www.wikidata.uk-ua.nina.az

Рівні Ландау квантовані енергетичні рівні зарядженої частинки в магнітному полі Енергія вільної частинки в постійному од

Рівні Ландау

Рівні Ландау — квантовані енергетичні рівні зарядженої частинки в магнітному полі. Енергія вільної частинки в постійному однорідному магнітному полі квантована в одному з поперечних до поля напрямків і набирає значень:

де  — зведена стала Планка,  — циклотронна частота, a n — квантове число, що може набирати цілих значень, починаючи з нуля.

Загальна енергія зарядженої частинки є сумою цього виразу і звичного виразу для кінетичної енергії в двох інших напрямках.

Фізична природа Редагувати

Класична заряджена частинка в однорідному магнітному полі закручується, рухаючись по спіралі. Таким чином рух класичної частинки в магнітному полі обмежений просторово в напрямку перпендикулярному до вектора магнітної індукції. Аналогічне обмеження існує в квантовій механіці. Внаслідок локалізації руху частки її енергетичні рівні квантуються.

Це квантування лежить в основі квантовомеханічної теорії діамагнетизму, яка була розвинута на початку 30-х років XX-го століття радянським фізиком Левом Давидовичем Ландау. Відповідні дискретні рівні енергії квантової зарядженої частки в однорідному магнітному полі отримали назву рівнів Ландау.

Рівні Ландау важливі для розуміння діамагнетизму, проявляються в квантовому ефекті Хола, осциляціях магнітопровідності тощо.

Постановка проблеми Редагувати

Розглянемо двовимірну систему невзаємодіючих часток із зарядом та спіном розташованій на замкненій системі в декартовій площині x-y. ДО цієї площини можна прикласти однорідне магнітне поле (індукцію) вздовж осі z. Використовуючи систему СГС, гамільтоніан цієї системи можна подати у вигляді

де є канонічний оператор імпульсу а  — електромагнітний векторний потенціал, пов"язаний із магнітним полем:

Існує певна свобода, пов'язана з вибором векторного потенціалу для заданого магнітного поля. Проте, гамільтоніан системи інваріантний щодо цього вибору, шляхом добавляння довільного градієнтного (скалярного) поля, що тільки змінює загальну фазу хвильових функцій на величину відповідну до скалярного поля. Фізичні властивості не зазнають впливу під час вибору певного калібрування. Для простоти можна скористатися калібруванням Ландау:

де . В рамках даного калібрування оператор Гамільтона буде:

Оператор комутує із цим оператором Гамільтона оскільки оператор відсутній за умовою калібрування. Тому оператор може бути замінений своїми власними числами . Цей гамільтоніан також може бути переписаний у простішій формі враховуючи циклотронну частоту :

Це є остаточний гамільтоніан для квантового гармонічного осцилятора, тільки трохи зміщений відносно системи координат на величину .

Розв'язок рівняння Шредінгера Редагувати

Стаціонарне рівняння Шредінгера для електрона в магнітному полі може бути записане у вигляді:

де  — хвильова функція електрону,  — енергія та індекс означає n-й рівень Ландау . Щоб розділити змінні в цьому рівнянні, розв'язок зручно шукати у вигляді добутку трьох функцій:

де и  — розміри системи, и  — хвильові вектори, індекс у хвильової функції означає, що вона залежить від нього, як від параметру. Підставляючи в отримаємо одномірне рівняння для

Це рівняння — не що інше, як рівняння Шредінгера для квантового гармонічного осцилятора зі зсувом мінімуму потенціалу. Таким чином, розв'язок записується у вигляді:

де  — поліном Ерміта порядку .

Вплив електричного поля Редагувати

Тепер можна розглянути вплив електричного поля на енергетичний спектр електрона в магнітному полі. Для цього перепишемо рівняння із врахуванням електричного поля , направленого по осі

котре після виділення повного квадрата може бути подане у вигляді

де и . Таким чином, ми бачимо, що електричне поле просто зсуває центр хвильової функції. Енегетичний спектр задається наступним виразом:

Двовимірний випадок Редагувати

У двовимірному випадку рух уздовж однієї з осей (наприклад, осі z) квантований. У цьому разі спектр електронів складається із еквідистантних рівнів (з відстанню між рівнями , де визначається із компоненти магнітного поля вздовж осі z). Енергія електрона є

де  — енергія електрона, пов'язана із рухом вздовж осі z.

Джерела Редагувати

  • Білий М. У., Охріменко Б. А. Атомна фізика. — К. : Знання, 2009. — 559 с.
  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.

Посилання Редагувати

    Див. також Редагувати


    Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
    Дата публікації:
    Rivni Landau kvantovani energetichni rivni zaryadzhenoyi chastinki v magnitnomu poli Energiya vilnoyi chastinki v postijnomu odnoridnomu magnitnomu poli kvantovana v odnomu z poperechnih do polya napryamkiv i nabiraye znachen E n ℏ w c n 1 2 displaystyle E n hbar omega c n 1 2 de ℏ displaystyle hbar zvedena stala Planka w c displaystyle omega c ciklotronna chastota a n kvantove chislo sho mozhe nabirati cilih znachen pochinayuchi z nulya Zagalna energiya zaryadzhenoyi chastinki ye sumoyu cogo virazu i zvichnogo virazu dlya kinetichnoyi energiyi v dvoh inshih napryamkah Zmist 1 Fizichna priroda 2 Postanovka problemi 3 Rozv yazok rivnyannya Shredingera 4 Vpliv elektrichnogo polya 5 Dvovimirnij vipadok 6 Dzherela 7 Posilannya 8 Div takozhFizichna priroda RedaguvatiKlasichna zaryadzhena chastinka v odnoridnomu magnitnomu poli zakruchuyetsya ruhayuchis po spirali Takim chinom ruh klasichnoyi chastinki v magnitnomu poli obmezhenij prostorovo v napryamku perpendikulyarnomu do vektora magnitnoyi indukciyi Analogichne obmezhennya isnuye v kvantovij mehanici Vnaslidok lokalizaciyi ruhu chastki yiyi energetichni rivni kvantuyutsya Ce kvantuvannya lezhit v osnovi kvantovomehanichnoyi teoriyi diamagnetizmu yaka bula rozvinuta na pochatku 30 h rokiv XX go stolittya radyanskim fizikom Levom Davidovichem Landau Vidpovidni diskretni rivni energiyi kvantovoyi zaryadzhenoyi chastki v odnoridnomu magnitnomu poli otrimali nazvu rivniv Landau Rivni Landau vazhlivi dlya rozuminnya diamagnetizmu proyavlyayutsya v kvantovomu efekti Hola oscilyaciyah magnitoprovidnosti tosho Postanovka problemi RedaguvatiRozglyanemo dvovimirnu sistemu nevzayemodiyuchih chastok iz zaryadom q displaystyle q nbsp ta spinom S displaystyle S nbsp roztashovanij na zamknenij sistemi A L 2 displaystyle A L 2 nbsp v dekartovij ploshini x y DO ciyeyi ploshini mozhna priklasti odnoridne magnitne pole indukciyu B 0 0 B displaystyle mathbf B begin pmatrix 0 0 B end pmatrix nbsp vzdovzh osi z Vikoristovuyuchi sistemu SGS gamiltonian ciyeyi sistemi mozhna podati u viglyadi H 1 2 m p q A c 2 displaystyle hat H frac 1 2m hat mathbf p q hat mathbf A c 2 nbsp de p displaystyle hat mathbf p nbsp ye kanonichnij operator impulsu a A displaystyle hat mathbf A nbsp elektromagnitnij vektornij potencial pov yazanij iz magnitnim polem B A displaystyle mathbf B mathbf nabla times mathbf A nbsp Isnuye pevna svoboda pov yazana z viborom vektornogo potencialu dlya zadanogo magnitnogo polya Prote gamiltonian sistemi invariantnij shodo cogo viboru shlyahom dobavlyannya dovilnogo gradiyentnogo skalyarnogo polya sho tilki zminyuye zagalnu fazu hvilovih funkcij na velichinu vidpovidnu do skalyarnogo polya Fizichni vlastivosti ne zaznayut vplivu pid chas viboru pevnogo kalibruvannya Dlya prostoti mozhna skoristatisya kalibruvannyam Landau A 0 B x 0 displaystyle hat mathbf A begin pmatrix 0 B x 0 end pmatrix nbsp de B B displaystyle B mathbf B nbsp V ramkah danogo kalibruvannya operator Gamiltona bude H p x 2 2 m p y 2 2 m q B m c x p y q 2 B 2 2 m c 2 x 2 displaystyle hat H frac hat p x 2 2m frac hat p y 2 2m frac qB mc hat x hat p y frac q 2 B 2 2mc 2 hat x 2 nbsp Operator p y displaystyle hat p y nbsp komutuye iz cim operatorom Gamiltona oskilki operator y displaystyle hat y nbsp vidsutnij za umovoyu kalibruvannya Tomu operator p y displaystyle hat p y nbsp mozhe buti zaminenij svoyimi vlasnimi chislami ℏ k y displaystyle hbar k y nbsp Cej gamiltonian takozh mozhe buti perepisanij u prostishij formi vrahovuyuchi ciklotronnu chastotu w c q B m c displaystyle omega c qB mc nbsp H p x 2 2 m 1 2 m w c 2 x ℏ k y m w c 2 displaystyle hat H frac hat p x 2 2m frac 1 2 m omega c 2 left hat x frac hbar k y m omega c right 2 nbsp Ce ye ostatochnij gamiltonian dlya kvantovogo garmonichnogo oscilyatora tilki trohi zmishenij vidnosno sistemi koordinat na velichinu x 0 ℏ k y m w c displaystyle x 0 frac hbar k y m omega c nbsp Rozv yazok rivnyannya Shredingera RedaguvatiStacionarne rivnyannya Shredingera dlya elektrona v magnitnomu poli mozhe buti zapisane u viglyadi ℏ 2 2 m 2 x 2 2 z 2 1 2 m i ℏ y e B c x 2 PS n x y z E n PS n x y z 4 displaystyle left frac hbar 2 2m left frac partial 2 partial x 2 frac partial 2 partial z 2 right frac 1 2m left i hbar frac partial partial y frac eB c x right 2 right Psi n x y z E n Psi n x y z qquad 4 nbsp de PS n r displaystyle Psi n overrightarrow r nbsp hvilova funkciya elektronu E n displaystyle E n nbsp energiya ta indeks n displaystyle n nbsp oznachaye n j riven Landau Shob rozdiliti zminni v comu rivnyanni rozv yazok zruchno shukati u viglyadi dobutku troh funkcij PS n x y z 1 L z L y e i k z z e i k y y ps n k y x 5 displaystyle Psi n x y z frac 1 sqrt L z L y e ik z z e ik y y psi n k y x qquad 5 nbsp de L z displaystyle L z nbsp i L y displaystyle L y nbsp rozmiri sistemi k z displaystyle k z nbsp i k y displaystyle k y nbsp hvilovi vektori indeks k y displaystyle k y nbsp u hvilovoyi funkciyi ps n k y x displaystyle psi n k y x nbsp oznachaye sho vona zalezhit vid nogo yak vid parametru Pidstavlyayuchi 5 displaystyle 5 nbsp v 4 displaystyle 4 nbsp otrimayemo odnomirne rivnyannya dlya ps n k y x displaystyle psi n k y x nbsp ℏ 2 2 m d 2 d x 2 m w c 2 2 x k y l H 2 2 ps n k y x ϵ n ps n k y x 6 displaystyle left frac hbar 2 2m frac d 2 dx 2 frac m omega c 2 2 x k y l H 2 2 right psi n k y x epsilon n psi n k y x qquad 6 nbsp Ce rivnyannya ne sho inshe yak rivnyannya Shredingera dlya kvantovogo garmonichnogo oscilyatora zi zsuvom minimumu potencialu Takim chinom rozv yazok zapisuyetsya u viglyadi ps n k y x 1 2 n n p 1 2 l H e x k y l H 2 2 2 l H 2 H n x k y l H 2 l H 7 displaystyle psi n k y x frac 1 sqrt 2 n n pi 1 2 l H e frac x k y l H 2 2 2l H 2 H n left frac x k y l H 2 l H right qquad 7 nbsp de H n x displaystyle H n x nbsp polinom Ermita poryadku n displaystyle n nbsp Vpliv elektrichnogo polya RedaguvatiTeper mozhna rozglyanuti vpliv elektrichnogo polya na energetichnij spektr elektrona v magnitnomu poli Dlya cogo perepishemo rivnyannya 6 displaystyle 6 nbsp iz vrahuvannyam elektrichnogo polya e displaystyle varepsilon nbsp napravlenogo po osi x displaystyle x nbsp ℏ 2 2 m d 2 d x 2 m w c 2 2 x k y l H 2 2 e e x ps n k y x E n k y ps n k y x 8 displaystyle left frac hbar 2 2m frac d 2 dx 2 frac m omega c 2 2 x k y l H 2 2 e varepsilon x right psi n k y x E n k y psi n k y x qquad 8 nbsp kotre pislya vidilennya povnogo kvadrata mozhe buti podane u viglyadi ℏ 2 2 m d 2 d x 2 m w c 2 2 x X k y 2 e e k y l H 2 m 2 v d 2 ps n k y x E n k y ps n k y x 9 displaystyle left frac hbar 2 2m frac d 2 dx 2 frac m omega c 2 2 x X k y 2 e varepsilon k y l H 2 frac m 2 v d 2 right psi n k y x E n k y psi n k y x qquad 9 nbsp de X k y k y l H 2 v d w c displaystyle X k y k y l H 2 frac v d omega c nbsp i v d c e B displaystyle v d c frac varepsilon B nbsp Takim chinom mi bachimo sho elektrichne pole prosto zsuvaye centr hvilovoyi funkciyi Enegetichnij spektr zadayetsya nastupnim virazom E n k y ℏ w c n 1 2 e e X k y m 2 v d 2 10 displaystyle E n k y hbar omega c left n frac 1 2 right e varepsilon X k y frac m 2 v d 2 qquad 10 nbsp Dvovimirnij vipadok RedaguvatiU dvovimirnomu vipadku ruh uzdovzh odniyeyi z osej napriklad osi z kvantovanij U comu razi spektr elektroniv skladayetsya iz ekvidistantnih rivniv z vidstannyu mizh rivnyami ℏ w c displaystyle hbar omega c nbsp de w c displaystyle omega c nbsp viznachayetsya iz komponenti magnitnogo polya vzdovzh osi z Energiya elektrona ye E n m E m ℏ w c n 1 2 11 displaystyle E n m E m hbar omega c left n frac 1 2 right qquad 11 nbsp de E m displaystyle E m nbsp energiya elektrona pov yazana iz ruhom vzdovzh osi z Dzherela RedaguvatiBilij M U Ohrimenko B A Atomna fizika K Znannya 2009 559 s Fedorchenko A M Kvantova mehanika termodinamika i statistichna fizika Teoretichna fizika K Visha shkola 1993 T 2 415 s Yuhnovskij I R Osnovi kvantovoyi mehaniki K Libid 2002 392 s Landau L D Lifshic E M Kvantovaya mehanika Nerelyativistskaya teoriya Teoreticheskaya fizika M Fizmatlit 2008 T 3 800 s Posilannya Redaguvatihttps web archive org web 20080516235314 http www wsi tu muenchen de nextnano3 tutorial 2Dtutorial bulkGaAs LandauLevels htmDiv takozh RedaguvatiOscilyaciyi Zenera Bloha Kvantovij oscilyator Kvantovij ruh v elektrichnomu poli Kvantovij ruh u pryamokutnij potencijnij yami Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Rivni Landau amp oldid 36980465