www.wikidata.uk-ua.nina.az

Функція Ляпунова У теорії звичайних диференціальних рівнянь функція Ляпунова є скалярною функцією яка може бути використ

Функція Ляпунова

У теорії звичайних диференціальних рівнянь, функція Ляпунова є скалярною функцією, яка може бути використана як доказ стійкості рівноваги рівняння. Названа на честь російського математика Олександра Ляпунова. Функції Ляпунова мають важливе значення для теорія стійкості та теорія керування. Аналогічна концепція з'являється у загальній теорії простору станів ланцюгів Маркова, як правило, під назвою функція Ляпунова-Фостера

Для багатьох класів звичайних диференціальних рівнянь, існування функцій Ляпунова є необхідною і достатньою умовою для стійкості. Хоч немає загальної методики побудови функцій Ляпунова для звичайних диференціальних рівнянь, у багатьох конкретних випадках, конструювання функцій Ляпунова відоме. Наприклад, квадратичної функції достатньо для систем з однією змінною, розв'язок певної лінійної матричної нерівності забезпечує функцію Ляпунова для лінійних систем. Закони збереження можуть бути використані для побудови функцій Ляпунова для фізичної системи.

Неформально, функція Ляпунова — це функція, яка приймає позитивні значення всюди, за винятком точки рівноваги, і зменшується (або не зростає) вздовж кожної траєкторії звичайного диференціального рівняння. Основна перевага методу аналізу стійкості систем звичайних диференціальних рівнянь на основі функцій Ляпунова полягає в тому, що розв'язок системи рівнянь (аналітичний або чисельний) не потрібен.

Визначення кандидата функції Ляпунова Редагувати

Нехай

— неперервна скалярна функція.
називається кандидатом функції Ляпунова, якщо локально вона є додатновизначеною функцією, тобто

з , що є околом точки

Точка рівноваги Редагувати

Нехай

буде довільною автономною динамічною системою з точкою рівноваги :

Завжди існує перетворення координат , таке що:

Тоді нова система має точку рівноваги у початку координат.

Теореми Ляпунова для автономних систем Редагувати

Нехай

є точкою рівноваги системи автономних диференціальних рівнянь

І нехай

буде похідна по часу кандадата на функцію Ляпунова .

Стійкість точки рівноваги Редагувати

Якщо кандидат-функція Ляпунова є локально додатноозначеною і похідна за часом є локально від'ємною напівозначеною:

у деякому околі точки , тоді точка рівноваги є стійкою.

Локальна асимптотична стійкість Редагувати

Якщо кандидат-функція Ляпунова є локально додатноозначеною і похідна за часом локально є від'ємноозначеною:

у деякому околі точки , тоді точка рівноваги є локально асимптотично стійкою.

Глобальна асимптотична стійкість Редагувати

Якщо кандидат-функція Ляпунова є глобально додатноозначеною, радіально необмеженою і похідна за часом є глобально від'ємноозначеною:

тоді точка рівноваги глобально асимптотично стійкість.

Якщо кандидат-функція Ляпунова є радіально необмеженою якщо

(Це також називають нормованою коерцитивністю.)

Приклад Редагувати

Розглянемо наступне диференціальне рівняння із розв'язком x на :

Беручи до уваги, що функція |x| є завжди додатною в околі початку координат, то вона є природним вибором кандидат-функції Ляпунова для вивчення поведінки x. Отже, нехай на . Тоді,

Це показує те що точка рівноваги дифиренціального рівняння є асимптотично стійким в околі початку координат.

Див. також Редагувати

Примітки Редагувати

  • М. О. Перестюк, О. С. Чернікова. . (укр.)
  • Weisstein, Eric W. Lyapunov Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld. (англ.)
  • Scholarpedia, Stability. (англ.)
  • Самойленко, А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Диференціальні рівняння у прикладах і задачах, Вища школа, Київ, 1994. (укр.)
  • Khalil, H.K. (1996). Nonlinear systems. Prentice Hall Upper Saddle River, NJ.  (англ.)

Посилання Редагувати

  • Приклад визначення стійкості точки рівноваги системи звичайний диференціальних рівнянь за допомогою функції Ляпунова
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U teoriyi zvichajnih diferencialnih rivnyan funkciya Lyapunova ye skalyarnoyu funkciyeyu yaka mozhe buti vikoristana yak dokaz stijkosti rivnovagi rivnyannya Nazvana na chest rosijskogo matematika Oleksandra Lyapunova Funkciyi Lyapunova mayut vazhlive znachennya dlya teoriya stijkosti ta teoriya keruvannya Analogichna koncepciya z yavlyayetsya u zagalnij teoriyi prostoru staniv lancyugiv Markova yak pravilo pid nazvoyu funkciya Lyapunova FosteraDlya bagatoh klasiv zvichajnih diferencialnih rivnyan isnuvannya funkcij Lyapunova ye neobhidnoyu i dostatnoyu umovoyu dlya stijkosti Hoch nemaye zagalnoyi metodiki pobudovi funkcij Lyapunova dlya zvichajnih diferencialnih rivnyan u bagatoh konkretnih vipadkah konstruyuvannya funkcij Lyapunova vidome Napriklad kvadratichnoyi funkciyi dostatno dlya sistem z odniyeyu zminnoyu rozv yazok pevnoyi linijnoyi matrichnoyi nerivnosti zabezpechuye funkciyu Lyapunova dlya linijnih sistem Zakoni zberezhennya mozhut buti vikoristani dlya pobudovi funkcij Lyapunova dlya fizichnoyi sistemi Neformalno funkciya Lyapunova ce funkciya yaka prijmaye pozitivni znachennya vsyudi za vinyatkom tochki rivnovagi i zmenshuyetsya abo ne zrostaye vzdovzh kozhnoyi trayektoriyi zvichajnogo diferencialnogo rivnyannya Osnovna perevaga metodu analizu stijkosti sistem zvichajnih diferencialnih rivnyan na osnovi funkcij Lyapunova polyagaye v tomu sho rozv yazok sistemi rivnyan analitichnij abo chiselnij ne potriben Zmist 1 Viznachennya kandidata funkciyi Lyapunova 2 Tochka rivnovagi 3 Teoremi Lyapunova dlya avtonomnih sistem 3 1 Stijkist tochki rivnovagi 3 2 Lokalna asimptotichna stijkist 3 3 Globalna asimptotichna stijkist 4 Priklad 5 Div takozh 6 Primitki 7 PosilannyaViznachennya kandidata funkciyi Lyapunova RedaguvatiNehaj V R n R displaystyle V mathbb R n to mathbb R nbsp neperervna skalyarna funkciya V displaystyle V nbsp nazivayetsya kandidatom funkciyi Lyapunova yaksho lokalno vona ye dodatnoviznachenoyu funkciyeyu tobto V 0 0 displaystyle V 0 0 nbsp V x gt 0 x U 0 displaystyle V x gt 0 quad forall x in U setminus 0 nbsp z U displaystyle U nbsp sho ye okolom tochki x 0 displaystyle x 0 nbsp Tochka rivnovagi RedaguvatiNehaj g R n R n displaystyle g colon mathbb R n to mathbb R n nbsp y g y displaystyle dot y g y nbsp bude dovilnoyu avtonomnoyu dinamichnoyu sistemoyu z tochkoyu rivnovagi y displaystyle y nbsp 0 g y displaystyle 0 g y nbsp Zavzhdi isnuye peretvorennya koordinat x y y displaystyle x y y nbsp take sho x g x y f x displaystyle dot x g x y f x nbsp f 0 0 displaystyle f 0 0 nbsp Todi nova sistema f x displaystyle f x nbsp maye tochku rivnovagi u pochatku koordinat Teoremi Lyapunova dlya avtonomnih sistem RedaguvatiDokladnishe Stijkist dinamichni sistemi Nehaj x 0 displaystyle x 0 nbsp ye tochkoyu rivnovagi sistemi avtonomnih diferencialnih rivnyan x f x displaystyle dot x f x nbsp I nehaj V x V x d x d t V x V f x displaystyle dot V x frac partial V partial x cdot frac dx dt nabla V cdot dot x nabla V cdot f x nbsp bude pohidna po chasu kandadata na funkciyu Lyapunova V displaystyle V nbsp Stijkist tochki rivnovagi Redaguvati Yaksho kandidat funkciya Lyapunova V displaystyle V nbsp ye lokalno dodatnooznachenoyu i pohidna za chasom ye lokalno vid yemnoyu napivoznachenoyu V x 0 x B 0 displaystyle dot V x leq 0 quad forall x in mathcal B setminus 0 nbsp u deyakomu okoli B displaystyle mathcal B nbsp tochki 0 displaystyle 0 nbsp todi tochka rivnovagi ye stijkoyu Lokalna asimptotichna stijkist Redaguvati Yaksho kandidat funkciya Lyapunova V displaystyle V nbsp ye lokalno dodatnooznachenoyu i pohidna za chasom lokalno ye vid yemnooznachenoyu V x lt 0 x B 0 displaystyle dot V x lt 0 quad forall x in mathcal B setminus 0 nbsp u deyakomu okoli B displaystyle mathcal B nbsp tochki 0 displaystyle 0 nbsp todi tochka rivnovagi ye lokalno asimptotichno stijkoyu Globalna asimptotichna stijkist Redaguvati Yaksho kandidat funkciya Lyapunova V displaystyle V nbsp ye globalno dodatnooznachenoyu radialno neobmezhenoyu i pohidna za chasom ye globalno vid yemnooznachenoyu V x lt 0 x R n 0 displaystyle dot V x lt 0 quad forall x in mathbb R n setminus 0 nbsp todi tochka rivnovagi globalno asimptotichno stijkist Yaksho kandidat funkciya Lyapunova V x displaystyle V x nbsp ye radialno neobmezhenoyu yaksho x V x displaystyle x to infty Rightarrow V x to infty nbsp Ce takozh nazivayut normovanoyu koercitivnistyu Priklad RedaguvatiRozglyanemo nastupne diferencialne rivnyannya iz rozv yazkom x na R displaystyle mathbb R nbsp x x displaystyle dot x x nbsp Beruchi do uvagi sho funkciya x ye zavzhdi dodatnoyu v okoli pochatku koordinat to vona ye prirodnim viborom kandidat funkciyi Lyapunova dlya vivchennya povedinki x Otzhe nehaj V x x displaystyle V x x nbsp na R 0 displaystyle mathbb R setminus 0 nbsp Todi V x V x f x s i g n x x x lt 0 displaystyle dot V x V x f x mathrm sign x cdot x x lt 0 nbsp Ce pokazuye te sho tochka rivnovagi difirencialnogo rivnyannya ye asimptotichno stijkim v okoli pochatku koordinat Div takozh RedaguvatiZvichajni diferencialni rivnyannya Kontol funkciya Lyapunova Teorema Fostera Teorema Barbashina KrasovskogoPrimitki RedaguvatiM O Perestyuk O S Chernikova Teoriya stijkosti ukr Weisstein Eric W Lyapunov Function angl na sajti Wolfram MathWorld angl Scholarpedia Stability angl Samojlenko A M Krivosheya S A Perestyuk N A Diferencialni rivnyannya u prikladah i zadachah Visha shkola Kiyiv 1994 ukr Khalil H K 1996 Nonlinear systems Prentice Hall Upper Saddle River NJ angl Posilannya RedaguvatiPriklad viznachennya stijkosti tochki rivnovagi sistemi zvichajnij diferencialnih rivnyan za dopomogoyu funkciyi Lyapunova Deyaki diagrami Lyapunova Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Funkciya Lyapunova amp oldid 32891159