www.wikidata.uk-ua.nina.az

Розділення змінних В математиці метод відокремлення змінних відомий також як метод Фур є є одним з методів для знаходжен

Розділення змінних

В математиці метод відокремлення змінних (відомий також як метод Фур'є) є одним з методів для знаходження розв'язку звичайних диференціальних рівнянь та диференціальних рівнянь з частинними похідними, які можна переписати таким чином, щоб кожна з двох змінних містилися виключно по різні боки рівняння (по різні боки від знака «дорівнює»). У найпростішому випадку, якщо маємо справу з трьома змінними b=f(x, y, z), одній з величин z у межах інтервалу вимірів (z1 — zn) надають кілька послідовних значень. Для двох інших змінних х та y будують графіки функцій y=fi (x) при zi = const. У результаті на одному й тому самому графіку одержують сімейство кривих y=fi (x) для різних значень z.

Звичайні Диференціальні Рівняння (ЗДР) Редагувати

Нехай дано диференціальне рівняння в наступній формі:

яке ми можемо спростити використовуючи заміну :

Вважаючи що h(y) ≠ 0, ми можемо рознести компоненти, що залежать від x та від y по різні боки цього рівняння, щоб отримати:

Тут dx (чи dy) можна розглядати на спрощеному рівні лише як зручний запис, що допомагає запам'ятати методику маніпуляцій. Формальне визначення dx як диференціалу є більш глибоким і просунутим поняттям.

Альтернативний запис Редагувати

Ті, кому не подобається запис Лейбніца, можуть використовувати наступну форму запису:

але з цього запису не так очевидно, чому метод називають саме «розділенням змінних».

Інтегруючи обидві частини рівняння по , ми отримуємо

або, що те ж саме,

завдяки застосуванню правила підстановки при інтегруванні.

Коли проінтегрувати окремо вирази у лівій та правій частині рівняння, то можна знайти його розв'язок:

Слід зазначити, що немає необхідності використовувати тут дві константи інтегрування, оскільки достатньо лише однієї константи .

Зверніть увагу, що метод розділення змінних дозволяє нам розірвати диференціал на окремі частини. Це у свою чергу дозволяє нам скористатися зручним методом для розв'язку диференційних рівнянь даного типу, як це показано в наступних прикладах.

Приклад (I) Редагувати

Звичайне диференціальне рівняння

можна записати як

вважаючи що . Якщо взяти , а , тоді ми можемо записати дане діференціальне рівняння у вигляді рівняння (1), поданого вище. Відповідно, у поданому рівнянні можна виконати розділення змінних. Як і раніше, ми розглядаємо та як певні величини, на які ми можемо поділити або помножити обидві частини рівняння. В даному випадку, помноживши обидві частини рівняння на та поділивши їх на , ми отримаємо:

Таким чином, ми «розділили» змінні x та y одну від одної, оскільки змінна x та всі функції, що залежать від неї, знаходяться лише у правій частині рівняння, в той час як змінна y та всі функції, що залежать від неї, знаходяться лише у лівій частині.

Інтегруючи обидві частини рівняння, ми отримуємо:

що після спрощення, застосовуючи метод інтегрування простих дробів, перетвориться на

й дасть в результаті:

де C є константою інтегрування. Здійснивши прості алгебраїчні перетворення, отримуємо простий розв'язок для y:

де є константою. Щоб переконатися у правильності даного розв'язку досить продиференціювати його по й отримати те ж саме рівняння, з якого ми починали даний приклад. (Слід бути уважним з абсолютними величинами при розв'язанні даного рівняння, оскільки різні знаки абсолютної величини змінюють знак константи B на протилежний. Випадок B = 0 дає розв'язок y = 1, який обговорюється нижче.)

Необхідно зазначити, що оскільки ми ділили обидві частини рівняння на та , слід перевірити чи значення та є розв'язками даного диференціального рівняння. В даному випадку обидва ці значення є розв'язками нашого рівняння (див. також особливі розв'язки).

Приклад (II) Редагувати

Ріст населення часто моделюють використовуючи наступне диференційне рівняння:

де є функцією зміни населення з часом , є швидкістю росту, а відповідає здатності виживати в даному середовищі.

Це диференційне рівняння можна розв'язати застосовуючи метод розділення змінних.

Щоб взяти інтеграл у лівій частині рівняння, отриманий дріб слід спочатку переписати як

а потім спростити до

Таким чином ми маємо, що:

Відповідно, розв'язок цього диференціального рівняння подається у формі

Щоб визначити значення константи приймемо, що при початкове населення становило . Тоді отримуємо:

Приймаючи до уваги що , знаходимо вираз для :

Тому кінцевий розв'язок цього диференціального рівняння має вигляд:

Диференціальні рівняння в частинних похідних Редагувати

Маючи диференціальне рівняння в частинних похідних для функції

що залежить від n змінних, деколи можна здогадатися, що розв'язок має форму

або

що переводить диференціальне рівняння з частинними похідними у систему звичайних диференціальних рівнянь. Зазвичай кожна незалежна змінна створює константу розділення, що не може бути визначена з одного лише вихідного рівняння.


Приклад (I) Редагувати

Припустимо, що F є функцією змінних x, y та z, і що ми намагаємося розв'язати наступне рівняння в частинних похідних:

Спробуємо шукати розв'язок у формі

Підставляючи рівняння (2) в (1), ми отримаємо

Зверніть увагу, що X′(x) є функцією лише від x, Y′(y) є функцією лише від y, а Z′(z) є функцією лише від z. Для того, щоб рівняння (1) виконувалося для всіх x, y та z, кожен з доданків у рівнянні (3) повинен бути константою, інакше кожен з доданків вносив би змінність, що не скасовувалась би іншими двома доданками. Тому

де константи c1, c2, c3 задовольняють рівність

Рівняння (4) насправді є системою з трьох звичайних диференціальних рівнянь. В даному випадку вони тривіальні й можуть бути розвязані простим інтегруванням, призводячи до:

де константа інтегрування c4 визначається з початкових умов.

Приклад (IIa) Лапласіан Редагувати

Розглянемо диференціальне рівняння

Припускаючи, що змінні тут розділяються, будемо шукати розв'язок у формі

В загальному випадку розв'язок буде нескінченною лінійною комбінацією функцій вищезгаданої форми. В деяких спеціальних випадках (див. Приклад (IIb) нижче) припущення про розділення змінних виконується точно.

Виконуючи підстановку, отримаємо

далі розділимо все рівняння на X(x):

а потім на Y(y):

Тепер X′′(x)/X(x) є функцією лише від x, а (Y′′(y)+λY(y))/Y(y) є функцією лише від y. Для того, щоб їх сума була нульовою при всіх можливих значеннях x та y, обидві ці функції мають бути константами. Тому

де k є константою розділення. Це рівняння розбивається на звичайні диференціальні рівняння

та

які можна розв'язати відповідним чином. Якщо вихідне рівняння було крайовою задачею, то при цьому треба використати відповідні граничні умови. Це загальновживаний метод, що використовується у багатьох підручниках з фізики (від електромагнетизму до квантової механіки), й він буде дуже корисним для будь-якого студента-фізика.

Приклад (IIb) Власні значення та власні функції Лапласіана Редагувати

У прямокутній області (наприклад при [0, L1] × [0, L2]) з граничними умовами Діріхле припущення про розділення змінних, зроблене у прикладі (IIa), виконується точно. Це дозволяє нам отримати явні вирази для власних функцій через тензорні добутки власних функцій другої похідної, отриманих для одновимірного випадку:

Власні значення будуть сумою одновимірних власних значень другої похідної. У цьому прикладі,

Матриці Редагувати

Матрична форма розділення змінних — це сума Кронекера.

Приклад: 2D Дискретний Лапласіан на регулярній ґратці Редагувати

де та  — одновимірні оператори Лапласа для напрямків x та y відповідно, а  — одиничні матриці відповідного розміру. Див. докладніше у головній статті сума Кронекера для дискретних Лапласіанів (Kronecker sum of discrete Laplacians[en]).

Програмне забезпечення Редагувати

Xcas: split((x+1)*(y-2), [x, y]) = [x+1,y-2]

Джерела Редагувати

  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.
  • Основний матеріал було взято з англійської Вікіпедії й доповнено.

Література Редагувати

  • Узагальнена схема відокремлення змінних. Диференціально-символьний метод: Моногр. / П. І. Каленюк, З. М. Нитребич; Нац. ун-т «Львів. політехніка». — Л., 2002. — 291 c. — Бібліогр.: с. 275—288.

Посилання Редагувати

  1. . Архів оригіналу за 29 липня 2014. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
V matematici metod vidokremlennya zminnih vidomij takozh yak metod Fur ye ye odnim z metodiv dlya znahodzhennya rozv yazku zvichajnih diferencialnih rivnyan ta diferencialnih rivnyan z chastinnimi pohidnimi yaki mozhna perepisati takim chinom shob kozhna z dvoh zminnih mistilisya viklyuchno po rizni boki rivnyannya po rizni boki vid znaka dorivnyuye U najprostishomu vipadku yaksho mayemo spravu z troma zminnimi b f x y z odnij z velichin z u mezhah intervalu vimiriv z1 zn nadayut kilka poslidovnih znachen Dlya dvoh inshih zminnih h ta y buduyut grafiki funkcij y fi x pri zi const U rezultati na odnomu j tomu samomu grafiku oderzhuyut simejstvo krivih y fi x dlya riznih znachen z Zmist 1 Zvichajni Diferencialni Rivnyannya ZDR 1 1 Alternativnij zapis 1 2 Priklad I 1 3 Priklad II 2 Diferencialni rivnyannya v chastinnih pohidnih 2 1 Priklad I 2 2 Priklad IIa Laplasian 2 3 Priklad IIb Vlasni znachennya ta vlasni funkciyi Laplasiana 3 Matrici 3 1 Priklad 2D Diskretnij Laplasian na regulyarnij gratci 4 Programne zabezpechennya 5 Dzherela 6 Literatura 7 PosilannyaZvichajni Diferencialni Rivnyannya ZDR RedaguvatiNehaj dano diferencialne rivnyannya v nastupnij formi d d x f x g x h f x 1 displaystyle frac d dx f x g x h f x qquad qquad 1 nbsp yake mi mozhemo sprostiti vikoristovuyuchi zaminu y f x displaystyle y f x nbsp d y d x g x h y displaystyle frac dy dx g x h y nbsp Vvazhayuchi sho h y 0 mi mozhemo roznesti komponenti sho zalezhat vid x ta vid y po rizni boki cogo rivnyannya shob otrimati d y h y g x d x displaystyle dy over h y g x dx nbsp Tut dx chi dy mozhna rozglyadati na sproshenomu rivni lishe yak zruchnij zapis sho dopomagaye zapam yatati metodiku manipulyacij Formalne viznachennya dx yak diferencialu ye bilsh glibokim i prosunutim ponyattyam Alternativnij zapis Redaguvati Ti komu ne podobayetsya zapis Lejbnica mozhut vikoristovuvati nastupnu formu zapisu 1 h y d y d x g x displaystyle frac 1 h y frac dy dx g x nbsp ale z cogo zapisu ne tak ochevidno chomu metod nazivayut same rozdilennyam zminnih Integruyuchi obidvi chastini rivnyannya po d x displaystyle dx nbsp mi otrimuyemo 1 h y d y d x d x g x d x 2 displaystyle int frac 1 h y frac dy dx dx int g x dx qquad qquad 2 nbsp abo sho te zh same 1 h y d y g x d x displaystyle int frac 1 h y dy int g x dx nbsp zavdyaki zastosuvannyu pravila pidstanovki pri integruvanni Koli prointegruvati okremo virazi u livij ta pravij chastini rivnyannya to mozhna znajti jogo rozv yazok 1 h y d y C 1 g x d x C 2 displaystyle int frac 1 h y dy C 1 int g x dx C 2 nbsp Slid zaznachiti sho nemaye neobhidnosti vikoristovuvati tut dvi konstanti integruvannya oskilki dostatno lishe odniyeyi konstanti C C 2 C 1 displaystyle C C 2 C 1 nbsp Zvernit uvagu sho metod rozdilennya zminnih dozvolyaye nam rozirvati diferencial d y d x displaystyle frac dy dx nbsp na okremi chastini Ce u svoyu chergu dozvolyaye nam skoristatisya zruchnim metodom dlya rozv yazku diferencijnih rivnyan danogo tipu yak ce pokazano v nastupnih prikladah Priklad I Redaguvati Zvichajne diferencialne rivnyannya d d x f x f x 1 f x displaystyle frac d dx f x f x 1 f x nbsp mozhna zapisati yak d y d x y 1 y displaystyle frac dy dx y 1 y nbsp vvazhayuchi sho f x y displaystyle f x y nbsp Yaksho vzyati g x 1 displaystyle g x 1 nbsp a h y y 1 y displaystyle h y y 1 y nbsp todi mi mozhemo zapisati dane diferencialne rivnyannya u viglyadi rivnyannya 1 podanogo vishe Vidpovidno u podanomu rivnyanni mozhna vikonati rozdilennya zminnih Yak i ranishe mi rozglyadayemo d y displaystyle dy nbsp ta d x displaystyle dx nbsp yak pevni velichini na yaki mi mozhemo podiliti abo pomnozhiti obidvi chastini rivnyannya V danomu vipadku pomnozhivshi obidvi chastini rivnyannya na d x displaystyle dx nbsp ta podilivshi yih na y 1 y displaystyle y 1 y nbsp mi otrimayemo d y y 1 y d x displaystyle frac dy y 1 y dx nbsp Takim chinom mi rozdilili zminni x ta y odnu vid odnoyi oskilki zminna x ta vsi funkciyi sho zalezhat vid neyi znahodyatsya lishe u pravij chastini rivnyannya v toj chas yak zminna y ta vsi funkciyi sho zalezhat vid neyi znahodyatsya lishe u livij chastini Integruyuchi obidvi chastini rivnyannya mi otrimuyemo d y y 1 y d x displaystyle int frac dy y 1 y int dx nbsp sho pislya sproshennya zastosovuyuchi metod integruvannya prostih drobiv peretvoritsya na 1 y d y 1 1 y d y 1 d x displaystyle int frac 1 y dy int frac 1 1 y dy int 1 dx nbsp j dast v rezultati ln y ln 1 y x C displaystyle ln y ln 1 y x C nbsp de C ye konstantoyu integruvannya Zdijsnivshi prosti algebrayichni peretvorennya otrimuyemo prostij rozv yazok dlya y y 1 1 B e x displaystyle y frac 1 1 Be x nbsp de B e C displaystyle B e C nbsp ye konstantoyu Shob perekonatisya u pravilnosti danogo rozv yazku dosit prodiferenciyuvati jogo po d x displaystyle dx nbsp j otrimati te zh same rivnyannya z yakogo mi pochinali danij priklad Slid buti uvazhnim z absolyutnimi velichinami pri rozv yazanni danogo rivnyannya oskilki rizni znaki absolyutnoyi velichini zminyuyut znak konstanti B na protilezhnij Vipadok B 0 daye rozv yazok y 1 yakij obgovoryuyetsya nizhche Neobhidno zaznachiti sho oskilki mi dilili obidvi chastini rivnyannya na y displaystyle y nbsp ta 1 y displaystyle 1 y nbsp slid pereviriti chi znachennya y x 0 displaystyle y x 0 nbsp ta y x 1 displaystyle y x 1 nbsp ye rozv yazkami danogo diferencialnogo rivnyannya V danomu vipadku obidva ci znachennya ye rozv yazkami nashogo rivnyannya div takozh osoblivi rozv yazki Priklad II Redaguvati Rist naselennya chasto modelyuyut vikoristovuyuchi nastupne diferencijne rivnyannya d P d t v P 1 P K displaystyle frac dP dt vP left 1 frac P K right nbsp de P displaystyle P nbsp ye funkciyeyu zmini naselennya z chasom t displaystyle t nbsp v displaystyle v nbsp ye shvidkistyu rostu a K displaystyle K nbsp vidpovidaye zdatnosti vizhivati v danomu seredovishi Ce diferencijne rivnyannya mozhna rozv yazati zastosovuyuchi metod rozdilennya zminnih d P d t v P 1 P K displaystyle frac dP dt vP left 1 frac P K right nbsp d P P 1 P K v d t displaystyle int frac dP P left 1 frac P K right int v dt nbsp Shob vzyati integral u livij chastini rivnyannya otrimanij drib slid spochatku perepisati yak 1 P 1 P K K P K P displaystyle frac 1 P left 1 frac P K right frac K P left K P right nbsp a potim sprostiti do K P K P 1 P 1 K P displaystyle frac K P left K P right frac 1 P frac 1 K P nbsp Takim chinom mi mayemo sho 1 P 1 K P d P v d t displaystyle int left frac 1 P frac 1 K P right dP int v dt nbsp ln P ln K P v t C displaystyle ln begin vmatrix P end vmatrix ln begin vmatrix K P end vmatrix vt C nbsp ln K P ln P v t C displaystyle ln begin vmatrix K P end vmatrix ln begin vmatrix P end vmatrix vt C nbsp ln K P P v t C displaystyle ln begin vmatrix cfrac K P P end vmatrix vt C nbsp K P P e v t C displaystyle begin vmatrix cfrac K P P end vmatrix e vt C nbsp K P P e C e v t displaystyle begin vmatrix cfrac K P P end vmatrix e C e vt nbsp K P P e C e v t displaystyle frac K P P pm e C e vt nbsp Nehaj A e C displaystyle A pm e C nbsp K P P A e v t displaystyle frac K P P Ae vt nbsp K P 1 A e v t displaystyle frac K P 1 Ae vt nbsp K P 1 A e v t displaystyle frac K P 1 Ae vt nbsp P K 1 1 A e v t displaystyle frac P K frac 1 1 Ae vt nbsp P K 1 A e v t displaystyle P frac K 1 Ae vt nbsp Vidpovidno rozv yazok cogo diferencialnogo rivnyannya podayetsya u formi P t K 1 A e v t displaystyle P left t right frac K 1 Ae vt nbsp Shob viznachiti znachennya konstanti A displaystyle A nbsp prijmemo sho pri t 0 displaystyle t 0 nbsp pochatkove naselennya stanovilo P 0 P 0 displaystyle P left 0 right P 0 nbsp Todi otrimuyemo P 0 K 1 A e 0 displaystyle P 0 frac K 1 Ae 0 nbsp Prijmayuchi do uvagi sho e 0 1 displaystyle e 0 1 nbsp znahodimo viraz dlya A displaystyle A nbsp A K P 0 P 0 displaystyle A frac K P 0 P 0 nbsp Tomu kincevij rozv yazok cogo diferencialnogo rivnyannya maye viglyad P t K P 0 K P 0 1 e v t displaystyle P left t right frac KP 0 K P 0 1 e vt nbsp Diferencialni rivnyannya v chastinnih pohidnih RedaguvatiMayuchi diferencialne rivnyannya v chastinnih pohidnih dlya funkciyi F x 1 x 2 x n displaystyle F x 1 x 2 dots x n nbsp sho zalezhit vid n zminnih dekoli mozhna zdogadatisya sho rozv yazok maye formu F F 1 x 1 F 2 x 2 F n x n displaystyle F F 1 x 1 cdot F 2 x 2 cdots F n x n nbsp abo F f 1 x 1 f 2 x 2 f n x n displaystyle F f 1 x 1 f 2 x 2 cdots f n x n nbsp sho perevodit diferencialne rivnyannya z chastinnimi pohidnimi u sistemu zvichajnih diferencialnih rivnyan Zazvichaj kozhna nezalezhna zminna stvoryuye konstantu rozdilennya sho ne mozhe buti viznachena z odnogo lishe vihidnogo rivnyannya Priklad I Redaguvati Pripustimo sho F ye funkciyeyu zminnih x y ta z i sho mi namagayemosya rozv yazati nastupne rivnyannya v chastinnih pohidnih F x F y F z 0 1 displaystyle frac partial F partial x frac partial F partial y frac partial F partial z 0 qquad qquad 1 nbsp Sprobuyemo shukati rozv yazok u formi F x y z X x Y y Z z 2 displaystyle F x y z X x Y y Z z qquad qquad 2 nbsp Pidstavlyayuchi rivnyannya 2 v 1 mi otrimayemo d X d x d Y d y d Z d z 0 3 displaystyle frac dX dx frac dY dy frac dZ dz 0 qquad qquad 3 nbsp Zvernit uvagu sho X x ye funkciyeyu lishe vid x Y y ye funkciyeyu lishe vid y a Z z ye funkciyeyu lishe vid z Dlya togo shob rivnyannya 1 vikonuvalosya dlya vsih x y ta z kozhen z dodankiv u rivnyanni 3 povinen buti konstantoyu inakshe kozhen z dodankiv vnosiv bi zminnist sho ne skasovuvalas bi inshimi dvoma dodankami Tomu d X d x c 1 d Y d y c 2 d Z d z c 3 4 displaystyle frac dX dx c 1 quad frac dY dy c 2 quad frac dZ dz c 3 qquad qquad 4 nbsp de konstanti c1 c2 c3 zadovolnyayut rivnist c 1 c 2 c 3 0 5 displaystyle c 1 c 2 c 3 0 qquad qquad 5 nbsp Rivnyannya 4 naspravdi ye sistemoyu z troh zvichajnih diferencialnih rivnyan V danomu vipadku voni trivialni j mozhut buti rozvyazani prostim integruvannyam prizvodyachi do F x y z c 1 x c 2 y c 3 z c 4 6 displaystyle F x y z c 1 x c 2 y c 3 z c 4 qquad qquad 6 nbsp de konstanta integruvannya c4 viznachayetsya z pochatkovih umov Priklad IIa Laplasian Redaguvati Rozglyanemo diferencialne rivnyannya 2 v l v 2 v x 2 2 v y 2 l v 0 displaystyle nabla 2 v lambda v partial 2 v over partial x 2 partial 2 v over partial y 2 lambda v 0 nbsp Pripuskayuchi sho zminni tut rozdilyayutsya budemo shukati rozv yazok u formi v X x Y y displaystyle v X x Y y nbsp V zagalnomu vipadku rozv yazok bude neskinchennoyu linijnoyu kombinaciyeyu funkcij vishezgadanoyi formi V deyakih specialnih vipadkah div Priklad IIb nizhche pripushennya pro rozdilennya zminnih vikonuyetsya tochno Vikonuyuchi pidstanovku otrimayemo 2 x 2 X x Y y 2 y 2 X x Y y l X x Y y displaystyle partial 2 over partial x 2 X x Y y partial 2 over partial y 2 X x Y y lambda X x Y y nbsp Y y X x X x Y y l X x Y y 0 displaystyle Y y X x X x Y y lambda X x Y y 0 nbsp dali rozdilimo vse rivnyannya na X x X x Y y X x Y y l Y y 0 displaystyle X x Y y over X x Y y lambda Y y 0 nbsp a potim na Y y X x X x Y y l Y y Y y 0 displaystyle X x over X x Y y lambda Y y over Y y 0 nbsp Teper X x X x ye funkciyeyu lishe vid x a Y y lY y Y y ye funkciyeyu lishe vid y Dlya togo shob yih suma bula nulovoyu pri vsih mozhlivih znachennyah x ta y obidvi ci funkciyi mayut buti konstantami Tomu X x X x k Y y l Y y Y y displaystyle X x over X x k Y y lambda Y y over Y y nbsp de k ye konstantoyu rozdilennya Ce rivnyannya rozbivayetsya na zvichajni diferencialni rivnyannya X x k X x 0 displaystyle X x kX x 0 nbsp ta Y y l k Y y 0 displaystyle Y y lambda k Y y 0 nbsp yaki mozhna rozv yazati vidpovidnim chinom Yaksho vihidne rivnyannya bulo krajovoyu zadacheyu to pri comu treba vikoristati vidpovidni granichni umovi Ce zagalnovzhivanij metod sho vikoristovuyetsya u bagatoh pidruchnikah z fiziki vid elektromagnetizmu do kvantovoyi mehaniki j vin bude duzhe korisnim dlya bud yakogo studenta fizika Priklad IIb Vlasni znachennya ta vlasni funkciyi Laplasiana Redaguvati U pryamokutnij oblasti napriklad pri 0 L1 0 L2 z granichnimi umovami Dirihle pripushennya pro rozdilennya zminnih zroblene u prikladi IIa vikonuyetsya tochno Ce dozvolyaye nam otrimati yavni virazi dlya vlasnih funkcij cherez tenzorni dobutki vlasnih funkcij drugoyi pohidnoyi otrimanih dlya odnovimirnogo vipadku v j 1 j 2 x y 2 L 1 sin j 1 p x L 1 2 L 2 sin j 2 p y L 2 2 L 1 L 2 sin j 1 p x L 1 sin j 2 p y L 2 j 1 j 2 1 displaystyle begin aligned v j 1 j 2 x y amp sqrt frac 2 L 1 sin left frac j 1 pi x L 1 right otimes sqrt frac 2 L 2 sin left frac j 2 pi y L 2 right 8pt amp frac 2 sqrt L 1 L 2 sin left frac j 1 pi x L 1 right sin left frac j 2 pi y L 2 right qquad j 1 j 2 1 dots infty end aligned nbsp Vlasni znachennya budut sumoyu odnovimirnih vlasnih znachen drugoyi pohidnoyi U comu prikladi l j 1 j 2 j 1 2 p 2 L 1 2 j 2 2 p 2 L 2 2 displaystyle lambda j 1 j 2 frac j 1 2 pi 2 L 1 2 frac j 2 2 pi 2 L 2 2 nbsp Matrici RedaguvatiMatrichna forma rozdilennya zminnih ce suma Kronekera Priklad 2D Diskretnij Laplasian na regulyarnij gratci Redaguvati L D x x D y y D x x I I D y y displaystyle L mathbf D xx oplus mathbf D yy mathbf D xx otimes mathbf I mathbf I otimes mathbf D yy nbsp de D x x displaystyle mathbf D xx nbsp ta D y y displaystyle mathbf D yy nbsp odnovimirni operatori Laplasa dlya napryamkiv x ta y vidpovidno a I displaystyle mathbf I nbsp odinichni matrici vidpovidnogo rozmiru Div dokladnishe u golovnij statti suma Kronekera dlya diskretnih Laplasianiv Kronecker sum of discrete Laplacians en Programne zabezpechennya RedaguvatiXcas 1 split x 1 y 2 x y x 1 y 2 Dzherela RedaguvatiA D Polyanin Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists Chapman amp Hall CRC Press Boca Raton 2002 ISBN 1 58488 299 9 Osnovnij material bulo vzyato z anglijskoyi Vikipediyi j dopovneno Literatura RedaguvatiUzagalnena shema vidokremlennya zminnih Diferencialno simvolnij metod Monogr P I Kalenyuk Z M Nitrebich Nac un t Lviv politehnika L 2002 291 c Bibliogr s 275 288 Posilannya RedaguvatiMetodi zagalnogo ta funkcionalnogo rozdilennya zminnih Arhivovano 30 chervnya 2007 u Wayback Machine u Sviti Matematichnih Rivnyan Prikladi rozdilennya zminnih dlya rozv yazku diferencialnih rivnyan v chastinih pohidnih Symbolic algebra and Mathematics with Xcas Arhiv originalu za 29 lipnya 2014 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Rozdilennya zminnih amp oldid 40320565