В абстрактній алгебрі примарним розкладом ідеала кільця (або, більш загально підмодуля модуля ) називається подання цього ідеала (чи модуля) у вигляді перетину примарних ідеалів (примарних підмодулів).
Примарний розклад узагальнює розклад цілого числа в добуток степенів різних простих чисел. Особливо важливим є випадок комутативних нетерових кілець. Для них існування примарного розкладу було доведено Еммі Нетер, яка узагальнила отриманий у 1905 році Ласкером результат про існування такого розкладу для кілець многочленів і збіжних степеневих рядів. Тому цей результат традиційно називається теоремою Ласкера — Нетер.
Означення ред.
Нехай — комутативне кільце, і — модулі над ним.
- Дільник нуля модуля — елемент кільця , такий що для деякого ненульового з .
- Елемент кільця називається нільпотентним в , якщо = 0 для деякого натурального числа .
- Модуль називається копримарним, якщо кожен його дільник нуля є нільпотентним. Іншими словами, якщо відображення для кожного є або ін'єктивним або нільпотентним. У випадку скінченнопороджених модулів над нетеровим кільцем еквівалентною є умова, що для модуля існує єдиний асоційований простий ідеал.
- Підмодуль модуля називається примарним, якщо є копримарним. Множина дільників нуля у цьому випадку є рівною радикалу . Цей ідеал є простим оскільки, очевидно добуток двох елементів, що не є дільниками нуля теж не є дільником нуля. Підмодуль тоді називається примарним. З означень очевидно, що якщо і тільки якщо або або
- Ідеал є примарним, якщо він є примарним підмодулем як -модуля, тобто коли в фактор-кільці кожен дільник нуля є нільпотентним. Це означення є еквівалентним стандартному означенню: якщо ab належить I то або a належить I або bn належить I для деякого натурального числа n. Іншою еквівалентною умовою є те, що кожен дільник нуля у кільці R/I є нільпотентним.
- Підмодуль модуля називається незвідним, якщо він не є перетином двох підмодулів строго більших за нього.
- Простий ідеал, асоційований з модулем — простий ідеал, який є анулятором деякого елемента модуля.
Теорема Ласкера — Нетер ред.
Теорема Ласкера — Нетер для модулів стверджує, що кожен підмодуль скінченнопородженого модуля над нетеровим кільцем є скінченним перетином примарних підмодулів. У випадку кілець ця теорема стверджує, що кожен ідеал нетерового кільця є скінченним перетином примарних ідеалів.
Еквівалентне формулювання: кожен скінченнопороджений модуль над нетеровим кільцем є підмодулем скінченного добутку копримарних модулів.
Доведення ред.
Нехай скінченнопороджений модуль над нетеровим кільцем і — підмодуль в . Для доведення існування розкладу для замінивши на достатньо розглянути випадок . Для довільних підмодулів модуля маємо еквівалентність:
Звідси, для підмодуля 0 існує примарний розклад якщо для кожного простого ідеала асоційованого з модулем (цих ідеалів є скінченна кількість, деталі у статті Асоційований простий ідеал), існує примарний підмодуль такий що .
Розглянемо множину (вона є непустою оскільки нульовий модуль є її елементом). Оскільки є нетеровим модулем то множина має максимальний елемент . Якщо не є -примарним, наприклад, є асоційованим простим ідеалом фактор-модуля , тоді для деякого підмодуля Q'. Але і також і з властивостей асоційованих простих ідеалів , що суперечить максимальності . Як наслідок є примарним.
Теореми єдиності ред.
Нехай R — комутативне кільце Нетер. Примарний розклад
називається незвідним, якщо для будь-якого і радикали компонент розкладу є попарно різними. Із довільного примарного розкладу можна отримати незвідний спершу вилучивши всі немінімальні компоненти, а потім замінивши компоненти з однаковим радикалом їх перетином (оскільки перетин примарних ідеалів з однаковим радикалом є примарним ідеалом з тим же радикалом).
Перша теорема єдиності примарного розкладу. Сукупність простих ідеалів при незвідному розкладі визначена однозначно ідеалом і не залежить від примарного розкладу. Ця множина рівна множині асоційованих простих ідеалів фактор-кільця .
Мінімальні за включенням елементи цієї сукупності називаються ізольованими простими ідеалами ідеала , інші — вкладеними простими ідеалами. Множина ізольованих простих ідеалів є рівною множині мінімальних простих ідеалів для ідеала .
Друга теорема єдиності примарного розкладу. Примарні ідеали, радикалами яких є ізольовані прості ідеали, однозначно визначаються ідеалом і не залежать від примарного розкладу.
Приклади ред.
Для кожного додатного цілого числа n, для кільця для ідеала існує примарний розклад
Асоційованими простими ідеалами для цього ідеала є
Тобто є ізольованим ідеалом і є відповідним компонентом, що зустрічається у кожному примарному розкладі.
Геометрична інтерпретація ред.
В алгебричній геометрії, афінна алгебрична множина V(I) є за означенням рівною множині нулів ідеала I в кільці многочленів
Незвідний примарний розклад
ідеала I задає розклад множини V(I) в об'єднання алгебричних многовидів , які є незвідними, тобто не є об'єднаннями двох менших алгебричних множин.
Якщо є радикалом ідеала , то і теорема Ласкера — Нетер демонструє, що V(I) має єдиний ненадлишковий розклад у об'єднання незвідних алгебричних многовидів:
де об'єднання береться лише за мінімальними асоційованими простими ідеалами. Ці прості ідеали є елементами примарного розкладу ідеала I.
Для випадку розкладу алгебричних многовидів значення мають лише мінімальні прості ідеали але в теорії перетинів і теорії схем весь примарний розклад має геометричний зміст.
Див. також ред.
Література ред.
- Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1969, ISBN 0-2010-0361-9.
- Eisenbud, David (1995). Commutative algebra. Graduate Texts in Mathematics 150. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94268-1. MR 1322960.
- Lasker, E. (1905). Zur Theorie der Moduln und Ideale. Math. Ann. 60: 19–116. doi:10.1007/BF01447495.
- Noether, Emmy (1921). Idealtheorie in Ringbereichen. Mathematische Annalen 83 (1): 24. doi:10.1007/BF01464225.[недоступне посилання]
- Jean-Pierre Serre, Local algebra, Springer-Verlag, 2000, ISBN 3-540-66641-9.