www.wikidata.uk-ua.nina.az

Розшарований кодобуток також розшарована сума амальгама поняття в теорії категорій двоїсте поняттю розшарованого добутку

Розшарований кодобуток

Розшарований кодобуток (також розшарована сума, амальгама) — поняття в теорії категорій, двоїсте поняттю розшарованого добутку. Розшарований кодобуток єкограницею діаграми, що складається із двох морфізмів f: Z → X, g: Z → Y. Він складається з об'єкта P і двох морфізмів X → P і Y → P, що разом із початковими морфізмами утворюють діаграму, що називається кодекартовим квадратом.

Означення ред.

Нехай f: Z → X, g: Z → Y — морфізми в категорії C. Розшарованим кодобутком для пари морфізмів ( f, g) називається об'єкт P і морфізми i1 : X → P і i2 : Y → P для яких діаграма нижче є комутативною:

Окрім того P є універсальним серед об'єктів з цією властивістю. А саме, для будь-якого об'єкта Q з морфізмами j1, j2, які доповнюють f, g до комутативного квадрата, існує єдиний морфізм u: P → Q, для якого діаграма нижче є комутативною:

Для розшарованого кодобутку часто використовуються позначення або .

Як і будь-які універсальні конструкції, розшарований кодобуток не обов'язково існує, але якщо існує, то визначений з точністю до ізоморфізму.

Приклади ред.

  • Конструкція склеювання просторів є прикладом побудови розшарованого кодобутку в категорії топологічних просторів. Більш детально, якщо Z — підпростір у Y і g: Z→Y — відповідне відображення включення, то можна «склеїти» Y з X по Z, використовуючи «відображення відповідності» f:Z→X. Одержаний в результаті склеєний простір є розшарованим кодобутком X і Y.
  • Окремим випадком попереднього прикладу є букет просторів X і Y з виділеними точками, де Z є одноточковим простором. Тоді розшарований кодобуток є рівним , простору отриманому ідентифікацією виділених точок просторів X і Y.
  • В категорії абелевих груп розшаровані кодобутки можна розглядати як прямий сумі абелевих груп «зі склеюванням». А саме, якщо f і g — гомоморфізми із спільною областю визначення Z, то розшарований кодобуток є факторгрупою прямої суми по підгрупі, породженій всіма елементами виду ( f(z), - g(z)). Приблизно те ж саме можна зробити в категорії модулів.

Властивості ред.

  • Якщо існує розшарований кодобуток A⊔CB, то існує також розшарований кодобуток B⊔CA і натуральний ізоморфізм A∪CB ≅ B∪CA.
  • В абелевій категорії всі кодобутки існують і вони зберігають коядра, а саме якщо (P, i1, i2) є розшарованим кодобутком f : Z → X і g : Z → Y, тоді натуральні перетворення coker(f) → coker(i2) і coker(g) → coker(i1) є ізоморфізмами.
  • Існує натуральний ізоморфізм (A⊔CB)⊔B D ≅ A⊔CD. Більш детально:
    • якщо задано морфізми f : C → A, g : C → B і h : B → D і
    • розшарований кодобуток f і g задано як i : A → P і j : B → P, і
    • розшарований кодобуток j і h задано як k : P → Q і l : D → Q ,
    • тоді розшарований кодобуток f і hg задано як ki : A → Q і l : D → Q.
  • Кодобутки є розшарованими кодобутками із початкового об'єкта; ковирівнювач морфізмів f, g : X → Y є розшарованим кодобутком [f, g] і [1X, 1X], тому якщо в категорії є початковий об'єкт і визначені всі розшаровані кодобутки, тоді в ній існують кодобутки і ковирівнювачі.
  • Натомість розшарований кодобуток f : Z → X і g : Z → Y можна отримати через кодобутки і ковирівнювачі. Для цього спершу вводиться кодобуток X і Y. Тоді можна розглядати два морфізми із Z у цей кодобуток: морфізм одержаний композицією f і стандартного морфізму з X у кодобуток і морфізм одержаний композицією g і стандартного морфізму з Y у кодобуток. Розшарований кодобуток f і g є рівним ковирівнювачу цих морфізмів.

Див. також ред.

Література ред.

  • Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories [ 21 квітня 2015 у Wayback Machine.] (4.2MB PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
  • Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 143. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04424-1. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Rozsharovanij kodobutok takozh rozsharovana suma amalgama ponyattya v teoriyi kategorij dvoyiste ponyattyu rozsharovanogo dobutku Rozsharovanij kodobutok yekograniceyu diagrami sho skladayetsya iz dvoh morfizmiv f Z X g Z Y Vin skladayetsya z ob yekta P i dvoh morfizmiv X P i Y P sho razom iz pochatkovimi morfizmami utvoryuyut diagramu sho nazivayetsya kodekartovim kvadratom Zmist 1 Oznachennya 2 Prikladi 3 Vlastivosti 4 Div takozh 5 LiteraturaOznachennya red Nehaj f Z X g Z Y morfizmi v kategoriyi C Rozsharovanim kodobutkom dlya pari morfizmiv f g nazivayetsya ob yekt P i morfizmi i1 X P i i2 Y P dlya yakih diagrama nizhche ye komutativnoyu nbsp Okrim togo P ye universalnim sered ob yektiv z ciyeyu vlastivistyu A same dlya bud yakogo ob yekta Q z morfizmami j1 j2 yaki dopovnyuyut f g do komutativnogo kvadrata isnuye yedinij morfizm u P Q dlya yakogo diagrama nizhche ye komutativnoyu nbsp Dlya rozsharovanogo kodobutku chasto vikoristovuyutsya poznachennya P X Z Y displaystyle P X sqcup Z Y nbsp abo P X Z Y displaystyle P X Z Y nbsp Yak i bud yaki universalni konstrukciyi rozsharovanij kodobutok ne obov yazkovo isnuye ale yaksho isnuye to viznachenij z tochnistyu do izomorfizmu Prikladi red U kategoriyi mnozhin X Z Y displaystyle X sqcup Z Y nbsp diz yunktne ob yednannya X i Y v yakomu ototozhnyuyutsya elementi iz odnakovim proobrazom v Z Bilsh tochno X Z Y X Y displaystyle X sqcup Z Y X sqcup Y big sim nbsp de najmenshe vidnoshennya ekvivalentnosti take sho i1 f z i2 g z Konstrukciya skleyuvannya prostoriv ye prikladom pobudovi rozsharovanogo kodobutku v kategoriyi topologichnih prostoriv Bilsh detalno yaksho Z pidprostir u Y i g Z Y vidpovidne vidobrazhennya vklyuchennya to mozhna skleyiti Y z X po Z vikoristovuyuchi vidobrazhennya vidpovidnosti f Z X Oderzhanij v rezultati skleyenij prostir X f Y displaystyle X cup f Y nbsp ye rozsharovanim kodobutkom X i Y Okremim vipadkom poperednogo prikladu ye buket prostoriv X i Y z vidilenimi tochkami de Z ye odnotochkovim prostorom Todi rozsharovanij kodobutok ye rivnim X Y displaystyle X vee Y nbsp prostoru otrimanomu identifikaciyeyu vidilenih tochok prostoriv X i Y V kategoriyi abelevih grup rozsharovani kodobutki mozhna rozglyadati yak pryamij sumi abelevih grup zi skleyuvannyam A same yaksho f i g gomomorfizmi iz spilnoyu oblastyu viznachennya Z to rozsharovanij kodobutok ye faktorgrupoyu pryamoyi sumi po pidgrupi porodzhenij vsima elementami vidu f z g z Priblizno te zh same mozhna zrobiti v kategoriyi moduliv U kategoriyi grup rozsharovanij kodobutok nazivayetsya vilnim dobutkom z amalgamaciyeyu U kategoriyi komutativnih kilec rozsharovanim kodobutkom kilec A B i gomomorfizmiv f C A i g C B ye tenzornij dobutok kilec A C B displaystyle A otimes C B nbsp iz morfizmami g A A C B displaystyle g A rightarrow A otimes C B nbsp i f B A C B displaystyle f B rightarrow A otimes C B nbsp dlya yakih f g g f displaystyle f circ g g circ f nbsp Vlastivosti red Yaksho isnuye rozsharovanij kodobutok A CB to isnuye takozh rozsharovanij kodobutok B CA i naturalnij izomorfizm A CB B CA V abelevij kategoriyi vsi kodobutki isnuyut i voni zberigayut koyadra a same yaksho P i1 i2 ye rozsharovanim kodobutkom f Z X i g Z Y todi naturalni peretvorennya coker f coker i2 i coker g coker i1 ye izomorfizmami Isnuye naturalnij izomorfizm A CB B D A CD Bilsh detalno yaksho zadano morfizmi f C A g C B i h B D i rozsharovanij kodobutok f i g zadano yak i A P i j B P i rozsharovanij kodobutok j i h zadano yak k P Q i l D Q todi rozsharovanij kodobutok f i hg zadano yak ki A Q i l D Q Grafichno ce oznachaye sho dva kodekartovi kvadrati roztashovani poruch iz odnim spilnim morfizmom utvoryuyut bilshij kodekartiv kvadrat yaksho ignoruvati spilnij morfizm Kodobutki ye rozsharovanimi kodobutkami iz pochatkovogo ob yekta kovirivnyuvach morfizmiv f g X Y ye rozsharovanim kodobutkom f g i 1X 1X tomu yaksho v kategoriyi ye pochatkovij ob yekt i viznacheni vsi rozsharovani kodobutki todi v nij isnuyut kodobutki i kovirivnyuvachi Natomist rozsharovanij kodobutok f Z X i g Z Y mozhna otrimati cherez kodobutki i kovirivnyuvachi Dlya cogo spershu vvoditsya kodobutok X i Y Todi mozhna rozglyadati dva morfizmi iz Z u cej kodobutok morfizm oderzhanij kompoziciyeyu f i standartnogo morfizmu z X u kodobutok i morfizm oderzhanij kompoziciyeyu g i standartnogo morfizmu z Y u kodobutok Rozsharovanij kodobutok f i g ye rivnim kovirivnyuvachu cih morfizmiv Div takozh red Kodobutok Rozsharovanij dobutokLiteratura red Adamek Jiri Herrlich Horst amp Strecker George E 1990 Abstract and Concrete Categories Arhivovano 21 kvitnya 2015 u Wayback Machine 4 2MB PDF John Wiley amp Sons ISBN 0 471 60922 6 Leinster Tom 2014 Basic Category Theory Cambridge Studies in Advanced Mathematics 143 Cambridge University Press ISBN 978 1 107 04424 1 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Rozsharovanij kodobutok amp oldid 34994109