Алгебра над полем — векторний простір, на якому введено (білінійне) множення узгоджене з структурою векторного простору.
Алгебра над полем є одночасно векторним простором і кільцем, і ці структури узгоджені. Узагальненням цього поняття є алгебра над кільцем, яка, взагалі кажучи, є не векторним простором, а (модулем) над деяким кільцем.
Визначення
Нехай A — векторний простір над полем K , на якому визначена операція , що називається множенням. Тоді A є алгеброю над K, якщо для будь-яких
виконуються рівності:
.
Ці три властивості означають, що операція множення є (білінійною). У випадку алгебр з одиницею можна дати еквівалентне визначення:
- Алгебра з одиницею над полем K — кільце з одиницею A, разом з гомоморфізмом кілець з одиницею
, таким, що
належить центру кільця A (тобто множини елементів, що комутують по множенню з усіма іншими елементами). Після цього можна вважати, що A є векторним простором над K з наступною операцією множення на скаляр
:
Алгебра називається асоціативною, якщо операція множення в ній асоціативна, алгеброю з одиницею — алгебра, в якій є нейтральний щодо множення елемент, комутативною — якщо операція множення в ній є комутативною.
Часто у визначенні алгебра явно вимагається асоціативність множення, тобто мається на увазі «асоціативна алгебра», проте є багато важливих прикладів неасоціативних алгебр.
Пов'язані визначення
- Гомоморфізм K-алгебр — відображення
, для якого виконуються рівності:
для всіх
для всіх
для всіх
- Підалгебра алгебри над полем K — (лінійний підпростір), для якого добуток будь-яких двох елементів з цього підпростору знову йому належить.
- Лівий ідеал K—алгебри — лінійний підпростір, замкнутий щодо множення зліва на довільний елемент алгебри. Відповідно, правий ідеал замкнутий щодо правого множення; двосторонній ідеал — ідеал, який є одночасно лівим і правим ідеалом. Єдина відмінність цього визначення від визначення (ідеалу кільця), це вимога замкнутості щодо множення на елементи поля. У випадку алгебр з одиницею ця вимога виконується автоматично.
- Алгебра з діленням — алгебра над полем, така що для будь-яких її елементів
і
рівняння
і
має розв'язок. Зокрема, асоціативна алгебра з діленням, що має одиницю, є (тілом).
- Центр алгебри А — множина елементів
, таких що
для будь-якого елемента
.
Приклади
Асоціативні алгебри
- Комплексні числа є двовимірною комутативною алгеброю над полем дійсних чисел.
- (Кватерніони) є чотиривимірною комутативною алгеброю над полем дійсних чисел.
- Попередні два приклади є полем і (тілом) відповідно, і це не випадково: будь-яка скінченновимірна алгебра над полем, що не має (дільників нуля), є алгеброю з діленням. Дійсно, множення на x зліва є (лінійним перетворенням) цієї алгебри як векторного простору. у цього перетворення (ядро) рівне нулю (так як x не є дільником нуля), отже, воно сюр'ективним; зокрема, існує прообраз довільного елемента b, тобто такий елемент y, що xy = b. Друга умова доводиться аналогічно.
- Нульова алгебра в якій добуток двох елементів рівний нулю є прикладом асоціативної, комутативної алгебри без одиниці.
- Комутативна (і нескінченновимірна) алгебра многочленів K[x].
- Алгебри функцій, такі як алгебра дійсних (неперервних функцій), визначених на інтервалі (0, 1) або алгебра голоморфних функцій, визначених на фіксованій відкритій підмножині комплексної площини єприкладами комутативних асоціативних алгебр з одиницею.
- Алгебри квадратних матриць і більш загально (лінійних операторів) на (гільбертовому просторі) є прикладами некомутативних асоціативних алгебр з одиницею.
- Групова алгебра
в якій елементи (групи)
є базисом векторного поля
, що є простором скінченних лінійних комбінацій елементів з
. На цьому просторі множення базисних елементів визначається множенням у групі, а на інші елементи вводиться лінійно. Отримана група є асоціативною групою з одиницею, яка є комутативною тоді і тільки тоді коли комутативною є група
.
Неасоціативні алгебри
- Алгебра (октоніонів), або чисел Келі.
- (Евклідів простір)
з операцією векторного добутку,
, є неасоціативною, антикомутативною
-алгеброю розмірності 3 без одиниці.
- Загальні (алгебри Лі). Зокрема простір квадратних матриць розмірності n
разом з операцією дужок Лі
є неасоціативною, некомутативною алгеброю без одиниці.
- (Алгебра Йордана).
- (Алгебра Мальцева)
- (Альтернативні алгебри).
Структурні коефіцієнти
Множення в алгебрі над полем однозначно задається добутками базисних векторів. Таким чином, для задання скінченновимірної алгебри над полем K досить вказати її розмірність , визначити деякий базис
і подати «таблицю множення» — квадратну таблицю розмірів
Також множення в алгебрі однозначно можна задати вказавши
структурних коефіцієнтів
, що є елементами поля. Ці коефіцієнти визначаються з рівності:
Різні множини структурних коефіцієнтів можуть відповідати ізоморфним алгебрам.
Якщо K є тільки комутативним кільцем, а не полем, цей опис можливий, тільки коли алгебра A є (вільним модулем).
Приклад
Для розглянутої вище трьохвимірної алгебри з векторним добутком позначивши стандартну ортонормовану базу як (,
,
) відповідна таблиця множення задається як:
Структурні коефіцієнти визначені як: всі інші коефіцієнти рівні нулю.
Див. також
- Алгебра над кільцем
- (Диференціальна алгебра)
- (Коалгебра)
Джерела
- (Винберг Э. Б.) Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — .(рос.)
- Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhailovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. -
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет