Рівняння Гельмгольца - диференціальне рівняння з частинними похідними еліптичного типу, що має вигляд:
де - невідома функція, - оператор Лапласа, k - параметр.
Зв'язок із хвильовим рівнянням Редагувати
Рівняння Гельмгольца є наслідком хвильового рівняння:
якщо його розв'язок шукати у вигляді:
При цьому
Розв'язки Редагувати
Для знаходження конкретних розв'язків рівняння Гельмгольца для конкретної задачі математичної фізики потрібно доповнити граничними умовами.
Для безмежного тривимірного простору розв'язки можна записати у вигляді плоских хвиль:
де .
Для двовимірної задачі в полярній системі координат розв'язок зручно шукати у вигляді суперпозиції функцій Бесселя:
Для тривимірного простору в сферичній системі координат розв'язки мають вигляд суперпозиції сферичних гармонік, помножених на сферичні функції Бесселя: