www.wikidata.uk-ua.nina.az

Локально тривіальне розшарування розшарування яке локально має вигляд прямого добутку Зміст 1 Визначення 2 Пов язані виз

Локально тривіальне розшарування

Локально тривіальне розшарування — розшарування, яке локально має вигляд прямого добутку.

Визначення Редагувати

Нехай , і є топологічними просторами. Сюр'єктивне відображення називається локально тривіальним розшаруванням простору над базою з шаром , якщо для всякої точки бази існує окіл , над яким розшарування є тривіальним. Останнє означає, що існує гомеоморфізм , такий що комутативна діаграма

.

Тут  — проєкція добутку просторів на перший співмножник.

Простір також називається тотальним простором розшарування або розшарованим простором.

Пов'язані визначення Редагувати

  • Перетин розшарування — це відображення , таке що . Взагалі кажучи, не кожне розшарування має перетин. Наприклад, нехай  — многовид, а підрозшарування векторів одиничної довжини в дотичному розшаруванні . Тоді перетин розшарування  — це векторне поле без нулів на . Теорема про причісуванні їжака показує, що на сфері такого поля не існує.
  • Множина називається шаром розшарування над точкою . Кожен шар гомеоморфний простору , Тому простір називається загальним (або модельним) шаром розшарування .
  • Гомеоморфізм , що ототожнює обмеження розшарування над околом точки з деяким тривіальним розшаруванням, називається локальною тривіалізацією розшарування над околом точки .
  • Якщо  — покриття бази відкритими множинами, і  — відповідні їм відображення тривіалізації, тоді сімейство називається трівіалізуючим атласом розшарування .
  • Припустимо локально тривіальне розшарування забезпечено покриттям бази з виділеною тривіалізацією і звуження будь-якого відображення звірення на шар належить деякій підгрупі групи всіх автоморфізмів . Тоді називається локально тривіальним розшаруванням зі структурною групою .

Приклади Редагувати

  • Тривіальне розшарування, тобто проєкція на перший співмножник.
  • Будь-яке накриття є локально тривіальним розшаруванням з дискретним шаром.
  • Дотичне, кодотичне і тензорні розшарування над довільним многовидом локально тривіальні.
  • Якщо на просторі задано неперервна вільна дія групи , то природне відображення є локально тривіальним розшаруванням. Розшарування такого типу називаються головними.
  • Лист Мебіуса — простір нетривіального розшарування над колом.
  • Розшарування Хопфа — це нетривіальне розшарування . Воно не має перетинів, бо воно є головним розшаруванням зі структурною групою , А будь-яке головне розшарування, що допускає перетин, тривіально.
  • Сконструювати розшарування можна, задавши довільно його базу (простір ), загальний шар (простір ) і відображення переходу (1-коцикл Чеха ) для якого-небудь відкритого покриття простору . Тоді простір формально можна отримати як множину трійок вигляду з правилом ототожнення:

Властивості Редагувати

  • Для локально тривіальних розшарувань вірна теорема про накриваючу гомотопію. Нехай задані  — локально тривіальне розшарування, відображення і , так що , і гомотопії відображення (). Тоді існує гомотопія відображення , така що діаграма комутативна
  • Нехай є локально тривіальне розшарування з шаром (іноді записуване формально як ). Тоді послідовність гомотопічних груп точна:
  • Відображення переходу задовольняють умові 1-коцикла Чеха:
  • Два розшарування над однією і тією ж базою і з одним і тим же загальним шаром ізоморфні тоді і тільки тоді, коли 1-коцикли Чеха, відповідні їм, когомологічні. (Зазначимо, що в разі, коли група некомутативна, одномірні когомології не утворюють групу, а утворюють множину, на якій діє (ліворуч) група 0-коланцюгів Чеха :
  • Для будь-якого локально тривіального розшарування і безперервного відображення індуковане розшарування є локально тривіальним.

Варіації і узагальнення Редагувати

  • Локально тривіальні розшарування є окремим випадком
  • Якщо простори — гладкі (диференційовні) многовиди, відображення  — гладке і допускає тривіалізуючий атлас з гладкими відображеннями тривіалізації, то само розшарування називається гладким розшаруванням.
  • Розшарування називається голоморфним, якщо простори — комплексні многовиди, відображення  — голоморфне і існує трівіалізуючий атлас з голоморфними відображеннями тривіалізації.
  • Головне розшарування

Дивись також Редагувати

  • Теорія Янга—Міллса

Література Редагувати

  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Lokalno trivialne rozsharuvannya rozsharuvannya yake lokalno maye viglyad pryamogo dobutku Zmist 1 Viznachennya 2 Pov yazani viznachennya 3 Prikladi 4 Vlastivosti 5 Variaciyi i uzagalnennya 6 Divis takozh 7 LiteraturaViznachennya RedaguvatiNehaj E displaystyle E nbsp B displaystyle B nbsp i F displaystyle F nbsp ye topologichnimi prostorami Syur yektivne vidobrazhennya p E B displaystyle pi colon E to B nbsp nazivayetsya lokalno trivialnim rozsharuvannyam prostoru E displaystyle E nbsp nad bazoyu B displaystyle B nbsp z sharom F displaystyle F nbsp yaksho dlya vsyakoyi tochki bazi x B displaystyle x in B nbsp isnuye okil U B displaystyle U subset B nbsp nad yakim rozsharuvannya ye trivialnim Ostannye oznachaye sho isnuye gomeomorfizm ϕ p 1 U U F displaystyle phi colon pi 1 U to U times F nbsp takij sho komutativna diagrama nbsp Tut p r o j 1 U F U displaystyle mathrm proj 1 U times F to U nbsp proyekciya dobutku prostoriv na pershij spivmnozhnik Prostir E displaystyle E nbsp takozh nazivayetsya totalnim prostorom rozsharuvannya abo rozsharovanim prostorom Pov yazani viznachennya RedaguvatiPeretin rozsharuvannya ce vidobrazhennya s B E displaystyle s B to E nbsp take sho p s i d B displaystyle pi circ s mathrm id B nbsp Vzagali kazhuchi ne kozhne rozsharuvannya maye peretin Napriklad nehaj M displaystyle M nbsp mnogovid a E M displaystyle E to M nbsp pidrozsharuvannya vektoriv odinichnoyi dovzhini v dotichnomu rozsharuvanni T M displaystyle TM nbsp Todi peretin rozsharuvannya E displaystyle E nbsp ce vektorne pole bez nuliv na M displaystyle M nbsp Teorema pro prichisuvanni yizhaka pokazuye sho na sferi takogo polya ne isnuye Mnozhina F x p 1 x displaystyle F x pi 1 x nbsp nazivayetsya sharom rozsharuvannya p displaystyle pi nbsp nad tochkoyu x B displaystyle x in B nbsp Kozhen shar gomeomorfnij prostoru F displaystyle F nbsp Tomu prostir F displaystyle F nbsp nazivayetsya zagalnim abo modelnim sharom rozsharuvannya p displaystyle pi nbsp Gomeomorfizm f displaystyle varphi nbsp sho ototozhnyuye obmezhennya rozsharuvannya p displaystyle pi nbsp nad okolom tochki x displaystyle x nbsp z deyakim trivialnim rozsharuvannyam nazivayetsya lokalnoyu trivializaciyeyu rozsharuvannya p displaystyle pi nbsp nad okolom tochki x displaystyle x nbsp Yaksho U a displaystyle U alpha nbsp pokrittya bazi B displaystyle B nbsp vidkritimi mnozhinami i f a p 1 U a U a F displaystyle varphi alpha pi 1 U alpha to U alpha times F nbsp vidpovidni yim vidobrazhennya trivializaciyi todi simejstvo U a f a displaystyle U alpha varphi alpha nbsp nazivayetsya trivializuyuchim atlasom rozsharuvannya p E B displaystyle pi E to B nbsp Pripustimo lokalno trivialne rozsharuvannya p E B displaystyle pi E to B nbsp zabezpecheno pokrittyam U a displaystyle U alpha nbsp bazi B displaystyle B nbsp z vidilenoyu trivializaciyeyu ϕ a U a F p 1 U a displaystyle phi alpha U alpha times F to pi 1 U alpha nbsp i zvuzhennya bud yakogo vidobrazhennya zvirennya ϕ a 1 ϕ b displaystyle phi alpha 1 circ phi beta nbsp na shar nalezhit deyakij pidgrupi G displaystyle G nbsp grupi vsih avtomorfizmiv F displaystyle F nbsp Todi p displaystyle pi nbsp nazivayetsya lokalno trivialnim rozsharuvannyam zi strukturnoyu grupoyu G displaystyle G nbsp Prikladi RedaguvatiTrivialne rozsharuvannya tobto proyekciya B F B displaystyle B times F to B nbsp na pershij spivmnozhnik Bud yake nakrittya ye lokalno trivialnim rozsharuvannyam z diskretnim sharom Dotichne kodotichne i tenzorni rozsharuvannya nad dovilnim mnogovidom lokalno trivialni Yaksho na prostori E displaystyle E nbsp zadano neperervna vilna diya grupi G displaystyle G nbsp to prirodne vidobrazhennya E E G displaystyle E to E G nbsp ye lokalno trivialnim rozsharuvannyam Rozsharuvannya takogo tipu nazivayutsya golovnimi List Mebiusa prostir netrivialnogo rozsharuvannya nad kolom Rozsharuvannya Hopfa ce netrivialne rozsharuvannya S 3 S 2 S 3 S 1 displaystyle S 3 to S 2 S 3 S 1 nbsp Vono ne maye peretiniv bo vono ye golovnim rozsharuvannyam zi strukturnoyu grupoyu U 1 displaystyle U 1 nbsp A bud yake golovne rozsharuvannya sho dopuskaye peretin trivialno Skonstruyuvati rozsharuvannya mozhna zadavshi dovilno jogo bazu prostir B displaystyle B nbsp zagalnij shar prostir F displaystyle F nbsp i vidobrazhennya perehodu 1 kocikl Cheha u a b U a A u t F displaystyle u alpha beta U alpha to mathrm Aut F nbsp dlya yakogo nebud vidkritogo pokrittya prostoru B displaystyle B nbsp Todi prostir E displaystyle E nbsp formalno mozhna otrimati yak mnozhinu trijok viglyadu a x f a x U a f a F displaystyle alpha x f alpha x in U alpha f alpha in F nbsp z pravilom ototozhnennya a x f a b x f b displaystyle alpha x f alpha beta x f beta nbsp yaksho f b u b a f a displaystyle f beta u beta alpha f alpha nbsp Vlastivosti RedaguvatiDlya lokalno trivialnih rozsharuvan virna teorema pro nakrivayuchu gomotopiyu Nehaj zadani p E B displaystyle pi E to B nbsp lokalno trivialne rozsharuvannya vidobrazhennya f M B displaystyle f colon M to B nbsp i g M E displaystyle g colon M to E nbsp tak sho f p g displaystyle f pi circ g nbsp i gomotopiyi g M 0 1 B displaystyle tilde g colon M times 0 1 to B nbsp vidobrazhennya g displaystyle g nbsp g m 0 g m displaystyle tilde g m 0 g m nbsp Todi isnuye gomotopiya f M 0 1 E displaystyle tilde f colon M times 0 1 to E nbsp vidobrazhennya f displaystyle f nbsp taka sho diagrama komutativnaM 0 1 f E g p B displaystyle begin matrix M times 0 1 amp amp stackrel tilde f longrightarrow amp amp E amp amp tilde g searrow amp amp downarrow pi amp amp amp amp B end matrix nbsp Nehaj ye lokalno trivialne rozsharuvannya E B displaystyle E to B nbsp z sharom F displaystyle F nbsp inodi zapisuvane formalno yak F E B displaystyle F to E to B nbsp Todi poslidovnist gomotopichnih grup tochna p 2 F p 2 E p 2 B p 1 F p 1 E p 1 B p 0 F displaystyle dots to pi 2 F to pi 2 E to pi 2 B to pi 1 F to pi 1 E to pi 1 B to pi 0 F nbsp Vidobrazhennya perehodu zadovolnyayut umovi 1 kocikla Cheha Yaksho x U a U b U g displaystyle x in U alpha cap U beta cap U gamma nbsp to u b a x u b g x u g a x displaystyle u beta alpha x u beta gamma x circ u gamma alpha x nbsp Dva rozsharuvannya nad odniyeyu i tiyeyu zh bazoyu i z odnim i tim zhe zagalnim sharom izomorfni todi i tilki todi koli 1 kocikli Cheha vidpovidni yim kogomologichni Zaznachimo sho v razi koli grupa A u t F displaystyle mathrm Aut F nbsp nekomutativna odnomirni kogomologiyi H 1 B A u t F displaystyle H 1 B mathrm Aut F nbsp ne utvoryuyut grupu a utvoryuyut mnozhinu na yakij diye livoruch grupa 0 kolancyugiv Cheha C 0 B A u t F displaystyle C 0 B mathrm Aut F nbsp u a b x f a x u a b x f b x 1 displaystyle u alpha beta x f alpha x circ u alpha beta x circ f beta x 1 nbsp de f a U a A u t F displaystyle f alpha U alpha to mathrm Aut F nbsp 0 kolancyug Cheha sho diye na 1 kocikl Cheha u a b U a U b A u t F displaystyle u alpha beta U alpha cap U beta to mathrm Aut F nbsp 1 kocikli nazivayutsya kogomologichnimi yaksho voni lezhat v odnij orbiti ciyeyi diyi Dlya bud yakogo lokalno trivialnogo rozsharuvannya p X B displaystyle pi X to B nbsp i bezperervnogo vidobrazhennya f B B displaystyle f B to B nbsp indukovane rozsharuvannya f p displaystyle f pi nbsp ye lokalno trivialnim Variaciyi i uzagalnennya RedaguvatiLokalno trivialni rozsharuvannya ye okremim vipadkom rozsharuvan Gurevicha i rozsharuvan Serra Yaksho prostori E B F displaystyle E B F nbsp gladki diferencijovni mnogovidi vidobrazhennya p displaystyle pi nbsp gladke i dopuskaye trivializuyuchij atlas z gladkimi vidobrazhennyami trivializaciyi to samo rozsharuvannya nazivayetsya gladkim rozsharuvannyam Rozsharuvannya nazivayetsya golomorfnim yaksho prostori E B F displaystyle E B F nbsp kompleksni mnogovidi vidobrazhennya p displaystyle pi nbsp golomorfne i isnuye trivializuyuchij atlas z golomorfnimi vidobrazhennyami trivializaciyi Golovne rozsharuvannyaDivis takozh RedaguvatiTeoriya Yanga MillsaLiteratura RedaguvatiVasilev V A Vvedenie v topologiyu M FAZIS 1997 132 s ISBN 5 7036 0036 7 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Lokalno trivialne rozsharuvannya amp oldid 39190741