В теорії множин (дисципліна математики), числа Алеф — множина чисел, що використовуються для представлення потужності (розміру) нескінченних множин. Названі за символом, що використовується для їх позначення – літери івриту алеф ().
Потужність множини натуральних чисел – (читається «алеф-нуль»), наступне, більше, кардинальне число - , потім - і так далі. Продовжуючи таким чином, можна визначити кардинальне число для кожного порядкового числа α.
Концепція числа сходить до Георга Кантора, який визначив поняття потужності і виявив, що нескінченні множини можуть мати різні потужності.
Числа алеф відрізняються від нескінченності (∞), що часто зустрічається у алгебрі та математичному аналізі. Алеф визначає розмірність нескінченних множин; нескінченність, з іншої сторони, зазвичай, визначається як крайня границя числової прямої (використовується до функцій чи послідовностей, що «розбігаються до нескінченності» або «нескінченно ростуть»), або як крайня точка розширеної числової прямої.
Алеф-нуль Редагувати
є потужністю усіх натуральних чисел, та є першим нескінченим кардиналом. Множина має потужність тільки якщо це злічена нескінченна множина, яку можна поставити у пряму бієкцію, тобто «один-до-одного», з множиною натуральних чисел. До таких множин відносяться множина простих чисел, множина усіх раціональних чисел, множина алгебраїчних чисел, множина бінарних рядків усіх скінченних довжин і множина усіх скінченних підмножин будь-якої зліченної нескінченної множини.
Потужність зліченної множини є найменшим трансфінітним кардинальним числом. Це означає, що будь-яка нескінченна множина A має принаймні одну зліченну частину (тобто зліченну підмножину).
Для будь-якого скінченного числа m ≥ 1 виконуються рівності: m· та .
Алеф-один Редагувати
є потужністю множини всіх злічених порядкових чисел, яка називається ω1, або іноді Ω. Ця ω1 сама по собі є порядковим номером, більшим, за всі зліченні множини, тобто ця множина є незліченною. Таким чином відрізняється від . З визначення випливає, що не існує кардинального числа між та .
Для будь-якого скінченного числа m ≥ 1 виконуються рівності: m··^, де m≥1 – ціле.