www.wikidata.uk-ua.nina.az

Система коренів Ця стаття описує систему коренів у математиці для опису кореневої системи рослин дивіться корінь У матем

Система коренів

У математиці система коренів (коренева система) — це конфігурація векторів в евклідовому просторі, що задовольняє певним геометричним властивостям. Ця концепція є фундаментальною в теорії груп Лі. З тих пір як групи Лі (і деякі інші аналоги, такі як алгебричні групи) протягом двадцятого століття з'явилися в багатьох розділах математики. Більш того, класифікація систем коренів за схемами Динкіна​​ зустрічається в розділах математики, не пов'язаних явно з групами Лі (наприклад, в теорії сингулярностей).

Означення Редагувати

Нехай  — скінченновимірний евклідів простір із звичайним скалярним добутком, позначеним як . Система корнів у  — це скінченна множина ненульових векторів (званих корнями), що задовільняють наступним властивостям.

Цілістна умова для змушує лежати на одній з вертикальних прямих. Комбінація цієї умови з цілістною умовою для зводить можливі кути між и не більш ніж до двох, для кожної з вертикальних прямих.
  1. є лінійною оболонкою системи коренів.
  2. Якщо два кореня , є колінеарними векторами, то або вони збігаються, або .
  3. Для кожного кореня множина замкнута відносно віддзеркалення в гіперплощині, що перпендикулярна . Тобто для будь-яких двох коренів і , множина містить віддзеркалення
  4. (Умова цілісності) Якщо і є коренями у , тоді проєкція на пряму, що проходить через , є напівцілим добутком . Тобто

Беручи до уваги властивість 3, умова цілісності еквівалентна твердженню, що різниця між та його відображенням дорівнює корню , помноженому на ціле число. Слід зазначити, що оператор

визначений властивістю 4, не є скалярним добутком. Він не симетричний і лінійний лише за першим аргументом.

Класифікація систем коренів за схемою Динкіна Редагувати

Приклади системи коренів рангу 1 і рангу 2 Редагувати

Існує тільки одна система коренів рангу 1, вона складається з двох ненульових векторів . Ця система називається .

У ранзі 2 існують чотири можливі варіанти , де .

Система коренів Система коренів
Система коренів Система коренів
Система коренів рангу 2

Посилання Редагувати

  • Дынкин Е. Б. Структура полупростых алгебр Ли // Успехи математических наук. — 1947. — Т. 2, вип. 4(20). — С. 59–127.
  • Дынкин Е. Б. Классификация простых групп Ли // Математический сборник. — 1946. — Т. 18(60), вип. 3. — С. 347–352.
  • Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. — М.: МЦНМО, 2008. — 216 с.
  • Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам — М.: УРСС, 1995. — 344 с.
  • Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы / Пер. с англ./Под ред. В. П. Платонова. — М.: Наука, 1980. — 400 с.
  • Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (часть 2) / Пер. с франц./Под ред. А. И. Кострикина. — М.: Мир, 1972. — 332 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Cya stattya opisuye sistemu koreniv u matematici dlya opisu korenevoyi sistemi roslin divitsya korin U matematici sistema koreniv koreneva sistema ce konfiguraciya vektoriv v evklidovomu prostori sho zadovolnyaye pevnim geometrichnim vlastivostyam Cya koncepciya ye fundamentalnoyu v teoriyi grup Li Z tih pir yak grupi Li i deyaki inshi analogi taki yak algebrichni grupi protyagom dvadcyatogo stolittya z yavilisya v bagatoh rozdilah matematiki Bilsh togo klasifikaciya sistem koreniv za shemami Dinkina zustrichayetsya v rozdilah matematiki ne pov yazanih yavno z grupami Li napriklad v teoriyi singulyarnostej Zmist 1 Oznachennya 2 Klasifikaciya sistem koreniv za shemoyu Dinkina 3 Prikladi sistemi koreniv rangu 1 i rangu 2 4 PosilannyaOznachennya RedaguvatiNehaj V displaystyle V nbsp skinchennovimirnij evklidiv prostir iz zvichajnim skalyarnim dobutkom poznachenim yak displaystyle cdot cdot nbsp Sistema korniv u V displaystyle V nbsp ce skinchenna mnozhina F displaystyle Phi nbsp nenulovih vektoriv zvanih kornyami sho zadovilnyayut nastupnim vlastivostyam nbsp Cilistna umova dlya a b displaystyle scriptstyle langle alpha beta rangle nbsp zmushuye b displaystyle scriptstyle beta nbsp lezhati na odnij z vertikalnih pryamih Kombinaciya ciyeyi umovi z cilistnoyu umovoyu dlya a b displaystyle scriptstyle langle alpha beta rangle nbsp zvodit mozhlivi kuti mizh a displaystyle scriptstyle alpha nbsp i b displaystyle scriptstyle beta nbsp ne bilsh nizh do dvoh dlya kozhnoyi z vertikalnih pryamih V displaystyle V nbsp ye linijnoyu obolonkoyu sistemi koreniv Yaksho dva korenya a F displaystyle alpha in Phi nbsp b F displaystyle beta in Phi nbsp ye kolinearnimi vektorami to abo voni zbigayutsya abo b a displaystyle beta alpha nbsp Dlya kozhnogo korenya a F displaystyle alpha in Phi nbsp mnozhina F displaystyle Phi nbsp zamknuta vidnosno viddzerkalennya v giperploshini sho perpendikulyarna a displaystyle alpha nbsp Tobto dlya bud yakih dvoh koreniv a displaystyle alpha nbsp i b displaystyle beta nbsp mnozhina F displaystyle Phi nbsp mistit viddzerkalennya b displaystyle beta nbsp s a b b 2 a b a a a F displaystyle sigma alpha beta beta 2 frac alpha beta alpha alpha alpha in Phi nbsp Umova cilisnosti Yaksho a displaystyle alpha nbsp i b displaystyle beta nbsp ye korenyami u F displaystyle Phi nbsp todi proyekciya b displaystyle beta nbsp na pryamu sho prohodit cherez a displaystyle alpha nbsp ye napivcilim dobutkom a displaystyle alpha nbsp Tobto b a 2 a b a a Z displaystyle langle beta alpha rangle 2 frac alpha beta alpha alpha in mathbb Z nbsp Beruchi do uvagi vlastivist 3 umova cilisnosti ekvivalentna tverdzhennyu sho riznicya mizh b displaystyle beta nbsp ta jogo vidobrazhennyam s a b displaystyle sigma alpha beta nbsp dorivnyuye kornyu a displaystyle alpha nbsp pomnozhenomu na cile chislo Slid zaznachiti sho operator F F Z displaystyle langle cdot cdot rangle colon Phi times Phi to mathbb Z nbsp viznachenij vlastivistyu 4 ne ye skalyarnim dobutkom Vin ne simetrichnij i linijnij lishe za pershim argumentom Klasifikaciya sistem koreniv za shemoyu Dinkina Redaguvati nbsp Prikladi sistemi koreniv rangu 1 i rangu 2 RedaguvatiIsnuye tilki odna sistema koreniv rangu 1 vona skladayetsya z dvoh nenulovih vektoriv a a displaystyle alpha alpha nbsp Cya sistema nazivayetsya A 1 displaystyle A 1 nbsp U ranzi 2 isnuyut chotiri mozhlivi varianti s a b b n a displaystyle sigma alpha beta beta n alpha nbsp de n 0 1 2 3 displaystyle n 0 1 2 3 nbsp nbsp nbsp Sistema koreniv A 1 A 1 displaystyle A 1 times A 1 nbsp Sistema koreniv A 2 displaystyle A 2 nbsp nbsp nbsp Sistema koreniv B 2 displaystyle B 2 nbsp Sistema koreniv G 2 displaystyle G 2 nbsp Sistema koreniv rangu 2Posilannya RedaguvatiDynkin E B Struktura poluprostyh algebr Li Uspehi matematicheskih nauk 1947 T 2 vip 4 20 S 59 127 Dynkin E B Klassifikaciya prostyh grupp Li Matematicheskij sbornik 1946 T 18 60 vip 3 S 347 352 Hamfris Dzh Vvedenie v teoriyu algebr Li i ih predstavlenij Perev s angl B R Frenkina M MCNMO 2008 216 s Vinberg E B Onishik A L Seminar po gruppam Li i algebraicheskim gruppam M URSS 1995 344 s Hamfri Dzh Linejnye algebraicheskie gruppy Per s angl Pod red V P Platonova M Nauka 1980 400 s Burbaki N Gruppy i algebry Li chast 2 Per s franc Pod red A I Kostrikina M Mir 1972 332 s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Sistema koreniv amp oldid 36304516