www.wikidata.uk-ua.nina.az

Рівняння Клейна Ґордона Рівня ння Кле йна Ґо рдона 1 іноді Кле йна Ґо рдона Фо ка 2 3 лоренц інваріантне хвильове рівнян

Рівняння Клейна — Ґордона

Рівня́ння Кле́йна — Ґо́рдона (іноді Кле́йна — Ґо́рдона — Фо́ка) — лоренц-інваріантне хвильове рівняння, що описує рух квантового скалярного або псевдоскалярного поля, квантом якого є безспінова частинка.

Це рівняння не можна безпосередньо інтерпретувати як рівняння Шредінгера для квантового стану, оскільки воно містить другу похідну за часом і не забезпечує скінченну невід'ємну густину ймовірності, що зберігається. Тим не менш, за належного трактування рівняння Клейна — Ґордона описує квантову амплітуду знаходження точкової частинки в деякому місці — релятивістську хвильову функцію, однак, частинка може рухатися як вперед, так і назад у часі. Будь-який розв'язок рівняння Дірака одночасно задовольняє і рівняння Клейна — Ґордона, однак, зворотне твердження не виконується.

Формулювання ред.

Рівняння Клейна — Ґордона записується таким чином:

або, в скороченому вигляді:

де , ψ — хвильова функція,  — зведена стала Планка, m — маса частинки, c — швидкість світла,  — оператор д'Аламбера, або даламбертіан, що записується так:

Найчастіше рівняння записують у природних одиницях:

Форма рівняння визначена таким чином, щоб розв'язки у вигляді плоскої хвилі:

відповідали відношенню енергії-імпульса спеціальної теорії відносності:

На відміну від рівняння Шредінгера, рівняння Клейна — Ґордона допускає по два значення для кожного , одне від'ємне й одне невід'ємне. Лише за допомоги розділення частин із від'ємними та невід'ємними частотами можна отримати рівняння, що описує релятивістську хвильову функцію. У стаціонарному випадку рівняння Клейна — Ґордона виглядатиме:

що відповідає екранованому рівнянню Пуассона.

Рівняння Клейна — Ґордона є релятивістським еквівалентом рівняння Шредінгера, однак воно не годиться для опису електрона, який є ферміоном і має спін 1/2 (див. рівняння Дірака). Рівняння Клейна — Ґордона описує рух піона.

Рівняння Кляйна-Ґордона випливає із зв'язку між енергією та імпульсом частинки в теорії відносності:

Заміняючи в цьому співвідношення E на і на , отримують рівняння Клейна — Ґордона.

Історія ред.

Вперше рівняння Клейна — Ґордона запропонував Ервін Шредінгер в 1926 році як релятивістське узагальнення рівняння Шредінгера. Незалежно від нього — шведський фізик Оскар Клейн, радянський фізик Володимир Фок та німецький фізик Вальтер Ґордон. Аналіз рівняння показав, що його розв'язок принципово відрізняється за своїм фізичним змістом від звичайних хвильових функцій, як амплітуд ймовірності знаходження частки в заданому місці простору в заданий момент часу. Функція не визначається однозначно значеннями в початковий момент часу. Більше того, вираз ймовірності стану поряд з позитивними значеннями може набувати також і позбавлених фізичного змісту від'ємних значень. Тому спершу від рівняння Клейна — Ґордона відмовились. Проте в 1934 році Вольфганг Паулі та Віктор Вайскопф знайшли «правильну» інтерпретацію цього рівняння в рамках квантової теорії поля (вони розглянули його як рівняння поля, аналогічно до рівнянь Максвелла для електромагнітного поля, і проквантували; при цьому стало оператором).

Роз'вязок для релятивістської вільної частинки ред.

Рівняння Клейна — Ґордона для вільної частинки записується таким чином:

із таким самим розв'язком, що й у нерялятивістському випадку:

але з накладеною умовою, відомою, як дисперсійне відношення:

Як і для нерелятивістської частинки, маємо такі вирази для енергії та імпульсу:

Крім того, ми можемо відновити зв'язок між енергією й імпульсом для релятивістських масивних частинок, підставивши до дисперсійного відношення отримані вирази для і :

Для безмасових частинок необхідно в отриманих виразах покласти , тоді:

Дія ред.

Також рівняння Клейна — Ґордона можна отримати з такого функціоналу дії:

де  — поле Клейна — Ґордона,  — його маса. Комплексне спряження позначено як . Якщо скалярне поле дійсне, то, очевидно, .

Звідси можна отримати тензор енергії-імпульсу скалярного поля:

Гравітаційна взаємодія ред.

У загальній теорії відносності враховується наявність гравітації, і рівняння Клейна — Ґордона має такий вигляд:

або,

де  — зворотній метричний тензор, який репрезентує гравітаційне потенціальне поле,  — детермінант метричного тензора,  — коваріантна похідна та  — символ Крістоффеля, який репрезентує гравітаційне силове поле.

Див. також ред.

Література ред.

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М. : Советская энциклопедия, 1983. — 944 с.
  • Вихман Э. Квантовая физика // Берклеевский курс физики. — М. : Наука, 1986. — 392 с.
  • Дайсон Ф. Релятивистская квантовая механика. — Ижевск : РХД, 2009. — 248 с.
  • Кузьмичёв В. Е. Законы и формулы физики. — К. : Наукова думка, 1989. — 864 с.

Примітки ред.

  1. Оскільки Оскар Клейн був шведом, то, мабуть, справедливіше було б вимовляти рівняння Кляйна — Ґордона, проте серед фізиків прижилася англізована назва.
  2. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М. : Советская энциклопедия, 1983. — 944 с.
  3. Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Rivnya nnya Kle jna Go rdona 1 inodi Kle jna Go rdona Fo ka 2 3 lorenc invariantne hvilove rivnyannya sho opisuye ruh kvantovogo skalyarnogo abo psevdoskalyarnogo polya kvantom yakogo ye bezspinova chastinka Ce rivnyannya ne mozhna bezposeredno interpretuvati yak rivnyannya Shredingera dlya kvantovogo stanu oskilki vono mistit drugu pohidnu za chasom i ne zabezpechuye skinchennu nevid yemnu gustinu jmovirnosti sho zberigayetsya Tim ne mensh za nalezhnogo traktuvannya rivnyannya Klejna Gordona opisuye kvantovu amplitudu znahodzhennya tochkovoyi chastinki v deyakomu misci relyativistsku hvilovu funkciyu odnak chastinka mozhe ruhatisya yak vpered tak i nazad u chasi Bud yakij rozv yazok rivnyannya Diraka odnochasno zadovolnyaye i rivnyannya Klejna Gordona odnak zvorotne tverdzhennya ne vikonuyetsya Zmist 1 Formulyuvannya 2 Istoriya 3 Roz vyazok dlya relyativistskoyi vilnoyi chastinki 4 Diya 5 Gravitacijna vzayemodiya 6 Div takozh 7 Literatura 8 PrimitkiFormulyuvannya red Rivnyannya Klejna Gordona zapisuyetsya takim chinom 1 c 2 2 t 2 ps 2 ps m 2 ps 0 displaystyle frac 1 c 2 frac partial 2 partial t 2 psi nabla 2 psi mu 2 psi 0 nbsp abo v skorochenomu viglyadi m 2 ps 0 displaystyle Box mu 2 psi 0 nbsp de m m c ℏ displaystyle mu frac mc hbar nbsp ps hvilova funkciya ℏ displaystyle hbar nbsp zvedena stala Planka m masa chastinki c shvidkist svitla displaystyle Box nbsp operator d Alambera abo dalambertian sho zapisuyetsya tak 1 c 2 2 t 2 2 displaystyle Box frac 1 c 2 frac partial 2 partial t 2 nabla 2 nbsp Najchastishe rivnyannya zapisuyut u prirodnih odinicyah t 2 ps 2 ps m 2 ps displaystyle partial t 2 psi nabla 2 psi m 2 psi nbsp Forma rivnyannya viznachena takim chinom shob rozv yazki u viglyadi ploskoyi hvili ps e i w t i k x e i k m x m displaystyle psi e i omega t i vec k vec x e ik mu x mu nbsp vidpovidali vidnoshennyu energiyi impulsa specialnoyi teoriyi vidnosnosti p m p m E 2 P 2 w 2 k 2 k m k m m 2 displaystyle p mu p mu E 2 P 2 omega 2 k 2 k mu k mu m 2 nbsp Na vidminu vid rivnyannya Shredingera rivnyannya Klejna Gordona dopuskaye po dva znachennya w displaystyle omega nbsp dlya kozhnogo k displaystyle k nbsp odne vid yemne j odne nevid yemne Lishe za dopomogi rozdilennya chastin iz vid yemnimi ta nevid yemnimi chastotami mozhna otrimati rivnyannya sho opisuye relyativistsku hvilovu funkciyu U stacionarnomu vipadku rivnyannya Klejna Gordona viglyadatime 2 m 2 c 2 ℏ 2 ps r 0 displaystyle left nabla 2 frac m 2 c 2 hbar 2 right psi mathbf r 0 nbsp sho vidpovidaye ekranovanomu rivnyannyu Puassona Rivnyannya Klejna Gordona ye relyativistskim ekvivalentom rivnyannya Shredingera odnak vono ne goditsya dlya opisu elektrona yakij ye fermionom i maye spin 1 2 div rivnyannya Diraka Rivnyannya Klejna Gordona opisuye ruh piona Rivnyannya Klyajna Gordona viplivaye iz zv yazku mizh energiyeyu ta impulsom chastinki v teoriyi vidnosnosti E 2 c 2 p 2 m 2 c 2 displaystyle E 2 c 2 p 2 m 2 c 2 nbsp Zaminyayuchi v comu spivvidnoshennya E na i ℏ t displaystyle i hbar frac partial partial t nbsp i p displaystyle mathbf p nbsp na i ℏ displaystyle i hbar nabla nbsp otrimuyut rivnyannya Klejna Gordona Istoriya red Vpershe rivnyannya Klejna Gordona zaproponuvav Ervin Shredinger v 1926 roci yak relyativistske uzagalnennya rivnyannya Shredingera Nezalezhno vid nogo shvedskij fizik Oskar Klejn radyanskij fizik Volodimir Fok ta nimeckij fizik Valter Gordon Analiz rivnyannya pokazav sho jogo rozv yazok principovo vidriznyayetsya za svoyim fizichnim zmistom vid zvichajnih hvilovih funkcij yak amplitud jmovirnosti znahodzhennya chastki v zadanomu misci prostoru v zadanij moment chasu Funkciya PS x y z t displaystyle Psi x y z t nbsp ne viznachayetsya odnoznachno znachennyami PS displaystyle Psi nbsp v pochatkovij moment chasu Bilshe togo viraz jmovirnosti stanu poryad z pozitivnimi znachennyami mozhe nabuvati takozh i pozbavlenih fizichnogo zmistu vid yemnih znachen Tomu spershu vid rivnyannya Klejna Gordona vidmovilis Prote v 1934 roci Volfgang Pauli ta Viktor Vajskopf znajshli pravilnu interpretaciyu cogo rivnyannya v ramkah kvantovoyi teoriyi polya voni rozglyanuli jogo yak rivnyannya polya analogichno do rivnyan Maksvella dlya elektromagnitnogo polya i prokvantuvali pri comu PS displaystyle Psi nbsp stalo operatorom Roz vyazok dlya relyativistskoyi vilnoyi chastinki red Rivnyannya Klejna Gordona dlya vilnoyi chastinki zapisuyetsya takim chinom 2 ps 1 c 2 2 t 2 ps m 2 c 2 ℏ 2 ps displaystyle mathbf nabla 2 psi frac 1 c 2 frac partial 2 partial t 2 psi frac m 2 c 2 hbar 2 psi nbsp iz takim samim rozv yazkom sho j u neryalyativistskomu vipadku ps r t e i k r w t displaystyle psi mathbf r t e i mathbf k cdot mathbf r omega t nbsp ale z nakladenoyu umovoyu vidomoyu yak dispersijne vidnoshennya k 2 w 2 c 2 m 2 c 2 ℏ 2 displaystyle k 2 frac omega 2 c 2 frac m 2 c 2 hbar 2 nbsp Yak i dlya nerelyativistskoyi chastinki mayemo taki virazi dlya energiyi ta impulsu p ps i ℏ ps ℏ k displaystyle langle mathbf p rangle left langle psi left i hbar mathbf nabla right psi right rangle hbar mathbf k nbsp E ps i ℏ t ps ℏ w displaystyle langle E rangle left langle psi left i hbar frac partial partial t right psi right rangle hbar omega nbsp Krim togo mi mozhemo vidnoviti zv yazok mizh energiyeyu j impulsom dlya relyativistskih masivnih chastinok pidstavivshi do dispersijnogo vidnoshennya otrimani virazi dlya k displaystyle k nbsp i w displaystyle omega nbsp E 2 m 2 c 4 p 2 c 2 displaystyle langle E rangle 2 m 2 c 4 langle mathbf p rangle 2 c 2 nbsp Dlya bezmasovih chastinok neobhidno v otrimanih virazah poklasti m 0 displaystyle m 0 nbsp todi E p c displaystyle langle E rangle langle mathbf p rangle c nbsp Diya red Takozh rivnyannya Klejna Gordona mozhna otrimati z takogo funkcionalu diyi S ℏ 2 m h m n m ps n ps m c 2 ps ps d 4 x displaystyle mathcal S int left frac hbar 2 m eta mu nu partial mu bar psi partial nu psi mc 2 bar psi psi right mathrm d 4 x nbsp de ps displaystyle psi nbsp pole Klejna Gordona m displaystyle m nbsp jogo masa Kompleksne spryazhennya ps displaystyle psi nbsp poznacheno yak ps displaystyle bar psi nbsp Yaksho skalyarne pole dijsne to ochevidno ps ps displaystyle bar psi psi nbsp Zvidsi mozhna otrimati tenzor energiyi impulsu skalyarnogo polya T m n ℏ 2 m h m a h n b h m b h n a h m n h a b a ps b ps h m n m c 2 ps ps displaystyle T mu nu frac hbar 2 m left eta mu alpha eta nu beta eta mu beta eta nu alpha eta mu nu eta alpha beta right partial alpha bar psi partial beta psi eta mu nu mc 2 bar psi psi nbsp Gravitacijna vzayemodiya red U zagalnij teoriyi vidnosnosti vrahovuyetsya nayavnist gravitaciyi i rivnyannya Klejna Gordona maye takij viglyad 1 g m g m n g n ps m 2 c 2 ℏ 2 ps 0 displaystyle frac 1 sqrt g partial mu left g mu nu sqrt g partial nu psi right frac m 2 c 2 hbar 2 psi 0 nbsp abo 0 g m n m n ps m 2 c 2 ℏ 2 ps g m n m n ps g m n G s m n s ps m 2 c 2 ℏ 2 ps displaystyle 0 g mu nu nabla mu nabla nu psi dfrac m 2 c 2 hbar 2 psi g mu nu partial mu partial nu psi g mu nu Gamma sigma mu nu partial sigma psi dfrac m 2 c 2 hbar 2 psi nbsp de g a b displaystyle g alpha beta nbsp zvorotnij metrichnij tenzor yakij reprezentuye gravitacijne potencialne pole g displaystyle g nbsp determinant metrichnogo tenzora m displaystyle nabla mu nbsp kovariantna pohidna ta G s m n displaystyle Gamma sigma mu nu nbsp simvol Kristoffelya yakij reprezentuye gravitacijne silove pole Div takozh red Kvantova teoriya polya Rivnyannya Diraka Rivnyannya sinus Gordona Rivnyannya Rariti ShvingeraLiteratura red Vakarchuk I O Kvantova mehanika 4 e vidannya dopovnene L LNU im Ivana Franka 2012 872 s Fizicheskij enciklopedicheskij slovar Gl red A M Prohorov M Sovetskaya enciklopediya 1983 944 s Vihman E Kvantovaya fizika Berkleevskij kurs fiziki M Nauka 1986 392 s Dajson F Relyativistskaya kvantovaya mehanika Izhevsk RHD 2009 248 s Kuzmichyov V E Zakony i formuly fiziki K Naukova dumka 1989 864 s Primitki red Oskilki Oskar Klejn buv shvedom to mabut spravedlivishe bulo b vimovlyati rivnyannya Klyajna Gordona prote sered fizikiv prizhilasya anglizovana nazva Fizicheskij enciklopedicheskij slovar Gl red A M Prohorov M Sovetskaya enciklopediya 1983 944 s Vakarchuk I O Kvantova mehanika 4 e vidannya dopovnene L LNU im Ivana Franka 2012 872 s Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Rivnyannya Klejna Gordona amp oldid 23136805