www.wikidata.uk-ua.nina.az

Нескоротний дріб у математиці це дріб у якому чисельник та знаменник цілі числа які не мають жодного спільного дільника

Нескоротний дріб

Нескоротний дріб у математиці — це дріб у якому чисельник та знаменник цілі числа, які не мають жодного спільного дільника окрім 1 (та -1 для від'ємних чисел). Іншими словами, дріб a⁄b нескоротний, тільки тоді, коли a і b взаємно прості числа, тобто, якщо a і b мають найбільший спільний дільник, який дорівнює 1. У вищій математиці, термін «нескоротний дріб» може також відноситися до раціональних функцій таких, де чисельник та знаменник взаємно прості многочлени. Кожне додатне раціональне число може бути представлено у вигляді тільки одного варіанту нескоротного дробу.

Інколи корисним є еквівалентне визначення: якщо a, b цілі числа, то дріб a⁄b нескоротний тільки в тому випадку, коли не існує іншого еквівалентного дробу c⁄d такого, як |c| < |a| або |d| < |b|, де |a| означає модуль a. (Два дроби a⁄b і c⁄d рівні або еквівалентні тоді й лише тоді, коли ad = bc.)

Наприклад, 1⁄4, 5⁄6, та −101⁄100 є нескоротними дробами. З іншого боку, 2⁄4 скоротний дріб, тому, що він дорівнює 1⁄2, і чисельник 1⁄2 менший за чисельник 2⁄4.

Якщо дріб — скоротний, то його чисельник та знаменник мають спільний дільник. Цей дріб може скоротитися до нескоротного, якщо чисельник та знаменник поділені на їх найбільший спільний дільник. З метою знайти найбільший спільний дільник, можна використати алгоритм Евкліда або факторизацію цілих чисел. Алгоритм Евкліда більш вживаний, тому що він дозволяє скоротити дроби з дуже великими чисельниками та знаменниками, які складно розкласти на множники.

Приклади

Спершу, обидва числа були поділені на 10, де 10 — це спільний множник 120 та 90. Потім, їх поділили на 3. У кінцевому результаті, 4/3 — нескоротний дріб, бо 4 та 3 не мають жодного спільного дільника, окрім 1.

Початковий дріб також можна скоротити за одну дію, використовуючи найбільший спільний дільник чисел 90 та 120 — 30 (наприклад, НСД (90,120)=30).

Який метод «вручну» швидший, залежить від дробу та наскільки легко ви помітите спільний дільник. У випадку, якщо знаменник та чисельник занадто великі, тоді, щоб шляхом перевірки довести, що вони взаємно прості, у будь-якому випадку потрібен найбільший спільний дільник, для того, щоб запевнитися, що дріб насправді нескоротний.

Унікальність

Кожне раціональне число має свій власний унікальний аналог як нескоротний дріб з позитивним знаменником (хоча обидва дроби — нескоротні). Унікальність — це наслідок основної теореми простих цілих чисел, оскільки означає, що ad = bc, таким чином дві сторони останнього повинні мати один і той самий цілий дільник, однак та не діляться націло, тому всі цілі дільники (якщо його помножити), будуть підмножиною і навпаки та .

Застосування

Той факт, що будь-яке раціональне число має власний аналог як нескоротний дріб, застосовується у найрізноманітніших доказах ірраціональності квадратного кореня та інших раціональних чисел. Наприклад, один доказ показує, що якби б квадратний корінь числа 2 був би представленим у вигляді співвідношення цілих чисел, тоді, зокрема, він би повністю скорочувався , де a та b якнайменші; але якщо дорівнює квадратному кореню числа 2, тоді також дорівнює квадратному кореню 2 (оскільки, коли ми приводимо до спільного знаменника це з , вони рівні). Тому останнє — це співвідношення менших цілих чисел, отже, це — доведення від супротивного, тобто вищевикладене твердження, що квадратний корінь числа 2 може бути представленим у вигляді співвідношення цілих чисел є хибним.

Узагальнення

Поняття нескоротного дробу узагальнюється для поля часток будь-якого факторіального кільця: будь-який елемент такого поля може позначатися як дріб, у якому чисельник та знаменник — цілі числа, які діляться на їх найбільший спільний дільник. Особливо це стосується раціональних виразів над полем. Нескоротний дріб для поданого елемента унікальний до множення чисельника та знаменника на той самий зворотній елемент. Що стосується раціональних чисел, то це означає, що кожне число має два нескоротних дроби, пов'язані зі зміною знаку як і чисельника, так і знаменника; цю неоднозначність можна виключити, якщо треба, щоб знаменник був позитивним. Що стосується раціональних функцій, знаменник може так само потребувати бути нормованим многочленом.

Див. також

Примітки

  1. Stepanov, S. A. (2001). Fraction. У Hazewinkel, Michiel. Математична енциклопедія. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4. 
  2. E.g., see Laudal, Olav Arnfinn; Piene, Ragni (2004). The Legacy of Niels Henrik Abel: The Abel Bicentennial, Oslo, June 3-8, 2002. Springer. с. 155. 
  3. ↑ Scott, William (1844). Elements of Arithmetic and Algebra: For the Use of the Royal Military College. College text books, Sandhurst. Royal Military College 1. Longman, Brown, Green, and Longmans. с. 75. .
  4. Scott, (1844), p. 74.
  5. Sally, Judith D.; Sally, Paul J., Jr. (2012). 9.1. Reducing a fraction to lowest terms. Integers, Fractions, and Arithmetic: A Guide for Teachers. MSRI mathematical circles library 10. American Mathematical Society. с. 131–134. ISBN 9780821887981. .
  6. Cuoco, Al; Rotman, Joseph (2013). Learning Modern Algebra. Mathematical Association of America Textbooks. Mathematical Association of America. с. 33. ISBN 9781939512017. .
  7. Garrett, Paul B. (2007). Abstract Algebra. CRC Press. с. 183. ISBN 9781584886907. .
  8. Grillet, Pierre Antoine (2007). Abstract Algebra. Graduate Texts in Mathematics 242. Springer. Lemma 9.2, p. 183. ISBN 9780387715681. .

Посилання

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Neskorotnij drib u matematici ce drib u yakomu chiselnik ta znamennik cili chisla yaki ne mayut zhodnogo spilnogo dilnika okrim 1 ta 1 dlya vid yemnih chisel 1 Inshimi slovami drib a b neskorotnij tilki todi koli a i b vzayemno prosti chisla tobto yaksho a i b mayut najbilshij spilnij dilnik yakij dorivnyuye 1 U vishij matematici termin neskorotnij drib mozhe takozh vidnositisya do racionalnih funkcij takih de chiselnik ta znamennik vzayemno prosti mnogochleni 2 Kozhne dodatne racionalne chislo mozhe buti predstavleno u viglyadi tilki odnogo variantu neskorotnogo drobu 3 Inkoli korisnim ye ekvivalentne viznachennya yaksho a b cili chisla to drib a b neskorotnij tilki v tomu vipadku koli ne isnuye inshogo ekvivalentnogo drobu c d takogo yak c lt a abo d lt b de a oznachaye modul a 4 Dva drobi a b i c d rivni abo ekvivalentni todi j lishe todi koli ad bc Napriklad 1 4 5 6 ta 101 100 ye neskorotnimi drobami Z inshogo boku 2 4 skorotnij drib tomu sho vin dorivnyuye 1 2 i chiselnik 1 2 menshij za chiselnik 2 4 Yaksho drib skorotnij to jogo chiselnik ta znamennik mayut spilnij dilnik Cej drib mozhe skorotitisya do neskorotnogo yaksho chiselnik ta znamennik podileni na yih najbilshij spilnij dilnik 5 Z metoyu znajti najbilshij spilnij dilnik mozhna vikoristati algoritm Evklida abo faktorizaciyu cilih chisel Algoritm Evklida bilsh vzhivanij tomu sho vin dozvolyaye skorotiti drobi z duzhe velikimi chiselnikami ta znamennikami yaki skladno rozklasti na mnozhniki 6 Zmist 1 Prikladi 2 Unikalnist 3 Zastosuvannya 4 Uzagalnennya 5 Div takozh 6 Primitki 7 PosilannyaPrikladi Redaguvati120 90 12 9 4 3 displaystyle frac 120 90 frac 12 9 frac 4 3 Spershu obidva chisla buli podileni na 10 de 10 ce spilnij mnozhnik 120 ta 90 Potim yih podilili na 3 U kincevomu rezultati 4 3 neskorotnij drib bo 4 ta 3 ne mayut zhodnogo spilnogo dilnika okrim 1 Pochatkovij drib takozh mozhna skorotiti za odnu diyu vikoristovuyuchi najbilshij spilnij dilnik chisel 90 ta 120 30 napriklad NSD 90 120 30 120 90 4 3 displaystyle frac 120 90 frac 4 3 Yakij metod vruchnu shvidshij zalezhit vid drobu ta naskilki legko vi pomitite spilnij dilnik U vipadku yaksho znamennik ta chiselnik zanadto veliki todi shob shlyahom perevirki dovesti sho voni vzayemno prosti u bud yakomu vipadku potriben najbilshij spilnij dilnik dlya togo shob zapevnitisya sho drib naspravdi neskorotnij Unikalnist RedaguvatiKozhne racionalne chislo maye svij vlasnij unikalnij analog yak neskorotnij drib z pozitivnim znamennikom 3 hocha 2 3 2 3 displaystyle tfrac 2 3 tfrac 2 3 obidva drobi neskorotni Unikalnist ce naslidok osnovnoyi teoremi prostih cilih chisel oskilki a b c d displaystyle tfrac a b tfrac c d oznachaye sho ad bc takim chinom dvi storoni ostannogo povinni mati odin i toj samij cilij dilnik odnak a a ta b displaystyle b ne dilyatsya nacilo tomu vsi cili dilniki a a yaksho jogo pomnozhiti budut pidmnozhinoyu c c i navpaki a c displaystyle a c ta b d displaystyle b d Zastosuvannya RedaguvatiToj fakt sho bud yake racionalne chislo maye vlasnij analog yak neskorotnij drib zastosovuyetsya u najriznomanitnishih dokazah irracionalnosti kvadratnogo korenya ta inshih racionalnih chisel Napriklad odin dokaz pokazuye sho yakbi b kvadratnij korin chisla 2 buv bi predstavlenim u viglyadi spivvidnoshennya cilih chisel todi zokrema vin bi povnistyu skorochuvavsya a b displaystyle tfrac a b de a ta b yaknajmenshi ale yaksho a b displaystyle tfrac a b dorivnyuye kvadratnomu korenyu chisla 2 todi 2 b a a b displaystyle tfrac 2b a a b takozh dorivnyuye kvadratnomu korenyu 2 oskilki koli mi privodimo do spilnogo znamennika ce z a b displaystyle tfrac a b voni rivni Tomu ostannye ce spivvidnoshennya menshih cilih chisel otzhe ce dovedennya vid suprotivnogo tobto vishevikladene tverdzhennya sho kvadratnij korin chisla 2 mozhe buti predstavlenim u viglyadi spivvidnoshennya cilih chisel ye hibnim Uzagalnennya RedaguvatiPonyattya neskorotnogo drobu uzagalnyuyetsya dlya polya chastok bud yakogo faktorialnogo kilcya bud yakij element takogo polya mozhe poznachatisya yak drib u yakomu chiselnik ta znamennik cili chisla yaki dilyatsya na yih najbilshij spilnij dilnik 7 Osoblivo ce stosuyetsya racionalnih viraziv nad polem Neskorotnij drib dlya podanogo elementa unikalnij do mnozhennya chiselnika ta znamennika na toj samij zvorotnij element Sho stosuyetsya racionalnih chisel to ce oznachaye sho kozhne chislo maye dva neskorotnih drobi pov yazani zi zminoyu znaku yak i chiselnika tak i znamennika cyu neodnoznachnist mozhna viklyuchiti yaksho treba shob znamennik buv pozitivnim Sho stosuyetsya racionalnih funkcij znamennik mozhe tak samo potrebuvati buti normovanim mnogochlenom 8 Div takozh RedaguvatiAnomalne skorochennya pomilkova arifmetichna procedura v yakij dlya skorochennya drobu skorochuyut okremi cifri v chiselniku i znamenniku Diofantova aproksimaciya nablizhennya dijsnih chisel do racionalnih Primitki Redaguvati Stepanov S A 2001 Fraction U Hazewinkel Michiel Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 E g see Laudal Olav Arnfinn Piene Ragni 2004 The Legacy of Niels Henrik Abel The Abel Bicentennial Oslo June 3 8 2002 Springer s 155 a b Scott William 1844 Elements of Arithmetic and Algebra For the Use of the Royal Military College College text books Sandhurst Royal Military College 1 Longman Brown Green and Longmans s 75 Scott 1844 p 74 Sally Judith D Sally Paul J Jr 2012 9 1 Reducing a fraction to lowest terms Integers Fractions and Arithmetic A Guide for Teachers MSRI mathematical circles library 10 American Mathematical Society s 131 134 ISBN 9780821887981 Cuoco Al Rotman Joseph 2013 Learning Modern Algebra Mathematical Association of America Textbooks Mathematical Association of America s 33 ISBN 9781939512017 Garrett Paul B 2007 Abstract Algebra CRC Press s 183 ISBN 9781584886907 Grillet Pierre Antoine 2007 Abstract Algebra Graduate Texts in Mathematics 242 Springer Lemma 9 2 p 183 ISBN 9780387715681 Posilannya RedaguvatiWeisstein Eric W Reduced Fraction angl na sajti Wolfram MathWorld Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Neskorotnij drib amp oldid 29714246