www.wikidata.uk-ua.nina.az

Еліптичний розподіл це будь який член широкого сімейства розподілів ймовірностей що узагальнює багатовимірний нормальний

Еліптичний розподіл

Еліптичний розподіл — це будь-який член широкого сімейства розподілів ймовірностей, що узагальнює багатовимірний нормальний розподіл. Інтуїтивно зрозуміло, у спрощеному дво- і тривимірному випадку спільний розподіл утворює еліпс та еліпсоїд відповідно на графіках рівної щільності.

У статистиці нормальний розподіл використовується в «класичному» багатовимірному аналізі, тоді як еліптичні розподіли використовуються в узагальненому багатовимірному аналізі для вивчення симетричних розподілів з важкими хвостами[en], як багатовимірний t-розподіл[en], або легкими (у порівнянні з нормальним розподілом). Деякі статистичні методи, спочатку призначені для вивчення нормального розподілу, мають хороші показники для загальних еліптичних розподілів (зі скінченною дисперсією), особливо для сферичних розподілів (які визначені нижче). Еліптичні розподіли також використовуються в робастній статистиці для оцінки запропонованих багатовимірних статистичних процедур.

Визначення ред.

Еліптичні розподіли визначаються з точки зору характеристичних функцій у теорії ймовірностей. Випадковий вектор на евклідовому просторі має еліптичний розподіл якщо його характеристична функція задовольняє наступному функціональному рівнянню (для кожного стовпця-вектора )

для деякого коефіцієнту зсуву , деякої невід’ємно-визначеної матриці[en] і деякої скалярної функції . Визначення еліптичних розподілів для реальних випадкових векторів було розширено для розміщення випадкових векторів в евклідових просторах над полями комплексних чисел, що полегшує застосування в аналізі часових рядів. Доступні обчислювальні методи для генерування псевдовипадкових векторів з еліптичними розподілами, для використання, наприклад, у методі Монте-Карло у комп'ютерному моделюванні.

Деякі еліптичні розподіли мають альтернативне визначення з точки зору їх функції щільності. Еліптичний розподіл з функцією щільності f має вигляд:

де  — нормуюча константа[en], є -вимірною випадковою величиною з медіанним вектором (який також є вектором середніх значень, якщо останній існує), а є позитивно визначеною матрицею, яка є пропорційною до коваріаційної матриці, якщо остання існує.

Приклади ред.

Приклади включають такі багатовимірні розподіли ймовірностей:

Властивості ред.

У двовимірному випадку, якщо щільність існує, кожен локус рівної щільності (множина пар x1, x2, які надають певне значення ) є еліпсом або об'єднанням еліпсів (звідси і назва еліптичний розподіл). Більш загально, для довільного n, локуси ізо-щільності є об'єднаннями еліпсоїдів. Усі ці еліпсоїди або еліпси мають спільний центр μ і є масштабованими копіями (гомотетами) один одного.

Багатовимірний нормальний розподіл — це особливий випадок, коли . Хоча багатовимірний нормальний розподіл необмежений (кожен елемент може приймати довільно великі позитивні або негативні значення з ненульовою ймовірністю, оскільки для всіх невід’ємних ), загалом еліптичні розподіли можуть бути обмеженими або необмеженими — такий розподіл обмежений, якщо для всіх більше деякого значення.

Існують еліптичні розподіли, у яких не визначене середнє, наприклад розподіл Коші (навіть у одновимірному випадку). Оскільки змінна x входить у функцію щільності квадратично, усі еліптичні розподіли є симетричними[en] відносно

Якщо дві підмножини спільного еліптичного випадкового вектора є некорельованими, то, якщо їх середні існують, вони є незалежними середніми[en] одне від одного (середнє значення кожного підвектора, обумовлене значенням іншого підвектора, дорівнює безумовному середньому).

Якщо випадковий вектор X розподілений еліптично, то це вірно і для DX для будь-якої матриці D із повним рангом рядка. Таким чином, будь-яка лінійна комбінація компонентів X є еліптичною (хоча і не обов'язково з однаковим еліптичним розподілом), а будь-яка підмножина X є еліптичною.

Застосування ред.

Еліптичні розподіли використовуються в статистиці та економіці.

У математичній економіці еліптичні розподіли використовувались для опису портфелів[en] у фінансовій математиці.

Статистика: Узагальнений багатовимірний аналіз ред.

У статистиці багатовимірний нормальний розподіл (Гаусса) використовується в класичному багатофакторному аналізі, в якому мотивовано більшість методів оцінки та перевірки гіпотез для нормального розподілу. На відміну від класичного багатовимірного аналізу, узагальнений багатовимірний аналіз відноситься до досліджень еліптичних розподілів не обмежених вимогою нормальності.

Для відповідних еліптичних розподілів деякі класичні методи продовжують володіти хорошими властивостями. З припущенням про скінченну дисперсію виконується розширення теореми Кокрана[en] (про розподіл квадратних форм).

Сферичний розподіл ред.

Еліптичний розподіл із нульовим середнім значенням та дисперсією у формі , де є матрицею ідентичності, називається сферичним розподілом. Для сферичних розподілів були розширені класичні результати з оцінки параметрів та перевірки гіпотез. Подібні результати справедливі для лінійних моделей, а також для складних моделей (особливо для моделі кривої зростання[en]). В аналізі багатовимірних моделей використовуються багатолінійна алгебра (зокрема добутки Кронекера і векторизація[en]) та матричне числення[en].

Робастна статистика: Асимптотика ред.

Іншим використанням еліптичних розподілів є робастна статистика, де досліджується як статистичні процедури виконуються для класу еліптичних розподілів, щоб отримати уявлення про ефективність процедур щодо ще більш загальних проблем, наприклад, за допомогою теорії асимптот статистики[en].

Економіка та фінанси ред.

Еліптичні розподіли мають важливе значення в теорії портфеля, оскільки, якщо прибутковість усіх активів, доступних для формування портфеля, розподіляється спільно еліптично, то всі портфелі можуть бути повністю охарактеризовані за своїм місцезнаходженням та масштабом – тобто будь-які два портфелі з однаковим розташуванням і масштабом доходності портфеля мають однаковий розподіл прибутковості портфеля. Різні особливості аналізу портфеля, включаючи теорему про розподіл пайових фондів[en] та модель ціноутворення капіталу, мають місце для всіх еліптичних розподілів.

Примітки ред.

  1. Cambanis, Huang та Simons, (1981, с. 368)
  2. Fang, Kotz та Ng, (1990, Chapter 2.9 "Complex elliptically symmetric distributions", pp. 64-66)
  3. Johnson, (1987, Chapter 6, "Elliptically contoured distributions, pp. 106-124): Johnson, Mark E. (1987). Multivariate statistical simulation: A guide to selecting and generating continuous multivariate distributions. John Wiley and Sons. , «an admirably lucid discussion» according to Fang, Kotz та Ng, (1990, с. 27).
  4. Frahm, G., Junker, M., & Szimayer, A. (2003). Elliptical copulas: Applicability and limitations. Statistics & Probability Letters, 63(3), 275—286.
  5. Nolan, John (29 вересня 2014). Multivariate stable densities and distribution functions: general and elliptical case. Процитовано 26 травня 2017. 
  6. Pascal, F. (2013). Parameter Estimation For Multivariate Generalized Gaussian Distributions. IEEE Transactions on Signal Processing 61 (23): 5960–5971. arXiv:1302.6498. doi:10.1109/TSP.2013.2282909. 
  7. ↑ Schmidt, Rafael (2012). Credit Risk Modeling and Estimation via Elliptical Copulae. У Bol, George. Credit Risk: Measurement, Evaluation and Management. Springer. с. 274. ISBN 9783642593659. 
  8. ↑ Owen та Rabinovitch, (1983)
  9. (Gupta, Varga та Bodnar, 2013)
  10. (Chamberlain 1983; Owen and Rabinovitch 1983)
  11. Anderson, (2004, The final section of the text (before "Problems") that are always entitled "Elliptically contoured distributions", of the following chapters: Chapters 3 ("Estimation of the mean vector and the covariance matrix", Section 3.6, pp. 101-108), 4 ("The distributions and uses of sample correlation coefficients", Section 4.5, pp. 158-163), 5 ("The generalized T2-statistic", Section 5.7, pp. 199-201), 7 ("The distribution of the sample covariance matrix and the sample generalized variance", Section 7.9, pp. 242-248), 8 ("Testing the general linear hypothesis; multivariate analysis of variance", Section 8.11, pp. 370-374), 9 ("Testing independence of sets of variates", Section 9.11, pp. 404-408), 10 ("Testing hypotheses of equality of covariance matrices and equality of mean vectors and covariance vectors", Section 10.11, pp. 449-454), 11 ("Principal components", Section 11.8, pp. 482-483), 13 ("The distribution of characteristic roots and vectors", Section 13.8, pp. 563-567))
  12. ↑ Fang та Zhang, (1990)
  13. Fang та Zhang, (1990, Chapter 2.8 "Distribution of quadratic forms and Cochran's theorem", pp. 74-81)
  14. Fang та Zhang, (1990, Chapter 2.5 "Spherical distributions", pp. 53-64)
  15. Fang та Zhang, (1990, Chapter IV "Estimation of parameters", pp. 127-153)
  16. Fang та Zhang, (1990, Chapter V "Testing hypotheses", pp. 154-187)
  17. Fang та Zhang, (1990, Chapter VII "Linear models", pp. 188-211)
  18. Pan та Fang, (2007, с. ii)
  19. Kollo та von Rosen, (2005, с. xiii)
  20. Kariya, Takeaki; Sinha, Bimal K. (1989). Robustness of statistical tests. Academic Press. ISBN 0123982308. 
  21. Kollo та von Rosen, (2005, с. 221)
  22. Chamberlain, (1983)

Посилання ред.

  • Anderson, T. W. (2004). An introduction to multivariate statistical analysis (вид. 3rd). New York: John Wiley and Sons. ISBN 9789812530967. 
  • Cambanis, Stamatis; Huang, Steel; Simons, Gordon (1981). On the theory of elliptically contoured distributions. Journal of Multivariate Analysis 11 (3): 368–385. doi:10.1016/0047-259x(81)90082-8. 
  • Chamberlain, G. (1983). «A characterization of the distributions that imply mean-variance utility functions», Journal of Economic Theory 29, 185—201. DOI:10.1016/0022-0531(83)90129-1
  • Fang, Kai-Tai; Zhang, Yao-Ting (1990). Generalized multivariate analysis. Science Press (Beijing) and Springer-Verlag (Berlin). ISBN 3540176519. OCLC 622932253. 
  • Fang, Kai-Tai; Kotz, Samuel; Ng, Kai Wang ("Kai-Wang" on front cover) (1990). Symmetric multivariate and related distributions. Monographs on statistics and applied probability 36. London: Chapman and Hall. ISBN 0-412-314-304. OCLC 123206055. 
  • Gupta, Arjun K.; Varga, Tamas; Bodnar, Taras (2013). Elliptically contoured models in statistics and portfolio theory (вид. 2nd). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4614-8153-9. doi:10.1007/978-1-4614-8154-6. 
  • Kollo, Tõnu; von Rosen, Dietrich (2005). Advanced multivariate statistics with matrices. Dordrecht: Springer. ISBN 978-1-4020-3418-3. 
  • Owen, J., and Rabinovitch, R. (1983). «On the class of elliptical distributions and their applications to the theory of portfolio choice», Journal of Finance 38, 745—752. JSTOR 2328079
  • Pan, Jianxin; Fang, Kaitai (2007). . Springer series in statistics. Science Press (Beijing) and Springer-Verlag (New York). ISBN 9780387950532. OCLC 44162563. doi:10.1007/978-0-387-21812-0. Архів оригіналу за 3 березня 2022. Процитовано 29 грудня 2020. 
  • Fang, Kai-Tai; Anderson, T. W., ред. (1990). Statistical inference in elliptically contoured and related distributions. New York: Allerton Press. ISBN 0898640482. OCLC 20490516.  A collection of papers.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Eliptichnij rozpodil ce bud yakij chlen shirokogo simejstva rozpodiliv jmovirnostej sho uzagalnyuye bagatovimirnij normalnij rozpodil Intuyitivno zrozumilo u sproshenomu dvo i trivimirnomu vipadku spilnij rozpodil utvoryuye elips ta elipsoyid vidpovidno na grafikah rivnoyi shilnosti U statistici normalnij rozpodil vikoristovuyetsya v klasichnomu bagatovimirnomu analizi todi yak eliptichni rozpodili vikoristovuyutsya v uzagalnenomu bagatovimirnomu analizi dlya vivchennya simetrichnih rozpodiliv z vazhkimi hvostami en yak bagatovimirnij t rozpodil en abo legkimi u porivnyanni z normalnim rozpodilom Deyaki statistichni metodi spochatku priznacheni dlya vivchennya normalnogo rozpodilu mayut horoshi pokazniki dlya zagalnih eliptichnih rozpodiliv zi skinchennoyu dispersiyeyu osoblivo dlya sferichnih rozpodiliv yaki viznacheni nizhche Eliptichni rozpodili takozh vikoristovuyutsya v robastnij statistici dlya ocinki zaproponovanih bagatovimirnih statistichnih procedur Zmist 1 Viznachennya 1 1 Prikladi 2 Vlastivosti 3 Zastosuvannya 3 1 Statistika Uzagalnenij bagatovimirnij analiz 3 1 1 Sferichnij rozpodil 3 1 2 Robastna statistika Asimptotika 3 2 Ekonomika ta finansi 4 Primitki 5 PosilannyaViznachennya red Eliptichni rozpodili viznachayutsya z tochki zoru harakteristichnih funkcij u teoriyi jmovirnostej Vipadkovij vektor X displaystyle X nbsp na evklidovomu prostori maye eliptichnij rozpodil yaksho jogo harakteristichna funkciya ϕ displaystyle phi nbsp zadovolnyaye nastupnomu funkcionalnomu rivnyannyu dlya kozhnogo stovpcya vektora t displaystyle t nbsp ϕ X m t ps t S t displaystyle phi X mu t psi t Sigma t nbsp dlya deyakogo koeficiyentu zsuvu m displaystyle mu nbsp deyakoyi nevid yemno viznachenoyi matrici en S displaystyle Sigma nbsp i deyakoyi skalyarnoyi funkciyi ps displaystyle psi nbsp 1 Viznachennya eliptichnih rozpodiliv dlya realnih vipadkovih vektoriv bulo rozshireno dlya rozmishennya vipadkovih vektoriv v evklidovih prostorah nad polyami kompleksnih chisel sho polegshuye zastosuvannya v analizi chasovih ryadiv 2 Dostupni obchislyuvalni metodi dlya generuvannya psevdovipadkovih vektoriv z eliptichnimi rozpodilami dlya vikoristannya napriklad u metodi Monte Karlo u komp yuternomu modelyuvanni 3 Deyaki eliptichni rozpodili mayut alternativne viznachennya z tochki zoru yih funkciyi shilnosti Eliptichnij rozpodil z funkciyeyu shilnosti f maye viglyad f x k g x m S 1 x m displaystyle f x k cdot g x mu Sigma 1 x mu nbsp de k displaystyle k nbsp normuyucha konstanta en x displaystyle x nbsp ye n displaystyle n nbsp vimirnoyu vipadkovoyu velichinoyu z mediannim vektorom m displaystyle mu nbsp yakij takozh ye vektorom serednih znachen yaksho ostannij isnuye a S displaystyle Sigma nbsp ye pozitivno viznachenoyu matriceyu yaka ye proporcijnoyu do kovariacijnoyi matrici yaksho ostannya isnuye 4 Prikladi red Prikladi vklyuchayut taki bagatovimirni rozpodili jmovirnostej Bagatovimirnij normalnij rozpodil Bagatovimirnij t rozpodil Simetrichnij bagatovimirnij stabilnij rozpodil en 5 Simetrichnij bagatovimirnij rozpodil Laplasa en 6 Bagatovimirnij logistichnij rozpodil 7 Bagatovimirnij simetrichnij zagalnij giperbolichnij rozpodil en 7 Vlastivosti red U dvovimirnomu vipadku yaksho shilnist isnuye kozhen lokus rivnoyi shilnosti mnozhina par x1 x2 yaki nadayut pevne znachennya f x displaystyle f x nbsp ye elipsom abo ob yednannyam elipsiv zvidsi i nazva eliptichnij rozpodil Bilsh zagalno dlya dovilnogo n lokusi izo shilnosti ye ob yednannyami elipsoyidiv Usi ci elipsoyidi abo elipsi mayut spilnij centr m i ye masshtabovanimi kopiyami gomotetami odin odnogo Bagatovimirnij normalnij rozpodil ce osoblivij vipadok koli g z e z 2 displaystyle g z e z 2 nbsp Hocha bagatovimirnij normalnij rozpodil neobmezhenij kozhen element x displaystyle x nbsp mozhe prijmati dovilno veliki pozitivni abo negativni znachennya z nenulovoyu jmovirnistyu oskilki e z 2 gt 0 displaystyle e z 2 gt 0 nbsp dlya vsih nevid yemnih z displaystyle z nbsp zagalom eliptichni rozpodili mozhut buti obmezhenimi abo neobmezhenimi takij rozpodil obmezhenij yaksho g z 0 displaystyle g z 0 nbsp dlya vsih z displaystyle z nbsp bilshe deyakogo znachennya Isnuyut eliptichni rozpodili u yakih ne viznachene serednye napriklad rozpodil Koshi navit u odnovimirnomu vipadku Oskilki zminna x vhodit u funkciyu shilnosti kvadratichno usi eliptichni rozpodili ye simetrichnimi en vidnosno m displaystyle mu nbsp Yaksho dvi pidmnozhini spilnogo eliptichnogo vipadkovogo vektora ye nekorelovanimi to yaksho yih seredni isnuyut voni ye nezalezhnimi serednimi en odne vid odnogo serednye znachennya kozhnogo pidvektora obumovlene znachennyam inshogo pidvektora dorivnyuye bezumovnomu serednomu 8 Yaksho vipadkovij vektor X rozpodilenij eliptichno to ce virno i dlya DX dlya bud yakoyi matrici D iz povnim rangom ryadka Takim chinom bud yaka linijna kombinaciya komponentiv X ye eliptichnoyu hocha i ne obov yazkovo z odnakovim eliptichnim rozpodilom a bud yaka pidmnozhina X ye eliptichnoyu 8 Zastosuvannya red Eliptichni rozpodili vikoristovuyutsya v statistici ta ekonomici U matematichnij ekonomici eliptichni rozpodili vikoristovuvalis dlya opisu portfeliv en u finansovij matematici 9 10 Statistika Uzagalnenij bagatovimirnij analiz red U statistici bagatovimirnij normalnij rozpodil Gaussa vikoristovuyetsya v klasichnomu bagatofaktornomu analizi v yakomu motivovano bilshist metodiv ocinki ta perevirki gipotez dlya normalnogo rozpodilu Na vidminu vid klasichnogo bagatovimirnogo analizu uzagalnenij bagatovimirnij analiz vidnositsya do doslidzhen eliptichnih rozpodiliv ne obmezhenih vimogoyu normalnosti Dlya vidpovidnih eliptichnih rozpodiliv deyaki klasichni metodi prodovzhuyut voloditi horoshimi vlastivostyami 11 12 Z pripushennyam pro skinchennu dispersiyu vikonuyetsya rozshirennya teoremi Kokrana en pro rozpodil kvadratnih form 13 Sferichnij rozpodil red Eliptichnij rozpodil iz nulovim serednim znachennyam ta dispersiyeyu u formi a I displaystyle alpha I nbsp de I displaystyle I nbsp ye matriceyu identichnosti nazivayetsya sferichnim rozpodilom 14 Dlya sferichnih rozpodiliv buli rozshireni klasichni rezultati z ocinki parametriv ta perevirki gipotez 15 16 Podibni rezultati spravedlivi dlya linijnih modelej 17 a takozh dlya skladnih modelej osoblivo dlya modeli krivoyi zrostannya en V analizi bagatovimirnih modelej vikoristovuyutsya bagatolinijna algebra zokrema dobutki Kronekera i vektorizaciya en ta matrichne chislennya en 12 18 19 Robastna statistika Asimptotika red Inshim vikoristannyam eliptichnih rozpodiliv ye robastna statistika de doslidzhuyetsya yak statistichni proceduri vikonuyutsya dlya klasu eliptichnih rozpodiliv shob otrimati uyavlennya pro efektivnist procedur shodo she bilsh zagalnih problem 20 napriklad za dopomogoyu teoriyi asimptot statistiki en 21 Ekonomika ta finansi red Eliptichni rozpodili mayut vazhlive znachennya v teoriyi portfelya oskilki yaksho pributkovist usih aktiviv dostupnih dlya formuvannya portfelya rozpodilyayetsya spilno eliptichno to vsi portfeli mozhut buti povnistyu oharakterizovani za svoyim misceznahodzhennyam ta masshtabom tobto bud yaki dva portfeli z odnakovim roztashuvannyam i masshtabom dohodnosti portfelya mayut odnakovij rozpodil pributkovosti portfelya 22 8 Rizni osoblivosti analizu portfelya vklyuchayuchi teoremu pro rozpodil pajovih fondiv en ta model cinoutvorennya kapitalu mayut misce dlya vsih eliptichnih rozpodiliv 8 Primitki red Cambanis Huang ta Simons 1981 s 368 Fang Kotz ta Ng 1990 Chapter 2 9 Complex elliptically symmetric distributions pp 64 66 Johnson 1987 Chapter 6 Elliptically contoured distributions pp 106 124 Johnson Mark E 1987 Multivariate statistical simulation A guide to selecting and generating continuous multivariate distributions John Wiley and Sons an admirably lucid discussion according to Fang Kotz ta Ng 1990 s 27 Frahm G Junker M amp Szimayer A 2003 Elliptical copulas Applicability and limitations Statistics amp Probability Letters 63 3 275 286 Nolan John 29 veresnya 2014 Multivariate stable densities and distribution functions general and elliptical case Procitovano 26 travnya 2017 Pascal F 2013 Parameter Estimation For Multivariate Generalized Gaussian Distributions IEEE Transactions on Signal Processing 61 23 5960 5971 arXiv 1302 6498 doi 10 1109 TSP 2013 2282909 a b Schmidt Rafael 2012 Credit Risk Modeling and Estimation via Elliptical Copulae U Bol George Credit Risk Measurement Evaluation and Management Springer s 274 ISBN 9783642593659 a b v g Owen ta Rabinovitch 1983 Gupta Varga ta Bodnar 2013 Chamberlain 1983 Owen and Rabinovitch 1983 Anderson 2004 The final section of the text before Problems that are always entitled Elliptically contoured distributions of the following chapters Chapters 3 Estimation of the mean vector and the covariance matrix Section 3 6 pp 101 108 4 The distributions and uses of sample correlation coefficients Section 4 5 pp 158 163 5 The generalized T2 statistic Section 5 7 pp 199 201 7 The distribution of the sample covariance matrix and the sample generalized variance Section 7 9 pp 242 248 8 Testing the general linear hypothesis multivariate analysis of variance Section 8 11 pp 370 374 9 Testing independence of sets of variates Section 9 11 pp 404 408 10 Testing hypotheses of equality of covariance matrices and equality of mean vectors and covariance vectors Section 10 11 pp 449 454 11 Principal components Section 11 8 pp 482 483 13 The distribution of characteristic roots and vectors Section 13 8 pp 563 567 a b Fang ta Zhang 1990 Fang ta Zhang 1990 Chapter 2 8 Distribution of quadratic forms and Cochran s theorem pp 74 81 Fang ta Zhang 1990 Chapter 2 5 Spherical distributions pp 53 64 Fang ta Zhang 1990 Chapter IV Estimation of parameters pp 127 153 Fang ta Zhang 1990 Chapter V Testing hypotheses pp 154 187 Fang ta Zhang 1990 Chapter VII Linear models pp 188 211 Pan ta Fang 2007 s ii Kollo ta von Rosen 2005 s xiii Kariya Takeaki Sinha Bimal K 1989 Robustness of statistical tests Academic Press ISBN 0123982308 Kollo ta von Rosen 2005 s 221 Chamberlain 1983 Posilannya red Anderson T W 2004 An introduction to multivariate statistical analysis vid 3rd New York John Wiley and Sons ISBN 9789812530967 Cambanis Stamatis Huang Steel Simons Gordon 1981 On the theory of elliptically contoured distributions Journal of Multivariate Analysis 11 3 368 385 doi 10 1016 0047 259x 81 90082 8 Chamberlain G 1983 A characterization of the distributions that imply mean variance utility functions Journal of Economic Theory 29 185 201 DOI 10 1016 0022 0531 83 90129 1 Fang Kai Tai Zhang Yao Ting 1990 Generalized multivariate analysis Science Press Beijing and Springer Verlag Berlin ISBN 3540176519 OCLC 622932253 Fang Kai Tai Kotz Samuel Ng Kai Wang Kai Wang on front cover 1990 Symmetric multivariate and related distributions Monographs on statistics and applied probability 36 London Chapman and Hall ISBN 0 412 314 304 OCLC 123206055 Gupta Arjun K Varga Tamas Bodnar Taras 2013 Elliptically contoured models in statistics and portfolio theory vid 2nd New York Springer Verlag ISBN 978 1 4614 8153 9 doi 10 1007 978 1 4614 8154 6 Originally Gupta Arjun K Varga Tamas 1993 Elliptically contoured models in statistics Mathematics and Its Applications vid 1st Dordrecht Kluwer Academic Publishers ISBN 0792326083 Kollo Tonu von Rosen Dietrich 2005 Advanced multivariate statistics with matrices Dordrecht Springer ISBN 978 1 4020 3418 3 Owen J and Rabinovitch R 1983 On the class of elliptical distributions and their applications to the theory of portfolio choice Journal of Finance 38 745 752 JSTOR 2328079 Pan Jianxin Fang Kaitai 2007 Growth curve models and statistical diagnostics Springer series in statistics Science Press Beijing and Springer Verlag New York ISBN 9780387950532 OCLC 44162563 doi 10 1007 978 0 387 21812 0 Arhiv originalu za 3 bereznya 2022 Procitovano 29 grudnya 2020 Fang Kai Tai Anderson T W red 1990 Statistical inference in elliptically contoured and related distributions New York Allerton Press ISBN 0898640482 OCLC 20490516 A collection of papers Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Eliptichnij rozpodil amp oldid 38371345