Funkciyi Besselya v matematici simejstvo funkcij sho ye kanonichnimi rozv yazkami diferencialnogo rivnyannya Besselya Daniel BernulliFridrih Bessel x 2 d 2 y d x 2 x d y d x x 2 a 2 y 0 displaystyle x 2 frac d 2 y dx 2 x frac dy dx x 2 alpha 2 y 0 de a displaystyle alpha dovilne dijsne chislo zvane poryadkom Najchastishe vikoristovuvani funkciyi Besselya funkciyi cilih ta napivcilih poryadkiv Hocha a displaystyle alpha i a displaystyle alpha porodzhuyut odnakovi rivnyannya zazvichaj domovlyayutsya pro te shob yim vidpovidali rizni funkciyi ce robitsya napriklad dlya togo shob funkciya Besselya bula gladkoyu po a displaystyle alpha Funkciyi Besselya vpershe buli viznacheni shvejcarskim matematikom Danielem Bernulli a nazvani na chest Fridriha Besselya Zmist 1 Zastosuvannya 2 Viznachennya 2 1 Funkciyi Besselya pershogo rodu 2 2 Integrali Besselya 2 3 Funkciyi Besselya drugogo rodu 3 Vlastivosti 3 1 Asimptotika 3 2 Gipergeometrichnij ryad 3 3 Funkciyi Besselya yak koeficiyenti ryadiv 3 4 Tvirna funkciya dlya funkciyi Besselya UNIQ postMath 0000002D QINU 4 Divis takozh 5 LiteraturaZastosuvannya RedaguvatiRivnyannya Besselya vinikaye pid chas znahodzhennya rozv yazkiv rivnyannya Laplasa i rivnyannya Gelmgolca v cilindrichnih i sferichnih koordinatah Tomu funkciyi Besselya zastosovuyutsya pri rozv yazuvanni bagatoh zadach pro poshirennya hvil statichni potenciali tosho napriklad elektromagnitni hvili v cilindrovomu hvilevodi teploprovidnist v cilindrovih ob yektah formi kolivannya tonkoyi krugloyi membrani shvidkist chastinok v zapovnenomu ridinoyu cilindri sho obertayetsya navkolo svoyeyi osi Funkciyi Besselya zastosovuyutsya i pri rozv yazuvanni inshih zadach napriklad pri obrobci signaliv Viznachennya RedaguvatiOskilki navedene rivnyannya ye rivnyannyam drugogo poryadku u nogo povinno buti dva linijno nezalezhnih rozv yazki Prote zalezhno vid obstavin vibirayutsya rizni viznachennya cih rozv yazkiv Nizhche navedeni deyaki z nih Funkciyi Besselya pershogo rodu Redaguvati Funkciyami Besselya pershogo rodu sho poznachayutsya J a x displaystyle J alpha x nbsp ye rozv yazki skinchenni v tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp pri cilih abo nevid yemnih a displaystyle alpha nbsp Vibir konkretnoyi funkciyi ta yiyi normalizaciyi viznachayutsya yiyi vlastivostyami Mozhna viznachiti ci funkciyi za dopomogoyu rozkladannya v ryad Tejlora bilya nulya abo v zagalnishij stepenevij ryad pri necilih a displaystyle alpha nbsp J a x m 0 1 m m G m a 1 x 2 2 m a displaystyle J alpha x sum m 0 infty frac 1 m m Gamma m alpha 1 left frac x 2 right 2m alpha nbsp Tut G z displaystyle Gamma z nbsp ye gamma funkciya Ejlera uzagalnennya faktorialu na necili znachennya Grafik funkciyi Besselya shozhij na sinusoyidu kolivannya yakoyi zgasayut proporcijno 1 x displaystyle frac 1 sqrt x nbsp hocha naspravdi nuli funkciyi roztashovani ne periodichno Nizhche navedeni grafiki J a x displaystyle J alpha x nbsp dlya a 0 1 2 displaystyle alpha 0 1 2 nbsp nbsp Grafik funkciyi Besselya pershogo rodu JYaksho a displaystyle alpha nbsp ne ye cilim chislom funkciyi J a x displaystyle J alpha x nbsp i J a x displaystyle J alpha x nbsp linijno nezalezhni i otzhe ye rozv yazkami rivnyannya Ale yaksho a displaystyle alpha nbsp cile to pravilne take spivvidnoshennya J a x 1 a J a x displaystyle J alpha x 1 alpha J alpha x nbsp Vono oznachaye sho na razi funkciyi linijno zalezhni Todi drugim rozv yazkom rivnyannya stane funkciya Besselya drugogo rodu divis nizhche Integrali Besselya Redaguvati Mozhna nadati inshe viznachennya funkciyi Besselya dlya cilih znachen a displaystyle alpha nbsp vikoristovuyuchi integralne zobrazhennya J a x 1 p 0 p cos a t x sin t d t displaystyle J alpha x frac 1 pi int limits 0 pi cos alpha tau x sin tau d tau nbsp Cej pidhid vikoristovuvav Bessel doslidivshi za jogo dopomogoyu deyaki vlastivosti funkcij Mozhlive i inshe integralne zobrazhennya J a x 1 2 p p p e i a t x sin t d t displaystyle J alpha x frac 1 2 pi int limits pi pi e i alpha tau x sin tau d tau nbsp Funkciyi Besselya drugogo rodu Redaguvati Dokladnishe Funkciyi Besselya drugogo roduFunkciyi Besselya drugogo rodu rozv yazki Y a x displaystyle Y alpha x nbsp rivnyannya Besselya neskinchenni v tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp Y a x displaystyle Y alpha x nbsp takozh inodi nazivayut funkciyeyu Nejmana i poznachayut yak N a x displaystyle N alpha x nbsp Cya funkciya pov yazana z J a x displaystyle J alpha x nbsp takim spivvidnoshennyam Y a x J a x cos a p J a x sin a p displaystyle Y alpha x frac J alpha x cos alpha pi J alpha x sin alpha pi nbsp de u razi cilogo a displaystyle alpha nbsp beretsya granicya po a displaystyle alpha nbsp obchislyuvana napriklad za dopomogoyu pravila Lopitalya Nizhche privedeni grafiki Y a x displaystyle Y alpha x nbsp dlya a 0 1 2 displaystyle alpha 0 1 2 nbsp nbsp Grafik funkciyi Besselya drugogo rodu YVlastivosti RedaguvatiAsimptotika Redaguvati Dlya funkcij Besselya vidomi asimptotichni formuli Pri malih argumentah 0 lt x a 1 displaystyle 0 lt x ll sqrt alpha 1 nbsp i nevid yemnih a displaystyle alpha nbsp voni viglyadayut tak J a x 1 G a 1 x 2 a displaystyle J alpha x rightarrow frac 1 Gamma alpha 1 left frac x 2 right alpha nbsp Y a x 2 p ln x 2 g a 0 G a p 2 x a a gt 0 displaystyle Y alpha x rightarrow left begin matrix displaystyle frac 2 pi left ln x 2 gamma right amp mbox quad alpha 0 displaystyle frac Gamma alpha pi left frac 2 x right alpha amp mbox quad alpha gt 0 end matrix right nbsp de g displaystyle gamma nbsp stala Ejlera Maskeroni 0 5772 displaystyle 0 5772 dots nbsp a G displaystyle Gamma nbsp gamma funkciya Ejlera Dlya velikih argumentiv x a 2 1 4 displaystyle x gg alpha 2 1 4 nbsp formuli viglyadayut tak J a x 2 p x cos x a p 2 p 4 displaystyle J alpha x rightarrow sqrt frac 2 pi x cos left x frac alpha pi 2 frac pi 4 right nbsp Y a x 2 p x sin x a p 2 p 4 displaystyle Y alpha x rightarrow sqrt frac 2 pi x sin left x frac alpha pi 2 frac pi 4 right nbsp Gipergeometrichnij ryad Redaguvati Funkciyi Besselya mozhut buti virazheni cherez gipergeometrichnu funkciyu J a z z 2 a G a 1 0 F 1 a 1 z 2 4 displaystyle J alpha z frac z 2 alpha Gamma alpha 1 0 F 1 alpha 1 z 2 4 nbsp Takim chinom pri cilih n funkciya Besselya odnoznachna analitichna a pri necilih bagatoznachna analitichna Funkciyi Besselya yak koeficiyenti ryadiv Redaguvati Isnuye predstavlennya dlya funkcij Besselya pershogo rodu i cilogo poryadku cherez koeficiyenti ryadu Lorana funkciyi pevnogo viglyadu a same e z 2 w 1 w n J n z w n displaystyle e displaystyle frac z 2 left w frac 1 w right sum n infty infty J n z w n nbsp Tvirna funkciya dlya funkciyi Besselya J a x displaystyle J alpha x nbsp Redaguvati g x t exp x 2 t 1 t a J a x t a displaystyle g x t exp frac x 2 t frac 1 t sum alpha infty infty J alpha x t alpha nbsp de J a x displaystyle J alpha x nbsp viznachena u oblasti 0 x displaystyle 0 leq x leq infty nbsp Rozklad u ryad Lorana ta koeficiyenti J a x displaystyle J alpha x nbsp mozhna znajtiJ a x 1 2 p l C g x t t n 1 d t displaystyle J alpha x frac 1 2 pi l int C frac g x t t n 1 dt nbsp V yakosti kontura C displaystyle C nbsp navkolo tochki t 0 displaystyle t 0 nbsp obirayetsya okruzhnist odinichnogo radiusu u ploshini t displaystyle t nbsp de t exp i 8 displaystyle t exp i theta nbsp Takim chinom J a x 1 2 p i 0 2 p exp x e i 8 e i 8 2 i exp i 8 d 8 exp i 8 a 1 displaystyle J alpha x frac 1 2 pi i int 0 2 pi frac exp x e i theta e i theta 2 i exp i theta d theta exp i theta alpha 1 nbsp taJ a x 1 2 p 2 p exp i x sin 8 n 8 d 8 displaystyle J alpha x frac 1 2 pi int 2 pi exp i x sin theta n theta d theta nbsp Divis takozh RedaguvatiCilindrichni funkciyi ru Sferichni funkciyi Modifikovani funkciyi Besselya ru Promin Besselya en Promin Ejri Tvirnij funkcionalLiteratura RedaguvatiVatson G Teoriya besselevyh funkcij t 1 2 M IL 1949 g Bejtmen G Erdeji A Vysshie transcendentnye funkcii Funkcii Besselya funkcii parabolicheskogo cilindra ortogonalnye mnogochleny Spravochnaya matematicheskaya biblioteka M Fizmatgiz 1966 g 296 s V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Bessel function angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi traven 2022 Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Funkciyi Besselya amp oldid 37477069
