya znakoviznachenoyi kvadratichnoyi formi tobto abo dodatno viznachenoyi abo vid yemno viznachenoyi konformna ortogonalna grupa dorivnyuye ortogonalnij grupi pomnozhenij na grupu roztyagiv Konformna grupa sferi porodzhena inversiyami vidnosno kil Cya grupa vidoma takozh yak grupa Mebiusa U evklidovomu prostori E n displaystyle mathbf E n n gt 2 konformna grupa porodzhuyetsya inversiyami vidnosno gipersfer U psevdoevklidovomu prostori E p q displaystyle mathbf E p q konformnoyu grupoyu ye C o n f p q O p 1 q 1 Z 2 displaystyle mathrm Conf p q simeq mathrm O p 1 q 1 mathbb Z 2 1 Vsi konformni grupi ye grupami Li Zmist 1 Analiz kutiv 2 Konformna grupa prostoru chasu 3 Primitka 4 Literatura 5 Literatura dlya podalshogo chitannyaAnaliz kutiv RedaguvatiU evklidovij geometriyi mozhna ochikuvati sho harakteristikoyu bude standartnij kut ale v psevdoevklidovomu prostori isnuye takozh giperbolichnij kut en U specialnij teoriyi vidnosnosti rizni tochki vidliku zmini shvidkosti vidnosno inshih tochok vidliku pov yazani z bistrotoyu giperbolichnim kutom Odin zi sposobiv opisati lorenciv bust giperbolichne obertannya en yake zberigaye riznicyu kutiv mizh shvidkostyami Takim chinom voni ye konformnimi peretvorennyami vidnosno giperbolichnih kutiv Odin z pidhodiv do opisu vidpovidnoyi konformnoyi grupi imitaciya grupi Mebiusa yak konformnoyi grupi zvichajnoyi kompleksnoyi ploshini Psevdoevklidova geometriya vidpovidaye alternativnim kompleksnimi ploshinami de zamist zvichajnih kompleksnih chisel tochkami ye split kompleksni chisla abo podvijni chisla Yak dlya povnogo opisu grupi Mebiusa potribna sfera Rimana kompaktnij prostir tak samo alternativni kompleksni ploshini vimagayut dlya povnogo opisu kompaktifikaciyi konformnogo vidobrazhennya U kozhnomu z vipadkiv konformna grupa zadayetsya drobovo linijnimi peretvorennyami na vidpovidnij ploshini 2 Konformna grupa prostoru chasu Redaguvati1908 roku Garri Bejtmen ru i Ebenezer Kenningem dvoye molodih doslidnikiv iz Liverpulskogo universitetu ogolosili ideyu konformnoyi grupi prostoru chasu 3 4 5 teper zazvichaj poznachayetsya yak C 1 3 displaystyle C 1 3 nbsp 6 Voni stverdzhuvali sho kinematichni grupi konformni oskilki voni zberigayut kvadratichnu formu prostoru chasu i tim samim sporidneni ortogonalnimi peretvorennyami sho rozglyadayetsya yak izotropna kvadratichna forma en Svobodi elektromagnitnogo polya ne poshiryuyutsya na kinematichni ruhi a vimagayut tilki buti lokalno proporcijnimi peretvorennyam yaki zberigayut kvadratichnu formu U statti 1910 roku Garri Bejtmen vivchaye matricyu Yakobi peretvorennya yake zberigaye svitlovij konus i pokazuye sho peretvorennya maye vlastivist konformnosti 7 Bejtmen i Kenningem pokazali sho cya konformna grupa ye najbilshoyu grupoyu peretvoren yaki zalishayut rivnyannya Maksvella strukturno invariantnimi 8 Isaak Yaglom zrobiv vnesok u matematiku prostoru chasu rozglyanuvshi konformni peretvorennya v podvijnih chislah 9 Oskilki podvijni chisla mayut vlastivosti kilcya ale ne polya drobovo linijni peretvorennya vimagayut vid proyektivnoyi pryamoyi nad kilcem en buti biyektivnim vidobrazhennyam Tradicijno yak u statti Lyudvika Zilbershtejna en 1914 dlya podannya grupi Lorenca vikoristovuyetsya kilce bikvaternioniv Dlya konformnoyi grupi prostoru chasu dostatno rozglyadati drobovo linijni peretvorennya na proyektivnij pryamij nad cim kilcem Elementi konformnoyi grupi prostoru chasu Bejtmenom nazvav sferichnim peretvorennyam hvili en Konkretne vivchennya kvadratichnoyi formi prostoru chasu uvibrala v sebe sferichna geometriya Li en Primitka Redaguvati Vaz da Rocha 2016 s 140 Takasu 1941 s 330 8 Bateman 1908 s 70 89 Bateman 1910 s 223 264 Cunningham 1910 s 77 98 Kosyakov 2017 s 225 Warwick 2003 s 416 24 Gilmore 1994 s 349 Yaglom 1969 Literatura RedaguvatiJayme Vaz Jr Roldao da Rocha Jr An Introduction to Clifford Algebras and Spinors Oxford University Press 2016 S 140 ISBN 9780191085789 Tsurusaburo Takasu Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometri 1 1941 T 17 Arhivovano z dzherela 16 chervnya 2020 Harry Bateman The Conformal Transformations of a Space of Four Dimensions and their Applications to Geometrical Optics Proceedings of the London Mathematical Society 1908 T 7 11 zhovtnya DOI 10 1112 plms s2 7 1 70 Harry Bateman The Transformation of the Electrodynamical Equations Proceedings of the London Mathematical Society 1910 T 8 11 zhovtnya DOI 10 1112 plms s2 8 1 223 Ebenezer Cunningham The principle of Relativity in Electrodynamics and an Extension Thereof Proceedings of the London Mathematical Society 1910 T 8 11 zhovtnya S 77 98 DOI 10 1112 plms s2 8 1 77 Kosyakov B P Vvedenie v klassicheskuyu teoriyu chastic polej Moskva Izhevsk 2017 ISBN 978 5 4344 0450 1 Andrew Warwick Masters of theory Cambridge and the rise of mathematical physics Chicago University of Chicago Press 2003 ISBN 0 226 87375 7 Robert Gilmore Lie Groups Lie Algebras and some of their Applications Robert E Krieger Publishing 1994 ISBN 0 89464 759 8 Pershe vidannya 1974 Princip otnositelnosti Galileya i neevklidova geometriya Moskva Nauka 1969 Biblioteka matematicheskogo kruzhka Literatura dlya podalshogo chitannya RedaguvatiKobayasi Sh Gruppy preobrazovanij v differencialnoj geometrii Nauka 1986 Sharpe R W Differential Geometry Cartan s Generalization of Klein s Erlangen Program New York Springer Verlag 1997 ISBN 0 387 94732 9 Peter Scherk Some Concepts of Conformal Geometry American Mathematical Monthly 1960 T 67 vip 1 11 zhovtnya S 1 30 DOI 10 2307 2308920 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Konformna grupa amp oldid 37178063