www.wikidata.uk-ua.nina.az

Зачеплення Гопфа найпростіше нетривіальне зачеплення з двома і більше компонентами 1 складається з двох кіл зачеплених о

Зачеплення Гопфа

Зачеплення Гопфа — найпростіше нетривіальне зачеплення з двома і більше компонентами , складається з двох кіл, зачеплених одноразово і назване за ім'ям Гайнца Гопфа[en].

Зачеплення Гопфа
Позначення= L2a1
Число ниток = 2
Довжина коси= 2
Число перетинів= 2
Коефіцієнт зачеплення= 1
Гіперболічний об'єм= 0
Клас= тор

Геометричне подання Редагувати

Конкретна модель складається з двох окремих кіл в перпендикулярних площинах, таких, що кожне проходить через центр іншого. Ця модель мінімізує довжину мотузки[en] (довжина мотузки — інваріант теорії вузлів) зачеплення і до 2002 року зачеплення Гопфа було єдиним, у якого довжина мотузки була відома . Опукла оболонка цих двох кіл утворює тіло, зване олоїдом.

Властивості Редагувати

Скейн-співвідношення для зачеплення Гопфа

Залежно від відносної орієнтації двох компонент коефіцієнт зачеплення Гопфа дорівнює ±1.

Зачеплення Гопфа є (2,2)-торичним зачепленням з описовим словом .

Доповнення зачеплення Гопфа — , циліндр над тором. Цей простір має локально евклідову геометрію, так що зачеплення Гопфа не є гіперболічним. Група вузлів зачеплення Гопфа (фундаментальна група його доповнення) — це (вільна абелева група на двох генераторах) і вона відрізняє зачеплення Гопфа від двох незачеплених кіл, яким відповідає вільна група на двох генераторах.

Зачеплення Гопфа не може бути розфарбоване в три кольори[ru]. Це безпосередньо випливає з факту, що зачеплення можна розфарбувати лише у два кольори, що суперечить другій частині визначення розмальовки. В кожному перетині буде максимум 2 кольори, так що при розфарбуванні ми порушимо вимогу мати 1 або 3 кольори в кожному перетині, або порушимо вимогу мати більше 1 кольору.

Розшарування Гопфа Редагувати

Розшарування Гопфа — це неперервне відображення з 3-сфери (тривимірна поверхня в чотиривимірному евклідовому просторі) в більш звичну 2-сферу, таке, що прообраз кожної точки на 2-сфері є колом. Таким чином виходить розкладання 3-сфери на безперервне сімейство кіл і кожні два різних кола з цього сімейства утворюють зачеплення Гопфа. Цей факт і спонукав Гопфа зайнятися вивченням зачеплень Гопфа — оскільки будь-які два шари зачеплені, розшарування Гопфа є нетривіальним розшаруванням. З цього почалося вивчення гомотопічних груп сфер[ru].

Історія Редагувати

Герб Бузан-ха[en]

Зачеплення названо ім'ям тополога Гайнца Гопфа, який досліджував його в 1931 році в праці про розшарування Гопфа. Однак таке зачеплення використовував ще Гаусс, а поза математикою воно зустрічалося задовго до цього, наприклад, в якості герба японської буддійської секти Бузан-ха[en], заснованої в XVI столітті.

Див. також Редагувати

  • Катенани, хімічні сполуки з двома механічно зчепленими молекулами
  • Вузол Соломона, два кільця з подвійним зачепленням

Примітки Редагувати

  1. ↑ Adams, 2004.
  2. ↑ Kusner, Sullivan, 1998.
  3. ↑ Прасолов, Сосинский, 1997.
  4. Cantarella, Kusner, Sullivan, 2002.
  5. Dirnböck, Stachel, 1997.
  6. Kauffman, 1987.
  7. Turaev, 2010.
  8. Hatcher, 2002.
  9. Shastri, 2013.
  10. Hopf, 1931.

Література Редагувати

  • Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М. : МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.
  • Adams, Colin Conrad. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781.
  • Cantarella J., Kusner R. B., Sullivan J. M. On the minimum ropelength of knots and links // Inventiones Mathematicae. — 2002. — Vol. 150, no. 2. — arXiv:math/0103224. — DOI:10.1007/s00222-002-0234-y.
  • Dirnböck H., Stachel H. The development of the oloid // Journal for Geometry and Graphics. — 1997. — Vol. 1, no. 2.
  • Hatcher, Allen. Algebraic Topology. — 2002. — ISBN 9787302105886.
  • Hopf, Heinz. Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche // Mathematische Annalen. — Berlin : Springer, 1931. — DOI:10.1007/BF01457962.
  • Kauffman, Louis H. On Knots. — Princeton University Press, 1987. — Vol. 115. — (Annals of Mathematics Studies). — ISBN 9780691084350.
  • Kusner R. B., Sullivan J. M. Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996). — New York : Springer, 1998. — Vol. 103. — (IMA Vol. Math. Appl.). — DOI:10.1007/978-1-4612-1712-1_7.
  • Shastri, Anant R. Basic Algebraic Topology. — CRC Press, 2013. — ISBN 9781466562431.
  • Turaev, Vladimir G. Quantum Invariants of Knots and 3-manifolds. — Walter de Gruyter, 2010. — Vol. 18. — (De Gruyter studies in mathematics). — ISBN 9783110221831.

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Zacheplennya Gopfa najprostishe netrivialne zacheplennya z dvoma i bilshe komponentami 1 skladayetsya z dvoh kil zacheplenih odnorazovo 2 i nazvane za im yam Gajnca Gopfa en 3 Zacheplennya Gopfa Poznachennya L2a1 Chislo nitok 2 Dovzhina kosi 2 Chislo peretiniv 2 Koeficiyent zacheplennya 1 Giperbolichnij ob yem 0 Klas tor Zmist 1 Geometrichne podannya 2 Vlastivosti 3 Rozsharuvannya Gopfa 4 Istoriya 5 Div takozh 6 Primitki 7 Literatura 8 PosilannyaGeometrichne podannya RedaguvatiKonkretna model skladayetsya z dvoh okremih kil v perpendikulyarnih ploshinah takih sho kozhne prohodit cherez centr inshogo 2 Cya model minimizuye dovzhinu motuzki en dovzhina motuzki invariant teoriyi vuzliv zacheplennya i do 2002 roku zacheplennya Gopfa bulo yedinim u yakogo dovzhina motuzki bula vidoma 4 Opukla obolonka cih dvoh kil utvoryuye tilo zvane oloyidom 5 Vlastivosti Redaguvati nbsp Skejn spivvidnoshennya dlya zacheplennya GopfaZalezhno vid vidnosnoyi oriyentaciyi dvoh komponent koeficiyent zacheplennya Gopfa dorivnyuye 1 1 Zacheplennya Gopfa ye 2 2 torichnim zacheplennyam 6 z opisovim slovom 1 s 1 2 displaystyle sigma 1 2 nbsp Dopovnennya zacheplennya Gopfa R S 1 S 1 displaystyle mathbb R times S 1 times S 1 nbsp cilindr nad torom 7 Cej prostir maye lokalno evklidovu geometriyu tak sho zacheplennya Gopfa ne ye giperbolichnim Grupa vuzliv zacheplennya Gopfa fundamentalna grupa jogo dopovnennya ce Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp vilna abeleva grupa na dvoh generatorah i vona vidriznyaye zacheplennya Gopfa vid dvoh nezacheplenih kil yakim vidpovidaye vilna grupa na dvoh generatorah 8 Zacheplennya Gopfa ne mozhe buti rozfarbovane v tri kolori ru Ce bezposeredno viplivaye z faktu sho zacheplennya mozhna rozfarbuvati lishe u dva kolori sho superechit drugij chastini viznachennya rozmalovki V kozhnomu peretini bude maksimum 2 kolori tak sho pri rozfarbuvanni mi porushimo vimogu mati 1 abo 3 kolori v kozhnomu peretini abo porushimo vimogu mati bilshe 1 koloru Rozsharuvannya Gopfa RedaguvatiRozsharuvannya Gopfa ce neperervne vidobrazhennya z 3 sferi trivimirna poverhnya v chotirivimirnomu evklidovomu prostori v bilsh zvichnu 2 sferu take sho proobraz kozhnoyi tochki na 2 sferi ye kolom Takim chinom vihodit rozkladannya 3 sferi na bezperervne simejstvo kil i kozhni dva riznih kola z cogo simejstva utvoryuyut zacheplennya Gopfa Cej fakt i sponukav Gopfa zajnyatisya vivchennyam zacheplen Gopfa oskilki bud yaki dva shari zachepleni rozsharuvannya Gopfa ye netrivialnim rozsharuvannyam Z cogo pochalosya vivchennya gomotopichnih grup sfer ru 9 Istoriya Redaguvati nbsp Gerb Buzan ha en Zacheplennya nazvano im yam topologa Gajnca Gopfa yakij doslidzhuvav jogo v 1931 roci v praci pro rozsharuvannya Gopfa 10 Odnak take zacheplennya vikoristovuvav she Gauss 3 a poza matematikoyu vono zustrichalosya zadovgo do cogo napriklad v yakosti gerba yaponskoyi buddijskoyi sekti Buzan ha en zasnovanoyi v XVI stolitti Div takozh RedaguvatiKatenani himichni spoluki z dvoma mehanichno zcheplenimi molekulami Vuzol Solomona dva kilcya z podvijnim zacheplennyamPrimitki Redaguvati a b v Adams 2004 a b Kusner Sullivan 1998 a b Prasolov Sosinskij 1997 Cantarella Kusner Sullivan 2002 Dirnbock Stachel 1997 Kauffman 1987 Turaev 2010 Hatcher 2002 Shastri 2013 Hopf 1931 Literatura RedaguvatiPrasolov V V Sosinskij A B Uzly zacepleniya kosy i tryohmernye mnogoobraziya M MCNMO 1997 ISBN 5 900916 10 3 Adams Colin Conrad The Knot Book An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots American Mathematical Society 2004 ISBN 9780821836781 Cantarella J Kusner R B Sullivan J M On the minimum ropelength of knots and links Inventiones Mathematicae 2002 Vol 150 no 2 arXiv math 0103224 DOI 10 1007 s00222 002 0234 y Dirnbock H Stachel H The development of the oloid Journal for Geometry and Graphics 1997 Vol 1 no 2 Hatcher Allen Algebraic Topology 2002 ISBN 9787302105886 Hopf Heinz Uber die Abbildungen der dreidimensionalen Sphare auf die Kugelflache Mathematische Annalen Berlin Springer 1931 DOI 10 1007 BF01457962 Kauffman Louis H On Knots Princeton University Press 1987 Vol 115 Annals of Mathematics Studies ISBN 9780691084350 Kusner R B Sullivan J M Topology and geometry in polymer science Minneapolis MN 1996 New York Springer 1998 Vol 103 IMA Vol Math Appl DOI 10 1007 978 1 4612 1712 1 7 Shastri Anant R Basic Algebraic Topology CRC Press 2013 ISBN 9781466562431 Turaev Vladimir G Quantum Invariants of Knots and 3 manifolds Walter de Gruyter 2010 Vol 18 De Gruyter studies in mathematics ISBN 9783110221831 Posilannya RedaguvatiWeisstein Eric W Hopf Link angl na sajti Wolfram MathWorld Hopf link Arhivovano 30 lipnya 2019 u Wayback Machine The Knot Atlas Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Zacheplennya Gopfa amp oldid 37012997