www.wikidata.uk-ua.nina.az

Екстремум Екстре мум найбільше або найменше значення функції на заданій множині Розрізняють лока льний екстремум у певно

Екстремум

Екстре́мум — найбільше або найменше значення функції на заданій множині.

Розрізняють:

  • лока́льний — екстремум у певному довільно малому околі даної точки;
  • глоба́льний — екстремум в усій розглядуваній області значень функцій.

Задачі знаходження екстремуму виникають у всіх галузях людського знання:

теорії автоматичного керування, економіці, біології, фізиці тощо.

Визначення ред.

Нехай дано функцію і  — внутрішня точка області визначення Тоді

  • називається точкою локального максимуму функції якщо існує проколотий окіл такий, що
  • називається точкою локального мінімуму функції якщо існує проколотий окіл такий, що
  • називається точкою глобального (абсолютного) максимуму, якщо
  • називається точкою глобального (абсолютного) мінімуму, якщо

Якщо нерівності вище строгі, то називається точкою строгого локального або глобального максимуму або мінімуму відповідно.

Значення функції називають відповідно (строгим) локальним або глобальним максимумом або мінімумом. Точки, які є точками (локального) максимуму або мінімуму, називають точками (локального) екстремуму.

Зауваження ред.

Функція визначена на множині може не мати на ньому жодного локального або глобального екстремуму. Наприклад,

Необхідні умови існування локальних екстремумів ред.

З леми Ферма випливає таке:

Ці умови не є достатніми, так, функція може мати нуль похідної в точці, але ця точка може не бути точкою екстремуму, а бути, скажімо, точкою перегину, як точка (0,0) у функції .

Достатні умови існування локальних екстремумів ред.

  • Нехай функція неперервна в і існують скінченні або нескінченні односторонні похідні . Тоді за умови

є точкою строгого локального максимуму. А якщо

то є точкою строгого локального мінімуму.

Зауважимо, що при цьому функція не обов'язково диференційовна в точці .

  • Нехай функція неперервна і двічі диференційовна в точці . Тоді за умови

є точкою локального максимуму. А якщо

то є точкою локального мінімуму.

  • Нехай функція диференційовна разів у точці і , а .

Якщо парне і , то  — точка локального максимуму. Якщо  — парне і , то  — точка локального мінімуму. Якщо  — непарне, то екстремуму немає.

Теорема Ферма ред.

Докладніше: Теорема Ферма

Нехай  — точка екстремуму функції . Якщо  — внутрішня точка для і  — диференційовна в точці , то .

Теорема Ролля ред.

Докладніше: Теорема Ролля

Якщо неперервна на , диференційовна на і , то

Див. також ред.

Примітки ред.

  1. Пшеничный, 1969, с. 7.
  2. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. — 2-е изд. — М. : Высшая школа, 1973. — Т. 1.

Джерела ред.

Посилання ред.

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Ekstre mum najbilshe abo najmenshe znachennya funkciyi na zadanij mnozhini Rozriznyayut loka lnij ekstremum u pevnomu dovilno malomu okoli danoyi tochki globa lnij ekstremum v usij rozglyaduvanij oblasti znachen funkcij Zadachi znahodzhennya ekstremumu vinikayut u vsih galuzyah lyudskogo znannya teoriyi avtomatichnogo keruvannya ekonomici biologiyi fizici tosho 1 Zmist 1 Viznachennya 2 Zauvazhennya 3 Neobhidni umovi isnuvannya lokalnih ekstremumiv 4 Dostatni umovi isnuvannya lokalnih ekstremumiv 5 Teorema Ferma 6 Teorema Rollya 7 Div takozh 8 Primitki 9 Dzherela 10 PosilannyaViznachennya red Nehaj dano funkciyu f M R R displaystyle f M subset mathbb R to mathbb R nbsp i x0 M0 displaystyle x 0 in M 0 nbsp vnutrishnya tochka oblasti viznachennya f displaystyle f nbsp Todi x0 displaystyle x 0 nbsp nazivayetsya tochkoyu lokalnogo maksimumu funkciyi f displaystyle f nbsp yaksho isnuye prokolotij okil U x0 displaystyle dot U x 0 nbsp takij sho x U x0 f x f x0 displaystyle forall x in dot U x 0 quad f x leqslant f x 0 nbsp x0 displaystyle x 0 nbsp nazivayetsya tochkoyu lokalnogo minimumu funkciyi f displaystyle f nbsp yaksho isnuye prokolotij okil U x0 displaystyle dot U x 0 nbsp takij sho x U x0 f x f x0 displaystyle forall x in dot U x 0 quad f x geqslant f x 0 nbsp x0 displaystyle x 0 nbsp nazivayetsya tochkoyu globalnogo absolyutnogo maksimumu yaksho x Mf x f x0 displaystyle forall x in M quad f x leqslant f x 0 nbsp x0 displaystyle x 0 nbsp nazivayetsya tochkoyu globalnogo absolyutnogo minimumu yaksho x Mf x f x0 displaystyle forall x in M quad f x geqslant f x 0 nbsp Yaksho nerivnosti vishe strogi to x0 displaystyle x 0 nbsp nazivayetsya tochkoyu strogogo lokalnogo abo globalnogo maksimumu abo minimumu vidpovidno Znachennya funkciyi f x0 displaystyle f x 0 nbsp nazivayut vidpovidno strogim lokalnim abo globalnim maksimumom abo minimumom Tochki yaki ye tochkami lokalnogo maksimumu abo minimumu nazivayut tochkami lokalnogo ekstremumu Zauvazhennya red Funkciya f displaystyle f nbsp viznachena na mnozhini M displaystyle M nbsp mozhe ne mati na nomu zhodnogo lokalnogo abo globalnogo ekstremumu Napriklad f x x x 1 1 displaystyle f x x x in 1 1 nbsp Neobhidni umovi isnuvannya lokalnih ekstremumiv red Z lemi Ferma viplivaye take 2 Nehaj tochka x0 displaystyle x 0 nbsp ye tochkoyu ekstremumu funkciyi f displaystyle f nbsp viznachenoyi v deyakomu okoli tochki x0 displaystyle x 0 nbsp Todi abo pohidna f x0 displaystyle f x 0 nbsp ne isnuye abo f x0 0 displaystyle f x 0 0 nbsp Ci umovi ne ye dostatnimi tak funkciya mozhe mati nul pohidnoyi v tochci ale cya tochka mozhe ne buti tochkoyu ekstremumu a buti skazhimo tochkoyu pereginu yak tochka 0 0 u funkciyi f x x3 displaystyle f x x 3 nbsp Dostatni umovi isnuvannya lokalnih ekstremumiv red Nehaj funkciya f C x0 displaystyle f in C x 0 nbsp neperervna v x0 M0 displaystyle x 0 in M 0 nbsp i isnuyut skinchenni abo neskinchenni odnostoronni pohidni f x0 f x0 displaystyle f x 0 f x 0 nbsp Todi za umovif x0 lt 0 f x0 gt 0 displaystyle f x 0 lt 0 f x 0 gt 0 nbsp x0 displaystyle x 0 nbsp ye tochkoyu strogogo lokalnogo maksimumu A yaksho f x0 gt 0 f x0 lt 0 displaystyle f x 0 gt 0 f x 0 lt 0 nbsp to x0 displaystyle x 0 nbsp ye tochkoyu strogogo lokalnogo minimumu Zauvazhimo sho pri comu funkciya ne obov yazkovo diferencijovna v tochci x0 displaystyle x 0 nbsp Nehaj funkciya f displaystyle f nbsp neperervna i dvichi diferencijovna v tochci x0 displaystyle x 0 nbsp Todi za umovif x0 0 displaystyle f x 0 0 nbsp i f x0 lt 0 displaystyle f x 0 lt 0 nbsp x0 displaystyle x 0 nbsp ye tochkoyu lokalnogo maksimumu A yaksho f x0 0 displaystyle f x 0 0 nbsp i f x0 gt 0 displaystyle f x 0 gt 0 nbsp to x0 displaystyle x 0 nbsp ye tochkoyu lokalnogo minimumu Nehaj funkciya f displaystyle f nbsp diferencijovna n displaystyle n nbsp raziv u tochci x0 displaystyle x 0 nbsp i f x0 f x0 f n 1 x0 0 displaystyle f x 0 f x 0 dots f n 1 x 0 0 nbsp a f n x0 0 displaystyle f n x 0 neq 0 nbsp Yaksho n displaystyle n nbsp parne i f n x0 lt 0 displaystyle f n x 0 lt 0 nbsp to x0 displaystyle x 0 nbsp tochka lokalnogo maksimumu Yaksho n displaystyle n nbsp parne i f n x0 gt 0 displaystyle f n x 0 gt 0 nbsp to x0 displaystyle x 0 nbsp tochka lokalnogo minimumu Yaksho n displaystyle n nbsp neparne to ekstremumu nemaye Teorema Ferma red Dokladnishe Teorema Ferma Nehaj x0 displaystyle x 0 nbsp tochka ekstremumu funkciyi f D R displaystyle f colon D to R nbsp Yaksho x0 displaystyle x 0 nbsp vnutrishnya tochka dlya D displaystyle D nbsp i f x displaystyle f x nbsp diferencijovna v tochci x0 f x0 displaystyle x 0 exists f x 0 nbsp to f x0 0 displaystyle f x 0 0 nbsp Teorema Rollya red Dokladnishe Teorema Rollya Yaksho f a b R displaystyle f colon a b to R nbsp neperervna na a b displaystyle a b nbsp diferencijovna na a b displaystyle a b nbsp i f a f b displaystyle f a f b nbsp to 3 a b f 3 0 displaystyle exists xi in a b f xi 0 nbsp Div takozh red Kritichna tochka Zadacha optimizaciyi Pohidna Umovnij ekstremumPrimitki red Pshenichnyj 1969 s 7 Kudryavcev L D Matematicheskij analiz 2 e izd M Vysshaya shkola 1973 T 1 Dzherela red Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2023 1800 s ukr Mala girnicha enciklopediya u 3 t za red V S Bileckogo D Donbas 2004 T 1 A K 640 s ISBN 966 7804 14 3 Posilannya red Absolyutnij ekstremum u matematici Arhivovano 25 lyutogo 2022 u Wayback Machine VUE Oznachennya maksimumu ta minimumu funkciyi Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 300 594 s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Ekstremum amp oldid 41757918