www.wikidata.uk-ua.nina.az

Послідовність Фібоначчі Послідо вність Фібона ччі чи сла Фібона ччі у математиці числова послідовність F n displaystyle

Послідовність Фібоначчі

Послідо́вність Фібона́ччі, чи́сла Фібона́ччі — у математиці числова послідовність задана рекурентним співвідношенням другого порядку

Розбиття на квадрати, в яких кожна довжина сторін підпорядковується послідовності чисел Фібоначчі
Спіраль Фібоначчі: апроксимація золотої спіралі утворена круглими дугами, що проведені через протилежні кути квадратів Фібоначчі; в цьому прикладі сторони квадратів були такими: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, і 34.

і т. д. Ця послідовність виникає у найрізноманітніших математичних ситуаціях — комбінаторних, числових, геометричних.

Простіше кажучи, перші два члени послідовності — одиниці, а кожний наступний — сума значень двох попередніх чисел:

Часто, особливо в сучасному вигляді, послідовність доповнюється ще одним початковим членом:

За визначенням, перші два числа в послідовності Фібоначчі є або 1 і 1, або 0 і 1, залежно від обраного початку послідовностей, а кожне наступне число є сумою двох попередніх.

В математичних термінах послідовність чисел Фібоначчі Fn визначається як рекурентне співвідношення

із початковими значеннями[en]

або

Суцвіття соняшника з 34 спіралями в один бік і 55 в інший

У природі числа Фібоначчі часто трапляються в різних спіральних формах. Так, черешки листя примикають до стебла по спіралі, що проходить між двома сусідніми листками: 1/3 повного оберту в ліщини, 2/5 — у дуба, 3/8 — у тополі і груші, 5/13 — у верби; лусочки на ялиновій шишці, насіння соняшника розташовані спіралями, причому кількості спіралей кожного напрямку також, як правило, числа Фібоначчі.

Послідовність названа на честь математика XIII століття Леонардо Фібоначчі з Пізи. Його 1202 книга — Книга абака — представила цю послідовність спільноті західноєвропейських математиків, хоча така послідовність вже була описана раніше як числа Вараханка[en] в індійській математиці[en]. Послідовність, описана в «Книзі абака», починалася з F1 = 1.

Формула Біне ред.

Числа Фібоначчі тісно пов'язані з золотим перетином Формула Біне виражає за допомогою значення в явному вигляді як функцію від :

При цьому і є коренями квадратного рівняння .

Оскільки знаходимо, що при Тому з формули Біне випливає, що для всіх натуральних є найближчим до цілим числом, тому або . Зокрема, справедлива асимптотика

Властивості чисел Фібоначчі ред.

  • Найбільший спільний дільник двох чисел Фібоначчі дорівнює числу Фібоначчі з індексом, рівним найбільшому спільному дільнику індексів, тобто: . Внаслідок цього:
    • ділиться на тоді й тільки тоді, коли ділиться на (за винятком );
    • кожне третє число Фібоначчі парне ();
    • кожне четверте ділиться на три ();
    • кожне п'ятнадцяте закінчується нулем ();
    • два сусідніх числа Фібоначчі взаємно прості;
    • може бути простим тільки для простих (за єдиним винятком що пов'язано з ). Зворотне твердження неправильне: хоча  — просте число. Тепер невідомо, чи існує нескінченно багато простих чисел Фібоначчі.
  • Використовуючи те саме рекурентне співвідношення, що і на початку, у вигляді , можливо поширити визначення чисел Фібоначчі і на від'ємні індекси: Неважко переконатися, що тобто одержуємо таку саму послідовність із знаками, що чергуються.
  • Послідовність чисел Фібоначчі є частковим випадком генерованої послідовності, її характеристичний многочлен рівний і має корені і .
  • Генератрисою послідовності чисел Фібоначчі є:
  • Числа Фібоначчі можна представити значеннями континуант на наборі одиниць: , тобто
де матриці мають розмір ,  — уявна одиниця.
  • Для будь-якого n,
Ця формула надає швидкий алгоритм обчислення чисел Фібоначчі за допомогою матричного варіанта алгоритму швидкого піднесення до степеня. Обчислення визначників дає:
  • У 1964 р. J. H. E. Cohn довів, що єдиними точними квадратами серед чисел Фібоначчі є і
  • Множина чисел Фібоначчі збігається з множиною натуральних значень наступного полінома двох змінних

де  — цілі числа. (див. P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, с. 153). Цей факт, виявлений Дж. Джоунзом, відіграє ключову роль у теоремі Матіясевича (негативному розв'язанні десятої проблеми Гільберта), тому що він надає спосіб задати експоненціально зростаючу послідовність чисел Фібоначчі у вигляді діофантової множини[en].

Числа Фібоначчі за O(ln n) ред.

Ідея полягає в наступному:

Можна користуватися цими формулами в початковому вигляді, проте більш ефективним буде таке матричне рівняння:

Якщо через A позначити матрицю

то отримаємо

Отже, щоб вирахувати 2n-е/2n+1-ше число Фібоначчі, треба матрицю A піднести до n-го степеня, а це можна зробити за O(ln n) операцій.

Зауважимо, що аналогічним способом можна знаходити n-ий член довільної послідовності, заданої лінійним рекурентним рівнянням, за O(ln n) операцій.

Історія відкриття ред.

Сторінка з Liber abaci Фібоначчі, книга зберігається в Національній центральній бібліотеці Флоренції. В прямокутній рамці справа послідовність Фібоначчі; порядкові номери вказані шрифтом чорного кольору словами латиною, з десятого номера — римськими цифрами, сама послідовність подана червоним кольором арабськими цифрами.

У XIII столітті італійський математик Фібоначчі розв'язував таку задачу: Фермер годує кроликів. Кожна пара кроликів народжує одну пару кроликів, коли парі стає 2 місяці, а потім дає потомство в 1 пару щомісяця. Скільки пар кроликів буде у фермера через n місяців, якщо спочатку у нього була лише одна пара кроликів (вважаємо, що кролики не гинуть і кожен народжений дає потомство за вище описаною схемою)?

Очевидно, що першого та другого місяця у фермера залишається одна пара, оскільки потомства ще немає. На третій місяць буде дві, оскільки перші через два місяці народять другу пару кроликів. На четвертий місяць перші кролики дадуть ще одну, а другі кролики потомства не дадуть, оскільки їм ще тільки один місяць. Отож на четвертий місяць буде три пари кроликів.

Можна помітити, що кількість кроликів після n-го місяця дорівнює кількості кроликів, які були у n-1 місяці, плюс кількість народжених кроликів. Останніх буде стільки, скільки є кроликів, що дають потомство, або дорівнює кількості кроликів, яким уже виповнилося 2 місяці (тобто кількості кроликів після n-2 місяця).

Якщо через Fn позначити кількість кроликів після n-го місяця, то маємо таке рекурентне співвідношення:

Покладемо F0 = 0, при цьому співвідношення при n = 2 залишиться істинним. Таким чином утворюється послідовність

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Див. також ред.

Посилання ред.

Примітки ред.

  1. John Hudson Tiner (200). . New Leaf Publishing Group. ISBN 978-1-61458-155-0. Архів оригіналу за 12 січня 2017. Процитовано 24 січня 2017. 
  2. Beck та Geoghegan, 2010.
  3. Bóna, 2011, с. 180.
  4. Lucas, 1891, с. 3.
  5. Pisano, 2002, с. 404–5.

Література ред.

  • Воробьев, Числа Фибоначчи (Популярные лекции по математике, вып. 5). М., Наука.
  • Грант Аракелян. Математика и история золотого сечения. Логос, 2014, 404 с. ISBN 978-5-98704-663-0.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Poslido vnist Fibona chchi chi sla Fibona chchi u matematici chislova poslidovnist F n displaystyle F n zadana rekurentnim spivvidnoshennyam drugogo poryadkuRozbittya na kvadrati v yakih kozhna dovzhina storin pidporyadkovuyetsya poslidovnosti chisel FibonachchiSpiral Fibonachchi aproksimaciya zolotoyi spirali utvorena kruglimi dugami sho provedeni cherez protilezhni kuti kvadrativ Fibonachchi 1 v comu prikladi storoni kvadrativ buli takimi 1 1 2 3 5 8 13 21 i 34 F 1 1 F 2 1 F n 2 F n F n 1 n 1 2 3 displaystyle F 1 1 F 2 1 F n 2 F n F n 1 n 1 2 3 ldots F 1 1 F 2 1 F 3 2 F 4 3 F 5 5 F 6 8 F 7 13 F 8 21 displaystyle F 1 1 F 2 1 F 3 2 F 4 3 F 5 5 F 6 8 F 7 13 F 8 21 i t d Cya poslidovnist vinikaye u najriznomanitnishih matematichnih situaciyah kombinatornih chislovih geometrichnih Prostishe kazhuchi pershi dva chleni poslidovnosti odinici a kozhnij nastupnij suma znachen dvoh poperednih chisel 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 displaystyle 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ldots Chasto osoblivo v suchasnomu viglyadi poslidovnist dopovnyuyetsya she odnim pochatkovim chlenom 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 displaystyle 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ldots Za viznachennyam pershi dva chisla v poslidovnosti Fibonachchi ye abo 1 i 1 abo 0 i 1 zalezhno vid obranogo pochatku poslidovnostej a kozhne nastupne chislo ye sumoyu dvoh poperednih V matematichnih terminah poslidovnist chisel Fibonachchi Fn viznachayetsya yak rekurentne spivvidnoshennya F n F n 1 F n 2 displaystyle F n F n 1 F n 2 iz pochatkovimi znachennyami en 2 3 F 1 1 F 2 1 displaystyle F 1 1 F 2 1 abo 4 F 0 0 F 1 1 displaystyle F 0 0 F 1 1 Sucvittya sonyashnika z 34 spiralyami v odin bik i 55 v inshijU prirodi chisla Fibonachchi chasto traplyayutsya v riznih spiralnih formah Tak chereshki listya primikayut do stebla po spirali sho prohodit mizh dvoma susidnimi listkami 1 3 povnogo obertu v lishini 2 5 u duba 3 8 u topoli i grushi 5 13 u verbi lusochki na yalinovij shishci nasinnya sonyashnika roztashovani spiralyami prichomu kilkosti spiralej kozhnogo napryamku takozh yak pravilo chisla Fibonachchi Poslidovnist nazvana na chest matematika XIII stolittya Leonardo Fibonachchi z Pizi Jogo 1202 kniga Kniga abaka predstavila cyu poslidovnist spilnoti zahidnoyevropejskih matematikiv 5 hocha taka poslidovnist vzhe bula opisana ranishe yak chisla Varahanka en v indijskij matematici en Poslidovnist opisana v Knizi abaka pochinalasya z F1 1 Zmist 1 Formula Bine 2 Vlastivosti chisel Fibonachchi 3 Chisla Fibonachchi za O ln n 4 Istoriya vidkrittya 5 Div takozh 6 Posilannya 7 Primitki 8 LiteraturaFormula Bine red Chisla Fibonachchi tisno pov yazani z zolotim peretinom ϕ 1 5 2 displaystyle phi frac 1 sqrt 5 2 nbsp Formula Bine virazhaye za dopomogoyu ϕ displaystyle phi nbsp znachennya F n displaystyle F n nbsp v yavnomu viglyadi yak funkciyu vid n displaystyle n nbsp F n ϕ n ϕ n ϕ ϕ 1 1 5 2 n 1 5 2 n 5 ϕ n 5 n 1 displaystyle F n frac phi n phi n phi phi 1 frac left frac 1 sqrt 5 2 right n left frac 1 sqrt 5 2 right n sqrt 5 approx frac phi n sqrt 5 quad n geqslant 1 nbsp Pri comu ϕ 1 618 displaystyle phi 1 618 ldots nbsp i ϕ 1 1 ϕ 0 618 displaystyle phi 1 1 phi 0 618 ldots nbsp ye korenyami kvadratnogo rivnyannya x 2 x 1 0 displaystyle x 2 x 1 0 nbsp Oskilki 1 lt 1 ϕ lt 0 displaystyle 1 lt 1 phi lt 0 nbsp znahodimo sho pri n 1 1 lt 1 ϕ n lt 1 displaystyle n geqslant 1 1 lt 1 phi n lt 1 nbsp Tomu z formuli Bine viplivaye sho dlya vsih naturalnih n F n displaystyle n F n nbsp ye najblizhchim do ϕ n 5 displaystyle frac phi n sqrt 5 nbsp cilim chislom tomu F n ϕ n 5 displaystyle F n left frac phi n sqrt 5 right nbsp abo F n ϕ n 5 1 2 displaystyle F n left lfloor frac phi n sqrt 5 frac 1 2 right rfloor nbsp Zokrema spravedliva asimptotika F n ϕ n 5 n displaystyle F n sim frac phi n sqrt 5 n to infty nbsp Vlastivosti chisel Fibonachchi red Najbilshij spilnij dilnik dvoh chisel Fibonachchi dorivnyuye chislu Fibonachchi z indeksom rivnim najbilshomu spilnomu dilniku indeksiv tobto F m F n F m n displaystyle F m F n F m n nbsp Vnaslidok cogo F m displaystyle F m nbsp dilitsya na F n displaystyle F n nbsp todi j tilki todi koli m displaystyle m nbsp dilitsya na n displaystyle n nbsp za vinyatkom n 2 displaystyle n 2 nbsp kozhne tretye chislo Fibonachchi parne F 3 2 F 6 8 F 9 34 displaystyle F 3 2 F 6 8 F 9 34 nbsp kozhne chetverte dilitsya na tri F 4 3 F 8 21 F 12 144 displaystyle F 4 3 F 8 21 F 12 144 nbsp kozhne p yatnadcyate zakinchuyetsya nulem F 15 610 displaystyle F 15 610 nbsp dva susidnih chisla Fibonachchi vzayemno prosti F m displaystyle F m nbsp mozhe buti prostim tilki dlya prostih m displaystyle m nbsp za yedinim vinyatkom m 4 displaystyle m 4 nbsp sho pov yazano z F 2 1 displaystyle F 2 1 nbsp Zvorotne tverdzhennya nepravilne F 19 4181 37 113 displaystyle F 19 4181 37 cdot 113 nbsp hocha 19 displaystyle 19 nbsp proste chislo Teper nevidomo chi isnuye neskinchenno bagato prostih chisel Fibonachchi Vikoristovuyuchi te same rekurentne spivvidnoshennya sho i na pochatku u viglyadi F n F n 2 F n 1 displaystyle F n F n 2 F n 1 nbsp mozhlivo poshiriti viznachennya chisel Fibonachchi i na vid yemni indeksi F 0 0 F 1 1 F 2 1 F 3 2 F 4 3 F 5 5 displaystyle F 0 0 F 1 1 F 2 1 F 3 2 F 4 3 F 5 5 ldots nbsp Nevazhko perekonatisya sho F n 1 n 1 F n displaystyle F n 1 n 1 F n nbsp tobto oderzhuyemo taku samu poslidovnist iz znakami sho cherguyutsya Poslidovnist chisel Fibonachchi ye chastkovim vipadkom generovanoyi poslidovnosti yiyi harakteristichnij mnogochlen rivnij x 2 x 1 displaystyle x 2 x 1 nbsp i maye koreni ϕ displaystyle phi nbsp i 1 ϕ displaystyle 1 phi nbsp Generatrisoyu poslidovnosti chisel Fibonachchi ye 0 x x 2 2 x 3 3 x 4 5 x 5 n 0 F n x n x 1 x x 2 displaystyle 0 x x 2 2x 3 3x 4 5x 5 dots sum n 0 infty F n x n frac x 1 x x 2 nbsp dd Chisla Fibonachchi mozhna predstaviti znachennyami kontinuant na nabori odinic F n K n 1 1 displaystyle F n K n 1 dots 1 nbsp tobtoF n det 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 displaystyle F n det begin pmatrix 1 amp 1 amp 0 amp cdots amp 0 1 amp 1 amp 1 amp ddots amp vdots 0 amp 1 amp ddots amp ddots amp 0 vdots amp ddots amp ddots amp ddots amp 1 0 amp cdots amp 0 amp 1 amp 1 end pmatrix nbsp a takozh F n 1 det 1 i 0 0 i 1 i 0 i 0 i 0 0 i 1 displaystyle F n 1 det begin pmatrix 1 amp i amp 0 amp cdots amp 0 i amp 1 amp i amp ddots amp vdots 0 amp i amp ddots amp ddots amp 0 vdots amp ddots amp ddots amp ddots amp i 0 amp cdots amp 0 amp i amp 1 end pmatrix nbsp dd de matrici mayut rozmir n n displaystyle n times n nbsp i displaystyle i nbsp uyavna odinicya Dlya bud yakogo n 1 1 1 0 n F n 1 F n F n F n 1 displaystyle begin pmatrix 1 amp 1 1 amp 0 end pmatrix n begin pmatrix F n 1 amp F n F n amp F n 1 end pmatrix nbsp dd Cya formula nadaye shvidkij algoritm obchislennya chisel Fibonachchi za dopomogoyu matrichnogo varianta algoritmu shvidkogo pidnesennya do stepenya Obchislennya viznachnikiv daye 1 n F n 1 F n 1 F n 2 displaystyle 1 n F n 1 F n 1 F n 2 nbsp dd dd Vidnoshennya F n 1 F n displaystyle frac F n 1 F n nbsp ye pidhodyashimi drobami zolotogo peretinu ϕ displaystyle phi nbsp i zokrema lim n F n 1 F n ϕ displaystyle lim n to infty frac F n 1 F n phi nbsp Dovedennya Poznachimo lim n F n 1 F n x displaystyle lim n to infty frac F n 1 F n x nbsp Vrahovuyuchi sho F n 1 F n F n 1 displaystyle F n 1 F n F n 1 nbsp i vvazhayuchi sho shukana granicya isnuye i ne dorivnyuye nulyu zapishemo lim n F n 1 F n lim n F n F n 1 F n 1 lim n F n 1 F n 1 1 lim n F n F n 1 1 1 lim n F n 1 F n displaystyle lim n to infty frac F n 1 F n lim limits n to infty frac F n F n 1 F n 1 lim limits n to infty frac F n 1 F n 1 frac 1 lim limits n to infty frac F n F n 1 1 frac 1 lim limits n to infty frac F n 1 F n nbsp Otrimuyemo proste rivnyannya x 1 1 x displaystyle x 1 frac 1 x nbsp yake zvoditsya do kvadratnogo rivnyannya x 2 x 1 0 displaystyle x 2 x 1 0 nbsp Rozv yazkami ye chisla x 1 1 5 2 displaystyle x 1 frac 1 sqrt 5 2 nbsp i x 2 1 5 2 displaystyle x 2 frac 1 sqrt 5 2 nbsp Ochevidno sho rozv yazok x 2 lt 0 displaystyle x 2 lt 0 nbsp ne pidhodit tomu ostatochno lim n F n 1 F n 1 5 2 ϕ displaystyle lim limits n to infty frac F n 1 F n frac 1 sqrt 5 2 phi nbsp Sumi binomialnih koeficiyentiv na diagonalyah trikutnika Paskalya ye chislami Fibonachchi z oglyadu na formuluF n 1 k 0 n 2 n k k displaystyle F n 1 sum k 0 lfloor n 2 rfloor n k choose k nbsp U 1964 r J H E Cohn doviv sho yedinimi tochnimi kvadratami sered chisel Fibonachchi ye F 0 0 F 1 F 2 1 displaystyle F 0 0 F 1 F 2 1 nbsp i F 12 144 12 2 displaystyle F 12 144 12 2 nbsp Mnozhina chisel Fibonachchi zbigayetsya z mnozhinoyu naturalnih znachen nastupnogo polinoma dvoh zminnihP x y 2 x y 4 x 2 y 3 2 x 3 y 2 y 5 x 4 y 2 y displaystyle P x y 2xy 4 x 2 y 3 2x 3 y 2 y 5 x 4 y 2y nbsp dd de x y Z displaystyle x y in mathbb Z nbsp cili chisla div P Ribenboim The New Book of Prime Number Records Springer 1996 s 153 Cej fakt viyavlenij Dzh Dzhounzom vidigraye klyuchovu rol u teoremi Matiyasevicha negativnomu rozv yazanni desyatoyi problemi Gilberta tomu sho vin nadaye sposib zadati eksponencialno zrostayuchu poslidovnist chisel Fibonachchi u viglyadi diofantovoyi mnozhini en Chisla Fibonachchi za O ln n red Ideya polyagaye v nastupnomu F n F n 1 F n 2 displaystyle F n F n 1 F n 2 nbsp F n 1 F n F n 1 2 F n 1 F n 2 displaystyle F n 1 F n F n 1 2 cdot F n 1 F n 2 nbsp Mozhna koristuvatisya cimi formulami v pochatkovomu viglyadi prote bilsh efektivnim bude take matrichne rivnyannya F n F n 1 1 1 1 2 F n 2 F n 1 displaystyle begin pmatrix F n F n 1 end pmatrix begin pmatrix 1 amp 1 1 amp 2 end pmatrix cdot begin pmatrix F n 2 F n 1 end pmatrix nbsp Yaksho cherez A poznachiti matricyuA 1 1 1 2 displaystyle A begin pmatrix 1 amp 1 1 amp 2 end pmatrix nbsp to otrimayemo F 2 n F 2 n 1 A n 1 1 displaystyle begin pmatrix F 2n F 2n 1 end pmatrix A n cdot begin pmatrix 1 1 end pmatrix nbsp Otzhe shob virahuvati 2n e 2n 1 she chislo Fibonachchi treba matricyu A pidnesti do n go stepenya a ce mozhna zrobiti za O ln n operacij Zauvazhimo sho analogichnim sposobom mozhna znahoditi n ij chlen dovilnoyi poslidovnosti zadanoyi linijnim rekurentnim rivnyannyam za O ln n operacij Istoriya vidkrittya red nbsp Storinka z Liber abaci Fibonachchi kniga zberigayetsya v Nacionalnij centralnij biblioteci Florenciyi V pryamokutnij ramci sprava poslidovnist Fibonachchi poryadkovi nomeri vkazani shriftom chornogo koloru slovami latinoyu z desyatogo nomera rimskimi ciframi sama poslidovnist podana chervonim kolorom arabskimi ciframi U XIII stolitti italijskij matematik Fibonachchi rozv yazuvav taku zadachu Fermer goduye krolikiv Kozhna para krolikiv narodzhuye odnu paru krolikiv koli pari staye 2 misyaci a potim daye potomstvo v 1 paru shomisyacya Skilki par krolikiv bude u fermera cherez n misyaciv yaksho spochatku u nogo bula lishe odna para krolikiv vvazhayemo sho kroliki ne ginut i kozhen narodzhenij daye potomstvo za vishe opisanoyu shemoyu Ochevidno sho pershogo ta drugogo misyacya u fermera zalishayetsya odna para oskilki potomstva she nemaye Na tretij misyac bude dvi oskilki pershi cherez dva misyaci narodyat drugu paru krolikiv Na chetvertij misyac pershi kroliki dadut she odnu a drugi kroliki potomstva ne dadut oskilki yim she tilki odin misyac Otozh na chetvertij misyac bude tri pari krolikiv Mozhna pomititi sho kilkist krolikiv pislya n go misyacya dorivnyuye kilkosti krolikiv yaki buli u n 1 misyaci plyus kilkist narodzhenih krolikiv Ostannih bude stilki skilki ye krolikiv sho dayut potomstvo abo dorivnyuye kilkosti krolikiv yakim uzhe vipovnilosya 2 misyaci tobto kilkosti krolikiv pislya n 2 misyacya Yaksho cherez Fn poznachiti kilkist krolikiv pislya n go misyacya to mayemo take rekurentne spivvidnoshennya F n F n 1 F n 2 F 1 F 2 1 displaystyle F n F n 1 F n 2 F 1 F 2 1 nbsp Poklademo F0 0 pri comu spivvidnoshennya pri n 2 zalishitsya istinnim Takim chinom utvoryuyetsya poslidovnist0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 Div takozh red Poslidovnist Lyuka Chisla Yakobstalya Teorema Cekendorfa Period Pizano Chisla tribonachchi Kub FibonachchiPosilannya red CodeCodex Fibonacci sequence Arhivovano 4 bereznya 2007 u Wayback Machine angl prikladi program obchislennya chisel Fibonachchi Primitki red John Hudson Tiner 200 Exploring the World of Mathematics From Ancient Record Keeping to the Latest Advances in Computers New Leaf Publishing Group ISBN 978 1 61458 155 0 Arhiv originalu za 12 sichnya 2017 Procitovano 24 sichnya 2017 Beck ta Geoghegan 2010 Bona 2011 s 180 Lucas 1891 s 3 Pisano 2002 s 404 5 Literatura red Vorobev Chisla Fibonachchi Populyarnye lekcii po matematike vyp 5 M Nauka Grant Arakelyan Matematika i istoriya zolotogo secheniya Logos 2014 404 s ISBN 978 5 98704 663 0 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Poslidovnist Fibonachchi amp oldid 40486567