www.wikidata.uk-ua.nina.az

Квантор загальності У логіці предикатів квантор загальності тип квантора логічної константи яка інтерпретується як для б

Квантор загальності

У логіці предикатів, квантор загальності — тип квантора, логічної константи, яка інтерпретується як «для будь-якого» чи «для всіх». Він виражає, що пропозиційна функція може бути задоволена[en] кожним членом області дискурсу[en]. Іншими словами, це предикація властивості чи відношення до кожного члена області. Він припускає, що предикат усередині області квантора загальності є істиною кожного значення[en] змінної предикату[en].

Він зазвичай позначається символом логічного оператора «Обернена А» (), який, коли використовується разом зі змінною предикатом, називається квантором загальності (, чи іноді сам ). Квантор загальності відрізняється від квантора існування («існує»), який лише припускає, що властивість або відношення виконується для принаймні одного члена області.

Квантифікація загалом покрита у статті квантор. Символи кодуються U+2200 ∀ FOR ALL (як математичний символ).

Основи

Припустімо, дано, що

Це, здавалося б, є логічною кон'юнкцією через повторюване використання «і». Проте, «і т. д.» не може бути інтерпретоване як кон'юнкція у формальній логіці. Натомість, судження повинно бути перефразовано:

Це одиночне судження, що використовує квантор загальності.

Це судження, можна сказати, точніше за початкове. Поки «і т. д.» неформально включає натуральні числа і нічого більше, це не дано суворо. У кванторі загальності, з іншого боку, натуральні числа згадуються явно.

Цей конкретний приклад є істиною, оскільки будь-яке натуральне число може бути замінено на n і судження «» буде істинним. На противагу,

є хибою[en], оскільки якщо n замінюється, наприклад, 1, судження «» є хибним. Несуттєво, що «» є істинним для більшості натуральних чисел n: навіть існування єдиного контрприкладу достатньо для доведення хибності квантора загальності.

З іншого боку, для всіх складених чисел n, є істиною, оскільки жоден із контрприкладів не є складеним числом. Це показує важливість області дискурсу[en], що вказує, які значення n можна брати. Зокрема, варто зазначити, що якщо область дискурсу обмежено для вмісту лише тих об'єктів, які задовольняють певному предикатові, то для квантора загальності це вимагає логічної умови. Наприклад,

Тут конструкція «якщо … то» позначає логічну умову.

Нотація

У символічній логіці, символ квантора загальності (обернена «A» у гротескному шрифті, Юнікод U+2200) використовується для позначення квантора загальності.

Наприклад, якщо є предикатом , а  — множиною натуральних чисел, то:

є (хибним) судженням:

Аналогічно, якщо є предикатом «n складене», то

є (істинним) судженням:

а оскільки «n складене» має на увазі, що n повинно вже бути натуральним числом, ми можемо скоротити це судження до еквіваленту:

Деякі варіації у нотації для кванторів (які застосовуються до всіх форм) можуть бути знайдені у статті квантор. Ця особлива нотація використовується лише для кванторів загальності, як дано:

Дужки позначають квантор загальності за замовчуванням.

Властивості

Заперечення

Слід зазначити, що квантифікована пропозиційна функція є судженням; таким чином, подібно до суджень, квантифіковані функції можуть бути заперечені. Нотація, яку більшість математиків і логіків використовують на позначення заперечення, це: . Проте, деякі використовують тильду (~).

Наприклад, якщо  — пропозиційна функція «x одружений», то, для універсуму дискурсу[en] X усіх живих людей, квантор загальності

дано:

Можна побачити, що це безповоротно хибно. По правді, воно говорить, що

або, символічно:

Якщо судження неістинне для кожного елементу Універсуму дискурсу, то, припускаючи, що універсум дискурсу непорожній, повинен бути принаймні один елемент, для якого судження хибне. Тобто, заперечення логічно еквівалентно «Існує жива особа x, яка неодружена», або:

Загалом, тоді заперечення квантора загальності пропозиційної функції є квантором існування заперечення тієї ж пропозиційної функції; символічно,

Помилково стверджувати «всі особи неодружені» (тобто «не існує особи, яка одружена») коли це означає, що «не всі особи одружені» (тобто «існує особа, яка неодружена»):

Інші сполучники

Квантор загальності (й існування) переміщується без змін через логічні сполучники , , і так довго, доки інший операнд не зазнає впливу; тобто:

Навпаки, для логічних сполучників , , і квантори перевертаються:

Правило висновування

Правило висновування — це правило, що виправдовує логічний крок від гіпотези до висновку. Існують декілька правил висновувань, які використовують квантор загальності.

Універсальний екземпляр[en] заключає, що, якщо пропозиційна функція, як відомо, є універсально істинною, то вона повинна бути істинною для будь-якого довільного елементу універсуму дискурсу. Символічно, це подається як

де c є цілком довільним елементом універсуму дискурсу.

Універсальне узагальнення[en] заключає, що пропозиційна функція повинна бути універсально істинною, якщо вона істинна для будь-якого довільного елементу універсуму дискурсу. Символічно, для довільного c,

Елемент c повинен бути цілком довільним; інакше логіка не виконується: якщо c не довільний, і є натомість конкретний елемент універсуму дискурсу, то P(c) лише має на увазі квантор існування пропозиційної функції.

Порожня множина

За конвенцією, формула завжди істинна незалежно від формули ; див. порожня істина[en].

Універсальне замикання

Універсальним замиканням формули є формула без вільних змінних, отримана додаванням квантора загальності до кожної вільної змінної у . Наприклад, універсальним замиканням

є

Як приєднання

У теорії категорій і теорії елементарних топосів, квантор загальності може розумітися як праве приєднання функтора між булеанами, функтора оберненого образу функції між множинами; також, квантор існування є лівим приєднанням.

Для множини , нехай позначає її булеан. Для будь-якої функції між множинами і , існує функтор оберненого образу між булеанами, який бере підмножини співдомену f назад до підмножин її домену. Ліве приєднання цього функтора є квантором існування , а праве приєднання є квантором загальності .

Тобто, є функтором, який для кожної підмножини дає підмножину , дану

того y в образі S під f. Аналогічно, квантор загальності є функтором, який для кожної підмножини дає підмножину , дану

того y, прообраз якого під f міститься в S.

Відоміша форма кванторів, використовувана в логіці першого порядку, отримується взяттям функції f як унікальної функції так, що є двохелементною множиною, маючи значення істини та хиби, підмножина S є тією підмножиною, для якої предикат виконується, і

яка є істиною, якщо S непорожня, і

яка є хибністю, якщо S не є X.

Квантори загальності й існування, наведені вище, узагальнюються до категорії передпучка[ru].

Див. також

Примітки

  1. Подальша інформація про використання областей дискурсу з квантифікованими судженнями може бути знайдена у статті Квантор.
  2. Обернену А було використано у XIX сторіччі Чарлзом Сандерсом Пірсом як логічний символ для «не-Американський» («неамериканський»). Діперт, Рендалл (2004). (вид. The Cambridge Companion to Peirce). Cheryl Misak. с. 320. Архів оригіналу за 28 Лютого 2018. Процитовано 27 Лютого 2018. 
  3. Маклейн, Саундерс; Мордійк, Айк (1992). Sheaves in Geometry and Logic. Springer-Verlag. с. 58. ISBN 0-387-97710-4. 

Джерела

  • Гінман, П. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0. 
  • Франклін, Джеймс; Дауд, А. (2011). . Proof in Mathematics: An Introduction. Kew Books. ISBN 978-0-646-54509-7. Архів оригіналу за 23 Червня 2004. Процитовано 27 Лютого 2018. 
У Вікісловнику є сторінка кожний.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U logici predikativ kvantor zagalnosti tip kvantora logichnoyi konstanti yaka interpretuyetsya yak dlya bud yakogo chi dlya vsih Vin virazhaye sho propozicijna funkciya mozhe buti zadovolena en kozhnim chlenom oblasti diskursu en Inshimi slovami ce predikaciya vlastivosti chi vidnoshennya do kozhnogo chlena oblasti Vin pripuskaye sho predikat useredini oblasti kvantora zagalnosti ye istinoyu kozhnogo znachennya en zminnoyi predikatu en Vin zazvichaj poznachayetsya simvolom logichnogo operatora Obernena A displaystyle forall yakij koli vikoristovuyetsya razom zi zminnoyu predikatom nazivayetsya kvantorom zagalnosti x displaystyle forall x x displaystyle forall left x right chi inodi sam x displaystyle left x right Kvantor zagalnosti vidriznyayetsya vid kvantora isnuvannya isnuye yakij lishe pripuskaye sho vlastivist abo vidnoshennya vikonuyetsya dlya prinajmni odnogo chlena oblasti Kvantifikaciya zagalom pokrita u statti kvantor Simvoli koduyutsya U 2200 FOR ALL yak matematichnij simvol Zmist 1 Osnovi 1 1 Notaciya 2 Vlastivosti 2 1 Zaperechennya 2 2 Inshi spoluchniki 2 3 Pravilo visnovuvannya 2 4 Porozhnya mnozhina 3 Universalne zamikannya 4 Yak priyednannya 5 Div takozh 6 Primitki 7 DzherelaOsnovi RedaguvatiPripustimo dano sho 2 0 0 0 displaystyle 2 cdot 0 0 0 i 2 1 1 1 displaystyle 2 cdot 1 1 1 i 2 2 2 2 displaystyle 2 cdot 2 2 2 i t d Ce zdavalosya b ye logichnoyu kon yunkciyeyu cherez povtoryuvane vikoristannya i Prote i t d ne mozhe buti interpretovane yak kon yunkciya u formalnij logici Natomist sudzhennya povinno buti perefrazovano Dlya vsih naturalnih chisel n 2 n n n displaystyle 2 cdot n n n Ce odinochne sudzhennya sho vikoristovuye kvantor zagalnosti Ce sudzhennya mozhna skazati tochnishe za pochatkove Poki i t d neformalno vklyuchaye naturalni chisla i nichogo bilshe ce ne dano suvoro U kvantori zagalnosti z inshogo boku naturalni chisla zgaduyutsya yavno Cej konkretnij priklad ye istinoyu oskilki bud yake naturalne chislo mozhe buti zamineno na n i sudzhennya 2 n n n displaystyle 2 cdot n n n bude istinnim Na protivagu Dlya vsih naturalnih chisel n 2 n gt 2 n displaystyle 2 cdot n gt 2 n ye hiboyu en oskilki yaksho n zaminyuyetsya napriklad 1 sudzhennya 2 1 gt 2 1 displaystyle 2 cdot 1 gt 2 1 ye hibnim Nesuttyevo sho 2 n gt 2 n displaystyle 2 cdot n gt 2 n ye istinnim dlya bilshosti naturalnih chisel n navit isnuvannya yedinogo kontrprikladu dostatno dlya dovedennya hibnosti kvantora zagalnosti Z inshogo boku dlya vsih skladenih chisel n 2 n gt 2 n displaystyle 2 cdot n gt 2 n ye istinoyu oskilki zhoden iz kontrprikladiv ne ye skladenim chislom Ce pokazuye vazhlivist oblasti diskursu en sho vkazuye yaki znachennya n mozhna brati 1 Zokrema varto zaznachiti sho yaksho oblast diskursu obmezheno dlya vmistu lishe tih ob yektiv yaki zadovolnyayut pevnomu predikatovi to dlya kvantora zagalnosti ce vimagaye logichnoyi umovi Napriklad Dlya vsih skladenih chisel n 2 n gt 2 n displaystyle 2 cdot n gt 2 n ye logichnim ekvivalentom do Dlya vsih naturalnih chisel n yaksho n skladene to 2 n gt 2 n displaystyle 2 cdot n gt 2 n Tut konstrukciya yaksho to poznachaye logichnu umovu Notaciya Redaguvati U simvolichnij logici simvol kvantora zagalnosti displaystyle forall obernena A u grotesknomu shrifti Yunikod U 2200 vikoristovuyetsya dlya poznachennya kvantora zagalnosti 2 Napriklad yaksho P n displaystyle P left n right ye predikatom 2 n gt 2 n displaystyle 2 cdot n gt 2 n a N displaystyle mathbb N mnozhinoyu naturalnih chisel to n N P n displaystyle forall n in mathbb N P left n right ye hibnim sudzhennyam Dlya vsih naturalnih chisel n 2 n gt 2 n displaystyle 2 cdot n gt 2 n Analogichno yaksho Q n displaystyle Q left n right ye predikatom n skladene to n N Q n P n displaystyle forall n in mathbb N bigl Q left n right rightarrow P left n right bigr ye istinnim sudzhennyam Dlya vsih naturalnih chisel n yaksho n skladene to 2 n gt 2 n displaystyle 2 cdot n gt 2 n a oskilki n skladene maye na uvazi sho n povinno vzhe buti naturalnim chislom mi mozhemo skorotiti ce sudzhennya do ekvivalentu n Q n P n displaystyle forall n bigl Q left n right rightarrow P left n right bigr Dlya vsih skladenih chisel n 2 n gt 2 n displaystyle 2 cdot n gt 2 n Deyaki variaciyi u notaciyi dlya kvantoriv yaki zastosovuyutsya do vsih form mozhut buti znajdeni u statti kvantor Cya osobliva notaciya vikoristovuyetsya lishe dlya kvantoriv zagalnosti yak dano n N P n displaystyle left n in mathbb N right P left n right Duzhki poznachayut kvantor zagalnosti za zamovchuvannyam Vlastivosti RedaguvatiZaperechennya Redaguvati Slid zaznachiti sho kvantifikovana propozicijna funkciya ye sudzhennyam takim chinom podibno do sudzhen kvantifikovani funkciyi mozhut buti zaperecheni Notaciya yaku bilshist matematikiv i logikiv vikoristovuyut na poznachennya zaperechennya ce lnot Prote deyaki vikoristovuyut tildu Napriklad yaksho P x displaystyle P left x right propozicijna funkciya x odruzhenij to dlya universumu diskursu en X usih zhivih lyudej kvantor zagalnosti Dano bud yaku zhivu osobu x cya osoba odruzhenadano x X P x displaystyle forall x in mathbf X P left x right Mozhna pobachiti sho ce bezpovorotno hibno Po pravdi vono govorit sho Ce ne vipadok sho dlya danoyi bud yaku zhivu osobu x cya osoba odruzhenaabo simvolichno x X P x displaystyle lnot forall x in mathbf X P left x right Yaksho sudzhennya neistinne dlya kozhnogo elementu Universumu diskursu to pripuskayuchi sho universum diskursu neporozhnij povinen buti prinajmni odin element dlya yakogo sudzhennya hibne Tobto zaperechennya x X P x displaystyle forall x in mathbf X P left x right logichno ekvivalentno Isnuye zhiva osoba x yaka neodruzhena abo x X P x displaystyle exists x in mathbf X lnot P left x right Zagalom todi zaperechennya kvantora zagalnosti propozicijnoyi funkciyi ye kvantorom isnuvannya zaperechennya tiyeyi zh propozicijnoyi funkciyi simvolichno x X P x x X P x displaystyle lnot forall x in mathbf X P left x right equiv exists x in mathbf X lnot P left x right Pomilkovo stverdzhuvati vsi osobi neodruzheni tobto ne isnuye osobi yaka odruzhena koli ce oznachaye sho ne vsi osobi odruzheni tobto isnuye osoba yaka neodruzhena x X P x x X P x x X P x x X P x displaystyle lnot exists x in mathbf X P left x right equiv forall x in mathbf X lnot P left x right not equiv lnot forall x in mathbf X P left x right equiv exists x in mathbf X lnot P left x right Inshi spoluchniki Redaguvati Kvantor zagalnosti j isnuvannya peremishuyetsya bez zmin cherez logichni spoluchniki land lor to i nleftarrow tak dovgo doki inshij operand ne zaznaye vplivu tobto P x y Y Q y y Y P x Q y displaystyle P x land exists y in mathbf Y Q y equiv exists y in mathbf Y P x land Q y P x y Y Q y y Y P x Q y p r o v i d e d t h a t Y displaystyle P x lor exists y in mathbf Y Q y equiv exists y in mathbf Y P x lor Q y mathrm provided that mathbf Y neq emptyset P x y Y Q y y Y P x Q y p r o v i d e d t h a t Y displaystyle P x to exists y in mathbf Y Q y equiv exists y in mathbf Y P x to Q y mathrm provided that mathbf Y neq emptyset P x y Y Q y y Y P x Q y displaystyle P x nleftarrow exists y in mathbf Y Q y equiv exists y in mathbf Y P x nleftarrow Q y P x y Y Q y y Y P x Q y p r o v i d e d t h a t Y displaystyle P x land forall y in mathbf Y Q y equiv forall y in mathbf Y P x land Q y mathrm provided that mathbf Y neq emptyset P x y Y Q y y Y P x Q y displaystyle P x lor forall y in mathbf Y Q y equiv forall y in mathbf Y P x lor Q y P x y Y Q y y Y P x Q y displaystyle P x to forall y in mathbf Y Q y equiv forall y in mathbf Y P x to Q y P x y Y Q y y Y P x Q y p r o v i d e d t h a t Y displaystyle P x nleftarrow forall y in mathbf Y Q y equiv forall y in mathbf Y P x nleftarrow Q y mathrm provided that mathbf Y neq emptyset Navpaki dlya logichnih spoluchnikiv displaystyle downarrow nrightarrow i displaystyle gets kvantori perevertayutsya P x y Y Q y y Y P x Q y displaystyle P x uparrow exists y in mathbf Y Q y equiv forall y in mathbf Y P x uparrow Q y P x y Y Q y y Y P x Q y p r o v i d e d t h a t Y displaystyle P x downarrow exists y in mathbf Y Q y equiv forall y in mathbf Y P x downarrow Q y mathrm provided that mathbf Y neq emptyset P x y Y Q y y Y P x Q y p r o v i d e d t h a t Y displaystyle P x nrightarrow exists y in mathbf Y Q y equiv forall y in mathbf Y P x nrightarrow Q y mathrm provided that mathbf Y neq emptyset P x y Y Q y y Y P x Q y displaystyle P x gets exists y in mathbf Y Q y equiv forall y in mathbf Y P x gets Q y P x y Y Q y y Y P x Q y p r o v i d e d t h a t Y displaystyle P x uparrow forall y in mathbf Y Q y equiv exists y in mathbf Y P x uparrow Q y mathrm provided that mathbf Y neq emptyset P x y Y Q y y Y P x Q y displaystyle P x downarrow forall y in mathbf Y Q y equiv exists y in mathbf Y P x downarrow Q y P x y Y Q y y Y P x Q y displaystyle P x nrightarrow forall y in mathbf Y Q y equiv exists y in mathbf Y P x nrightarrow Q y P x y Y Q y y Y P x Q y p r o v i d e d t h a t Y displaystyle P x gets forall y in mathbf Y Q y equiv exists y in mathbf Y P x gets Q y mathrm provided that mathbf Y neq emptyset Pravilo visnovuvannya Redaguvati Pravilo visnovuvannya ce pravilo sho vipravdovuye logichnij krok vid gipotezi do visnovku Isnuyut dekilka pravil visnovuvan yaki vikoristovuyut kvantor zagalnosti Universalnij ekzemplyar en zaklyuchaye sho yaksho propozicijna funkciya yak vidomo ye universalno istinnoyu to vona povinna buti istinnoyu dlya bud yakogo dovilnogo elementu universumu diskursu Simvolichno ce podayetsya yak x X P x P c displaystyle forall x in mathbf X P left x right to P left c right de c ye cilkom dovilnim elementom universumu diskursu Universalne uzagalnennya en zaklyuchaye sho propozicijna funkciya povinna buti universalno istinnoyu yaksho vona istinna dlya bud yakogo dovilnogo elementu universumu diskursu Simvolichno dlya dovilnogo c P c x X P x displaystyle P left c right to forall x in mathbf X P left x right Element c povinen buti cilkom dovilnim inakshe logika ne vikonuyetsya yaksho c ne dovilnij i ye natomist konkretnij element universumu diskursu to P c lishe maye na uvazi kvantor isnuvannya propozicijnoyi funkciyi Porozhnya mnozhina Redaguvati Za konvenciyeyu formula x P x displaystyle forall x in emptyset P left x right zavzhdi istinna nezalezhno vid formuli P x displaystyle P left x right div porozhnya istina en Universalne zamikannya RedaguvatiUniversalnim zamikannyam formuli ϕ phi ye formula bez vilnih zminnih otrimana dodavannyam kvantora zagalnosti do kozhnoyi vilnoyi zminnoyi u ϕ phi Napriklad universalnim zamikannyam P y x Q x z displaystyle P left y right land exists x Q left x z right ye y z P y x Q x z displaystyle forall y forall z bigl P left y right land exists x Q left x z right bigr Yak priyednannya RedaguvatiU teoriyi kategorij i teoriyi elementarnih toposiv kvantor zagalnosti mozhe rozumitisya yak prave priyednannya funktora mizh buleanami funktora obernenogo obrazu funkciyi mizh mnozhinami takozh kvantor isnuvannya ye livim priyednannyam 3 Dlya mnozhini X X nehaj P X displaystyle mathcal P X poznachaye yiyi bulean Dlya bud yakoyi funkciyi f X Y displaystyle f X to Y mizh mnozhinami X X i Y Y isnuye funktor obernenogo obrazu f P Y P X displaystyle f mathcal P Y to mathcal P X mizh buleanami yakij bere pidmnozhini spivdomenu f nazad do pidmnozhin yiyi domenu Live priyednannya cogo funktora ye kvantorom isnuvannya f displaystyle exists f a prave priyednannya ye kvantorom zagalnosti f displaystyle forall f Tobto f P X P Y displaystyle exists f colon mathcal P X to mathcal P Y ye funktorom yakij dlya kozhnoyi pidmnozhini S X displaystyle S subset X daye pidmnozhinu f S Y displaystyle exists f S subset Y danu f S y Y x X f x y x S displaystyle exists f S y in Y exists x in X f x y quad land quad x in S togo y v obrazi S pid f Analogichno kvantor zagalnosti f P X P Y displaystyle forall f colon mathcal P X to mathcal P Y ye funktorom yakij dlya kozhnoyi pidmnozhini S X displaystyle S subset X daye pidmnozhinu f S Y displaystyle forall f S subset Y danu f S y Y x X f x y x S displaystyle forall f S y in Y forall x in X f x y quad implies quad x in S togo y proobraz yakogo pid f mistitsya v S Vidomisha forma kvantoriv vikoristovuvana v logici pershogo poryadku otrimuyetsya vzyattyam funkciyi f yak unikalnoyi funkciyi X 1 displaystyle X to 1 tak sho P 1 T F displaystyle mathcal P 1 T F ye dvohelementnoyu mnozhinoyu mayuchi znachennya istini ta hibi pidmnozhina S ye tiyeyu pidmnozhinoyu dlya yakoyi predikat S x displaystyle S left x right vikonuyetsya i P P 1 P X T X F displaystyle begin array rl mathcal P colon mathcal P 1 amp to mathcal P X T amp mapsto X F amp mapsto end array S x S x displaystyle exists S exists x S left x right yaka ye istinoyu yaksho S neporozhnya i S x S x displaystyle forall S forall x S left x right yaka ye hibnistyu yaksho S ne ye X Kvantori zagalnosti j isnuvannya navedeni vishe uzagalnyuyutsya do kategoriyi peredpuchka ru Div takozh RedaguvatiKvantor isnuvannya Logika pershogo poryadku Spisok logichnih simvoliv dlya Yunikodnogo simvolu displaystyle forall Primitki Redaguvati Podalsha informaciya pro vikoristannya oblastej diskursu z kvantifikovanimi sudzhennyami mozhe buti znajdena u statti Kvantor Obernenu A bulo vikoristano u XIX storichchi Charlzom Sandersom Pirsom yak logichnij simvol dlya ne Amerikanskij neamerikanskij Dipert Rendall 2004 Peirce s deductive logic vid The Cambridge Companion to Peirce Cheryl Misak s 320 Arhiv originalu za 28 Lyutogo 2018 Procitovano 27 Lyutogo 2018 Maklejn Saunders Mordijk Ajk 1992 Sheaves in Geometry and Logic Springer Verlag s 58 ISBN 0 387 97710 4 Dzherela RedaguvatiGinman P 2005 Fundamentals of Mathematical Logic A K Peters ISBN 1 56881 262 0 Franklin Dzhejms Daud A 2011 2 Proof in Mathematics An Introduction Kew Books ISBN 978 0 646 54509 7 Arhiv originalu za 23 Chervnya 2004 Procitovano 27 Lyutogo 2018 U Vikislovniku ye storinka kozhnij Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Kvantor zagalnosti amp oldid 37874338