www.wikidata.uk-ua.nina.az

Квантор існування У логіці предикатів квантифікація існування тип квантора логічна константа яка інтерпретується як існу

Квантор існування

У логіці предикатів, квантифікація існування — тип квантора, логічна константа, яка інтерпретується як «існує», «є принаймні один» або «для деяких». Деякі джерела використовують термін екзистенціалізація для позначення квантифікації існування. Вона зазвичай позначається символом логічного оператора обернена E[en] (), який при використанні разом зі змінною предикату називається квантором існування ( або ). Квантор існування відрізняється від квантора загальності («для всіх»), який припускає, що властивість або відношення має місце для всіх членів області.

Квантор існування
Нотація ∃[d]
Протилежно квантор загальності

Основи

Розглянемо формулу, яка стверджує, що деяке натуральне число, помножене на себе, дорівнює 25.

Це, здавалося б, є логічною диз'юнкцією через повторюване використання «або». Проте, «і так далі» унеможливлює інтеграцію й інтерпретацію як диз'юнкцію у формальній логіці. Натомість, судження може бути перефразоване формальніше як: Для деякого натурального числа n, . Це одиночне судження з використанням квантора існування.

Це судження точніше за початкове, оскільки фраза «і так далі» необов'язково включає всі натуральні числа, і нічого більше. Оскільки область не було задано явно, фраза не може інтерпретуватися формально. У квантифікованому судженні, з іншого боку, натуральні числа згадуються явно.

Це конкретний приклад є істинним, оскільки 5 є натуральним числом, і коли ми підставляємо 5 замість n, ми отримуємо «», що є істиною. Неважливо, що «» є істиною для єдиного натурального числа 5; навіть існування єдиного розв'язку достатньо для доведення істинності квантора існування. На противагу, «Для деякого парного числа n, » є хибним, оскільки не існує парних розв'язків.

Область дискурсу[en] задає, які значення змінної n дозволено брати, тому має вирішальне значення в істинності чи хибності судження. Логічна кон'юнкція використовується для обмеження області дискурсу для виконання даного предикату. Наприклад:

є логічним еквівалентом

Тут, «та» є логічною кон'юнкцією.

У символічній логіці, «» (зворотна літера «E» у гротескному шрифті) використовується для позначення квантора існування. Тому, якщо є предикатом «», а є множиною натуральних чисел, то

є (істинним) судженням: Для деякого натурального числа n, . Аналогічно, якщо є предикатом «n парне», то

є (хибним) судженням: Для деякого натурального числа n, n парне та . У математиці, доведення «деякого» судження можна досягти або конструктивним доведенням, яке показує задоволення об'єкта «деякому» судженню, або неконструктивним доведенням, яке показує існування такого об'єкту, не показуючи сам об'єкт.

Властивості

Заперечення

Квантифікована пропозиційна функція є судженням; тому, як і судження, квантифіковані функції можуть бути заперечені. Символ   використовується для позначення заперечення.

Наприклад, якщо  — пропозиційна функція «x більше 0 і менше 1», то для області дискурсу X усіх натуральних чисел квантор існування «Існує натуральне число x, яке більше 0 і менше 1» символічно має вигляд:

Можливо продемонструвати його хибність. По правді, варто сказати: «Це не випадок, що існує натуральне число x, яке більше 0 і менше 1», або символічно:

Якщо немає елементів області дискурсу, для якого судження істинне, то воно повинно бути хибним для всіх таких елементів. Тобто, заперечення

є логічним еквівалентом «Для будь-якого натурального числа x, x не більше 0 і менше 1», або:

Загалом, тоді заперечення квантора існування пропозиційної функції є квантором загальності заперечення тієї ж пропозиційної функції; символічно:

Поширеною помилкою є казати «всі особи неодружені» (тобто «не існує особи, яка одружена»), маючи на увазі «не всі особи одружені» (тобто «існує особа, яка неодружена»):

Заперечення також висловлюється через судження «для жодного», на відміну від «для деяких»:

На відміну від квантора загальності, квантор існування поширюється над логічними диз'юнкціями:

Правило висновування

Правило висновування — правило, що виправдовує логічний крок від гіпотези до висновку. Існують декілька правил висновувань, які використовують квантор існування.

Екзистенційне введення[en] () заключає, що, якщо пропозиційна функція, як відомо, істинна для конкретного елементу області дискурсу, то повинно бути істиною те, що існує елемент, для якого пропозиційна функція істинна. Символічно:

Усунення існування, коли проводиться у дедукції стиля Фітча, продовжується введенням нового під-висновку, поки підстановка змінної під квантором існування для теми, яка не з'являється в будь-якому активному під-висновку. Якщо висновку можна досягти в тому ж під-висновку, у якому підставлена тема не з'являється, то може вийти під-висновок з тим висновком. Міркування за усуненням існування () наступні: Якщо дано, що існує елемент, для якого пропозиційна функція істинна, і якщо висновку можна досягти, давши цьому елементові довільне ім'я, то висновок неодмінно істинний так довго, поки він не містить імені. Символічно, для довільного c і пропозиції Q, в якій c не з'являється:

повинно бути істиною для всіх значень c над тією ж областю X; інакше логіка не слідує: Якщо c не довільний, і є натомість конкретний елемент області дискурсу, то заява P(c) може невиправдано дати більше інформації про той об'єкт.

Порожня множина

Формула завжди хибна, незалежно від . Це так, оскільки позначає порожню множину, і немає x будь-якого опису — не кажучи вже про x, що задовольняє даний предикат  — існує в порожній множині. Див. також порожня істина[en].

Як приєднання

У теорії категорій і теорії елементарних топосів, квантор існування може розумітися як ліве приєднання функтора між булеанами, функтором оберненого образу функції між множинами; так само квантор загальності є правим приєднанням.

HTML-кодування кванторів існування

Символи кодуються U+2203 ∃ ІСНУЄ (як математичний символ) та U+2204 ∄ НЕ ІСНУЄ.

Див. також

Примітки

  1. Аллен, Колін; Ганд, Майкл (2001). (англійською). MIT Press. ISBN 0262303965. Архів оригіналу за 11 Березня 2017. Процитовано 3 Березня 2018. 
  2. Цей символ також відомий як оператор існування.
  3. Маклейн, Саундерс; Мордійк, Айк (1992). Sheaves in Geometry and Logic. Springer-Verlag. с. 58. ISBN 0-387-97710-4. 

Література

  • Гінман, П. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U logici predikativ kvantifikaciya isnuvannya tip kvantora logichna konstanta yaka interpretuyetsya yak isnuye ye prinajmni odin abo dlya deyakih Deyaki dzherela vikoristovuyut termin ekzistencializaciya dlya poznachennya kvantifikaciyi isnuvannya 1 Vona zazvichaj poznachayetsya simvolom logichnogo operatora obernena E en displaystyle exists yakij pri vikoristanni razom zi zminnoyu predikatu nazivayetsya kvantorom isnuvannya x displaystyle exists x abo x displaystyle exists left x right Kvantor isnuvannya vidriznyayetsya vid kvantora zagalnosti dlya vsih yakij pripuskaye sho vlastivist abo vidnoshennya maye misce dlya vsih chleniv oblasti Kvantor isnuvannyaNotaciya d Protilezhnokvantor zagalnosti Zmist 1 Osnovi 2 Vlastivosti 2 1 Zaperechennya 2 2 Pravilo visnovuvannya 2 3 Porozhnya mnozhina 3 Yak priyednannya 4 HTML koduvannya kvantoriv isnuvannya 5 Div takozh 6 Primitki 7 LiteraturaOsnovi RedaguvatiRozglyanemo formulu yaka stverdzhuye sho deyake naturalne chislo pomnozhene na sebe dorivnyuye 25 0 0 25 displaystyle 0 cdot 0 25 abo 1 1 25 displaystyle 1 cdot 1 25 abo 2 2 25 displaystyle 2 cdot 2 25 abo 3 3 25 displaystyle 3 cdot 3 25 i tak dali Ce zdavalosya b ye logichnoyu diz yunkciyeyu cherez povtoryuvane vikoristannya abo Prote i tak dali unemozhlivlyuye integraciyu j interpretaciyu yak diz yunkciyu u formalnij logici Natomist sudzhennya mozhe buti perefrazovane formalnishe yak Dlya deyakogo naturalnogo chisla n n n 25 displaystyle n cdot n 25 Ce odinochne sudzhennya z vikoristannyam kvantora isnuvannya Ce sudzhennya tochnishe za pochatkove oskilki fraza i tak dali neobov yazkovo vklyuchaye vsi naturalni chisla i nichogo bilshe Oskilki oblast ne bulo zadano yavno fraza ne mozhe interpretuvatisya formalno U kvantifikovanomu sudzhenni z inshogo boku naturalni chisla zgaduyutsya yavno Ce konkretnij priklad ye istinnim oskilki 5 ye naturalnim chislom i koli mi pidstavlyayemo 5 zamist n mi otrimuyemo 5 5 25 displaystyle 5 cdot 5 25 sho ye istinoyu Nevazhlivo sho n n 25 displaystyle n cdot n 25 ye istinoyu dlya yedinogo naturalnogo chisla 5 navit isnuvannya yedinogo rozv yazku dostatno dlya dovedennya istinnosti kvantora isnuvannya Na protivagu Dlya deyakogo parnogo chisla n n n 25 displaystyle n cdot n 25 ye hibnim oskilki ne isnuye parnih rozv yazkiv Oblast diskursu en zadaye yaki znachennya zminnoyi n dozvoleno brati tomu maye virishalne znachennya v istinnosti chi hibnosti sudzhennya Logichna kon yunkciya vikoristovuyetsya dlya obmezhennya oblasti diskursu dlya vikonannya danogo predikatu Napriklad Dlya deyakogo dodatnogo neparnogo chisla n n n 25 displaystyle n cdot n 25 ye logichnim ekvivalentom Dlya deyakogo naturalnogo chisla n n neparne ta n n 25 displaystyle n cdot n 25 Tut ta ye logichnoyu kon yunkciyeyu U simvolichnij logici displaystyle exists zvorotna litera E u grotesknomu shrifti vikoristovuyetsya dlya poznachennya kvantora isnuvannya 2 Tomu yaksho P a b c displaystyle P left a b c right ye predikatom a b c displaystyle a cdot b c a N displaystyle mathbb N ye mnozhinoyu naturalnih chisel to n N P n n 25 displaystyle exists n in mathbb N P n n 25 ye istinnim sudzhennyam Dlya deyakogo naturalnogo chisla n n n 25 displaystyle n cdot n 25 Analogichno yaksho Q n displaystyle Q left n right ye predikatom n parne to n N Q n P n n 25 displaystyle exists n in mathbb N big Q left n right land P left n n 25 right big ye hibnim sudzhennyam Dlya deyakogo naturalnogo chisla n n parne ta n n 25 displaystyle n cdot n 25 U matematici dovedennya deyakogo sudzhennya mozhna dosyagti abo konstruktivnim dovedennyam yake pokazuye zadovolennya ob yekta deyakomu sudzhennyu abo nekonstruktivnim dovedennyam yake pokazuye isnuvannya takogo ob yektu ne pokazuyuchi sam ob yekt Vlastivosti RedaguvatiZaperechennya Redaguvati Dokladnishe ZaperechennyaKvantifikovana propozicijna funkciya ye sudzhennyam tomu yak i sudzhennya kvantifikovani funkciyi mozhut buti zaperecheni Simvol displaystyle lnot vikoristovuyetsya dlya poznachennya zaperechennya Napriklad yaksho P x displaystyle P left x right propozicijna funkciya x bilshe 0 i menshe 1 to dlya oblasti diskursu X usih naturalnih chisel kvantor isnuvannya Isnuye naturalne chislo x yake bilshe 0 i menshe 1 simvolichno maye viglyad x X P x displaystyle exists x in mathbf X P left x right Mozhlivo prodemonstruvati jogo hibnist Po pravdi varto skazati Ce ne vipadok sho isnuye naturalne chislo x yake bilshe 0 i menshe 1 abo simvolichno x X P x displaystyle lnot exists x in mathbf X P left x right Yaksho nemaye elementiv oblasti diskursu dlya yakogo sudzhennya istinne to vono povinno buti hibnim dlya vsih takih elementiv Tobto zaperechennya x X P x displaystyle exists x in mathbf X P left x right ye logichnim ekvivalentom Dlya bud yakogo naturalnogo chisla x x ne bilshe 0 i menshe 1 abo x X P x displaystyle forall x in mathbf X lnot P left x right Zagalom todi zaperechennya kvantora isnuvannya propozicijnoyi funkciyi ye kvantorom zagalnosti zaperechennya tiyeyi zh propozicijnoyi funkciyi simvolichno x X P x x X P x displaystyle lnot exists x in mathbf X P x equiv forall x in mathbf X lnot P x Poshirenoyu pomilkoyu ye kazati vsi osobi neodruzheni tobto ne isnuye osobi yaka odruzhena mayuchi na uvazi ne vsi osobi odruzheni tobto isnuye osoba yaka neodruzhena x X P x x X P x x X P x x X P x displaystyle lnot exists x in mathbf X P x equiv forall x in mathbf X lnot P x not equiv lnot forall x in mathbf X P x equiv exists x in mathbf X lnot P x Zaperechennya takozh vislovlyuyetsya cherez sudzhennya dlya zhodnogo na vidminu vid dlya deyakih x X P x x X P x displaystyle nexists x in mathbf X P x equiv lnot exists x in mathbf X P x Na vidminu vid kvantora zagalnosti kvantor isnuvannya poshiryuyetsya nad logichnimi diz yunkciyami x X P x Q x x X P x x X Q x displaystyle exists x in mathbf X P x lor Q x to exists x in mathbf X P x lor exists x in mathbf X Q x Pravilo visnovuvannya Redaguvati Dokladnishe Pravilo visnovuvannyaPravilo visnovuvannya pravilo sho vipravdovuye logichnij krok vid gipotezi do visnovku Isnuyut dekilka pravil visnovuvan yaki vikoristovuyut kvantor isnuvannya Ekzistencijne vvedennya en I displaystyle exists I zaklyuchaye sho yaksho propozicijna funkciya yak vidomo istinna dlya konkretnogo elementu oblasti diskursu to povinno buti istinoyu te sho isnuye element dlya yakogo propozicijna funkciya istinna Simvolichno P a x X P x displaystyle P left a right to exists x in mathbf X P left x right Usunennya isnuvannya koli provoditsya u dedukciyi stilya Fitcha prodovzhuyetsya vvedennyam novogo pid visnovku poki pidstanovka zminnoyi pid kvantorom isnuvannya dlya temi yaka ne z yavlyayetsya v bud yakomu aktivnomu pid visnovku Yaksho visnovku mozhna dosyagti v tomu zh pid visnovku u yakomu pidstavlena tema ne z yavlyayetsya to mozhe vijti pid visnovok z tim visnovkom Mirkuvannya za usunennyam isnuvannya E displaystyle exists E nastupni Yaksho dano sho isnuye element dlya yakogo propozicijna funkciya istinna i yaksho visnovku mozhna dosyagti davshi comu elementovi dovilne im ya to visnovok neodminno istinnij tak dovgo poki vin ne mistit imeni Simvolichno dlya dovilnogo c i propoziciyi Q v yakij c ne z yavlyayetsya x X P x P c Q Q displaystyle exists x in mathbf X P left x right to big left P left c right to Q right to Q big P c Q displaystyle P left c right to Q povinno buti istinoyu dlya vsih znachen c nad tiyeyu zh oblastyu X inakshe logika ne sliduye Yaksho c ne dovilnij i ye natomist konkretnij element oblasti diskursu to zayava P c mozhe nevipravdano dati bilshe informaciyi pro toj ob yekt Porozhnya mnozhina Redaguvati Formula x P x displaystyle exists x in emptyset P left x right zavzhdi hibna nezalezhno vid P x displaystyle P left x right Ce tak oskilki displaystyle emptyset poznachaye porozhnyu mnozhinu i nemaye x bud yakogo opisu ne kazhuchi vzhe pro x sho zadovolnyaye danij predikat P x displaystyle P left x right isnuye v porozhnij mnozhini Div takozh porozhnya istina en Yak priyednannya RedaguvatiU teoriyi kategorij i teoriyi elementarnih toposiv kvantor isnuvannya mozhe rozumitisya yak live priyednannya funktora mizh buleanami funktorom obernenogo obrazu funkciyi mizh mnozhinami tak samo kvantor zagalnosti ye pravim priyednannyam 3 HTML koduvannya kvantoriv isnuvannya RedaguvatiSimvoli koduyutsya U 2203 ISNUYe yak matematichnij simvol ta U 2204 NE ISNUYe Div takozh RedaguvatiDispersiya kvantora en Kvantori Logika pershogo poryadku Spisok logichnih simvoliv dlya Yunikodnogo simvolu displaystyle exists YedinistPrimitki Redaguvati Allen Kolin Gand Majkl 2001 Logic Primer anglijskoyu MIT Press ISBN 0262303965 Arhiv originalu za 11 Bereznya 2017 Procitovano 3 Bereznya 2018 Cej simvol takozh vidomij yak operator isnuvannya Maklejn Saunders Mordijk Ajk 1992 Sheaves in Geometry and Logic Springer Verlag s 58 ISBN 0 387 97710 4 Literatura RedaguvatiGinman P 2005 Fundamentals of Mathematical Logic A K Peters ISBN 1 56881 262 0 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Kvantor isnuvannya amp oldid 37874342