Теорема Бельтрамі — Еннепера — теорема про властивості асимптотичних ліній регулярних поверхонь.
Теорема доведена незалежно один від одного Еудженіо Бельтрамі у 1866 році у і Альфредом Еннепером у 1870 році.
Твердження теореми ред.
Якщо кривина асимптотичної лінії в заданій точці не є рівною нулю то квадрат скруту цієї лінії дорівнює кривині поверхні у цій точці зі знаком мінус.
Для асимптотичної кривої, якщо визначена дотична площина, то вона збігається з дотичною площиною до поверхні. Тому замість квадрата скруту потрібно взяти квадрат швидкості обертання дотичної площини в цій точці при зміщенні по асимптотичній кривій. Це переформулювання є корисним коли кривина асимптотичної лінії в точці дорівнює нулю і отже дотична площина є невизначеною.
Доведення ред.
Нехай — асимптотична крива на регулярній поверхні S. Оскільки за означенням нормальна кривина у напрямку є рівною нулю і є ненульовим вектором (оскільки кривина є ненульовою), то з означень нормальної кривини і теореми Меньє випливає, що вектор є ортогональним до N (нормалі до поверхні). Тоді також де позначає бінормаль у точках кривої. Тоді за означенням
Останній вираз можна переписати через відображення Вейнгартена як де — третя фундаментальна форма і використана самоспряженість оператора Вейнгартена.
Три фундаментальні форми задовольняють рівність З означення асимптотичної кривої також оскільки крива задана натуральною параметризацією.
Об'єднуючи всі рівності, маємо
Див. також ред.
Література ред.
- Toponogov, Victor A. (2005). Differential Geometry of Curves and Surfaces: A Concise Guide. Birkhauser. ISBN 0-8176-4384-2.