www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорема Барбашина Красовського У теорії звичайних диференціальних рівнянь теоре ма Барба шина Красо вського також при нц

Теорема Барбашина — Красовського

У теорії звичайних диференціальних рівнянь теоре́ма Барба́шина — Красо́вського (також при́нцип інваріа́нтності ЛаСа́ля; англ. LaSalle's invariance principle) дає достатні умови асимптотичної стійкості нульового розв'язку системи звичайних диференціальних рівнянь. Загальне твердження було незалежно доведене М. М. Красовським[ru] та Д. П. ЛаСалєм. В англомовних джерелах результат відомий під назвою принцип інваріантності ЛаСаля (англ. LaSalle's invariance principle), тоді як в українській (та радянській) літературі здебільшого вживається термін теорема Красовського, або теорема Барбашина-Красовського.

Постановка ред.

Стан системи у фазовому просторі (де ) в час даний точкою , де диференційовні функції. Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь , де неперервна функція, . Систему можна коротко записати як . Припустимо що є точкою рівноваги системи, тобто .

Теорема Барбашина — Красовського ред.

Якщо існує додатно визначена[en] нескінченно велика функція похідна від якої по часу вздовж траєкторій системи є від'ємно-сталою (тобто повсюди), причому рівність можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки , то нульовий розв'язок системи рівнянь стійкий в цілому.

Принцип інваріантності ЛаСаля ред.

Нехай скалярна функція з неперервними частковими похідними повсюди яка також задовольняє

  1. коли ,
  2. повсюди,
  3. з тим як .

Якщо рівність можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки , то нульовий розв'язок системи рівнянь стійкий в цілому.

Див. також ред.

Примітки ред.

  1. М. О. Перестюк, О. С. Чернікова. Теорія стійкості [ 4 березня 2016 у Wayback Machine.], §3. Узагальнення теореми Ляпунова про асимптотичну стійкість, §4. Узагальнення третьої теореми Ляпунова.
  2. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения [ 19 листопада 2015 у Wayback Machine.], 1959. (рос.)
  3. LaSalle, J.P. , IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520-527, 1960. (англ.)

Оригінальні статті ред.

  • [ ][ ](en) LaSalle J. P. , IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. — Загальне твердження.
  • [ ][ ](ru) Барбашин Е. А., Красовский Н. Н. Об устойчивости движения в целом, 1952. — Окремий випадок.
  • [ ][ ](ru) Красовский Н. Н. , 1959. — Загальне твердження.

Посилання ред.

  • Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Диференціальні рівняння у прикладах і задачах. — К. : Вища школа, 1994.
  • Перестюк М. О., Чернікова О. С. .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U teoriyi zvichajnih diferencialnih rivnyan teore ma Barba shina Kraso vskogo takozh pri ncip invaria ntnosti LaSa lya angl LaSalle s invariance principle daye dostatni umovi asimptotichnoyi stijkosti nulovogo rozv yazku sistemi zvichajnih diferencialnih rivnyan 1 Zagalne tverdzhennya bulo nezalezhno dovedene M M Krasovskim ru 2 ta D P LaSalyem 3 V anglomovnih dzherelah rezultat vidomij pid nazvoyu princip invariantnosti LaSalya angl LaSalle s invariance principle todi yak v ukrayinskij ta radyanskij literaturi zdebilshogo vzhivayetsya termin teorema Krasovskogo abo teorema Barbashina Krasovskogo Zmist 1 Postanovka 2 Teorema Barbashina Krasovskogo 3 Princip invariantnosti LaSalya 4 Div takozh 5 Primitki 6 Originalni statti 7 PosilannyaPostanovka red Stan sistemi u fazovomu prostori R n displaystyle mathbb R n nbsp de n N displaystyle n in mathbb N nbsp v chas t R displaystyle t in mathbb R nbsp danij tochkoyu x t x 1 t x 2 t x n t displaystyle vec x t x 1 t x 2 t dots x n t nbsp de x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 dots x n nbsp diferencijovni funkciyi Rozglyanemo sistemu zvichajnih diferencialnih rivnyan x t f x t displaystyle dot vec x t f vec x t nbsp de f R n R n displaystyle f mathbb R n to mathbb R n nbsp neperervna funkciya f x t d d t x t displaystyle f vec x t frac d dt vec x t nbsp Sistemu mozhna korotko zapisati yak x f x displaystyle dot vec x f vec x nbsp Pripustimo sho 0 R n displaystyle vec 0 in mathbb R n nbsp ye tochkoyu rivnovagi sistemi tobto f 0 0 displaystyle f vec 0 vec 0 nbsp Teorema Barbashina Krasovskogo red Yaksho isnuye dodatno viznachena en neskinchenno velika funkciya V x displaystyle V vec x nbsp pohidna vid yakoyi po chasu d V d t displaystyle frac dV dt nbsp vzdovzh trayektorij sistemi x f x displaystyle dot vec x f vec x nbsp ye vid yemno staloyu tobto d V d t 0 displaystyle frac dV dt leq 0 nbsp povsyudi prichomu rivnist d d t V x 0 displaystyle frac d dt V vec x 0 nbsp mozhliva na monzhini yaka ne mistit cilih trayektorij krim tochki x 0 displaystyle vec x vec 0 nbsp to nulovij rozv yazok sistemi rivnyan x f x displaystyle dot vec x f vec x nbsp stijkij v cilomu Princip invariantnosti LaSalya red Nehaj V x displaystyle V vec x nbsp skalyarna funkciya z neperervnimi chastkovimi pohidnimi povsyudi yaka takozh zadovolnyaye V x gt 0 displaystyle V vec x gt 0 nbsp koli x 0 displaystyle vec x neq vec 0 nbsp V x 0 displaystyle dot V vec x leq 0 nbsp povsyudi V x displaystyle V vec x to infty nbsp z tim yak x displaystyle vec x to infty nbsp Yaksho rivnist V x V f x 0 displaystyle dot V vec x equiv nabla V cdot f vec x 0 nbsp mozhliva na monzhini yaka ne mistit cilih trayektorij krim tochki x 0 displaystyle vec x vec 0 nbsp to nulovij rozv yazok sistemi rivnyan x f x displaystyle dot vec x f vec x nbsp stijkij v cilomu Div takozh red Funkciya Lyapunova Teoriya stijkostiPrimitki red M O Perestyuk O S Chernikova Teoriya stijkosti Arhivovano 4 bereznya 2016 u Wayback Machine 3 Uzagalnennya teoremi Lyapunova pro asimptotichnu stijkist 4 Uzagalnennya tretoyi teoremi Lyapunova Krasovskij N N Nekotorye zadachi teorii ustojchivosti dvizheniya Arhivovano 19 listopada 2015 u Wayback Machine 1959 ros LaSalle J P Some extensions of Liapunov s second method IRE Transactions on Circuit Theory CT 7 pp 520 527 1960 angl Originalni statti red en LaSalle J P Some extensions of Liapunov s second method IRE Transactions on Circuit Theory CT 7 pp 520 527 1960 Zagalne tverdzhennya ru Barbashin E A Krasovskij N N Ob ustojchivosti dvizheniya v celom 1952 Okremij vipadok ru Krasovskij N N Nekotorye zadachi teorii ustojchivosti dvizheniya 1959 Zagalne tverdzhennya Posilannya red Samojlenko A M Krivosheya S A Perestyuk N A Diferencialni rivnyannya u prikladah i zadachah K Visha shkola 1994 Perestyuk M O Chernikova O S Teoriya stijkosti Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teorema Barbashina Krasovskogo amp oldid 34388460