www.wikidata.uk-ua.nina.az

Нерівність У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна значення твердження про те що два математичні об єкти є

Нерівність

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Нерівність (значення).

Нерівність — твердження про те, що два математичні об'єкти є різними, тобто не дорівнюють один одному. Для елементів упорядкованих множин нерівність може додатково стверджувати, що один із двох елементів менший або більший від іншого. Нерівністю також називають математичну задачу знаходження усіх елементів упорядкованої множини, для яких відповідне твердження істинне.

Відношення порядку

Не кожна множина є впорядкованою. Наприклад, для множини всіх точок на площині можна стверджувати лише про те чи вони однакові, але не можна стверджувати, що одна з них більша чи менша від іншої. Для того, щоб порівнювати між собою елементи множини, необхідно задати на ній відношення порядку. Для точок на площині відношення порядку може задаватися, наприклад, довжиною відрізка, що сполучає точку з певною вибраною точкою O. При такому вибраному відношенню порядку відрізок OA може бути довшим або коротшим від відрізка OB.

Фундаментальним прикладом впорядкованої множини є множина натуральних чисел. Число 1 менше від будь-якого іншого натурального числа, число 2 менше від будь-якого, крім числа 1, і так далі. На основі множини натуральних чисел будуються відношення порядку для інших множин. Для множини цілих чисел число нуль менше від будь-якого додатного числа, але більший, від будь-якого від'ємного числа, число -1 менше від нуля і будь-якого додатного, але більше від будь-якого від'ємного тощо.

Порівняння раціональних чисел зводиться до порівняння цілих чисел, якщо два раціональні числа звести до спільного знаменника і порівняти їхні чисельники. Оскільки дійсне число можна означити як переріз Дедекінда множини раціональних чисел, то відношення порядку множини раціональних чисел задає також відношення порядку для множини дійсних чисел.

Загалом для довільної множини можна задати різні відношення порядку.

Позначення

  • Позначення , означає, що a не дорівнює b.
  • Позначення a < b означає, що a менше ніж b.
  • Позначення a > b означає, що a більше ніж b.

В усіх цих випадках a не дорівнює b, звідси і «нерівність». Ці відношення відомі як строгі нерівності.

  • Позначення a ≤ b означає що a менше або дорівнює b (не більше за b);
  • Позначення a ≥ b означає що a більше або дорівнює b (не менше за b);

Додатково використовуються позначення для відображення суттєвої нерівності між об'єктами:

  • Позначення a ≪ b означає що a набагато менше за b.
  • Позначення a ≫ b означає що a набагато більше за b.

Визначення понять набагато менше і набагато більше не є математично строгим і залежить від конкретної математичної або прикладної задачі.

Властивості нерівностей

Загальні

Співвідношення менше і більше протилежні одне одному:

Нерівності мають властивість транзитивності:

Дійсних чисел

На множині дійсних чисел крім відношення порядку означені операції додавання і множення. Мовою математики це означає, що множина дійсних чисел є впорядкованим полем. Застосування цих операцій до чисел, для яких записана нерівність можуть зберігати її або міняти її знак.

Нерівність зберігається, якщо до обох чисел, які входять до неї додати будь-яке число:

Нерівність зберігається, якщо обидва числа, які входять до неї, помножити на додатне число.

Нерівність міняє знак при множенні на від'ємне число:

Нерівність може міняти знак для обернених величин.

Якщо числа a і b різного знаку, то нерівність зберігається й для обернених чисел.

Нерівності з невідомими величинами

Якщо в нерівність входить невідома велична, то така нерівність є задачею на відшукання всіх елементів множини, які їй задовольняють. Якщо певній нерівності задовольняють усі елементи множини, то така нерівність називається абсолютною або безумовною. Наприклад, нерівність

виконується для всіх дійсних чисел.

Нерівність

не виконується для дійсних чисел в інтервалі від -1 до 1.

Розв'язати нерівність означає знайти всі числа, для яких вона виконується, і всі числа, для яких вона не виконується. Розв'язок здебільшого записується у формі простішої нерівності або системи нерівностей, об'єднаних логічними операціями «або» та «і». Для наведеної вище нерівності розв'язок має вигляд

Нерівності з невідомими величинами називаються еквівалентними або рівносильними, якщо вони виконуються для тих самих елементів множини. При розв'язування нерівностей часто доводиться проводити з ними алгебраїчні перетворення, тобто заміняти їх на рівносильні.

Класифікація нерівностей

Нерівності, які містять невідомі величини, поділяються на:

  • алгебраїчні
  • трансцендентні

Алгебраїчні нерівності поділяються на нерівності першого, другого і вищих степенів.

Розв'язання нерівностей другого степеня

Розв'язання нерівності другого степеня в формі

або

можна розглядати як пошук відрізків, у яких квадратична функція приймає додатні або від'ємні значення (відрізки знакосталості).

Розв'язання нерівностей методом інтервалів

Нехай маємо нерівність виду:

Для її розв'язання необхідно:

  • розбити вісь на інтервали знакосталості
  • поставити в кожному такому інтервалі знак нерівності на цьому інтервалі (, якщо більше нуля, якщо менше)
  • вибрати ті інтервали, де стоїть знак початкової нерівності

Крайніми точками інтервалів будуть , і нулі функцій .

Рівносильні перетворення при розв'язуванні ірраціональних нерівностей

Знаки нерівності

В Україні традиція зображення знаків нерівності і відрізняється від прийнятої в англомовній літературі.

Символ Код в
Юнікоді 		Назва
в Юнікоді 		Назва HTML
шістн. 		HTML
десять 		HTML
позн. 		LaTeX
U+2A7D Less-than or slanted equal to Менше або дорівнює &#x2A7D; &#10877; відсутній \leqslant
U+2A7E Greater-than or slanted equal to Більше або дорівнює &#x2A7E; &#10878; відсутній \geqslant
U+2264 Less-than or equal to Менше або дорівнює &#x2264; &#8804; &le; \le, \leq
U+2265 Greater-than or equal to Більше або дорівнює &#x2265; &#8805; &ge; \ge, \geq

Див. також

Література

  • Коваленко В. Г.; Гельфанд М. Б.; Ушаков Р. Н. (1979 р.). Доведення нерівностей. Київ: Вища Школа. 
  • E. Beckenbach; R. Bellman (1975 р.). An Introduction to Inequalities (англ. ). The Mathematical Association of America. ISBN 978-0883856031. 
  • Р. Собкович, Н. Кульчицька; Основні методи доведення нерівностей, Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника, Івано-Франківськ, 2014.

Примітки

  1. М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике», М., 1974
Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Nerivnist znachennya Nerivnist tverdzhennya pro te sho dva matematichni ob yekti ye riznimi tobto ne dorivnyuyut odin odnomu Dlya elementiv uporyadkovanih mnozhin nerivnist mozhe dodatkovo stverdzhuvati sho odin iz dvoh elementiv menshij abo bilshij vid inshogo Nerivnistyu takozh nazivayut matematichnu zadachu znahodzhennya usih elementiv uporyadkovanoyi mnozhini dlya yakih vidpovidne tverdzhennya istinne Zmist 1 Vidnoshennya poryadku 2 Poznachennya 3 Vlastivosti nerivnostej 3 1 Zagalni 3 2 Dijsnih chisel 4 Nerivnosti z nevidomimi velichinami 4 1 Klasifikaciya nerivnostej 4 2 Rozv yazannya nerivnostej drugogo stepenya 4 3 Rozv yazannya nerivnostej metodom intervaliv 4 4 Rivnosilni peretvorennya pri rozv yazuvanni irracionalnih nerivnostej 5 Znaki nerivnosti 6 Div takozh 7 Literatura 8 PrimitkiVidnoshennya poryadku RedaguvatiDokladnishe Vidnoshennya poryadkuNe kozhna mnozhina ye vporyadkovanoyu Napriklad dlya mnozhini vsih tochok na ploshini mozhna stverdzhuvati lishe pro te chi voni odnakovi ale ne mozhna stverdzhuvati sho odna z nih bilsha chi mensha vid inshoyi Dlya togo shob porivnyuvati mizh soboyu elementi mnozhini neobhidno zadati na nij vidnoshennya poryadku Dlya tochok na ploshini vidnoshennya poryadku mozhe zadavatisya napriklad dovzhinoyu vidrizka sho spoluchaye tochku z pevnoyu vibranoyu tochkoyu O Pri takomu vibranomu vidnoshennyu poryadku vidrizok OA mozhe buti dovshim abo korotshim vid vidrizka OB Fundamentalnim prikladom vporyadkovanoyi mnozhini ye mnozhina naturalnih chisel Chislo 1 menshe vid bud yakogo inshogo naturalnogo chisla chislo 2 menshe vid bud yakogo krim chisla 1 i tak dali Na osnovi mnozhini naturalnih chisel buduyutsya vidnoshennya poryadku dlya inshih mnozhin Dlya mnozhini cilih chisel chislo nul menshe vid bud yakogo dodatnogo chisla ale bilshij vid bud yakogo vid yemnogo chisla chislo 1 menshe vid nulya i bud yakogo dodatnogo ale bilshe vid bud yakogo vid yemnogo tosho Porivnyannya racionalnih chisel zvoditsya do porivnyannya cilih chisel yaksho dva racionalni chisla zvesti do spilnogo znamennika i porivnyati yihni chiselniki Oskilki dijsne chislo mozhna oznachiti yak pereriz Dedekinda mnozhini racionalnih chisel to vidnoshennya poryadku mnozhini racionalnih chisel zadaye takozh vidnoshennya poryadku dlya mnozhini dijsnih chisel Zagalom dlya dovilnoyi mnozhini mozhna zadati rizni vidnoshennya poryadku Poznachennya RedaguvatiPoznachennya a b displaystyle a neq b oznachaye sho a ne dorivnyuye b Poznachennya a lt b oznachaye sho a menshe nizh b Poznachennya a gt b oznachaye sho a bilshe nizh b V usih cih vipadkah a ne dorivnyuye b zvidsi i nerivnist Ci vidnoshennya vidomi yak strogi nerivnosti Poznachennya a b oznachaye sho a menshe abo dorivnyuye b ne bilshe za b Poznachennya a b oznachaye sho a bilshe abo dorivnyuye b ne menshe za b Dodatkovo vikoristovuyutsya poznachennya dlya vidobrazhennya suttyevoyi nerivnosti mizh ob yektami Poznachennya a b oznachaye sho a nabagato menshe za b Poznachennya a b oznachaye sho a nabagato bilshe za b Viznachennya ponyat nabagato menshe i nabagato bilshe ne ye matematichno strogim i zalezhit vid konkretnoyi matematichnoyi abo prikladnoyi zadachi Vlastivosti nerivnostej RedaguvatiZagalni Redaguvati Spivvidnoshennya menshe i bilshe protilezhni odne odnomu Yaksho a lt b to b gt a Nerivnosti mayut vlastivist tranzitivnosti Yaksho a lt b i b lt c to a lt c Yaksho a gt b i b gt c to a gt c Dijsnih chisel Redaguvati Na mnozhini dijsnih chisel krim vidnoshennya poryadku oznacheni operaciyi dodavannya i mnozhennya Movoyu matematiki ce oznachaye sho mnozhina dijsnih chisel ye vporyadkovanim polem Zastosuvannya cih operacij do chisel dlya yakih zapisana nerivnist mozhut zberigati yiyi abo minyati yiyi znak Nerivnist zberigayetsya yaksho do oboh chisel yaki vhodyat do neyi dodati bud yake chislo Yaksho a lt b to a c lt b c Yaksho a gt b to a c gt b c Nerivnist zberigayetsya yaksho obidva chisla yaki vhodyat do neyi pomnozhiti na dodatne chislo Yaksho a lt b i c gt 0 to ac lt bc Yaksho a gt b i c gt 0 to ac gt bc Nerivnist minyaye znak pri mnozhenni na vid yemne chislo Yaksho a lt b i c lt 0 to ac gt bc Yaksho a gt b i c lt 0 to ac lt bc Nerivnist mozhe minyati znak dlya obernenih velichin Yaksho chisla a i b odnochasno dodatni abo vid yemni i a lt b i 1 a gt 1 b Napriklad 2 lt 3 a 1 2 gt 1 3 Analogichno 2 gt 3 a 1 2 lt 1 3 dd Yaksho chisla a i b riznogo znaku to nerivnist zberigayetsya j dlya obernenih chisel Napriklad 2 lt 3 i 1 2 lt 1 3 dd Nerivnosti z nevidomimi velichinami RedaguvatiYaksho v nerivnist vhodit nevidoma velichna to taka nerivnist ye zadacheyu na vidshukannya vsih elementiv mnozhini yaki yij zadovolnyayut Yaksho pevnij nerivnosti zadovolnyayut usi elementi mnozhini to taka nerivnist nazivayetsya absolyutnoyu abo bezumovnoyu Napriklad nerivnist x 2 0 displaystyle x 2 geq 0 vikonuyetsya dlya vsih dijsnih chisel Nerivnist x 2 1 displaystyle x 2 geq 1 ne vikonuyetsya dlya dijsnih chisel v intervali vid 1 do 1 Rozv yazati nerivnist oznachaye znajti vsi chisla dlya yakih vona vikonuyetsya i vsi chisla dlya yakih vona ne vikonuyetsya Rozv yazok zdebilshogo zapisuyetsya u formi prostishoyi nerivnosti abo sistemi nerivnostej ob yednanih logichnimi operaciyami abo ta i Dlya navedenoyi vishe nerivnosti rozv yazok maye viglyad x 1 x 1 displaystyle x leq 1 lor x geq 1 Nerivnosti z nevidomimi velichinami nazivayutsya ekvivalentnimi abo rivnosilnimi yaksho voni vikonuyutsya dlya tih samih elementiv mnozhini Pri rozv yazuvannya nerivnostej chasto dovoditsya provoditi z nimi algebrayichni peretvorennya tobto zaminyati yih na rivnosilni Klasifikaciya nerivnostej Redaguvati Nerivnosti yaki mistyat nevidomi velichini podilyayutsya na 1 algebrayichni transcendentniAlgebrayichni nerivnosti podilyayutsya na nerivnosti pershogo drugogo i vishih stepeniv Priklad Nerivnist 18 x lt 414 displaystyle 18x lt 414 algebrayichna pershogo stepenya Nerivnist 2 x 2 7 x 6 gt 0 displaystyle 2x 2 7x 6 gt 0 algebrayichna drugogo stepenya Nerivnist 2 x gt x 4 displaystyle 2 x gt x 4 transcendentna Rozv yazannya nerivnostej drugogo stepenya Redaguvati Rozv yazannya nerivnosti drugogo stepenya v formi a x 2 b x c gt 0 displaystyle ax 2 bx c gt 0 abo a x 2 b x c lt 0 displaystyle ax 2 bx c lt 0 mozhna rozglyadati yak poshuk vidrizkiv u yakih kvadratichna funkciya f x a x 2 b x c displaystyle f x ax 2 bx c prijmaye dodatni abo vid yemni znachennya vidrizki znakostalosti Rozv yazannya nerivnostej metodom intervaliv Redaguvati Nehaj mayemo nerivnist vidu f 1 x f 2 x f 3 x f 4 x f N x gt 0 displaystyle f 1 x cdot f 2 x cdot f 3 x cdot f 4 x cdot ldots cdot f N x gt 0 Dlya yiyi rozv yazannya neobhidno rozbiti vis O X displaystyle OX na intervali znakostalosti postaviti v kozhnomu takomu intervali znak nerivnosti na comu intervali displaystyle yaksho bilshe nulya displaystyle yaksho menshe vibrati ti intervali de stoyit znak pochatkovoyi nerivnostiKrajnimi tochkami intervaliv budut displaystyle infty displaystyle infty i nuli funkcij f 1 x f 2 x f 3 x f 4 x f N x displaystyle f 1 x f 2 x f 3 x f 4 x ldots f N x Rivnosilni peretvorennya pri rozv yazuvanni irracionalnih nerivnostej Redaguvati f x lt g x f x lt g 2 x g x gt 0 f x 0 displaystyle sqrt f x lt g x Leftrightarrow left begin matrix f x lt g 2 x g x gt 0 f x geqslant 0 end matrix right f x gt g x f x gt g 2 x g x 0 g x lt 0 f x gt 0 displaystyle sqrt f x gt g x Leftrightarrow left begin matrix left begin matrix f x gt g 2 x g x geqslant 0 end matrix right left begin matrix g x lt 0 f x gt 0 end matrix right end matrix right f x g x f x g x f x 0 displaystyle sqrt f x leq sqrt g x Leftrightarrow left begin matrix f x leq g x f x geqslant 0 end matrix right Znaki nerivnosti RedaguvatiV Ukrayini tradiciya zobrazhennya znakiv nerivnosti displaystyle leqslant i displaystyle geqslant vidriznyayetsya vid prijnyatoyi v anglomovnij literaturi Simvol Kod vYunikodi Nazvav Yunikodi Nazva HTMLshistn HTMLdesyat HTMLpozn LaTeX displaystyle leqslant U 2A7D Less than or slanted equal to Menshe abo dorivnyuye amp x2A7D amp 10877 vidsutnij leqslant displaystyle geqslant U 2A7E Greater than or slanted equal to Bilshe abo dorivnyuye amp x2A7E amp 10878 vidsutnij geqslant displaystyle leq U 2264 Less than or equal to Menshe abo dorivnyuye amp x2264 amp 8804 amp le le leq displaystyle geq U 2265 Greater than or equal to Bilshe abo dorivnyuye amp x2265 amp 8805 amp ge ge geqDiv takozh Redaguvati Portal Matematika Chastkovo vporyadkovana mnozhina Nerivnist trikutnika Nerivnist Koshi Bunyakovskogo Nerivnist Shura Nerivnist NesbitaLiteratura Redaguvati Portal Matematika Kovalenko V G Gelfand M B Ushakov R N 1979 r Dovedennya nerivnostej Kiyiv Visha Shkola E Beckenbach R Bellman 1975 r An Introduction to Inequalities angl The Mathematical Association of America ISBN 978 0883856031 R Sobkovich N Kulchicka Osnovni metodi dovedennya nerivnostej Prikarpatskij nacionalnij universitet imeni Vasilya Stefanika Ivano Frankivsk 2014 Primitki Redaguvati M Ya Vygodskij Spravochnik po elementarnoj matematike M 1974 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Nerivnist amp oldid 39659736