Нетеровий простір — топологічний простір X, що задовольняє умові обриву спадних ланцюгів замкнутих підмножин. Тобто для кожної послідовності замкнутих підмножин простору X, такої що:
існує ціле число r, що
Еквівалентне умова: будь-яке непорожнє сімейство замкнутих підмножин в X, впорядковане щодо включення має мінімальний елемент.
Властивості ред.
- Будь-який підпростір простору Нетер знову є простором Нетер.
- Якщо простір X допускає скінченне покриття нетеровими підпросторами, то X теж є нетеровим.
- Простір X є простором Нетер тоді і тільки тоді, коли будь-яка відкрита підмножина в X є компактною.
- Нетеровий простір X є об'єднанням скінченного числа своїх незвідних компонент.
Приклади ред.
Нетерові простори часто зустрічаються у алгебричній геометрії.
- Простір (афінний n-вимірний простір над полем k) із топологією Зариського є топологічним простором Нетер. Згідно з означенням топології Зариського в якщо
є спадна послідовність замкнутих множин, то
є зростаючою послідовністю ідеалів ( позначає ідеал поліноміальних функцій, що рівні нулю в кожній точці ). Оскільки є кільцем Нетер, існує ціле число m, таке що
Зважаючи на однозначну відповідність між радикальними ідеалами і замкнутими (в топології Заріскі) множинами виконується для всіх i. Тому:
- Прикладами нетерових просторів є спектри комутативних кілець. Для кільця R простір Spec(R) (спектр R) є нетеровим тоді і тільки тоді, коли R — кільце Нетер.