www.wikidata.uk-ua.nina.az

Квантовий рух у прямокутній потенційній ямі задача квантової механіки що вивчає рух частинки в потенціальній ямі прямоку

Квантовий рух у прямокутній потенційній ямі

Квантовий рух у прямокутній потенційній ямі - задача квантової механіки що вивчає рух частинки в потенціальній ямі прямокутної форми та з нескінченно високими стінками.

Деякі траєкторії руху частки в одномірному ящику згідно з механікою Ньютона (A), та згідно з рівнянням Шредінгера та квантовою механікою (B-F). У випадку (B-F), горизонтальна вісь відображає позицію частки, а вертикальні осі - реальну частину (голубі) та уявну частину (червоні) хвильової функції. Стани (B,C,D) відображають енергетичні стани, проте (E,F) - ні.

Задача знаходження стаціонарних станів руху частки маси в зовнішньому потенціальному полі зводиться до знаходження власних значень оператора енергії, тобто до розв'язку рівняння Шредінгера:


.


Це рівняння є лінійним диференційним рівнянням другого порядку. Точні аналітичні розв'язки можуть бути знайдені тільки для деяких видів оператора потенційної енергії. Очевидно, що задача знаходження хвильових функцій рівняння Шредінгера у випадку прямокутної потенційної ями належить до найпростіших, і тому для неї можна знайти точні аналітичні розв'язки. В цьому випадку хвильова функція має розриви в точках стрибкоподібної зміни потенціальної енергії. Тому в цих точках необхідно проводити зшивання хвильових функцій, щоб забезпечити їх неперервність. Якщо енергія частки обмежена і стрибок потенційної енергії на поверхні розриву скінченний, то із рівняння Шредінгера випливає необхідність неперервності і на поверхні розриву. Таким чином, граничні умови на поверхні зі скінченним стрибком потенціалу зводяться до вимоги:

та неперервні на

Одновимірна прямокутна яма Редагувати

Розглянемо частинку, яка рухається в потенціальному полі прямокутної форми:

В цьому випадку рівняння Шредінгера зводиться до одновимірного рівняння:

.

В цьому випадку, внаслідок симетричного вибору системи координат, потенційна енергія та оператор Гамільтона інваріантні відносно перетворення інверсії , і тому всі стаціонарні стани відносяться або до станів позитивної парності, або до станів з негативною парністю. Такий вибір системи координат у значній мірі спрощує розв'язок задачі, оскільки досить знайти розв'язок тільки для області позитивних значень , тобто в області . Хвильові функції станів негативної парності повинні приймати нульове значення в точці ; для станів позитивної парності при повинна приймати нульове значення похідна хвильової функції по координаті.

Будемо відраховувати енергію відносно "дна" потенціальної ями, тоді енергія . Розглянемо значення енергії . Нехай далі:

Тоді одновимірне рівняння Шредінгера можна переписати у вигляді:

Скінченні розв'язки при можна записати у вигляді

.

А розв'язки , які відповідають станам позитивної парності, будуть:

.

Для станів негативної парності маємо:

Розглянемо спершу стани позитивної парності. Із умови неперервності та в точці випливає два однорідних рівняння для визначення та :

Ця система рівнянь має відмінні від нуля розв'язки тільки при умові:

.

Оскільки тангенс є періодична функція із періодом , то це рівняння можна перетворити до вигляду:

де значення арксинуса необхідно брати в інтервалі . Останнє рівняння є трансцендентним по формі і визначальним для позитивних значень хвильового числа . Тому можливі рівні енергії, які відповідають станам з позитивною парністю. Оскільки аргумент арксинуса не може перевищувати 1, то значення можуть лежати тільки в інтервалі . Значення , що задовольняють це рівняння при відповідають точкам перетину прямої та монотонно спадаючих кривих

.

Особливо простий вигляд мають розв'язки останнього рівняння для нескінченно великих значень (). У цьому разі

та де При цьому енергія частки

, непарне.

Хвильові функції . А хвильові функції всередині ями, нормовані умовою:

мають вигляд

, непарне.

Для станів з негативною парністю умови неперервності та у точках приводять до системи рівнянь:

Із умови розв'язності цієї системи рівнянь маємо:

Враховуючи періодичність котангенса, можна отримати рівняння, що за формою збігається з трансцендентним попереднім рівнянням. При воно визначає значення , які відповідають дискретним станам негативної парності.

Таким чином, дискретні рівні енергії частки в симетричній потенційній ямі виражаються формулою

, де визначаються точками перетину прямої та монотонно спадаючими функціями рівняння із арксинусом. Значення відповідають станам позитивної парності, а значення відповідають станам негативної парності.

Двовимірна прямокутна яма Редагувати

Тривимірна прямокутна яма Редагувати

Література Редагувати

  • Давидов О. С. Квантова механіка. — К. : Академперіодика, 2012. — 706 с.

Посилання Редагувати

Див. також Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Kvantovij ruh u pryamokutnij potencijnij yami zadacha kvantovoyi mehaniki sho vivchaye ruh chastinki v potencialnij yami pryamokutnoyi formi ta z neskinchenno visokimi stinkami Deyaki trayektoriyi ruhu chastki v odnomirnomu yashiku zgidno z mehanikoyu Nyutona A ta zgidno z rivnyannyam Shredingera ta kvantovoyu mehanikoyu B F U vipadku B F gorizontalna vis vidobrazhaye poziciyu chastki a vertikalni osi realnu chastinu golubi ta uyavnu chastinu chervoni hvilovoyi funkciyi Stani B C D vidobrazhayut energetichni stani prote E F ni Zadacha znahodzhennya stacionarnih staniv ruhu chastki masi m displaystyle mu v zovnishnomu potencialnomu poli zvoditsya do znahodzhennya vlasnih znachen operatora energiyi tobto do rozv yazku rivnyannya Shredingera D 2 2 m ℏ 2 E U r ps 0 displaystyle left Delta 2 frac 2 mu hbar 2 E U vec r right psi 0 Ce rivnyannya ye linijnim diferencijnim rivnyannyam drugogo poryadku Tochni analitichni rozv yazki mozhut buti znajdeni tilki dlya deyakih vidiv operatora potencijnoyi energiyi Ochevidno sho zadacha znahodzhennya hvilovih funkcij rivnyannya Shredingera u vipadku pryamokutnoyi potencijnoyi yami nalezhit do najprostishih i tomu dlya neyi mozhna znajti tochni analitichni rozv yazki V comu vipadku hvilova funkciya maye rozrivi v tochkah stribkopodibnoyi zmini potencialnoyi energiyi Tomu v cih tochkah neobhidno provoditi zshivannya hvilovih funkcij shob zabezpechiti yih neperervnist Yaksho energiya chastki obmezhena i stribok potencijnoyi energiyi na poverhni rozrivu skinchennij to iz rivnyannya Shredingera viplivaye neobhidnist neperervnosti i ps displaystyle nabla psi na poverhni rozrivu Takim chinom granichni umovi na poverhni s displaystyle sigma zi skinchennim stribkom potencialu zvodyatsya do vimogi ps displaystyle psi ta ps displaystyle nabla psi neperervni na s displaystyle sigma Zmist 1 Odnovimirna pryamokutna yama 2 Dvovimirna pryamokutna yama 3 Trivimirna pryamokutna yama 4 Literatura 5 Posilannya 6 Div takozhOdnovimirna pryamokutna yama RedaguvatiRozglyanemo chastinku yaka ruhayetsya v potencialnomu poli pryamokutnoyi formi U x 0 a 2 x a 2 U 0 x lt a 2 x gt a 2 displaystyle U x begin cases 0 amp a 2 leq x leq a 2 U 0 amp x lt a 2 x gt a 2 end cases nbsp V comu vipadku rivnyannya Shredingera zvoditsya do odnovimirnogo rivnyannya d 2 d x 2 2 m ℏ 2 ϵ U x ps x 0 displaystyle left frac d 2 dx 2 frac 2 mu hbar 2 epsilon U x right psi x 0 nbsp V comu vipadku vnaslidok simetrichnogo viboru sistemi koordinat potencijna energiya ta operator Gamiltona invariantni vidnosno peretvorennya inversiyi x x displaystyle x to x nbsp i tomu vsi stacionarni stani vidnosyatsya abo do staniv pozitivnoyi parnosti abo do staniv z negativnoyu parnistyu Takij vibir sistemi koordinat u znachnij miri sproshuye rozv yazok zadachi oskilki dosit znajti rozv yazok tilki dlya oblasti pozitivnih znachen x displaystyle x nbsp tobto v oblasti 0 x lt displaystyle 0 leq x lt infty nbsp Hvilovi funkciyi staniv negativnoyi parnosti povinni prijmati nulove znachennya v tochci x 0 displaystyle x 0 nbsp dlya staniv pozitivnoyi parnosti pri x 0 displaystyle x 0 nbsp povinna prijmati nulove znachennya pohidna hvilovoyi funkciyi po koordinati Budemo vidrahovuvati energiyu vidnosno dna potencialnoyi yami todi energiya ϵ 0 displaystyle epsilon geq 0 nbsp Rozglyanemo znachennya energiyi ϵ lt U 0 displaystyle epsilon lt U 0 nbsp Nehaj dali k 2 2 m ϵ ℏ 2 g 2 2 m ℏ 2 U 0 ϵ displaystyle k 2 frac 2 mu epsilon hbar 2 gamma 2 frac 2 mu hbar 2 U 0 epsilon nbsp Todi odnovimirne rivnyannya Shredingera mozhna perepisati u viglyadi a b k 2 ps I 0 x a 2 displaystyle left frac a b k 2 right psi I 0 leq x leq a 2 nbsp a b g 2 ps I x a 2 displaystyle left frac a b gamma 2 right psi I x geq a 2 nbsp Skinchenni rozv yazki ps I I displaystyle psi II nbsp pri x displaystyle x to infty nbsp mozhna zapisati u viglyadips I I A e g x displaystyle psi II Ae gamma x nbsp A rozv yazki ps I displaystyle psi I nbsp yaki vidpovidayut stanam pozitivnoyi parnosti budut ps I B cos k x displaystyle psi I B cos kx nbsp Dlya staniv negativnoyi parnosti mayemo ps I C sin k x displaystyle psi I C sin kx nbsp Rozglyanemo spershu stani pozitivnoyi parnosti Iz umovi neperervnosti ps displaystyle psi nbsp ta d ps d x displaystyle frac d psi dx nbsp v tochci x a 2 displaystyle x a 2 nbsp viplivaye dva odnoridnih rivnyannya dlya viznachennya A displaystyle A nbsp ta B displaystyle B nbsp B cos k a 2 A e g a 2 displaystyle B cos ka 2 Ae gamma a 2 nbsp B sin k a 2 g k A e g a 2 displaystyle B sin ka 2 frac gamma k Ae gamma a 2 nbsp Cya sistema rivnyan maye vidminni vid nulya rozv yazki tilki pri umovi k tan k a 2 g 2 m U 0 ℏ 2 k 2 displaystyle k tan ka 2 gamma sqrt frac 2 mu U 0 hbar 2 k 2 nbsp Oskilki tangens ye periodichna funkciya iz periodom p displaystyle pi nbsp to ce rivnyannya mozhna peretvoriti do viglyadu k a n p 2 arcsin ℏ k 2 m U 0 displaystyle ka n pi 2 arcsin left frac hbar k sqrt 2 mu U 0 right nbsp de n 1 3 displaystyle n 1 3 dots nbsp znachennya arksinusa neobhidno brati v intervali 0 p 2 displaystyle 0 pi 2 nbsp Ostannye rivnyannya ye transcendentnim po formi i viznachalnim dlya pozitivnih znachen hvilovogo chisla k displaystyle k nbsp Tomu mozhlivi rivni energiyi yaki vidpovidayut stanam z pozitivnoyu parnistyu Oskilki argument arksinusa ne mozhe perevishuvati 1 to znachennya k displaystyle k nbsp mozhut lezhati tilki v intervali 0 k 2 m U 0 ℏ displaystyle 0 leq k leq frac sqrt 2 mu U 0 hbar nbsp Znachennya k n displaystyle k n nbsp sho zadovolnyayut ce rivnyannya pri n 1 3 displaystyle n 1 3 dots nbsp vidpovidayut tochkam peretinu pryamoyi k a displaystyle ka nbsp ta monotonno spadayuchih krivihz n k n p 2 arcsin ℏ k 2 m U 0 displaystyle zeta n k n pi 2 arcsin left frac hbar k sqrt 2 mu U 0 right nbsp Osoblivo prostij viglyad mayut rozv yazki ostannogo rivnyannya dlya neskinchenno velikih znachen U 0 displaystyle U 0 nbsp U 0 ϵ displaystyle U 0 gg epsilon nbsp U comu raziarcsin ℏ k 2 m U 0 0 displaystyle arcsin left frac hbar k sqrt 2 mu U 0 right approx 0 nbsp ta p a n displaystyle frac pi a n nbsp de n 1 3 displaystyle n 1 3 dots nbsp Pri comu energiya chastkiϵ n p 2 ℏ 2 2 m a 2 n 2 displaystyle epsilon n frac pi 2 hbar 2 2 mu a 2 n 2 nbsp n displaystyle n nbsp neparne Hvilovi funkciyi ps I I 0 displaystyle psi II 0 nbsp A hvilovi funkciyi vseredini yami normovani umovoyu a 2 a 2 ps I 2 d x 1 displaystyle int a 2 a 2 psi I 2 dx 1 nbsp mayut viglyadps I 2 a cos p n a x displaystyle psi I sqrt frac 2 a cos left frac pi n a x right nbsp n displaystyle n nbsp neparne Dlya staniv z negativnoyu parnistyu umovi neperervnosti ps displaystyle psi nbsp ta d ps d x displaystyle frac d psi dx nbsp u tochkah x a 2 displaystyle x a 2 nbsp privodyat do sistemi rivnyan C sin k a 2 A e g a 2 displaystyle C sin ka 2 Ae gamma a 2 nbsp C cos k a 2 g k A e g a 2 displaystyle C cos ka 2 frac gamma k Ae gamma a 2 nbsp Iz umovi rozv yaznosti ciyeyi sistemi rivnyan mayemo k cot k a 2 g displaystyle k cot ka 2 gamma nbsp Vrahovuyuchi periodichnist kotangensa mozhna otrimati rivnyannya sho za formoyu zbigayetsya z transcendentnim poperednim rivnyannyam Pri n 2 4 6 displaystyle n 2 4 6 dots nbsp vono viznachaye znachennya k n displaystyle k n nbsp yaki vidpovidayut diskretnim stanam negativnoyi parnosti Takim chinom diskretni rivni energiyi chastki v simetrichnij potencijnij yami virazhayutsya formuloyuϵ n ℏ 2 k n 2 2 m a 2 displaystyle epsilon n frac hbar 2 k n 2 2 mu a 2 nbsp de k n displaystyle k n nbsp viznachayutsya tochkami peretinu pryamoyi k a displaystyle ka nbsp ta monotonno spadayuchimi funkciyami rivnyannya iz arksinusom Znachennya n 1 3 displaystyle n 1 3 dots nbsp vidpovidayut stanam pozitivnoyi parnosti a znachennya n 2 4 6 displaystyle n 2 4 6 dots nbsp vidpovidayut stanam negativnoyi parnosti Dvovimirna pryamokutna yama RedaguvatiTrivimirna pryamokutna yama RedaguvatiLiteratura RedaguvatiDavidov O S Kvantova mehanika K Akademperiodika 2012 706 s Posilannya RedaguvatiScienceworld Arhivovano 7 Kvitnya 2006 u Wayback Machine Infinite Potential Well Scienceworld Arhivovano 2 Lipnya 2017 u Wayback Machine Finite Potential Well 1 D quantum mechanics java applet Arhivovano 2 Chervnya 2008 u Wayback Machine simulates particle in a box as well as other 1 dimensional cases 2 D particle in a box applet Arhivovano 9 Travnya 2008 u Wayback Machine Div takozh RedaguvatiRivni Landau Kvantovij oscilyator Kvantovij ruh v elektrichnomu poli Rivni Landau Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Kvantovij ruh u pryamokutnij potencijnij yami amp oldid 40254673