www.wikidata.uk-ua.nina.az

Стала інтегрування У математичному аналізі невизначений інтеграл від заданої функції тобто множини всіх первісних функці

Стала інтегрування

У математичному аналізі невизначений інтеграл від заданої функції (тобто множини всіх первісних функції) у зв'язаній області визначається тільки з точністю до адитивної константи — сталої інтегрування. Вона виражає неоднозначність, що виникає при взятті первісних. визначена на інтервалі і є первісною , тоді множина всіх первісних від задається функціями де  — довільна стала (це означає, що будь-яке значення для робить дійсною первісну). У списках інтегралів для спрощення сталу інтегрування іноді опускають.

Походження ред.

Похідна будь-якої сталої функції дорівнює нулю. Якщо для функції знайдено одну первісну , то додавання або віднімання будь-якої сталої дасть ще одну первісну, оскільки . Константа — це спосіб вираження того, що кожна функція з хоча б однією первісною має їх нескінченне число.

Нехай і це дві повсюдно диференційовні функції. Припустимо, що для кожного дійсного числа . Тоді існує дійсне число таке, що для кожного дійсного числа . Щоб довести це, зауважимо, що . Таким чином, можна замінити на і  — на сталу функцію 0, щоб довести, що всюди диференційовна функція, похідна якої завжди дорівнює нулю, повинна бути сталою: . Для будь-якого зі основної теореми математичного аналізу, разом з припущенням, що похідна від перетворюється на нуль, означає, що

отже,  — стала функція.

Два факти мають вирішальне значення в цьому доведенні. По-перше, дійсна пряма зв'язана. Якби дійсна пряма не була зв'язаною, ми не завжди могли б інтегрувати від фіксованого до будь-якого даного . Наприклад, якби для функції, визначеної на об'єднанні інтервалів і , при неможливо інтегрувати від 0 до 3, тому що функція не визначена між 1 і 2. Тут будуть дві сталі, по одній для кожного зв'язаного компонента області визначення. У загальному випадку, замінюючи сталі локально постійними функціями, ми можемо поширити цю теорему на незв'язані області. Наприклад, є дві сталі інтегрування для і нескінченно багато для так, наприклад, загальна форма для інтеграла :

По-друге, припускалося, що і усюди диференційовні. Якщо і не диференційовні хоча б в одній точці, теорема не виконується. Наприклад, нехай буде функцією Гевісайда, яка дорівнює нулю для від'ємних значень і одиниці для невід'ємних значень , і нехай Тоді похідна від дорівнює нулю там, де вона визначена, а похідна від завжди дорівнює нулю. Проте ясно, що і не відрізняються на сталу величину. Навіть якщо припустити, що і усюди неперервні і майже всюди мають похідні, теорема все ще не виконується. Як приклад візьмемо як функцію Кантора і знову хай .

Наприклад, припустимо, що хтось хоче знайти первісні . Одна така первісна це . Інша — Третя — . Кожна з них має похідну , тому вони всі є первісними від . Виявляється, що додавання і віднімання сталих — це єдина гнучкість, яку ми маємо під час пошуку різних первісних однієї й тієї ж функції. Тобто всі первісні однакові з точністю до константи. Щоб висловити цей факт для , ми пишемо:

Заміна на число створить первісну. Однак, написавши замість числа, маємо компактний опис усіх можливих первісних . називають сталою інтегрування. Легко визначити, що всі ці функції дійсно є похідними від

Необхідність ред.

На перший погляд може здатися, що константа не потрібна, оскільки її можна обнулити. Крім того, при оцінці певних інтегралів з використанням фундаментальної теореми математичного аналізу стала завжди зникатиме сама собою. Однак спроба встановити константу рівною нулю не завжди має сенс. Наприклад, можна інтегрувати принаймні трьома різними способами:

Таким чином, обнулення все ще може залишити константу. Це означає, що для даної функції не існує «найпростішої первісної».

Інша проблема зі встановленням рівною нулю полягає в тому, що іноді потрібно знайти первісні, які мають задане значення в даній точці (як у задачі з початковим значенням). Наприклад, щоб отримати первісну яка має значення 100 при , слід використати тільки одне значення (в цьому випадку ).

Це обмеження можна перефразувати мовою диференціальних рівнянь. Знаходження невизначеного інтеграла функції це те ж саме, що й розв'язування диференціального рівняння Будь-яке диференціальне рівняння матиме багато розв'язків, і кожна стала відповідає єдиному розв'язку правильно поставленої задачі початкового значення. Вимога, що первісна набуває значення 100 при , є початковою умовою. Кожна початкова умова відповідає одному і тільки одному значенню , тому без було б неможливо розв'язати задачу.

Є ще одне обґрунтування, виходячи з абстрактної алгебри. Простір усіх (підхожих) дійсних функцій на дійсних числах є векторним простором, а диференціальний оператор це лінійний оператор. Оператор відображає функцію в нуль, якщо і тільки якщо ця функція стала. Отже, ядром є простір усіх сталих функцій. Процес невизначеного інтегрування зводиться до знаходження прообразу даної функції. Для даної функції немає канонічного прообразу, але множина всіх таких прообразів утворює клас суміжності. Вибір константи аналогічний вибору елемента класу суміжності. У цьому контексті розв'язок задачі початкових значень інтерпретується як такий, що лежить у гіперплощині, заданій початковими умовами.

Фізичний зміст ред.

Розглянемо деякі приклади.

  • Тіло падає з п'ятого поверху будинку на землю, пролітаючи деяку відстань. Потім те саме тіло падає з дев'ятого поверху на балкон п'ятого і пролітає ту саму відстань, попри відмінність початкового положення. Зміною сили тяжіння з висотою нехтуємо. В цьому прикладі стала інтегрування задає початкове положення тіла (номер поверху).
  • Автомобіль їде по прямій трасі з деякою змінною швидкістю. Якщо на початку руху переставити автомобіль в інше місце траси, він за той самий час проїде той самий шлях.
  • Кінь везе сани по рівному полю. Незалежно від того, в якому місці поля перебуває кінь, він, за однакової відстані, виконає однакову роботу з перетягування саней.
  • Вода виливається з циліндричної посудини через отвір у дні. Рівень у посудині знижується на 10 см. Незалежно від того, до якого рівня посудина була наповненою спочатку, витікання однакового об'єму води знижує рівень на 10 см.
  • Напруга на конденсаторі змінюється від 1 В до 0 В. Потім напруга на тому ж конденсаторі змінюється від 1000 В до 999 В. В обох випадках через конденсатор пройшов однаковий заряд.

Див. також ред.

Примітки ред.

  1. Compendium of Mathematical Symbols. Math Vault (амер.). 1 березня 2020. Процитовано 14 серпня 2020. 
  2. Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (вид. 6th). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5. 
  3. Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (вид. 9th). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4. 
  4. Definition of constant of integration | Dictionary.com. www.dictionary.com (англ.). Процитовано 14 серпня 2020. 
  5. Weisstein, Eric W. Constant of Integration. mathworld.wolfram.com (англ.). Процитовано 14 серпня 2020. 
  6. «Reader Survey: log|x| + C», Tom Leinster, The n-category Café, March 19, 2012
  7. Banner, Adrian (2007). The calculus lifesaver : all the tools you need to excel at calculus. Princeton [u.a.]: Princeton University Press. с. 380. ISBN 978-0-691-13088-0. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U matematichnomu analizi neviznachenij integral vid zadanoyi funkciyi tobto mnozhini vsih pervisnih funkciyi u zv yazanij oblasti viznachayetsya tilki z tochnistyu do aditivnoyi konstanti staloyi integruvannya 1 2 3 4 Vona virazhaye neodnoznachnist sho vinikaye pri vzyatti pervisnih f x displaystyle displaystyle f x viznachena na intervali i F x displaystyle displaystyle F x ye pervisnoyu f x displaystyle displaystyle f x todi mnozhina vsih pervisnih vid f x displaystyle displaystyle f x zadayetsya funkciyami F x C displaystyle F x C de C displaystyle C dovilna stala ce oznachaye sho bud yake znachennya dlya C displaystyle C robit dijsnoyu pervisnu 5 U spiskah integraliv dlya sproshennya stalu integruvannya inodi opuskayut Zmist 1 Pohodzhennya 2 Neobhidnist 3 Fizichnij zmist 4 Div takozh 5 Primitki Pohodzhennya red Pohidna bud yakoyi staloyi funkciyi dorivnyuye nulyu Yaksho dlya funkciyi f x displaystyle displaystyle f x znajdeno odnu pervisnu F x displaystyle F x to dodavannya abo vidnimannya bud yakoyi staloyi C displaystyle C dast she odnu pervisnu oskilki F x C F x C F x displaystyle F x C F x C F x Konstanta ce sposib virazhennya togo sho kozhna funkciya z hocha b odniyeyu pervisnoyu maye yih neskinchenne chislo Nehaj F R R displaystyle displaystyle F mathbb R rightarrow mathbb R i G R R displaystyle G mathbb R rightarrow mathbb R ce dvi povsyudno diferencijovni funkciyi Pripustimo sho F x G x displaystyle F x G x dlya kozhnogo dijsnogo chisla x displaystyle x Todi isnuye dijsne chislo C displaystyle C take sho F x G x C displaystyle F x G x C dlya kozhnogo dijsnogo chisla x displaystyle x Shob dovesti ce zauvazhimo sho F x G x 0 displaystyle F x G x 0 Takim chinom F displaystyle F mozhna zaminiti na F G displaystyle F G i G displaystyle G na stalu funkciyu 0 shob dovesti sho vsyudi diferencijovna funkciya pohidna yakoyi zavzhdi dorivnyuye nulyu povinna buti staloyu C F a displaystyle C F a Dlya bud yakogo x displaystyle x zi osnovnoyi teoremi matematichnogo analizu razom z pripushennyam sho pohidna vid F displaystyle F peretvoryuyetsya na nul oznachaye sho0 a x F t d t 0 F x F a 0 F x C F x C displaystyle displaystyle begin aligned amp 0 int a x F t dt amp 0 F x F a amp 0 F x C amp F x C end aligned otzhe F displaystyle F stala funkciya Dva fakti mayut virishalne znachennya v comu dovedenni Po pershe dijsna pryama zv yazana Yakbi dijsna pryama ne bula zv yazanoyu mi ne zavzhdi mogli b integruvati vid fiksovanogo a displaystyle a do bud yakogo danogo x displaystyle x Napriklad yakbi dlya funkciyi viznachenoyi na ob yednanni intervaliv 0 1 displaystyle 0 1 i 2 3 displaystyle 2 3 pri a 0 displaystyle a 0 nemozhlivo integruvati vid 0 do 3 tomu sho funkciya ne viznachena mizh 1 i 2 Tut budut dvi stali po odnij dlya kozhnogo zv yazanogo komponenta oblasti viznachennya U zagalnomu vipadku zaminyuyuchi stali lokalno postijnimi funkciyami mi mozhemo poshiriti cyu teoremu na nezv yazani oblasti Napriklad ye dvi stali integruvannya dlya d x x displaystyle textstyle int dx x i neskinchenno bagato dlya tan x d x displaystyle textstyle int tan x dx tak napriklad zagalna forma dlya integrala 1 x displaystyle 1 x 6 7 1 x d x ln x C x lt 0 ln x C x gt 0 displaystyle int 1 over x dx begin cases ln left x right C amp x lt 0 ln left x right C amp x gt 0 end cases Po druge pripuskalosya sho F displaystyle F i G displaystyle G usyudi diferencijovni Yaksho F displaystyle F i G displaystyle G ne diferencijovni hocha b v odnij tochci teorema ne vikonuyetsya Napriklad nehaj F x displaystyle F x bude funkciyeyu Gevisajda yaka dorivnyuye nulyu dlya vid yemnih znachen x displaystyle x i odinici dlya nevid yemnih znachen x displaystyle x i nehaj G x 0 displaystyle G x 0 Todi pohidna vid F displaystyle F dorivnyuye nulyu tam de vona viznachena a pohidna vid G displaystyle G zavzhdi dorivnyuye nulyu Prote yasno sho F displaystyle F i G displaystyle G ne vidriznyayutsya na stalu velichinu Navit yaksho pripustiti sho F displaystyle F i G displaystyle G usyudi neperervni i majzhe vsyudi mayut pohidni teorema vse she ne vikonuyetsya Yak priklad vizmemo yak F displaystyle F funkciyu Kantora i znovu haj G 0 displaystyle G 0 Napriklad pripustimo sho htos hoche znajti pervisni cos x displaystyle cos x Odna taka pervisna ce sin x displaystyle displaystyle sin x Insha sin x 1 displaystyle sin x 1 Tretya sin x p displaystyle displaystyle sin x pi Kozhna z nih maye pohidnu cos x displaystyle cos x tomu voni vsi ye pervisnimi vid cos x displaystyle displaystyle cos x Viyavlyayetsya sho dodavannya i vidnimannya stalih ce yedina gnuchkist yaku mi mayemo pid chas poshuku riznih pervisnih odniyeyi j tiyeyi zh funkciyi Tobto vsi pervisni odnakovi z tochnistyu do konstanti Shob visloviti cej fakt dlya cos x displaystyle cos x mi pishemo cos x d x sin x C displaystyle int cos x dx sin x C Zamina C displaystyle C na chislo stvorit pervisnu Odnak napisavshi C displaystyle C zamist chisla mayemo kompaktnij opis usih mozhlivih pervisnih cos x displaystyle cos x C displaystyle C nazivayut staloyu integruvannya Legko viznachiti sho vsi ci funkciyi dijsno ye pohidnimi vid cos x displaystyle cos x d d x sin x C d d x sin x d d x C cos x 0 cos x displaystyle begin aligned frac d dx sin x C amp frac d dx sin x frac d dx C amp cos x 0 amp cos x end aligned Neobhidnist red Na pershij poglyad mozhe zdatisya sho konstanta ne potribna oskilki yiyi mozhna obnuliti Krim togo pri ocinci pevnih integraliv z vikoristannyam fundamentalnoyi teoremi matematichnogo analizu stala zavzhdi znikatime sama soboyu Odnak sproba vstanoviti konstantu rivnoyu nulyu ne zavzhdi maye sens Napriklad 2 sin x cos x displaystyle 2 sin x cos x mozhna integruvati prinajmni troma riznimi sposobami 2 sin x cos x d x sin 2 x C cos 2 x 1 C 1 2 cos 2 x C 2 sin x cos x d x cos 2 x C sin 2 x 1 C 1 2 cos 2 x C 2 sin x cos x d x 1 2 cos 2 x C sin 2 x C cos 2 x C displaystyle begin aligned int 2 sin x cos x dx amp amp sin 2 x C amp amp cos 2 x 1 C amp amp frac 1 2 cos 2x C int 2 sin x cos x dx amp amp cos 2 x C amp amp sin 2 x 1 C amp amp frac 1 2 cos 2x C int 2 sin x cos x dx amp amp frac 1 2 cos 2x C amp amp sin 2 x C amp amp cos 2 x C end aligned Takim chinom obnulennya C displaystyle C vse she mozhe zalishiti konstantu Ce oznachaye sho dlya danoyi funkciyi ne isnuye najprostishoyi pervisnoyi Insha problema zi vstanovlennyam C displaystyle C rivnoyu nulyu polyagaye v tomu sho inodi potribno znajti pervisni yaki mayut zadane znachennya v danij tochci yak u zadachi z pochatkovim znachennyam Napriklad shob otrimati pervisnu cos x displaystyle displaystyle cos x yaka maye znachennya 100 pri x p displaystyle x pi slid vikoristati tilki odne znachennya C displaystyle C v comu vipadku C 100 displaystyle C 100 Ce obmezhennya mozhna perefrazuvati movoyu diferencialnih rivnyan Znahodzhennya neviznachenogo integrala funkciyi f x displaystyle f x ce te zh same sho j rozv yazuvannya diferencialnogo rivnyannya d y d x f x displaystyle frac dy dx f x Bud yake diferencialne rivnyannya matime bagato rozv yazkiv i kozhna stala vidpovidaye yedinomu rozv yazku pravilno postavlenoyi zadachi pochatkovogo znachennya Vimoga sho pervisna nabuvaye znachennya 100 pri x p displaystyle x pi ye pochatkovoyu umovoyu Kozhna pochatkova umova vidpovidaye odnomu i tilki odnomu znachennyu C displaystyle C tomu bez C displaystyle C bulo b nemozhlivo rozv yazati zadachu Ye she odne obgruntuvannya vihodyachi z abstraktnoyi algebri Prostir usih pidhozhih dijsnih funkcij na dijsnih chislah ye vektornim prostorom a diferencialnij operator d d x displaystyle frac d dx ce linijnij operator Operator d d x displaystyle frac d dx vidobrazhaye funkciyu v nul yaksho i tilki yaksho cya funkciya stala Otzhe yadrom d d x displaystyle frac d dx ye prostir usih stalih funkcij Proces neviznachenogo integruvannya zvoditsya do znahodzhennya proobrazu danoyi funkciyi Dlya danoyi funkciyi nemaye kanonichnogo proobrazu ale mnozhina vsih takih proobraziv utvoryuye klas sumizhnosti Vibir konstanti analogichnij viboru elementa klasu sumizhnosti U comu konteksti rozv yazok zadachi pochatkovih znachen interpretuyetsya yak takij sho lezhit u giperploshini zadanij pochatkovimi umovami Fizichnij zmist red Rozglyanemo deyaki prikladi Tilo padaye z p yatogo poverhu budinku na zemlyu prolitayuchi deyaku vidstan Potim te same tilo padaye z dev yatogo poverhu na balkon p yatogo i prolitaye tu samu vidstan popri vidminnist pochatkovogo polozhennya Zminoyu sili tyazhinnya z visotoyu nehtuyemo V comu prikladi stala integruvannya zadaye pochatkove polozhennya tila nomer poverhu Avtomobil yide po pryamij trasi z deyakoyu zminnoyu shvidkistyu Yaksho na pochatku ruhu perestaviti avtomobil v inshe misce trasi vin za toj samij chas proyide toj samij shlyah Kin veze sani po rivnomu polyu Nezalezhno vid togo v yakomu misci polya perebuvaye kin vin za odnakovoyi vidstani vikonaye odnakovu robotu z peretyaguvannya sanej Voda vilivayetsya z cilindrichnoyi posudini cherez otvir u dni Riven u posudini znizhuyetsya na 10 sm Nezalezhno vid togo do yakogo rivnya posudina bula napovnenoyu spochatku vitikannya odnakovogo ob yemu vodi znizhuye riven na 10 sm Napruga na kondensatori zminyuyetsya vid 1 V do 0 V Potim napruga na tomu zh kondensatori zminyuyetsya vid 1000 V do 999 V V oboh vipadkah cherez kondensator projshov odnakovij zaryad Tilo oholodzhuyetsya vid 1 S do 0 S Te same tilo oholodzhuyetsya vid 1000 S do 999 S Yaksho znehtuvati zalezhnistyu teployemnosti vid temperaturi to tilo v oboh vipadkah vtrachaye odnakovu kilkist teploti Div takozh red Diferencialne ta integralne chislennya Neviznachenij integral PervisnaPrimitki red Compendium of Mathematical Symbols Math Vault amer 1 bereznya 2020 Procitovano 14 serpnya 2020 Stewart James 2008 Calculus Early Transcendentals vid 6th Brooks Cole ISBN 0 495 01166 5 Larson Ron Edwards Bruce H 2009 Calculus vid 9th Brooks Cole ISBN 0 547 16702 4 Definition of constant of integration Dictionary com www dictionary com angl Procitovano 14 serpnya 2020 Weisstein Eric W Constant of Integration mathworld wolfram com angl Procitovano 14 serpnya 2020 Reader Survey log x C Tom Leinster The n category Cafe March 19 2012 Banner Adrian 2007 The calculus lifesaver all the tools you need to excel at calculus Princeton u a Princeton University Press s 380 ISBN 978 0 691 13088 0 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Stala integruvannya amp oldid 32900622