www.wikidata.uk-ua.nina.az

Декартів лист Дека ртів листок плоска крива третього порядку що в прямокутній системі описується рівнянням x 3 y 3 3 a x

Декартів лист

Дека́ртів листок — плоска крива третього порядку, що в прямокутній системі описується рівнянням:

Декартів лист

Параметр визначається як діагональ квадрата, сторона якого дорівнює найбільшій хорді петлі.

Історична довідка ред.

Вперше в історії математики крива, що пізніше отримала назву «декартів листок», визначена у листі Декарта до Ферма у 1638 році як крива, для якої сума об'ємів кубів, побудованих на абсцисі і ординаті кожної точки, дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на абсцисі, ординаті і деякій сталій. Форма кривої встановлюється вперше Жилем Робервалем, котрий знайшов вузлову точку кривої, однак у його подачі крива складається лише з петлі. Побудувавши цю криву у чотирьох квадрантах, він отримав фігуру, що нагадує квітку з чотирма пелюстками. Однак, назва кривої «пелюстка жасмину» (фр. fleur de jasmin) не закріпилась. Повну форму кривої з наявністю асимптоти було визначено пізніше (1692) Гюйгенсом і Йоганном Бернуллі. Назва «декартів листок» стала вживатись лише з початку 18 століття на пропозицію д'Аламбера.

Рівняння ред.

  • Параметричне рівняння в прямокутній системі за умови запишеться у вигляді:

Часто розглядають повернуту на 135° криву. Її рівняння мають такий вигляд:

  • В прямокутній системі:
  • У параметричній формі:
  • В полярних координатах:

Властивості ред.

  • Пряма  — вісь симетрії, її рівняння: .
  • Точка A називається вершиною, її координати .
  • Для обох гілок існує асимптота , її рівняння: .
  • Площа області між дугами і .
  • Площа області між асимптотою і кривою дорівнює площі петлі .
  • Об'єм тіла, утвореного при обертанні дуги навколо осі абсцис .

Використання ред.

Відому популярність для вибору траєкторій руху обробного інструменту при високошвидкісному фрезеруванні (HSM) набули траєкторії типу «петля». Застосування такої стратегії при обході особливих точок в контурному фрезеруванні вимагає її трансформації у криві, які можуть виконувати спряження. І тут часто використовується траєкторія у формі декартового листка.

Див. також ред.

Примітки ред.

  1. Петраков Ю. В., Скрипник Т. М. Аналіз технологічних траєкторій при контурному фрезеруванні //Процеси механічної обробки в машинобудуванні. Вип. 11, 2011. С. 195-204.

Джерела ред.

  • Махомета Т. М. Історія розвитку вчення про лінії та поверхні в курсі аналітичної геометрії // Didactics of mathematics: Problems and Investigations. – Issue # 35. – 2011. C. 78-82
  • Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. Справочное руководство. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. (рос.)

Посилання ред.

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Deka rtiv listok ploska kriva tretogo poryadku sho v pryamokutnij sistemi opisuyetsya rivnyannyam Dekartiv list x 3 y 3 3 a x y displaystyle textstyle x 3 y 3 3axy Parametr 3 a displaystyle 3a viznachayetsya yak diagonal kvadrata storona yakogo dorivnyuye najbilshij hordi petli Zmist 1 Istorichna dovidka 2 Rivnyannya 3 Vlastivosti 4 Vikoristannya 5 Div takozh 6 Primitki 7 Dzherela 8 PosilannyaIstorichna dovidka red Vpershe v istoriyi matematiki kriva sho piznishe otrimala nazvu dekartiv listok viznachena u listi Dekarta do Ferma u 1638 roci yak kriva dlya yakoyi suma ob yemiv kubiv pobudovanih na abscisi i ordinati kozhnoyi tochki dorivnyuye ob yemu paralelepipeda pobudovanogo na abscisi ordinati i deyakij stalij Forma krivoyi vstanovlyuyetsya vpershe Zhilem Robervalem kotrij znajshov vuzlovu tochku krivoyi odnak u jogo podachi kriva skladayetsya lishe z petli Pobuduvavshi cyu krivu u chotiroh kvadrantah vin otrimav figuru sho nagaduye kvitku z chotirma pelyustkami Odnak nazva krivoyi pelyustka zhasminu fr fleur de jasmin ne zakripilas Povnu formu krivoyi z nayavnistyu asimptoti bulo viznacheno piznishe 1692 Gyujgensom i Jogannom Bernulli Nazva dekartiv listok stala vzhivatis lishe z pochatku 18 stolittya na propoziciyu d Alambera Rivnyannya red V pryamokutnij sistemi za viznachennyam x 3 y 3 3 a x y displaystyle textstyle x 3 y 3 3axy nbsp V polyarnij sistemi r 3 a cos f sin f cos 3 f sin 3 f displaystyle rho frac 3a cos varphi sin varphi cos 3 varphi sin 3 varphi nbsp Parametrichne rivnyannya v pryamokutnij sistemi za umovi y t x displaystyle y tx nbsp zapishetsya u viglyadi x 3 a t 1 t 3 y 3 a t 2 1 t 3 displaystyle begin cases x frac 3at 1 t 3 y frac 3at 2 1 t 3 end cases nbsp de t tg f displaystyle t operatorname tg varphi nbsp Chasto rozglyadayut povernutu na 135 krivu Yiyi rivnyannya mayut takij viglyad V pryamokutnij sistemi y x l x l 3 x displaystyle y pm x sqrt frac l x l 3x nbsp de l 3 a 2 displaystyle l frac 3a sqrt 2 nbsp U parametrichnij formi x l t 2 1 3 t 2 1 y l t t 2 1 3 t 2 1 displaystyle x l frac t 2 1 3t 2 1 y l frac t t 2 1 3t 2 1 nbsp V polyarnih koordinatah r l sin 2 f cos 2 f cos f cos 2 f 3 sin 2 f displaystyle rho frac l left sin 2 varphi cos 2 varphi right cos varphi left cos 2 varphi 3 sin 2 varphi right nbsp Vlastivosti red Pryama O A displaystyle OA nbsp vis simetriyi yiyi rivnyannya y x displaystyle y x nbsp Tochka A nazivayetsya vershinoyu yiyi koordinati 3 a 2 3 a 2 displaystyle left frac 3a 2 frac 3a 2 right nbsp Dlya oboh gilok isnuye asimptota U V displaystyle UV nbsp yiyi rivnyannya x y a 0 displaystyle x y a 0 nbsp Plosha oblasti mizh dugami A C O displaystyle ACO nbsp i A B O displaystyle ABO nbsp S 1 l 2 3 3 2 a 2 displaystyle textstyle S 1 frac l 2 3 frac 3 2 a 2 nbsp Plosha oblasti mizh asimptotoyu i krivoyu dorivnyuye ploshi petli S 2 S 1 3 2 a 2 displaystyle textstyle S 2 S 1 frac 3 2 a 2 nbsp Ob yem tila utvorenogo pri obertanni dugi A C O displaystyle ACO nbsp navkolo osi abscis V 1 p l 3 27 ln 4 1 displaystyle textstyle V 1 frac pi l 3 27 left ln 4 1 right nbsp Vikoristannya red Vidomu populyarnist dlya viboru trayektorij ruhu obrobnogo instrumentu pri visokoshvidkisnomu frezeruvanni HSM nabuli trayektoriyi tipu petlya Zastosuvannya takoyi strategiyi pri obhodi osoblivih tochok v konturnomu frezeruvanni vimagaye yiyi transformaciyi u krivi yaki mozhut vikonuvati spryazhennya I tut chasto vikoristovuyetsya trayektoriya u formi dekartovogo listka 1 Div takozh red Oval Dekarta Trisektrisa MaklorenaPrimitki red Petrakov Yu V Skripnik T M Analiz tehnologichnih trayektorij pri konturnomu frezeruvanni Procesi mehanichnoyi obrobki v mashinobuduvanni Vip 11 2011 S 195 204 Dzherela red Mahometa T M Istoriya rozvitku vchennya pro liniyi ta poverhni v kursi analitichnoyi geometriyi Didactics of mathematics Problems and Investigations Issue 35 2011 C 78 82 Savelov A A Ploskie krivye Sistematika svojstva primeneniya Spravochnoe rukovodstvo M Fizmatgiz 1960 293 s ros Posilannya red Richard L Amoroso Fe Fi Fo Folium A Discourse on Descartes Mathematical Curiosity angl Weisstein Eric W Folium of Descartes Arhivovano 18 sichnya 2012 u Wayback Machine na MathWorld angl Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Dekartiv list amp oldid 35258150