Bagatovimirnij normalnij rozpodil chi bagatovimirnij gausiv rozpodil u teoriyi jmovirnostej ce uzagalnennya odnovimirnogo normalnogo rozpodilu dlya vipadku iz bagatma vimirami Vidpovidno do odnogo iz viznachen stverdzhuyut sho vektor vipadkovih velichin maye k variativnij normalnij rozpodil yaksho kozhna linijna kombinaciya jogo k komponent maye odnovimirnij normalnij rozpodil V osnovnomu jogo vazhlivist viplivaye iz uzagalnennya centralnoyi granichnoyi teoremi dlya bagatoh vimiriv Bagatovimirnij normalnij rozpodil chasto vikoristovuyut abi opisati prinajmni nablizheno bud yaku mnozhinu mozhlivo korelovanih vipadkovih velichin iz dijsnimi znachennyam kozhna z yakih skupchuyetsya dovkola serednogo znachennya Bagatovimirnij normalnij rozpodilMnozhina tochok sho predstavlyayut elementarni podiyi bagatovimirnogo normalnogo rozpodilu iz m 0 0 displaystyle boldsymbol mu left begin smallmatrix 0 0 end smallmatrix right i S 1 3 5 3 5 2 displaystyle boldsymbol Sigma left begin smallmatrix 1 amp 3 5 3 5 amp 2 end smallmatrix right razom z yakimi pokazano elips rozmirom v 3 sigmi dva marginalni rozpodili i dvi 1 vimirni gistogrami Parametri m Rk koeficiyent zsuvuS Rk k kovariacijna matricya dodatnooznachena matricya Nosij funkciyi x m span S RkRozpodil imovirnostej det 2 p S 1 2 e 1 2 x m S 1 x m displaystyle operatorname det 2 pi boldsymbol Sigma frac 1 2 e frac 1 2 mathbf x boldsymbol mu boldsymbol Sigma 1 mathbf x boldsymbol mu isnuye lishe za umovi sho S ye dodatnooznachena matricyaFunkciya rozpodilu jmovirnostej cdf ne maye analitichnogo virazu Serednye mModa mDispersiya SEntropiya 1 2 ln det 2 p e S displaystyle frac 1 2 ln operatorname det left 2 pi mathrm e boldsymbol Sigma right Tvirna funkciya momentiv mgf exp m t 1 2 t S t displaystyle exp Big boldsymbol mu mathbf t tfrac 1 2 mathbf t boldsymbol Sigma mathbf t Big Harakteristichna funkciya exp i m t 1 2 t S t displaystyle exp Big i boldsymbol mu mathbf t tfrac 1 2 mathbf t boldsymbol Sigma mathbf t Big Zmist 1 Poznachennya i parametrizaciya 2 Viznachennya 3 Zauvazhennya 4 Vlastivosti 4 1 Funkciya gustini 4 1 1 Ne virodzhenij vipadok 4 1 2 Bivariativnij vipadok 5 Bagatomirna centralna granichna teorema 5 1 Naslidok 6 PrimitkiPoznachennya i parametrizaciya red Bagatovimirnij normalnij rozpodil k vimirnogo vektoru vipadkovih velichin X X1 X2 Xk T mozhe zapisuvatisya u formi nastupnoyi notaciyi X N m S displaystyle mathbf X sim mathcal N boldsymbol mu boldsymbol Sigma nbsp abo iz metoyu yavno zaznachiti sho X ye k vimirnim X N k m S displaystyle mathbf X sim mathcal N k boldsymbol mu boldsymbol Sigma nbsp iz k vimirnim vektorom serednih znachen m E X E X 1 E X 2 E X k T displaystyle boldsymbol mu operatorname E mathbf X operatorname E X 1 operatorname E X 2 ldots operatorname E X k rm T nbsp i matriceyu kovariacij k k displaystyle k times k nbsp S E X m X m T Cov X i X j 1 i j k displaystyle boldsymbol Sigma operatorname E mathbf X boldsymbol mu mathbf X boldsymbol mu rm T operatorname Cov X i X j 1 leq i j leq k nbsp Viznachennya red Vipadkovij vektor X X 1 X n W R n displaystyle mathbf X X 1 ldots X n top Omega to mathbb R n nbsp maye bagatomirnij normalnij rozpodil yaksho vikonuyetsya odne z nastupnih ekvivalentnih umov Dovilna linijna kombinaciya komponentiv vektora i 1 n a i X i displaystyle sum limits i 1 n a i X i nbsp maye normalnij rozpodil ye konstantoyu Isnuye vektor nezalezhnih standartnih normalnih vipadkovih velichin Z Z 1 Z m displaystyle mathbf Z Z 1 ldots Z m top nbsp dijsnij vektor m m 1 m n displaystyle mathbf mu mu 1 ldots mu n top nbsp i matricya A displaystyle mathbf A nbsp rozmirnosti n m displaystyle n times m nbsp taki sho X A Z m displaystyle mathbf X mathbf A mathbf Z mathbf mu nbsp Isnuye vektor m R n displaystyle mathbf mu in mathbb R n nbsp i dodatno viznachena simetrichna matricya S displaystyle mathbf Sigma nbsp rozmirnosti n n displaystyle n times n nbsp taki sho harakteristichna funkciya vektora X displaystyle mathbf X nbsp maye vid ϕ X u e i m u 1 2 u S u u R n displaystyle phi mathbf X mathbf u e i mathbf mu top mathbf u frac 1 2 mathbf u top Sigma mathbf u mathbf u in mathbb R n nbsp Zauvazhennya red Yaksho rozglyadati tilki rozpodilu z nevirodzhenoyu kovariacijnoyu matriceyu to ekvivalentnim bude takozh nastupne viznachennya Isnuye vektor m R n displaystyle mathbf mu in mathbb R n nbsp i dodatno viznachena simetrichna matricya S displaystyle mathbf Sigma nbsp rozmirnosti n n displaystyle n times n nbsp taki sho shilnist jmovirnosti vektora X displaystyle mathbf X nbsp maye vid f X x 1 2 p n 2 S 1 2 e 1 2 x m S 1 x m x R n displaystyle f mathbf X mathbf x frac 1 2 pi n 2 vert Sigma vert 1 2 e frac 1 2 mathbf x mathbf mu top Sigma 1 mathbf x mathbf mu mathbf x in mathbb R n nbsp dd de S displaystyle vert Sigma vert nbsp viznachnik matrici S displaystyle Sigma nbsp a S 1 displaystyle Sigma 1 nbsp matricya zvorotna do S displaystyle Sigma nbsp Vektor m displaystyle mathbf mu nbsp ye vektorom serednih znachen X displaystyle mathbf X nbsp a S displaystyle Sigma nbsp jogo kovariacijna matricya U vipadku n 1 displaystyle n 1 nbsp bagatovimirnij normalnij rozpodil zvoditsya do zvichajnogo normalnogo rozpodilu Yaksho vipadkovij vektor X displaystyle mathbf X nbsp maye bagatovimirnij normalnij rozpodil to pishut X N m S displaystyle mathbf X sim mathrm N mathbf mu Sigma nbsp Vlastivosti red Yaksho vektor X X 1 X n displaystyle mathbf X X 1 ldots X n top nbsp maye bagatovimirnij normalnij rozpodil to jogo komponenti X i i 1 n displaystyle X i i 1 ldots n nbsp mayut odnovimirnij normalnij rozpodil Zvorotne uzagali govoryachi nevirno div priklad 1 Arhivovano 15 grudnya 2012 u Wayback Machine Yaksho vipadkovi velichini X 1 X n displaystyle X 1 ldots X n nbsp mayut odnomirnij normalnij rozpodil i spilno nezalezhni te vipadkovij vektor X X 1 X n displaystyle mathbf X X 1 ldots X n top nbsp maye bagatomirnij normalnij rozpodil Matricya kovariacij S displaystyle Sigma nbsp takogo vektora diagonalna Yaksho X X 1 X n displaystyle mathbf X X 1 ldots X n top nbsp maye bagatomirnij normalnij rozpodil i jogo komponenti poparno nekorelovani to voni nezalezhni Odnak yaksho tilki komponenti X i i 1 n displaystyle X i i 1 ldots n nbsp mayut odnomirnij normalnij rozpodil i poparno ne korelyuyut te zvidsi ne viplivaye sho voni nezalezhni Kontrpriklad Nehaj X N 0 1 displaystyle X sim mathrm N 0 1 nbsp a a 1 displaystyle alpha pm 1 nbsp z rivnimi jmovirnostyami Todi yaksho Y a X N 0 1 displaystyle Y alpha X sim mathrm N 0 1 nbsp te korelyaciya X displaystyle X nbsp i Y displaystyle Y nbsp dorivnyuye nulyu Odnak ci vipadkovi velichini zalezhni Bagatomirnij normalnij rozpodil stijko shodo linijnih peretvoren Yaksho X N m S displaystyle mathbf X sim mathrm N mathbf mu Sigma nbsp a A displaystyle mathbf A nbsp dovilna matricya rozmirnosti m n displaystyle m times n nbsp toA X N A m A S A displaystyle mathbf A mathbf X sim mathrm N left mathbf A mathbf mu mathbf A Sigma mathbf A top right nbsp Funkciya gustini red nbsp Spilna funkciya gustini bivariativnogo normalnogo rozpodiluNe virodzhenij vipadok red Bagatovimirnij normalnij rozpodil nazivayut ne virodzhenim koli jogo simetrichna matricya kovariacij S displaystyle boldsymbol Sigma nbsp ye dodatnooznachenoyu V takomu vipadku rozpodil maye funkciyu gustini 1 f X x 1 x k exp 1 2 x m T S 1 x m 2 p k S displaystyle begin aligned f mathbf X x 1 ldots x k amp frac exp left frac 1 2 mathbf x boldsymbol mu mathrm T boldsymbol Sigma 1 mathbf x boldsymbol mu right sqrt 2 pi k boldsymbol Sigma end aligned nbsp de x displaystyle mathbf x nbsp ce k vimirnij vektor stovpec dijsnih chisel i S det S displaystyle boldsymbol Sigma equiv operatorname det boldsymbol Sigma nbsp ce determinant dlya S displaystyle boldsymbol Sigma nbsp vidomij takozh yak uzagalnena dispersiya Vishenavedene rivnyannya sproshuyetsya do analogichnogo rivnyannya sho vidpovidaye odnovimirnomu normalnomu rozpodilu yaksho S displaystyle boldsymbol Sigma nbsp ye matriceyu rozmirom 1 1 displaystyle 1 times 1 nbsp tobto yedinim dijsnim chislom Cirkulyarno simetrichna versiya kompleksnogo normalnogo rozpodilu maye desho vidminnu formu Kozhen okil izo gustini okil tochok v k vimirnomu prostori v kozhnij z yakih bude deyake stale znachennya gustini ye elipsom abo jogo uzagalnennyam dlya bilshih vimiriv oskilki bagatovimirnij normalnij rozpodil ye osoblivim vipadkom eliptichnih rozpodiliv V opisovij statistici x m T S 1 x m displaystyle sqrt mathbf x boldsymbol mu mathrm T boldsymbol Sigma 1 mathbf x boldsymbol mu nbsp vidomo yak vidstan Mahalanobisa yaka zadaye vidstan obranoyi tochki x displaystyle mathbf x nbsp vid serednogo m displaystyle boldsymbol mu nbsp Zauvazhte sho u vipadku koli k 1 displaystyle k 1 nbsp rozpodil zvoditsya do odnovimirnogo normalnogo rozpodilu i vidstan Mahalanobisa zvoditsya do absolyutnogo znachennya standartnoyi ocinki en Bivariativnij vipadok red U 2 vimirnomu nesingulyarnomu vipadku k rank S 2 funkciya gustini imovirnosti dlya vektoru X Y ye nastupnoyu f x y 1 2 p s X s Y 1 r 2 exp 1 2 1 r 2 x m X 2 s X 2 y m Y 2 s Y 2 2 r x m X y m Y s X s Y displaystyle f x y frac 1 2 pi sigma X sigma Y sqrt 1 rho 2 exp left frac 1 2 1 rho 2 left frac x mu X 2 sigma X 2 frac y mu Y 2 sigma Y 2 frac 2 rho x mu X y mu Y sigma X sigma Y right right nbsp de r korelyaciya mizh X i Y i de s X gt 0 displaystyle sigma X gt 0 nbsp i s Y gt 0 displaystyle sigma Y gt 0 nbsp V takomu vipadku m m X m Y S s X 2 r s X s Y r s X s Y s Y 2 displaystyle boldsymbol mu begin pmatrix mu X mu Y end pmatrix quad boldsymbol Sigma begin pmatrix sigma X 2 amp rho sigma X sigma Y rho sigma X sigma Y amp sigma Y 2 end pmatrix nbsp U bivariativnomu vipadku persha ekvivalentna umova vstanovlennya normalnosti bagatovimirnogo rozpodilu mozhe buti mensh suvora dlya togo shob zrobiti visnovok chi ye vektor X Y bivariativno normalnim dostatno pereviriti chi zlichenno velika kilkist vidminnih linijnih kombinacij X i Y ye normalno rozpodileni 2 Bivariativni okoli izo gustini na ploshini x y ye elipsami Iz zbilshennyam absolyutnogo znachennya koeficiyentu korelyaciyi r ci okoli budut splyushuvatisya do nastupnoyi pryamoyi y x sgn r s Y s X x m X m Y displaystyle y x operatorname sgn rho frac sigma Y sigma X x mu X mu Y nbsp Ce poyasnyuyetsya tim sho yaksho v danomu virazi sgn r zaminiti na r vono ye najkrashim linijnim nezmishenim peredbachennyam en dlya Y sho zadane znachennyam X 3 Bagatomirna centralna granichna teorema red Nehaj 3 1 3 2 displaystyle xi 1 xi 2 nbsp poslidovnist nezalezhnih i odnakovo rozpodilenih vipadkovih vektoriv kozhnij z yakij maye serednye E 3 1 a displaystyle E xi 1 a nbsp i nevirodzhenu matricyu kovariacij S displaystyle Sigma nbsp Poznachimo cherez S n 3 1 3 n displaystyle S n xi 1 xi n nbsp vektor chastkovih sum Todi pri n displaystyle n to infty nbsp maye misce zbizhnist rozpodiliv vektoriv h n S n n a n h displaystyle eta n frac S n na sqrt n Rightarrow eta nbsp de h displaystyle eta nbsp maye rozpodil N O S displaystyle N O Sigma nbsp V umovah bagatovimirnoyi centralnoyi granichnoyi teoremi rozpodil bud yakih neperervnih funkcij g h n displaystyle g eta n nbsp zbigayetsya do rozpodilu g h displaystyle g eta nbsp Yak g x displaystyle g x nbsp nam bude potribna tilki g x x i 2 x 2 displaystyle g x sum x i 2 x 2 nbsp Naslidok red V umovah bagatovimirnoyi centralnoyi granichnoyi teoremi maye misce zbizhnist h n 2 h 2 displaystyle eta n 2 Rightarrow eta 2 nbsp Primitki red UIUC Lecture 21 The Multivariate Normal Distribution Arhivovano 23 chervnya 2016 u Wayback Machine 21 5 Finding the Density Hamedani G G Tata M N 1975 On the determination of the bivariate normal distribution from distributions of linear combinations of the variables The American Mathematical Monthly 82 9 913 915 doi 10 2307 2318494 Wyatt John Linear least mean squared error estimation Lecture notes course on applied probability Arhiv originalu za 10 zhovtnya 2015 Procitovano 23 sichnya 2012 V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Multivariate normal distribution angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi gruden 2021 Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Bagatovimirnij normalnij rozpodil amp oldid 37914237 Bivariativnij vipadok
