www.wikidata.uk-ua.nina.az

Диференціальне числення розділ математики в якому вивчаються похідні диференціали та їх застосування в дослідженні власт

Диференціальне числення

Диференціальне числення — розділ математики, в якому вивчаються похідні, диференціали та їх застосування в дослідженні властивостей функцій. Формування диференціального числення пов'язано з іменами Ісаака Ньютона та Ґотфріда Лейбніца. Саме вони чітко сформували основні положення та вказали на взаємообернений характер диференціювання та інтегрування. Створення диференціального числення (разом з інтегральним) відкрило нову епоху у розвитку математики. З цим пов'язані такі дисципліни як теорія рядів, теорія диференціальних рівнянь та багато інших. Методи математичного аналізу знайшли використання у всіх розділах математики. Дуже поширилася область застосування математики у природничих науках та техніці.

Графік функції, що позначено чорним кольором, та дотична до нього (червоний колір). Значення тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної до кривої у точці, є значення похідної у цій точці (брунатний колір)

Диференціальне числення базується на таких найважливіших поняттях математики, визначення та дослідження яких і становлять предмет введення до математичного аналізу: дійсні числа (числова пряма), функція, границя, неперервність. Всі ці поняття отримали сучасне трактування у ході розвитку й обґрунтування диференціального та інтегрального числень.

Основна ідея диференціального числення складається у вивченні функції у малому. Точніше диференціальне числення дає апарат для дослідження функцій, поведінка яких у досить малому околі кожної точки близька до поведінки лінійної функції чи многочлена. Таким апаратом слугують центральні поняття диференціального числення: похідна і диференціал.

Похідна Редагувати

Поняття похідної виникло з великої кількості задач природничих наук і математики, які зводилися до обчислення границь одного й того ж типу. Найголовніші серед них — обчислення швидкості прямолінійного руху точки та побудова дотичної до графіка функції.

Обчислення швидкості Редагувати

Якщо рух точки є прямолінійним рівномірним, то швидкість не змінюється з часом і визначається як відношення пройденого шляху на час, який був витрачений на це. Проте, якщо рух є нерівномірним, то швидкість є функція часу, оскільки за однакові проміжки часу пройдений шлях буде різним. Наприклад, вільне падіння тіл. Закон руху такого тіла задається формулою , де s — пройдений шлях з початку падіння (в метрах), t — час падіння (в секундах), g — стала величина, яка називається прискоренням вільного падіння, м/с2. Таким чином за першу секунду падіння тіло пролетить (приблизно) 4,9 м, за другу — 14,7 м, а за десяту — 93,2 м, тобто падіння відбувається нерівномірно. Тому обчислення швидкості як відношення шляху до часу тут не може бути використаним. У цьому випадку розглядається середня швидкість руху за деякий проміжок часу після (або до) фіксованого моменту . Вона (швидкість) визначається як відношення довжини шляху, який пройдено за цей проміжок часу, до його тривалості. Ця середня швидкість залежить не лише від моменту , але й від вибору проміжку часу. Для нашого прикладу середня швидкість падіння за проміжок часу від до дорівнює:

При необмеженому зменшенні проміжку , вираз (1) поступово наближується до . Цю величину називають швидкістю руху в момент часу . Таким чином, швидкість руху у будь-який момент руху визначається як границя середньої швидкості, коли проміжок часу необмежено зменшується.

В загальному випадку ці розрахунки необхідно проводити для будь-якого моменту часу , проміжку часу від до та закону руху, який виражається формулою . Тоді середня швидкість руху за проміжок часу від до задається формулою , де , а швидкість руху у момент часу дорівнює:

Основні переваги швидкості у даний момент, або миттєвої швидкості, перед середньою у тому, що вона є функцією часу як і закон руху, а не функцією інтервалу (, ). Проте, миттєва швидкість є деякою абстракцією, оскільки безпосередньому вимірюванню підлягає лише середня швидкість, а не миттєва.

Побудова дотичної Редагувати

Побудова дотичної до графіка функції

До виразу типу (2) зводиться задача побудови дотичної до площини кривої у деякій точці . Нехай крива Г є графіком функції . Положення дотичної можна знайти якщо знати її кутовий коефіцієнт, тобто тангенс кута , який дотична утворює з додатнім напрямом осі .

Позначимо через абсцису точки , а через — абсцису точки . Кутовий коефіцієнт січної дорівнює:

,

де — приріст функції на проміжку . Якщо визначати дотичну у точці як граничне положення січної при прямує до нуля, то отримаємо:

.

Поняття похідної Редагувати

Отже, якщо не зважати на механічний та геометричний зміст попередніх задач, а виділити спільних метод їх розв'язку приходимо до поняття похідної. Похідною функції у точці називається границя (якщо ця границя існує) відношення приросту функції до приросту аргументу, що прямує до нуля так що:

.

За допомогою похідної також можна визначити силу струму, як границю , де — додатній електричний заряд, який проходить через провідник за час , а також багато інших задач фізики та хімії.

Похідну функції позначають .

Якщо функція має похідну у точці , то вона визначена як у самій точці , так і у деякому околі цієї точки та неперервна у точці . Проте, обернене твердження змісту не має. Наприклад, неперервна у кожній точці функція , графіком якої є бісектриси першого та другого координатних кутів, при не має похідної, оскільки відношення не має границі при : якщо це відношення дорівнює , а якщо , то воно дорівнює . Більш того, існують неперервні функції, які не мають похідної в усіх точках.

Операцію знаходження похідної називають диференціюванням. На класі функцій, що мають похідну, ця операція лінійна.

Якщо функція є складеною, тобто та , або всерівно що , то

Якщо похідна має похідну, то її називають другою похідною функції та позначають . З механічної точки зору друга похідна — це прискорення.

Аналогічним чином дається визначення похідної вищого порядку. Похідна порядку n позначається: .

Таблиця похідних Редагувати

Основні похідні Редагувати

  • Похідна від сталої:
  • Похідна від степеневої функції:
  • Похідна від показникової функції:
  • Похідна від експоненти:
  • Похідна від логарифмічної функції:
  • Похідна від натурального логарифма:
  • Похідна від синуса:
  • Похідна від косинуса:
  • Похідна від тангенса:
  • Похідна від котангенса:
  • Похідна від арксинуса:
  • Похідна від арккосинуса:

Правила диференціювання Редагувати

  • Сталу можна виносити за знак похідної:
  • Сума та різниця похідних:
  • Добуток похідних:
  • Частка похідних:

Тут — сталі величини. Ця таблиця, зокрема, показує, що похідна від будь-якої елементарної функції також є елементарна функція.

Диференціал Редагувати

Поняття диференціалу є математичним виразом, який у дуже малому околі точки визначає криву як лінійну функцію. На відміну від похідної, воно легко переноситься на відображення одного евклідового простору в іншому та на відображення довільних лінійних нормованих просторів і є одним з основних понять сучасного нелінійного функціонального аналізу.

Диференціалом функції називається вираз , де приріст аргументу x.

Джерела Редагувати


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Diferencialne chislennya rozdil matematiki v yakomu vivchayutsya pohidni diferenciali ta yih zastosuvannya v doslidzhenni vlastivostej funkcij Formuvannya diferencialnogo chislennya pov yazano z imenami Isaaka Nyutona ta Gotfrida Lejbnica Same voni chitko sformuvali osnovni polozhennya ta vkazali na vzayemoobernenij harakter diferenciyuvannya ta integruvannya Stvorennya diferencialnogo chislennya razom z integralnim vidkrilo novu epohu u rozvitku matematiki Z cim pov yazani taki disciplini yak teoriya ryadiv teoriya diferencialnih rivnyan ta bagato inshih Metodi matematichnogo analizu znajshli vikoristannya u vsih rozdilah matematiki Duzhe poshirilasya oblast zastosuvannya matematiki u prirodnichih naukah ta tehnici Grafik funkciyi sho poznacheno chornim kolorom ta dotichna do nogo chervonij kolir Znachennya tangensu kuta nahilu dotichnoyi provedenoyi do krivoyi u tochci ye znachennya pohidnoyi u cij tochci brunatnij kolir Diferencialne chislennya bazuyetsya na takih najvazhlivishih ponyattyah matematiki viznachennya ta doslidzhennya yakih i stanovlyat predmet vvedennya do matematichnogo analizu dijsni chisla chislova pryama funkciya granicya neperervnist Vsi ci ponyattya otrimali suchasne traktuvannya u hodi rozvitku j obgruntuvannya diferencialnogo ta integralnogo chislen Osnovna ideya diferencialnogo chislennya skladayetsya u vivchenni funkciyi u malomu Tochnishe diferencialne chislennya daye aparat dlya doslidzhennya funkcij povedinka yakih u dosit malomu okoli kozhnoyi tochki blizka do povedinki linijnoyi funkciyi chi mnogochlena Takim aparatom sluguyut centralni ponyattya diferencialnogo chislennya pohidna i diferencial Zmist 1 Pohidna 1 1 Obchislennya shvidkosti 1 2 Pobudova dotichnoyi 1 3 Ponyattya pohidnoyi 1 4 Tablicya pohidnih 1 4 1 Osnovni pohidni 1 4 2 Pravila diferenciyuvannya 2 Diferencial 3 DzherelaPohidna RedaguvatiPonyattya pohidnoyi viniklo z velikoyi kilkosti zadach prirodnichih nauk i matematiki yaki zvodilisya do obchislennya granic odnogo j togo zh tipu Najgolovnishi sered nih obchislennya shvidkosti pryamolinijnogo ruhu tochki ta pobudova dotichnoyi do grafika funkciyi Obchislennya shvidkosti Redaguvati Yaksho ruh tochki ye pryamolinijnim rivnomirnim to shvidkist ne zminyuyetsya z chasom i viznachayetsya yak vidnoshennya projdenogo shlyahu na chas yakij buv vitrachenij na ce Prote yaksho ruh ye nerivnomirnim to shvidkist ye funkciya chasu oskilki za odnakovi promizhki chasu projdenij shlyah bude riznim Napriklad vilne padinnya til Zakon ruhu takogo tila zadayetsya formuloyu s t g t 2 2 displaystyle s t frac gt 2 2 nbsp de s projdenij shlyah z pochatku padinnya v metrah t chas padinnya v sekundah g stala velichina yaka nazivayetsya priskorennyam vilnogo padinnya g 9 8 displaystyle g approx 9 8 nbsp m s2 Takim chinom za pershu sekundu padinnya tilo proletit priblizno 4 9 m za drugu 14 7 m a za desyatu 93 2 m tobto padinnya vidbuvayetsya nerivnomirno Tomu obchislennya shvidkosti yak vidnoshennya shlyahu do chasu tut ne mozhe buti vikoristanim U comu vipadku rozglyadayetsya serednya shvidkist ruhu za deyakij promizhok chasu pislya abo do fiksovanogo momentu t displaystyle t nbsp Vona shvidkist viznachayetsya yak vidnoshennya dovzhini shlyahu yakij projdeno za cej promizhok chasu do jogo trivalosti Cya serednya shvidkist zalezhit ne lishe vid momentu t displaystyle t nbsp ale j vid viboru promizhku chasu Dlya nashogo prikladu serednya shvidkist padinnya za promizhok chasu vid t displaystyle t nbsp do t D t displaystyle t Delta t nbsp dorivnyuye s t D t s t D t g t g 2 D t 1 displaystyle frac s t Delta t s t Delta t gt frac g 2 Delta t qquad 1 nbsp Pri neobmezhenomu zmenshenni promizhku D t displaystyle Delta t nbsp viraz 1 postupovo nablizhuyetsya do g t displaystyle gt nbsp Cyu velichinu nazivayut shvidkistyu ruhu v moment chasu t displaystyle t nbsp Takim chinom shvidkist ruhu u bud yakij moment ruhu viznachayetsya yak granicya serednoyi shvidkosti koli promizhok chasu neobmezheno zmenshuyetsya V zagalnomu vipadku ci rozrahunki neobhidno provoditi dlya bud yakogo momentu chasu t displaystyle t nbsp promizhku chasu vid t displaystyle t nbsp do t D t displaystyle t Delta t nbsp ta zakonu ruhu yakij virazhayetsya formuloyu s f t displaystyle s f t nbsp Todi serednya shvidkist ruhu za promizhok chasu vid t displaystyle t nbsp do t D t displaystyle t Delta t nbsp zadayetsya formuloyu D s D t displaystyle frac Delta s Delta t nbsp de D s f t D t f t displaystyle Delta s f t Delta t f t nbsp a shvidkist ruhu u moment chasu t displaystyle t nbsp dorivnyuye v t lim D t 0 D s D t lim D t 0 f t D t f t D t 2 displaystyle v t lim Delta t to 0 frac Delta s Delta t lim Delta t to 0 frac f t Delta t f t Delta t qquad 2 nbsp Osnovni perevagi shvidkosti u danij moment abo mittyevoyi shvidkosti pered serednoyu u tomu sho vona ye funkciyeyu chasu yak i zakon ruhu a ne funkciyeyu intervalu t displaystyle t nbsp t D t displaystyle t Delta t nbsp Prote mittyeva shvidkist ye deyakoyu abstrakciyeyu oskilki bezposerednomu vimiryuvannyu pidlyagaye lishe serednya shvidkist a ne mittyeva Pobudova dotichnoyi Redaguvati nbsp Pobudova dotichnoyi do grafika funkciyiDo virazu tipu 2 zvoditsya zadacha pobudovi dotichnoyi do ploshini krivoyi u deyakij tochci M displaystyle M nbsp Nehaj kriva G ye grafikom funkciyi y f x displaystyle y f x nbsp Polozhennya dotichnoyi mozhna znajti yaksho znati yiyi kutovij koeficiyent tobto tangens kuta a displaystyle alpha nbsp yakij dotichna utvoryuye z dodatnim napryamom osi O x displaystyle Ox nbsp Poznachimo cherez x 0 displaystyle x 0 nbsp abscisu tochki M displaystyle M nbsp a cherez x 1 x 0 D x displaystyle x 1 x 0 Delta x nbsp abscisu tochki M 1 displaystyle M 1 nbsp Kutovij koeficiyent sichnoyi M M 1 displaystyle MM 1 nbsp dorivnyuye tan b M 1 N M N D y D x f x 0 D x f x 0 D x displaystyle tan beta frac M 1 N MN frac Delta y Delta x frac f x 0 Delta x f x 0 Delta x nbsp de D y M 1 N f x 0 D x f x 0 displaystyle Delta y M 1 N f x 0 Delta x f x 0 nbsp pririst funkciyi na promizhku x 0 x 1 displaystyle x 0 x 1 nbsp Yaksho viznachati dotichnu u tochci M displaystyle M nbsp yak granichne polozhennya sichnoyi M M 1 displaystyle MM 1 nbsp pri x 1 displaystyle x 1 nbsp pryamuye do nulya to otrimayemo tan a lim D x 0 D y D x lim D x 0 f x 0 D x f x 0 D x displaystyle tan alpha lim Delta x to 0 frac Delta y Delta x lim Delta x to 0 frac f x 0 Delta x f x 0 Delta x nbsp Ponyattya pohidnoyi Redaguvati Dokladnishe PohidnaOtzhe yaksho ne zvazhati na mehanichnij ta geometrichnij zmist poperednih zadach a vidiliti spilnih metod yih rozv yazku prihodimo do ponyattya pohidnoyi Pohidnoyu funkciyi y f x displaystyle y f x nbsp u tochci x displaystyle x nbsp nazivayetsya granicya yaksho cya granicya isnuye vidnoshennya prirostu funkciyi do prirostu argumentu sho pryamuye do nulya tak sho y f x lim D x 0 D y D x lim D x 0 f x D x f x D x displaystyle y f x lim Delta x to 0 frac Delta y Delta x lim Delta x to 0 frac f x Delta x f x Delta x nbsp Za dopomogoyu pohidnoyi takozh mozhna viznachiti silu strumu yak granicyu lim D t 0 D q D t displaystyle lim Delta t to 0 frac Delta q Delta t nbsp de D q displaystyle Delta q nbsp dodatnij elektrichnij zaryad yakij prohodit cherez providnik za chas D t displaystyle Delta t nbsp a takozh bagato inshih zadach fiziki ta himiyi Pohidnu funkciyi y f x displaystyle y f x nbsp poznachayut f x y d y d x d f d x D f x displaystyle f x y frac dy dx frac df dx Df x nbsp Yaksho funkciya y f x displaystyle y f x nbsp maye pohidnu u tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp to vona viznachena yak u samij tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp tak i u deyakomu okoli ciyeyi tochki ta neperervna u tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp Prote obernene tverdzhennya zmistu ne maye Napriklad neperervna u kozhnij tochci funkciya y x x 2 displaystyle y x sqrt x 2 nbsp grafikom yakoyi ye bisektrisi pershogo ta drugogo koordinatnih kutiv pri x 0 displaystyle x 0 nbsp ne maye pohidnoyi oskilki vidnoshennya D y D x displaystyle frac Delta y Delta x nbsp ne maye granici pri D x 0 displaystyle Delta x to 0 nbsp yaksho D x gt 0 displaystyle Delta x gt 0 nbsp ce vidnoshennya dorivnyuye 1 displaystyle 1 nbsp a yaksho D x lt 0 displaystyle Delta x lt 0 nbsp to vono dorivnyuye 1 displaystyle 1 nbsp Bilsh togo isnuyut neperervni funkciyi yaki ne mayut pohidnoyi v usih tochkah Operaciyu znahodzhennya pohidnoyi nazivayut diferenciyuvannyam Na klasi funkcij sho mayut pohidnu cya operaciya linijna Yaksho funkciya ye skladenoyu tobto y f u displaystyle y f u nbsp ta u ϕ x displaystyle u phi x nbsp abo vserivno sho y f ϕ x displaystyle y f phi x nbsp to d y d x d y d u d u d x f u ϕ x displaystyle frac dy dx frac dy du cdot frac du dx f u phi x nbsp Yaksho pohidna f x displaystyle f x nbsp maye pohidnu to yiyi nazivayut drugoyu pohidnoyu funkciyi y f x displaystyle y f x nbsp ta poznachayut y f x d 2 x d x 2 d 2 f d x 2 D 2 f x displaystyle y f x frac d 2 x dx 2 frac d 2 f dx 2 D 2 f x nbsp Z mehanichnoyi tochki zoru druga pohidna ce priskorennya Analogichnim chinom dayetsya viznachennya pohidnoyi vishogo poryadku Pohidna poryadku n poznachayetsya y n f n x d n x d x n d n f d x n D n f x displaystyle y n f n x frac d n x dx n frac d n f dx n D n f x nbsp Tablicya pohidnih Redaguvati Dokladnishe Tablicya pohidnihOsnovni pohidni Redaguvati Pohidna vid staloyi C 0 displaystyle C 0 nbsp Pohidna vid stepenevoyi funkciyi x n n x n 1 displaystyle x n nx n 1 nbsp Pohidna vid pokaznikovoyi funkciyi a x a x ln a displaystyle a x a x ln a nbsp Pohidna vid eksponenti e x e x displaystyle e x e x nbsp Pohidna vid logarifmichnoyi funkciyi log a x 1 x ln a displaystyle log a x frac 1 x ln a nbsp Pohidna vid naturalnogo logarifma ln x 1 x displaystyle ln x frac 1 x nbsp Pohidna vid sinusa sin x cos x displaystyle sin x cos x nbsp Pohidna vid kosinusa cos x sin x displaystyle cos x sin x nbsp Pohidna vid tangensa tan x 1 cos 2 x displaystyle tan x frac 1 cos 2 x nbsp Pohidna vid kotangensa cot x 1 sin 2 x displaystyle cot x frac 1 sin 2 x nbsp Pohidna vid arksinusa arcsin x 1 1 x 2 displaystyle arcsin x frac 1 sqrt 1 x 2 nbsp Pohidna vid arkkosinusa arccos x 1 1 x 2 displaystyle arccos x frac 1 sqrt 1 x 2 nbsp Pravila diferenciyuvannya Redaguvati Stalu mozhna vinositi za znak pohidnoyi C f x C f x displaystyle Cf x Cf x nbsp Suma ta riznicya pohidnih f x g x f x g x displaystyle f x pm g x f x pm g x nbsp Dobutok pohidnih f x g x f x g x f x g x displaystyle f x g x f x g x f x g x nbsp Chastka pohidnih f x g x f x g x f x g x g 2 x displaystyle left frac f x g x right frac f x g x f x g x g 2 x nbsp Tut C n a a gt 0 displaystyle C n a a gt 0 nbsp stali velichini Cya tablicya zokrema pokazuye sho pohidna vid bud yakoyi elementarnoyi funkciyi takozh ye elementarna funkciya Diferencial RedaguvatiPonyattya diferencialu ye matematichnim virazom yakij u duzhe malomu okoli tochki viznachaye krivu yak linijnu funkciyu Na vidminu vid pohidnoyi vono legko perenositsya na vidobrazhennya odnogo evklidovogo prostoru v inshomu ta na vidobrazhennya dovilnih linijnih normovanih prostoriv i ye odnim z osnovnih ponyat suchasnogo nelinijnogo funkcionalnogo analizu Diferencialom funkciyi y f x displaystyle y f x nbsp nazivayetsya viraz d y y d x displaystyle dy y dx nbsp de d x D x displaystyle dx Delta x nbsp pririst argumentu x Dzherela RedaguvatiGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2023 1100 s ukr Zavalo S T 1972 Elementi analizu Algebra mnogochleniv Kiyiv Radyanska shkola s 462 ukr Remez N S Visha matematika Specialni rozdili Diferencialne chislennya funkcij dvoh zminnih Rozrahunkova robota Elektronnij resurs Arhivovano 20 lipnya 2019 u Wayback Machine navch posib dlya zdobuvachiv stupenya bakalavra za osvitnoyu programoyu Inzhenerna ekologiya ta resursozberezhennya N S Remez V F Mejsh V O Bronickij KPI im Igorya Sikorskogo Elektronni tekstovi dani 1 fajl 1 26 Mbajt Kiyiv KPI im Igorya Sikorskogo 2019 77 s Nazva z ekrana Matematichnij analiz 1 Diferencialne chislennya funkcij dijsnoyi zminnoyi Zbirnik zadach dlya rozrahunkovih robit Elektronnij resurs navchalnij posibnik dlya studentiv specialnosti 124 Sistemnij analiz KPI im Igorya Sikorskogo uklad Yu V Bogdanskij V G Bondarenko A Yu Malcev G B Podkolzin Elektronni tekstovi dani 1 fajl 2 36 Mbajt Kiyiv KPI im Igorya Sikorskogo 2020 59 s Mehanichnij ta geometrichnij zmist pohidnoyi Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 259 261 594 s Dinamichni modeli FIZMA neT Arhivovano 15 travnya 2021 u Wayback Machine nbsp Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Diferencialne chislennya amp oldid 40287281