www.wikidata.uk-ua.nina.az

Розкладання на прості дроби Метод невизначених коефіцієнтів англ partial fraction decomposition алгебраїчного дробу тако

Розкладання на прості дроби

Метод невизначених коефіцієнтів (Розкладання на прості дроби) (англ. partial fraction decomposition) алгебраїчного дробу (такого дробу, що чисельник і знаменник обидва многочлени) — це операція, яка складається з вираження дробу як суми многочлена (можливо нуля) і одного або кількох дробів з простішими знаменниками.

Розкладання на прості дроби є досить важливим наприклад у інтегральному численні, оскільки цей алгоритм дає можливість обчислити первісну раціональної функції набагато простіше.

Розкладання на прості дроби можна використати, щоб привести раціональний дріб форми

де ƒ і g є многочленами, до виразу форми

де gj (x) це многочлени які є дільниками g(x), і зазвичай меншого степеню. Отже, розклад на прості дроби можна розглядати як процедуру обернену до простішої операції додавання алгебраїчних дробів, результатом якої є єдиний алгебраїчний дріб з чисельником і знаменником зазвичай вищого степеню. Повний розклад проводить перетворення так далеко як тільки можливо: інакше кажучи, g факторизується на стільки, на скільки це можливо. Отже, на виході повного розкладу на прості дроби ми маємо суму дробів, де:

  • знаменник кожного виразу степінь незвідного многочлена і
  • чисельник — многочлен меншого степеня ніж цей незвідний многочлен. Для зменшення степеня чисельника напряму, можна використати евклідове ділення многочленів, але якщо ƒ меншого степеня ніж g це не допоможе.

Приклади Редагувати

Приклад 1 Редагувати

Тут знаменник можна розкласти на два різні лінійні множники:

Отже, ми маємо такий розклад

Множення на x2 + 2x − 3 дає нам таке рівняння

Заміна x = −3 дає A = −1/4 і заміна x = 1 дає B = 1/4. Отже,

Приклад 2 Редагувати

Після ділення многочленів, ми маємо

Оскільки (−4)2 − 4×8 = −16 < 0, множник x2 − 4x + 8 є незвідним і розклад на прості дроби над полем дійсних чисел такий

Множачи на x3 − 4x2 + 8x, отримуємо тотожність

Беручи x = 0, ми бачимо, що 16 = 8A, отже A = 2. Порівнюючи коефіцієнти при x2 ми бачимо, що 4 = A + B = 2 + B, отже B = 2. З порівняння лінійних коефіцієнтів ми бачимо, що −8 = −4A + C = −8 + C, отже C = 0. В підсумку,

Приклад 3 Редагувати

Цей приклад демонструє майже всі можливі хитрощі, які могли б знадобитися в розв'язанні за допомогою СКА.

Після ділення многочленів і факторизації знаменника, маємо

Розклавши на прості дроби отримує таку форму

Множачи на (x − 1)3(x2 + 1)2 переходимо до тотожних многочленів

Беручи x = 1 отримуємо 4 = 4C, отже C = 1. Так само, беручи x = i отримуємо 2 + 2i = (Fi + G)(2 + 2i), отже Fi + G = 1, звідси F = 0 і G = 1 через прирівнювання дійсних і уявних складових. З C = G = 1 і F = 0, беручи x = 0 ми отримуємо A − B + 1 − E − 1 = 0, таким чином E = A − B.

Маємо тотожність

Розкриваючи дужки і сортуючи степені x отримуємо

Тепер ми можемо порівняти коефіцієнти і побачити, що

з A = 2 − D і −A −3 D =−4 випливає, що A = D = 1 і з цього B = 0, далі C = 1, E = A − B = 1, F = 0 і G = 1.

Отже, розклад на прості дроби для ƒ(x) такий

Замість розкривання дужок, інші лінійні залежності коефіцієнтів можна було отримати через обчислення похідних у x=1 і x=i в попередній поліноміальній тотожності. (Для цього згадаймо, що похідна в x=a від (x−a)mp(x) зникає якщо m > 1 і є просто p(a) якщо m=1.) Отже, наприклад, перша похідна в x=1 дає

тобто 8 = 2B + 8 отже B=0.

Розкладання раціональних дробів на елементарні дроби Редагувати

Класичним прикладом застосування методу невизначених коефіцієнтів є розкладання правильного раціонального дробу в області комплексних або дійсних чисел на найпростіші дроби.

Нехай і — многочлени з комплексними коефіцієнтами, причому степінь многочлена менше степені многочлена , коефіцієнт при старшому члені многочлена дорівнює 1, ― корені многочлена з кратностями , отже,

Функція може бути подана, і причому єдиним способом, у вигляді суми елементарних дробів

де ― невідомі поки комплексні числа (їх кількість дорівнює степені ). Для їх знаходження обидві частини рівності приводять до спільного знаменника. Після його відкидання і приведення в правій частині подібних членів одержується рівність, яка зводиться до системи лінійних рівнянь відносно .

Примітка. Знаходження невідомих можна спростити, якщо має некратні корні . Після множення на останньої рівності і підстановки безпосередньо одержуємо значення відповідного коефіцієнта .

Джерела Редагувати

  • Корн Г., Корн Т. (1977). Справочник по математике для научних работников и инженеров (рос.) (вид. друге). Москва: Наука. с. 832 с. 

Див. також Редагувати

Посилання Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Metod neviznachenih koeficiyentiv Rozkladannya na prosti drobi angl partial fraction decomposition algebrayichnogo drobu takogo drobu sho chiselnik i znamennik obidva mnogochleni ce operaciya yaka skladayetsya z virazhennya drobu yak sumi mnogochlena mozhlivo nulya i odnogo abo kilkoh drobiv z prostishimi znamennikami Rozkladannya na prosti drobi ye dosit vazhlivim napriklad u integralnomu chislenni oskilki cej algoritm daye mozhlivist obchisliti pervisnu racionalnoyi funkciyi nabagato prostishe Rozkladannya na prosti drobi mozhna vikoristati shob privesti racionalnij drib formi f x g x displaystyle frac f x g x de ƒ i g ye mnogochlenami do virazu formi j f j x g j x displaystyle sum j frac f j x g j x de gj x ce mnogochleni yaki ye dilnikami g x i zazvichaj menshogo stepenyu Otzhe rozklad na prosti drobi mozhna rozglyadati yak proceduru obernenu do prostishoyi operaciyi dodavannya algebrayichnih drobiv rezultatom yakoyi ye yedinij algebrayichnij drib z chiselnikom i znamennikom zazvichaj vishogo stepenyu Povnij rozklad provodit peretvorennya tak daleko yak tilki mozhlivo inakshe kazhuchi g faktorizuyetsya na stilki na skilki ce mozhlivo Otzhe na vihodi povnogo rozkladu na prosti drobi mi mayemo sumu drobiv de znamennik kozhnogo virazu stepin nezvidnogo mnogochlena i chiselnik mnogochlen menshogo stepenya nizh cej nezvidnij mnogochlen Dlya zmenshennya stepenya chiselnika napryamu mozhna vikoristati evklidove dilennya mnogochleniv ale yaksho ƒ menshogo stepenya nizh g ce ne dopomozhe Zmist 1 Prikladi 1 1 Priklad 1 1 2 Priklad 2 1 3 Priklad 3 2 Rozkladannya racionalnih drobiv na elementarni drobi 3 Dzherela 4 Div takozh 5 PosilannyaPrikladi RedaguvatiPriklad 1 Redaguvati f x 1 x 2 2 x 3 displaystyle f x frac 1 x 2 2x 3 nbsp Tut znamennik mozhna rozklasti na dva rizni linijni mnozhniki q x x 2 2 x 3 x 3 x 1 displaystyle q x x 2 2x 3 x 3 x 1 nbsp Otzhe mi mayemo takij rozklad f x 1 x 2 2 x 3 A x 3 B x 1 displaystyle f x frac 1 x 2 2x 3 frac A x 3 frac B x 1 nbsp Mnozhennya na x2 2x 3 daye nam take rivnyannya 1 A x 1 B x 3 displaystyle 1 A x 1 B x 3 nbsp Zamina x 3 daye A 1 4 i zamina x 1 daye B 1 4 Otzhe f x 1 x 2 2 x 3 1 4 1 x 3 1 x 1 displaystyle f x frac 1 x 2 2x 3 frac 1 4 left frac 1 x 3 frac 1 x 1 right nbsp Priklad 2 Redaguvati f x x 3 16 x 3 4 x 2 8 x displaystyle f x frac x 3 16 x 3 4x 2 8x nbsp Pislya dilennya mnogochleniv mi mayemo f x 1 4 x 2 8 x 16 x 3 4 x 2 8 x 1 4 x 2 8 x 16 x x 2 4 x 8 displaystyle f x 1 frac 4x 2 8x 16 x 3 4x 2 8x 1 frac 4x 2 8x 16 x x 2 4x 8 nbsp Oskilki 4 2 4 8 16 lt 0 mnozhnik x2 4x 8 ye nezvidnim i rozklad na prosti drobi nad polem dijsnih chisel takij 4 x 2 8 x 16 x x 2 4 x 8 A x B x C x 2 4 x 8 displaystyle frac 4x 2 8x 16 x x 2 4x 8 frac A x frac Bx C x 2 4x 8 nbsp Mnozhachi na x3 4x2 8x otrimuyemo totozhnist 4 x 2 8 x 16 A x 2 4 x 8 B x C x displaystyle 4x 2 8x 16 A x 2 4x 8 Bx C x nbsp Beruchi x 0 mi bachimo sho 16 8A otzhe A 2 Porivnyuyuchi koeficiyenti pri x2 mi bachimo sho 4 A B 2 B otzhe B 2 Z porivnyannya linijnih koeficiyentiv mi bachimo sho 8 4A C 8 C otzhe C 0 V pidsumku f x 1 2 1 x x x 2 4 x 8 displaystyle f x 1 2 left frac 1 x frac x x 2 4x 8 right nbsp Priklad 3 Redaguvati Cej priklad demonstruye majzhe vsi mozhlivi hitroshi yaki mogli b znadobitisya v rozv yazanni za dopomogoyu SKA f x x 9 2 x 6 2 x 5 7 x 4 13 x 3 11 x 2 12 x 4 x 7 3 x 6 5 x 5 7 x 4 7 x 3 5 x 2 3 x 1 displaystyle f x frac x 9 2x 6 2x 5 7x 4 13x 3 11x 2 12x 4 x 7 3x 6 5x 5 7x 4 7x 3 5x 2 3x 1 nbsp Pislya dilennya mnogochleniv i faktorizaciyi znamennika mayemo f x x 2 3 x 4 2 x 6 4 x 5 5 x 4 3 x 3 x 2 3 x x 1 3 x 2 1 2 displaystyle f x x 2 3x 4 frac 2x 6 4x 5 5x 4 3x 3 x 2 3x x 1 3 x 2 1 2 nbsp Rozklavshi na prosti drobi otrimuye taku formu 2 x 6 4 x 5 5 x 4 3 x 3 x 2 3 x x 1 3 x 2 1 2 A x 1 B x 1 2 C x 1 3 D x E x 2 1 F x G x 2 1 2 displaystyle frac 2x 6 4x 5 5x 4 3x 3 x 2 3x x 1 3 x 2 1 2 frac A x 1 frac B x 1 2 frac C x 1 3 frac Dx E x 2 1 frac Fx G x 2 1 2 nbsp Mnozhachi na x 1 3 x2 1 2 perehodimo do totozhnih mnogochleniv 2 x 6 4 x 5 5 x 4 3 x 3 x 2 3 x A x 1 2 x 2 1 2 B x 1 x 2 1 2 C x 2 1 2 D x E x 1 3 x 2 1 F x G x 1 3 displaystyle begin aligned amp quad 2x 6 4x 5 5x 4 3x 3 x 2 3x amp A x 1 2 x 2 1 2 B x 1 x 2 1 2 C x 2 1 2 Dx E x 1 3 x 2 1 Fx G x 1 3 end aligned nbsp Beruchi x 1 otrimuyemo 4 4C otzhe C 1 Tak samo beruchi x i otrimuyemo 2 2i Fi G 2 2i otzhe Fi G 1 zvidsi F 0 i G 1 cherez pririvnyuvannya dijsnih i uyavnih skladovih Z C G 1 i F 0 beruchi x 0 mi otrimuyemo A B 1 E 1 0 takim chinom E A B Mayemo totozhnist 2 x 6 4 x 5 5 x 4 3 x 3 x 2 3 x A x 1 2 x 2 1 2 B x 1 x 2 1 2 x 2 1 2 D x A B x 1 3 x 2 1 x 1 3 A x 1 2 x 2 1 2 x 1 3 x 2 1 B x 1 x 2 1 x 1 3 x 2 1 x 2 1 2 D x x 1 3 x 2 1 x 1 3 displaystyle begin aligned amp 2x 6 4x 5 5x 4 3x 3 x 2 3x amp A x 1 2 x 2 1 2 B x 1 x 2 1 2 x 2 1 2 Dx A B x 1 3 x 2 1 x 1 3 amp A x 1 2 x 2 1 2 x 1 3 x 2 1 B x 1 x 2 1 x 1 3 x 2 1 x 2 1 2 Dx x 1 3 x 2 1 x 1 3 end aligned nbsp Rozkrivayuchi duzhki i sortuyuchi stepeni x otrimuyemo 2 x 6 4 x 5 5 x 4 3 x 3 x 2 3 x A D x 6 A 3 D x 5 2 B 4 D 1 x 4 2 B 4 D 1 x 3 A 2 B 3 D 1 x 2 A 2 B D 3 x displaystyle begin aligned amp 2x 6 4x 5 5x 4 3x 3 x 2 3x amp A D x 6 A 3D x 5 2B 4D 1 x 4 2B 4D 1 x 3 A 2B 3D 1 x 2 A 2B D 3 x end aligned nbsp Teper mi mozhemo porivnyati koeficiyenti i pobachiti sho A D 2 A 3 D 4 2 B 4 D 1 5 2 B 4 D 1 3 A 2 B 3 D 1 1 A 2 B D 3 3 displaystyle begin aligned A D amp amp 2 A 3D amp amp 4 2B 4D 1 amp amp 5 2B 4D 1 amp amp 3 A 2B 3D 1 amp amp 1 A 2B D 3 amp amp 3 end aligned nbsp z A 2 D i A 3 D 4 viplivaye sho A D 1 i z cogo B 0 dali C 1 E A B 1 F 0 i G 1 Otzhe rozklad na prosti drobi dlya ƒ x takij f x x 2 3 x 4 1 x 1 1 x 1 3 x 1 x 2 1 1 x 2 1 2 displaystyle f x x 2 3x 4 frac 1 x 1 frac 1 x 1 3 frac x 1 x 2 1 frac 1 x 2 1 2 nbsp Zamist rozkrivannya duzhok inshi linijni zalezhnosti koeficiyentiv mozhna bulo otrimati cherez obchislennya pohidnih u x 1 i x i v poperednij polinomialnij totozhnosti Dlya cogo zgadajmo sho pohidna v x a vid x a mp x znikaye yaksho m gt 1 i ye prosto p a yaksho m 1 Otzhe napriklad persha pohidna v x 1 daye 2 6 4 5 5 4 3 3 2 3 A 0 0 B 2 0 8 D 0 displaystyle 2 cdot 6 4 cdot 5 5 cdot 4 3 cdot 3 2 3 A cdot 0 0 B cdot 2 0 8 D cdot 0 nbsp tobto 8 2B 8 otzhe B 0 Rozkladannya racionalnih drobiv na elementarni drobi RedaguvatiKlasichnim prikladom zastosuvannya metodu neviznachenih koeficiyentiv ye rozkladannya pravilnogo racionalnogo drobu v oblasti kompleksnih abo dijsnih chisel na najprostishi drobi Nehaj p z displaystyle p z nbsp i q z displaystyle q z nbsp mnogochleni z kompleksnimi koeficiyentami prichomu stepin mnogochlena p z displaystyle p z nbsp menshe stepeni mnogochlena q z displaystyle q z nbsp koeficiyent pri starshomu chleni mnogochlena q z displaystyle q z nbsp dorivnyuye 1 z i displaystyle z i nbsp i 1 k displaystyle i in 1 k nbsp koreni mnogochlena q z displaystyle q z nbsp z kratnostyami a i displaystyle alpha i nbsp otzhe q z z z 1 a 1 z z 2 a 2 z z k a k displaystyle q z z z 1 alpha 1 z z 2 alpha 2 z z k alpha k nbsp Funkciya p q displaystyle p q nbsp mozhe buti podana i prichomu yedinim sposobom u viglyadi sumi elementarnih drobiv p z q z i 1 k j 1 a i A i j z z i j displaystyle frac p z q z sum i 1 k sum j 1 alpha i frac A i j z z i j nbsp de A i j displaystyle A i j nbsp nevidomi poki kompleksni chisla yih kilkist dorivnyuye stepeni q displaystyle q nbsp Dlya yih znahodzhennya obidvi chastini rivnosti privodyat do spilnogo znamennika Pislya jogo vidkidannya i privedennya v pravij chastini podibnih chleniv oderzhuyetsya rivnist yaka zvoditsya do sistemi linijnih rivnyan vidnosno A i j displaystyle A i j nbsp Primitka Znahodzhennya nevidomih mozhna sprostiti yaksho q z displaystyle q z nbsp maye nekratni korni z j displaystyle z j nbsp Pislya mnozhennya na z z j displaystyle z z j nbsp ostannoyi rivnosti i pidstanovki z z j displaystyle z z j nbsp bezposeredno oderzhuyemo znachennya vidpovidnogo koeficiyenta A j p z j i j z j z i a i displaystyle A j frac p z j prod limits i neq j z j z i alpha i nbsp Dzherela RedaguvatiKorn G Korn T 1977 Spravochnik po matematike dlya nauchnih rabotnikov i inzhenerov ros vid druge Moskva Nauka s 832 s Div takozh RedaguvatiRozkladannya drobiv pri integruvanniPosilannya RedaguvatiWeisstein Eric W Rozklad na prosti drobi angl na sajti Wolfram MathWorld Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Rozkladannya na prosti drobi amp oldid 37547935